高思导引-四年级第十九讲-格点与割补教师版
第1讲.格点与割补.提高班
例 5
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图中相邻三点所形成的等边三角形的面积为 1 ，计算三角形 ABC 的面积．
【分析】 方法一（分割法） ：
四年级 第 1 讲 格点与割补 （提高班）
【分析】方法一：同正方形格点相似，将目标三角形分成容易求出面积的两个小三角形，如图. 易知左边小三角形面积为 2，右边小三角形面积为 4，则所求三角形面积为 6.
方法二：三角形毕克定理：图形内部有 1 个点，边上有 6 个点，由 S ( N （1+6÷2-1）×2=6.
L 1) 2 得面积为 2
S1
S1
S2
(a)
S3
S2(Leabharlann )方法三（正方形毕克定理） ：图形内部（N）有 8 个格点，图形边上（L）有 6 个格点，根据正方形
L 1 得面积为 8+6÷2-1=10. 2 注：请老师强调扩展法和割补法，避免孩子过分依赖毕克定理，为高年级的几何学习打好基础.
毕克定理： S N
图 2： 用毕克定理： 图形内部没有格点， 图形边上 （L） 有 6 个格点， 根据正方形毕克定理： SN
笔记整理
6
四年级 第 1 讲 格点与割补 （提高班）
毕克定理：如果用 S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形边界上的格点数， L 正方形格点： S N 1 2 三角形格点： S ( N
L 1) 2 2
1. 图中相邻两个格点的距离都是 1，请你求出葫芦和锤子的面积各是多少．
【分析】 （1）面积为 2 应当包含 2 个面积为 1 的“4 个相邻点组成的小正方形” ； （2）直角三角形的面积=两条直角边长的乘积÷2； （3）梯形面积=（上底+下底）×高÷2. 【答案】
高思导引-四年级-竖式问题教师版汇编
学习-----好资料第5讲竖式问题内容概述以字母或汉字表示数字的竖式问题，学会选择适当的突破口，并逐步解决问题；能够将文字叙述的题目转化为数字谜形式，便于直观地解决问题。
典型问题兴趣篇1.如图5-1所示，每个英文字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，其中“G”代表“5”，“A”代表“9”，“D”代表“0”，“H”代表“6”.问：“I”代表的数字是多少？分析：也一定有A+E=HC=4，A+D=D，所以,它们的和一定有进位，所以，、2、F分别是1没有用，所以1、2、3、8B，现在还剩进位，所以E=7I=3.的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代）在图5-22. （1 表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相在图5-3(2)同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？分析：，卒=1（1）观察可得：车，马=卒，所以兵=5=0，兵+兵马，所炮=，+1=5，所以马=4炮+=2以炮5240+5210=10450=2=马，所以：兵，=12）观察可得：炮，兵—兵=马，一定有借位，所以马=9，炮—兵（292=929—1221的竖式中，相同的汉字代表相同的3. 在图5-4+如果23+解数字，不同的汉字代表不同的数字，”所代表的三，那么“字++谜=30 数数字谜位数是多少？更多精品文档．学习-----好资料不同的汉字代表不同的数字，每个汉字代表一个数字，图5-5所示的竖式中，4. ”代表的四位数是多少？那么“北京奥运分析：奥++京，北+奥=0，所以可得要进位，所以；京=8 观察可得：北=1，北+京=9 ，运位，所以：奥=0+运=8，所以要进2=1809 北京奥运ABCDE所示的乘法竖式成立，那么5. 已知图5-6是多少？相同的符号代5-7的竖式中，6. (1) 在图表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字？的竖式中，相同的符号代表5-8(2) 在图不同的符号代表不同的数字，相同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字？分析：三种可能，因为是三位数5、9,×△=△，所以△=1、）（1△，○=1，☆乘一位数等于四位数，所以1排除，经分析：△=5=2=2 ，○，当△=5时，☆=4、）△=15、6三种可能，排除12 （=3○=5时，△当=6☆，更多精品文档．学习-----好资料7. 如图5-9，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么十个方框中数字之和是多少？分析：B×B=B，所以B=1、5、6，三种可能，经分析1排除，A×B=B，所以B=5，A为奇数，三位数乘B得三位数，所以第一个方格中添1，一百多乘一位数得四位数，所以A只能是7、9，当A=7时，C=7，矛盾不成立；当A=9时，C=7，成立；所以：195×95=18525 1+9+1+7+5+1+8+5+2+5=448. 在图5-10和图5-11中的方格内填入适当的数字，使下列除法竖式成立.分析：，所以除数9=783（1）除数×=6003 ，所以被除数×6=522=87,8787=69÷6003=2465 5=145，所以被除数8=232，所以除数=29,29×（2）除数×29=85÷2465所示的除法竖式中填入合适的数字，使得竖式成立，那么其中的商5-129.