物理第二章 流体的运动
流体力学第2章流体运动学基本概念
10
→
→
→
→
对于任一流体质点，其速度可表示为：
r x y z v i j k vx i v y j vz k t t t t 其加速度可表示为：
用拉格朗日法描述流体运动看起来比较简 单，实际上函数B（a,b,c,t)一般是不容易找到的， 往往不能用统一的函数形式描述所有质点的物
理参数的变化。所以这种方法只在少数情况下
使用，在本书中主要使用欧拉法。
13
2.2.2 欧拉法（也叫场法）
基本思想：在确定的空间点上来考察流体的流动， 将流体的运动和物理参量直接表示为空间坐标和时间的 函数，而不是沿运动的轨迹去追踪流体质点。 例：在直角坐标系的任意点（x,y,z）来考察流体流 动，该点处流体的速度、密度和压力表示为： v=v(x,y,z,t)=vx(x,y,z,t)i+ vy(x,y,z,t)j+ vz(x,y,z,t)k
15
2.2.3 质点导数
定义：流体质点的物理量对于时间的变化率。
拉格朗日法中，由于直接给出了质点的物理量的表达 式，所以很容易求得物理量的质点导数表达式。
B B(a, b, c, t ) t t
如速度的质点导数（即加速度）为：
v ( a , b, c , t ) a ( a , b, c , t ) t
v v v vy vz 又由矢量运算公式：v v vx x y z
其中矢量算子 i j k 叫哈密顿算子 x y z
18
于是质点的速度增量可以表示为：
v v ( v v )t t
1理想流体 稳定流动
缓慢的水流
2-1理想流体 稳定流动
第二章流体的运动
二、稳定流动（steady flow）（定常流动）
1.稳定流动 一般流动：v（x、y、z、t） 稳定流动： v （ x、y、z） 2.流线(streamline) 在流场中画出的一些曲线, 曲线上的任意一点的切线 方向 , 与流过该点流体质 元的速度方向一致.
连续介质 将流体看作是大量的宏观小、微观大的流体质 元组成并研究其宏观行为 ,因此可忽略物体微 观结构的量子性,这种物质模型就是连续介质.
2-1理想流体 稳定流动
第二章流体的运动
流体运动的描述方法
统计公交车的客运量时,可采用两种方法: (1)在每辆公交车上设统计员,统计其在不同时 刻(站点)上下车的人数,称为随体法.
2-1理想流体 稳定流动
第二章流体的运动
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
注意：稳定流动的流线 （1）流线不能相交
流体流过不同形状障碍物的流线
（2）流线是不随时间而
变化的曲线
（3）流线与流体粒子的 运动轨迹重合
2-1理想流体 稳定流动
第二章流体的运动
3.流管（
(stream tube)
------由流线围成的管子。（假想的管子）
2-1理想流体 稳定流动
第二章流体的运动
第二章
2 - 0
2 - 1 2 - 2 2 - 3 2 – 4
流体的运动
稳定流动
简介
理想流体
伯努利方程 粘性流体的流动 粘性流体的运动规律
2 - 5
血液在循环系统中的流动
2-1理想流体 稳定流动
物态
第二章流体的运动
物体根据存在的形态分为固态、液态和气态.
流体力学2章讲稿
第二章 流体运动学只研究流体运动, 不涉及力、质量等与动力学有关的物理量。
§2.1 流体运动的描述 两种研究方法:(1)拉格朗日(Lagrange)法: 以流场中质点或质点系为研究对象, 从而进一步研究整个流体。
理论力学中使用的质点系力学方法，难测量，不适用于实用理论研究。
(2)欧拉(Euler)法: 将流过空间的流体物理参数赋予各空间点（构成流场），以空间各点为研究对象，研究其物理参数随时间t ，位置（x ，y ，z ）的变化规律。
易实验研究，流体力学的主要研究方法。
两种研究方法得到的结论形式不同，但结论的物理相同。
可通过一定公式转换。
1. 拉格朗日法有关结论质点： r=r （t ） dt d rV = dtd dt d V r a ==22x=x （t ） dt dxu = 22dtx d a x =y=y （t ） dtdyv = 22dt y d a y =p=p （t ） T=T （t ） .. .. .. .. .. .. .. .. 质点系：x=x （t,a,b,c ） p=p （t,a,b,c ） T=T （t,a,b,c ） .. .. .. .. .. .. .. ..(a, b, c)是质点系各质点在t ＝t 0时刻的坐标。
(a, b, c)不同值表不同质点2. 欧拉法物理量应是时间t 和空间点坐标x, y,z 的函数u ＝u(x, y, z, t) p ＝p(x, y, z, t) T ＝T(x, y, z, t) 3. 流体质点的随体导数！！流体质点的随体导数：流体质点物理参数对于时间的变化率。
简称为质点导数。
例：质点速度的随体导数（加速度）dt d V 质点分速度的随体导数dtdu质点压力的随体导数dtdp质点温度的随体导数dt dT.. .. .. .. .. .. 质点导数是拉格朗日法范畴的概念。
流体质点随体导数式---随体导数的欧拉表达式dt d V =z wy v x u t t∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂V V V V V V Vdt du =z u w y u v x u u t u u tu∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂Vdt dT =z T w y T v x T u t T T tT∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂V普遍形式： dt dF =z F w y F v x F u t F F tF∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂VF t )(∇⋅+∂∂=V证其一： dt d V =V V V∇⋅+∂∂t 由 dt d V=tt ∆-→∆V V 'lim 0因 V=V （x ，y , z,t ）V ’=V （x+Δx ，y+Δy ,z+Δz,t+Δt ）所以 V ’=V++∆∂∂x x V +∆∂∂y y V z z∆∂∂V t t ∆∂∂+V 代入上式得dt d V==∆∆∂∂+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆→∆tt z z y x xt tV V y V V lim 0V V V z V y V x V t V ∇⋅+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=tw v u 可见, 在欧拉法中质点速度的随体导数(即加速度)由两部分组成。
《流体力学》第二章流体静力学
p z C g
pa 4 3 真空 1
p2 g
p=0
z1
z3
2
z=0
p 为压强水头 g
z 为位置水头
2.3 重力场中的平衡流体 重要结论
p p0 gh
(1) 在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按线性 规律变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大。 (2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成： 一部分是自由液面上的压强P0；另一部分是该点到自由 液面的单位面积上的液柱重量ρgh。 (3)在静止液体中，位于同一深度(h＝常数)的各点的静 压强相等，即任一水平面都是等压面。
2.2 流体平衡微分方程 一、欧拉平衡方程
p dx 1 p dx 1 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
2 3
2
3
p dx 1 p dx 1 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
dA dA n
dF pdAn
F pdAn
A
流体静压力：作用在某一面积上的总压力； （矢量） 流体静压强：作用在某一面积上的平均压强或某一点的 （标量） 没有方向性 压强。
2.1 平衡流体上的作用力 证明：
z A
pn px
微元四面体受力分析
py
dx C x
dz O dy B y
y
p x p y p z pn
C x
pz
f
↑
z
表 面 力 质 量 力
1 d yd z 2 1 Py p y d zd x 2 1 P p d yd x z z 2 P n pn d A P x px
流体力学第二章 流体运动学基础
整理课件
5
2.1.1拉格朗日方法
流体力学第二章
✓ 拉格朗日方法是着眼于流体质点来描述流体的运动状态. 如何区别流体的质点呢?
➢ 质点标识----通常是用某时刻各质点的空间坐标（a,b,c） 来表征它们。
➢ 某时刻一般取运动刚开始的时间.以初始时刻流体质点 的坐标作