在图是多少？分析：三= 除数×7=两位数，除数×另一个一位数，所以除数只能是位数，且三位数的十位上是2 ，9=12614,14×7=98,14×=79所以除数更多精品文档．好资料学习-----后所得乘积恰好是将原来的四位数各位数字顺序910. 有一个四位数，它乘以.颠倒而得的新四位数，求原来的四位数拓展篇不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，和5-14中，1. 在图5-13. 求出它们使竖式成立的值分析：，四个语、语=5 （1）观察得：巧=1，所以三个英相加得数，进2相加得20，所，向前进2的个位是8，所以英得6 以学=4 以学+学得数个位也是8，所1465+林=7，奥++=6，奥林+匹进2，所以林2 （）观察的奥+林有进1，所以奥6789=83，所以匹，克=9 匹+克进，在这个算式中，相2. 如图5-15不同的同的字母代表相同的数字，、A字母代表不同的数字，那么数字分别是多少？B、C分析：有借位，没有借位，C—BCA=A，—B=B,所以C—AC观察—A=4A=A，所以B=9，所以有借位且，C=8，已知C—B—B=B8、4、9不同的字母表示不同的数在图5-16的竖式中，相同的字母表示相同的数字，3. 字，并且A<B<C<D. 问：竖式中的和是多少？分析：D=5 C=4，，，观察得A=2B=3 2233+3344+4455=10032更多精品文档．学习-----好资料4. 在图5-17的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，那么“”所代表的七位数是多少？携手上海世博会分析：，个=9，手=0，上观察得，黄金三角：携=1，所=7位数的和肯定要进位，要使进1为，则博，=6位，办海=4，假设百位向前进2以会只能是2，，位，办=5，成立，1094382 ；假设百位向前进3=8当世=3时，在；，成立，1094872=8时，在=3当世小悦写了一个四位数，冬冬把这个四位数的个位抹掉，变成了一个三位数，5. 阿奇又把这个三位数的个位抹掉，变成了一个两位数，最后把这三个数加起来，小悦原来写的四位数是多少？结果刚好是7826.分析：利用位值原理ABCD+ABC+AB=78261000A+100B+10C+D+100A+10B+C+10A+B=1110A+111B+11C+D=7826D=1 56-55=1 则当则B=0 C=5时－时当A=778267770=56 7051即一个各位数字互不相同的三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位数，6. 再用这三个数字组成一个最小的三位数，组成的这两个三位数之差正好是原来. 求原来的三位数的三位数.更多精品文档．学习-----好资料移到左边首位数字前面，所构成44，将这个7. (1) 一个自然数的个位数字是 4倍，那么原数最小是多少？的新数恰好是原数的一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，而且(2)/4倍，那么原来的五位数是多少这个新的五位数恰好是原数的）（1219782）（中的一个数字，不同的字母2，……908. 如图5-18，每一个英文字母代表，1 、RF分别代表什么数字？、、、代表不同的数字，则字母AQT更多精品文档．学习-----好资料分析：不QAQ×T=1符合题意，当Q=6时为5或6 当Q=5时A=2 .........QTAQ等于T=1 则........AQ×T=AQF=3R=7，Q=5，T=1，A=2，所以“美”三个汉字分别代表三个各不相同的“峡”、中的竖式里，“江”、9. 图5-19. 数字，请把这个竖式写出来分析：=6 ，所以美0,1,5,6中的一个，通过实验排除0,1,5先确定美是□□江，则=×江4或8之一，又因为江峡美或美通过确定江是2 排除，所以江=24或8=8=□□□峡，则峡由于江峡美×峡所示的除法5-2010. 请把如图竖式中空缺的数字补上，其中的商是多少？分析：1 7 则除数个位是7，商的十位数字是=6.........6□□×□□除数的十位数3=×□□□61 则商的个位数字是，7.........6□8 字是更多精品文档．学习-----好资料11. 请把图5-21中的除法竖式补充完整。
高思导引--四年级第二讲-和差倍讲义教师版
第二讲和差倍问题三1、有长短两根竹竿，长竹竿的长度是短竹竿长度的3倍。
将它们插入水塘中，插入水中的长度都是40厘米，而露出水面部分的总长为160厘米。
请问：短竹竿露在外面的长度是对少厘米？解析：160+40+40=240（厘米）240÷（3+1）=60 60-40=20（厘米）1、李师傅某天生产了一批零件，他把它们分成了甲、乙两堆。
如果从甲堆中拿出15个放入乙堆中，则两堆的零件个数相等；如果从乙堆中拿出15个放到甲堆中，则甲堆零件的个数是乙堆的3倍。
问甲堆原来有多少个零件？李师傅这一天共生产零件多少个？解析：15×2=30 30＋15×2=60 60÷（3-1）=30 30＋15=45（甲）45＋30=75（乙）45+75=1202、一个六边形的广场边界上有336面红旗和黄旗。
六边形的每个顶点出都插有红旗，每个边上的数目一样多，并且每两面红旗间插有相同数目的黄旗。
已知每条边上黄旗比红旗的2倍还多12面，那么每两面红旗间插有几面黄旗？解析：336÷6=56 56＋1=57 57-12=45 45÷3=15（红）（57-15）÷14=33、爸爸和东东一起搬砖，爸爸所搬的砖头数是冬冬的3倍。
冬冬觉得自己搬的砖头太少了，又搬了24块砖头，于是爸爸所搬的砖头数是冬冬的2倍。
请问：最后爸爸和冬冬各搬了多少块砖？解析：24×2=48（冬冬） 48×3=144（爸爸）4、四年级三班买来单价为5角的练习本若干。
如果将这些练习本只分给女生，平均每人可分得15本；如果将这些练习本只分给男生，平均每人可得10本。
请问：将这些练习本平均分给全班同学，每人可以得到多少本?此时每人应付多少钱？解析：赋值法，有30个本 30÷（30÷15＋30÷10）=6 6×5=30角5、有甲、乙丙三所小学的同学来参加幼苗杯数学邀请赛，其中甲校参赛人数比乙校多5人，比丙校多7人。
高思导引-四年级第十一讲-几何图形剪拼教师版
第11讲几何图形剪拼教师版内容概述与图形的剪切、拼接有关的问题，学会利用对称性和面积计算对剪拼问题进行分析；了解某些特殊的剪拼办法.典型问题兴趣篇1. 如图11-1，将一个正方形纸片剪成形状、大小都相同的四块，可以怎么剪？请大家画出尽量多的方法. （如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）2. 观察图11-2，ABCDEF是正六边形，O是它的中心，画出线段PQ后，就把正六边形ABCDEF分成了两个形状、大小都相同的五边形. 能否画出3条线段，把正六边形分成6个形状、大小都相同的图形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的四边形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的五边形？3. 如图11-3，在一块正方形纸片中有一个正方形的空洞. 现在要求用一条经过大正方形中心点的线段，把纸片分成面积相等的两部分，应该怎么办？4. 请把图11-4中的两个图形分别沿格线剪成四个形状、大小都相同的图形.5. 请把图11-5沿格线分成形状、大小都相同的三部分，使得每部分都恰好含有一个“○”.6. 如图11-6，三角形和六角星的每条边长都相等，那么用多少个三角形可以拼成六角星？请在图中表示出来.7. 如图11-7，左图是由五个相同大小的小正方形拼成的，右图是一个正方形和一个等腰直角三角形拼成的. 请把这两个图形分别剪成四个形状、大小都相同的图形.8. 如图11-8，请把一个大正方形分割为两种面积不同的小正方形.（1）如果要求两种小正方形一共有6个，应该怎么分？（2）如果要求两种小正方形一共有7个，应该怎么分？9. 如图11-9，有两个面积相等的正方形纸片，现在想把它们剪拼成一个更大的正方形，要求如下：（1）如果分别剪开这两个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？（2）如果只允许剪开一个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？10. 图11-10是由若干个小正方形组成的图形，你能将其剪成两块，然后拼成一个正方形吗？拓展篇1. 请在图11-11中标出分割线，把下图沿格线分成形状、大小都相同的四个部分，（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）2. 把图11-12沿格线分割成形状、大小都相同的四个部分，请在图中画出具体的分割办法.3. 将图11-13分割成形状、大小完全相同的四块，请至少画出4种不同的分法.4.如图11-14，从一张边长为7厘米的正方形纸片中，最多能裁出多少个长4厘米、宽1厘米的长方形纸条？请画图说明剪裁方法.5. 将图11-15分成大小、形状都相同的四块，使得每一块中都有A、B、C、D.6. 将边长分别为3厘米和4厘米的两个正方形切割成四块，然后将它们拼成一个边长是5厘米的大正方形，请在图11-16中画出切割线和拼接线.7. 请将图11-17剪成三块，再拼成一个正方形.8. 将图11-18分割成四个形状和大小都相同的部分，然后将它们拼接成一个正方形，请在原图上标明分割线，并画出正方形的拼接图.9. 图11-19中长方形的长和宽分别是9厘米和4厘米，请把这个长方形剪成两块再拼成一个正方形.10. 有一张长方形纸片，按图11-20所示剪成了三块，已知这三块纸片可拼成一个正方形，那么正方形的边长为多少？请画出具体的拼法.11.把七个长为4厘米、宽为3厘米的长方形既互不重叠又不留空隙地拼成一个大长方形，那么这个大长方形的周长最小是多少厘米？请画出具体的拼法.12. 用若干个边长为1、2、3、4的正方形纸片互不重叠地拼成一个边长为5的大正方形，那么最少需要纸片多少张？请画出具体的拼法.。
高斯小学奥数四年级下册含答案第05讲_割补法巧算面积
第五讲割补法巧算面积在上一讲中，我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式．根据公式，我们可以求出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍，或者求出三角形格点图形面积是最小正三角形面积的几倍．随着几何学习的步步深入，大家会发现除了用公式法直接求面积之外，还有很多间接求面积的方法．尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式，但是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）「分析」这是一个不规则图形，我们能不能把它切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？ 练习1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）我们可以看到，在没有格点的情况下，割补的方法仍然可以使用．我们将来做几何面积计算时，就要视情况灵活运用割补法．例题2如图所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形EFGH ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积．「分析」所求长方形的长、宽都是未知且不可求的，但是正方形面积以及周围四个直角三角形面积都是可以计算出来的，那么长方形面积怎么计算呢？1 223 453 2 4341249 DG如图所示，在正方形ABCD 内部有三角形CEF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AF 都等于2厘米．求三角形CEF 的面积．例题3如图所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？「分析」阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形嗯？ 练习3如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米．连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题4如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是48平方分米．请问：图2中阴影部分的面积是多少平方分米？「分析」图1和图2中最小正三角形的面积是不一样的，但两个大正三角形面积却是一样的，你能求出大正三角形的面积吗？D图2如图，把两个同样大小的正方形分别分成55⨯和33⨯的方格表．图1阴影部分的面积是162，请问图2中阴影部分的面积是多少？例题4中的阴影部分都是同样形状的花图形，我们不能直接看出花图形和大正三角形的面积之间有什么倍数关系，但是借助一块块小正三角形，我们把花图形和大正三角形之间联系起来，看看它们各自占了多少个小正三角形．找到面积之间的联系，是解决类似问题的钥匙．有些图形看起来没有分割成一些相同的小图形，实际上不过是将分割线隐藏起来或者只出现了其中的一部分，需要我们自己进行分割． 例题5如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A 的面积是36平方厘米，那么正方形B 的面积是多少平方厘米？「分析」乍一看上去和例题2有些相似，我们能不能求出大等腰直角三角形的面积呢？它的面积和正方形A 、B 之间有什么关系呢？ 例题6如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）「分析」这个四边形并不规则，直接求面积似乎有些困难．我们已经知道了其中的三个角，其中有直角也有45°角．你能从这两种“特殊角”发现图形的特点吗？图1课堂内外毕式定理据说毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形瓷砖，但毕达哥拉斯不仅仅是欣赏瓷砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和．他很好奇……于是再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和．至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和．那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面．这就是著名的毕式定理：在任何一个直角三角形中（等腰直角三角形也算在内），两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的这个故事都是后人辗转传播的．可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，更普遍地则称为勾股定理．中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦．作业1. 下图中的数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是多少？2. 如下图所示，在正方形ABCD 内部有梯形EHGF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 、BF 、DG 都等于2厘米．则梯形EHGF 的面积是多少平方厘米？3. 如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连．图中阴影部分的面积总和是多少？4. 下图中空白部分的面积是100，那么阴影正方形的面积是多少？5. 如图所示，正六边形ABCDEF 的面积是36．阴影正六边形的面积是多少？D G324 34 1242 3 33 3第五讲 割补法巧算面积1. 例题1答案：32平方厘米详解：对这个图形进行简单分割后，分别求面积再相加． 32243632⨯+⨯+⨯=平方厘米．也可对图形进行添补．（如右图）2.例题2答案：16平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEH 、FCG 的面积是2平方厘米，三角形EBF 、GDH 的面积是8平方厘米．长方形EFGH 的面积是36228216-⨯-⨯=平方厘米．3. 例题3答案：50平方厘米详解：首先可把小正方形中间的阴影部分添补到相对应的空白处，中间小正方形的面积等于四个角上的阴影三角形的面积和．可连接正方形对边的中点，也可以把四个三角形向中间对折都可以说明阴影部分的面积是正方形面积的一半，即为1010250⨯÷=平方厘米. 4. 例题4答案：27平方厘米详解：图1中大三角形被分成9块，阴影部分面积占3块，面积是48平方分米，那么每个小三角面积是16平方分米，大三角形面积是169144⨯=平方分米． 图2中大三角形被分成了16块，那么每个小三角形的面积是144169÷=平方分米，阴影部分面积是9327⨯=平方分米． 5. 例题5答案：32平方厘米详解：对图形进行如左图的分割，通过第一个图，我们知道等腰直角三角形的面积8平方厘米，正方形B 的面1 2 2 3 4 5 1 22 3 45积是32平方厘米．6. 例题6答案：20平方厘米详解：如图所示，把原图添补成一个大的等腰直角三角形．需要将多余的小直角三角形去掉才是原图．大等腰直角三角形的底是7厘米，高是7厘米，所以面积是77224.5⨯÷=平方厘米；小等腰直角三角形的底是3厘米，高是3厘米，所以面积是332 4.5⨯÷=平方厘米．所以四边形的面积是24.5 4.520-=平方厘米．7. 练习1答案：78平方厘米详解：492331278⨯+⨯+⨯=平方厘米.8. 练习2答案：10平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEF 的面积是2平方厘米，三角形BEC 、DFC 的面积都是12平方厘米．三角形EFC 的面积是362121210---=平方厘米．9. 练习3答案：5简答：大正三角形被分成12块，阴影部分占6块，占总个数的一半，面积为5平方厘米．10. 练习4答案：1503 243 4124 9简答：图1中大正方形被分成25块，阴影部分面积占18块，面积是162，那么每个小正方形面积是9，大正方形面积是259225⨯=．图2中大正方形被分成了9块，那么每个小正方形的面积是225925÷=，阴影部分面积是256150⨯=．11. 作业1答案：84简答：()312433332284⨯+⨯+++⨯⨯=平方厘米．12. 作业2答案：18简答：首先求出大正方形的面积，再求出各个角上的小三角形的边长和面积．然后把大正方形的面积减去四个小三角形的面积就得梯形的面积． 13. 作业3答案：6简答：将右上两个阴影三角形切下来添到左侧空白处，使其拼成一个大的三角形．阴影面积是平行四边形面积的一半．所以阴影部分的面积是6． 14. 作业4答案：80简答：对三角形进行分割，能知道每个小三角形的面积是100520÷=，阴影正方形的面积是80．15. 作业5答案：9简答：把大六边形划分为24个小正三角形，其中阴影部分可以分成6个小正三角形，所以大六边形是阴影部分面积的4倍，正六边形面积是36，阴影部分的面积是3649÷=．。
小学奥林匹克数学 竞赛数学 五年级 第19讲-+比例关系求解直线形
如图，AC的长度是AD的45，且三角形AED的面积是三角形ABC面积的一半．请问：AE是AB的几分之几？ABCDE 41S∆ABC=5份S∆ADE=2份S∆BD E=3份AE:EB=2：3AEAB=25三角形ABC 并且 试求 。
15BF AB =，11,,34AE AC CD BC ==A B C D EF S DEF S ABC S∆AEF=45×13=415 S∆BD F=15×34=320 S∆DEC =14×23=161−415−320−16=512如图，深20厘米的长方形水箱装满水放在平台上．（1）当水箱像图4-4这样倾斜，水箱中水流出15 ，这时AB 长多少厘米？（2）如图4-5，当水箱这样倾斜到AB 的长度为8厘米后，再把水箱放平，如图4-6，这时水箱中水的深度是多少厘米？(1) 20×(1−25)=12厘米 （2） 20−8÷20=35倒出=310整体 310×20=6 20-6=14厘米如图，已知长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是2，三角形ACF 的面积是4。
请问：三角形ABC 的面积是多少？C A E BD F S∆ABE =8-2=6 BD:EB=1：3 S∆ACE =8-4=4 BD:EB=1：1 S∆BCE S∆DFE =12×34=38 S∆BCE =38×8=316-2-4-3=7如图，3个相同的正方形拼在一起，每个正方形的边长为6，求三角形ABC的面积．C DA BEF图4-16CB:EB=1：2S∆ABC=13×6×6×2÷2=12图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷，求四个三角形中最大的一个的面积。
6 7 52÷13×6=24 24-6=1852÷13×7=28 28-7=2118 21图中四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于O 点，如果三角形ABD 的面积是30平方厘米，三角形ABC 的面积是48平方厘米，三角形BCD 的面积是50平方厘米。
高思奥数导引小学三年级含详解答案第19讲鸡兔同笼问题二.
⾼思奥数导引⼩学三年级含详解答案第19讲鸡兔同笼问题⼆.第19讲鸡兔同笼问题⼆兴趣篇1、⼤卡车⼀次能运7吨⼟，⼩卡车⼀次能运4吨⼟。
现在有⼤⼩卡车70辆，⼀次恰好能运⼟400吨，请问：⼤卡车有多少辆？⼀辆卡车运粮⾷，每次能运5吨，晴天时每天能运8次，⾬天时每天只能运3次。
这辆卡车10天共运了325吨粮⾷。
在这10天中，晴天和⾬天各有⼏天？2、有若⼲只鸡和兔，其中鸡⽐兔多12只，它们⼀共有84条腿。
求鸡和兔各⾃的只数。
3、北京⼤学乒乓球馆内，⼀共有34⼈正在进⾏乒乓球⽐赛。
其中单打⽐赛的球台⽐双打⽐赛的球台多2张。
请问：⼀共有多少张球台正在进⾏⽐赛？4、有若⼲只鸡和兔，其中鸡和兔的数量⼀样多，兔的总腿数⽐鸡的总腿数多30条。
请问：鸡、兔各有多少只？5、癞蛤蟆和天鹅⼀块玩游戏。
癞蛤蟆⽐天鹅多12只，癞蛤蟆的总腿数⽐天鹅的总腿数多68条。
那么癞蛤蟆和天鹅各有多少只？6、癞蛤蟆和天鹅⼀块研究“鸡兔同笼”问题。
天鹅⽐癞蛤蟆多15只，癞蛤蟆的总腿数⽐天鹅的总腿数多36条。
那么癞蛤蟆和天鹅各有多少只？7、鸡兔同笼，鸡和兔共30只，鸡的总腿数和兔的总腿数⼀样多。
那么鸡和兔各有多少只？8、⼀群黄⿏狼给鸡拜年。
黄⿏狼和鸡⼀共有24只，鸡的总腿数⽐黄⿏狼的总腿数多18条。
求黄⿏狼和鸡各有⼏只？9、第⼆天，⼜有⼀群黄⿏狼给鸡拜年。
黄⿏狼和鸡⼀共有24只，黄⿏狼的总腿数⽐鸡的总腿数多54条。
求黄⿏狼和鸡各有⼏只？拓展篇1、体育课上，三年级⼀班的46名同学都在操场上玩球。
每个篮球有6名同学玩，每个排球有8名同学玩。
篮球和排球⼀共有7个。
问：玩排球的同学有多少⼈？2、集体劳动时，⼥⽣抬⼟，每2名⼥⽣⽤1根扁担抬1个筐；男⽣挑⼟，每1名男⽣⽤1根扁担挑2个筐。
3、有⼤、⼩猴共15只，它们⼀起去摘⽔蜜桃。
猴王在场监督的时候（猴王不摘，也不算在15只猴⼦内）⼀只⼤猴⼦每⼩时摘25个，⼀只⼩猴⼦每⼩时摘22个。
猴王不在的时候，每只猴⼦每⼩时都会少摘10个。
2011年学而思春季第三讲(格点与割补)
第三讲 格点与割补一、格点多边形满足两个条件1、顶点都在格点上2、图形的边是直线段二、格点多边形面积计算方法1：数格子方法2：分割法——把图形分割成若干个可直接计算面积的规则图形方法3：扩展法——把图形先扩展成易算面积的规则图形，再减去扩展的部分方法4：毕克公式若N表示内部的格点数，L表示边界上的格点数，S表示面积正方形格点 S = N + L÷2 -1三角形格点 S = （N + L÷2 -1）×2注意：公式所得结果为面积单位，即有多少个格子。
例1 略例2 计算格点多边形的面积解析：这是一个规则的三角形，可以直接用面积公式吗？好像不行，因为我们现在的知识还算不出相应边的长度，无法用面积公式。
如果分割成知道一条边长度的三角形不就可以了吗？ 分割法：如左图，连结辅助线，将原图分割成两个三角形，这 两个三角形都知道一天边，且高也很容易观察出。
上面的三角形：5×2÷2=5下面的三角形：5×2÷2=5共计：5+5=10（面积单位）如左图，将原图扩展为一个规则的长方形，再用长方形面积减去三个三角形A,B,C的面积即可。
长方形：6×4=24A：6×2÷2=6 B：4×2÷2=4 C：2×4÷2=4结果为：24‐6‐4‐4=10（面积单位）毕克公式法：8+6÷2‐1=10例3 已知相邻两个格点距离是1，求图形面积。
解析：本题需要注意的是，这是三个独立的图形组合而成的图形，所以最好是分开算，特别是想用毕克公式的同学，一定要分成三个图形用，不能看成一个图形用公式。
同学们自己练习一下吧，不管你用什么方法，看看结果对不对。
A=5 B=4 C=12 合计：5+4+12=21（尖子）学案2 图中每个小正方形的面积都是4平方厘米，求图中阴影部分的面积。
解析：第一个图可以分割为4个一样的三角形和中间的一个田字格。
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第19讲ﻩﻩ格点与割补内容概述明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积;掌握格点多边形的面积计算公式.典型问题兴趣篇1.图１9-ｌ中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米?答案：4平方厘米２平方厘米8平方厘米【分析】方法:正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L2-1)×单位正方形面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N＝0，L＝１0,则用粗线围成图形的面积为:(0+1０÷2－1)×１=４（平方厘米)有Ｎ＝0，Ｌ=10,则用粗线围成图形的面积为:（1＋4÷2-１)×1=2(平方厘米）有N=5,L=8,则用粗线围成图形的面积为:(5+8÷２－1)×１=8(平方厘米)2．图１９－2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米? 答案：5平方厘米5平方厘米0.５平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式:(N+L2－1）×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，Ｌ为图形周界上格点数.有Ｎ=4,L=4,则用粗线围成图形的面积为：（4+４÷２-1)×1=５(平方厘米) 有Ｎ=4,L=4，则用粗线围成图形的面积为:(4+4÷２－1)×1=５(平方厘米）有N=０,L=3，则用粗线围成图形的面积为:（0+3÷2－１）×１=0.５(平方厘米)3．图１9-3中每个小正方形的面积均为２平方厘米.阴影多边形的面积是多少平方厘米?答案:19平方厘米【分析】方法:交点组成了正方形格点,正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L2-１)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数.有N=7，L=１7,则用粗线围成图形的面积为：(7+7÷2-1)×2＝19(平方厘米)4．图1９-４是一个三角形点阵,其中能连出的最小的等边三角形的面积为ｌ平方厘米.三个多边形的面积分别为多少平方厘米?答案:6平方厘米６平方厘米14平方厘米【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：（2N+L－２)x单位正三角形面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=0,L=８,所以用粗线围成的图形的面积为:(０×2+８-2)×１=6(平方厘米).有Ｎ＝２，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(2×2+4-2)×1＝6(平方厘米）.有N=４，L=7,所以用粗线围成的图形的面积为：（4×2+7－2）×1＝１4(平方厘米).５．如图19-５所示,如果每个小等边三角形的面积都是１平方厘米．四边形ABCD和三角形EFＧ的面积分别是多少平方厘米?答案：20平方厘米10平方厘米【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式:（2N＋Ｌ-２)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N＝9,L=4,所以用粗线围成的图形的面积为：（９×2+4-2)×1=２0(平方厘米)．有N＝4,L=4，所以用粗线围成的图形的面积为:（4×2+4-2）×1=1０(平方厘米）．６．图１９－6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积.（单位：厘米)答案：32平方厘米【分析】3×２+2×4+（5-2)×(3＋1+２）=32７．如图19-７所示，在正方形A ＢＣD 内部有一个长方形.EFGH ．已知正方形A ＢＣＤ的边长是６厘米,图中线段ＡE 、AH 都等于2厘米.求长方形EFGH 的面积．答案：16平方厘米【分析】先算正方形面积６×６=36 再算左上角和右下角三角形面积２×2÷２×2＝4 后算左下角和右上角三角形面积４×4÷2×2＝16 ３6－４-1６=168．如图19-8所示,四边形ABCD 是长方形，长ＡD 等于７厘米,宽AB 等于5厘米，四边形C ＤＥF 是平行四边形.如果BH 的长是3厘米,那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？答案：２5平方厘米【分析】 CDEF S 平行四边形=DC×BC=5×7=35,HC=BC-B Ｈ＝7－3＝4，所以CDH S ＝12×CD×HC=12×5×４=10． S 阴影＝CDEF S 平行四边形-CDHS =35-１0=2５（平方厘米）.9.如图19-9所示，大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分,再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连.请问:图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?答案：50平方厘米【分析】如下图,我们将大正方形中的所有图形分成A、Ｂ两种三角形.其中含有Ａ形三角形8个,B形三角形１６个,其中阴影部分含有A形三角形４个，B形三角形８个．方形面积的12,即为12×１所以,阴影部分面积恰好为大正0×10=50(平方厘米)．10.在图19-10中,五个小正方形的边长都是２厘米,求三角形ABC的面积．答案:14平方厘米【分析】方法：转化为正方形格点,正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L2-1)×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,Ｌ为图形周界上格点数.有N=３,L＝３,则用粗线围成图形的面积为：（3+3÷2-１）×4=1４（平方厘米)拓展篇1. 图1９-1１中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为ｌ平方厘米.这三个多边形的面积分别是多少平方厘米?答案：7．5平方厘米 6.5平方厘米９平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：(Ｎ+L2-1)×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,Ｌ为图形周界上格点数．有N＝４,L=9,则用粗线围成图形的面积为:（4＋9÷２-１）×１=7.5(平方厘米）有N=３,L=9，则用粗线围成图形的面积为：(3＋９÷2-1)×１＝６．5(平方厘米)有N=4,L=12，则用粗线围成图形的面积为：(４＋１2÷２-1)×1=9(平方厘米)2．(１)图19-12中每个小正方形的面积是2平方厘米.阴影部分面积是多少平方厘米?(２）图1９-１３中每个小正三角形的面积是4平方厘米.阴影部分面积是多少平方厘米? 答案:１7平方厘米56平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2－1）×单位正方形面积，其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数.有N=3,L=13,则用粗线围成图形的面积为:（３+１３÷2-１)×２=17(平方厘米)【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+Ｌ-2)x单位正三角形面积,其中Ｎ为图形内格点数，L为图形周界上格点数.有N=4，Ｌ＝8，所以用粗线围成的图形的面积为:(4×2＋8-2)×４＝56(平方厘米）．3.图19－14中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？答案:１4平方厘米【分析】方法：可用公式先算出整个图形的面积,在减去中间空白部分的面积。
正方形格点阵中多边形面积公式：(N+L2-１)×单位正方形面积,其中Ｎ为图形内格点数，Ｌ为图形周界上格点数.有Ｎ＝21，L=8，则用粗线围成图形的面积为:(21＋8÷２-1）×１=24(平方厘米)有Ｎ=5，L=１2，则用粗线围成图形的面积为:（5+1２÷２-1）×1=10（平方厘米)２4-10=14平方厘米4.如图1９-１5和图19－1６，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分,并连接这些分点．已知图19-1５中阴影部分的面积是２94平方分米.请问：图19-16中的阴影部分的面积是多少平方分米?答案：200平方分米【分析】在图１9-1５中,原正三角形被分成２５个小正三角形，而阴影部分含有12个小正三角形,所以每个小正三角形的面积为294÷12=2４．5，所以原正三角形的面积为2４.5×２5=61２.5(平方分米)．而在图1９－16中，原正三角形被分成49块,而阴影部分含有1６块，所以阴影部分的面积为６1２．5÷49×16=2０0(平方分米)．5．如图1９－17，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？答案:32平方厘米【分析】在Ａ中做一条对角线，三角形会被平分为4部分，整个三角形面积为7２,在B中连接两条对角线，整个图形被分为9部分,B占四部分。
36×２=7２７２÷9×４＝32６.如图19-18所示,正六边形AＢCＤEF的面积是6平方厘米,M是ＡB中点，N是ＣD中点,P 是EＦ中点．请问:三角形MNP的面积是多少平方厘米？答案：2.25平方厘米【分析】如下图,我们将图19－1８分成大小、形状相同的三角形，有正六边形AＢCDEF包含有2４个小正三角形,而阴影部分ＭＮP包含有9个小正三角形.正六边形ABＣＤEF的面积为6,所以每个小正三角形的面积为6÷24=14,所以三角形ＭNP的面积为９×14=2.２5(平方厘米）.7．图19-19中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?答案:18平方厘米【分析】先算两个正方形面积４×４+6×６=52,再算两个空白三角形面积６×6÷２=18 4×(４+6)÷2=20 最后算左上角小阴影三角形面积4×(6-4)÷2=４52-18-2０+4=18８．图19-20中，三角形A ＢC 和ＤＥＦ是两个完全相同的等腰直角三角形,其中DF 长9厘米,CF 长３厘米,求阴影部分的面积.答案:27平方厘米【分析】 如图(ａ)，将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形.△ABC 占有9个小等腰三角形，其中阴影部分占有6个小等腰三角形,S ABC =9×９÷2=40.5(平方厘米),所以阴影部分的面积为40．5÷9×６=２7(平方厘米)9．图１9-21是一个边长为l 米的正方形和一个等腰梯形拼成的“火炬”．梯形的上底长1.５米,Ａ为上底的中点,Ｂ为下底的中点，线段AB 恰好是梯形的高,长为0.5米，C Ｄ长为０.3米．图中阴影部分的面积是多少平方米?答案:1724平方米 【分析】：将下图中一些点标上字母．延长ＡB 交正方形边E Ｆ于Ｈ点我们先求出梯形JI ＣK 与正方形ＩFEC 的面积和,再求出三角形A ＦH 与梯形AHED 的面积和,将前者与后者做差所得到的值即为所求阴影部分的面积JICK S 梯形=12×（1．５+1)×0.5=0.6２５，IFEC S 正方形=１×1=1．AFH S =12×AH ×ＦH=12×(A Ｂ+BH ）×(12ＦE)＝ 12×(0.5+1)-(12×1)=0．3７5，AHED S 梯形=12×(AH+DE)×HE=12×(AB+BH+CE -CD ）×（12FE)＝12×(0.5+1+1-13)×（12×１）=1324． 有S 阴影=JICK S 梯形+IFEC S 正方形-AFH S－AHED S 梯形＝0.６25＋ｌ-0.37５-1324=1724(平方米).即阴影部分的面积为1724平方米．10．在图１9-22中,每一个小正方形的面积都是1平方厘米．用粗线围成的图形面积是多少平方厘米?答案:６.5平方厘米【分析】 正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L 2－1)×单位正方形面积,其中Ｎ为图形内格点数，Ｌ为图形周界上格点数．有N ＝4，Ｌ=7,则用粗线围成图形的面积为：（4+72-１)×1=６.5(平方厘米)11.如图１9-2３,正方形网格的总面积等于９6平方厘米,求阴影图形的面积.答案:38平方厘米【分析】 先算每个小正方形面积：96÷（６×８）＝２平方厘米。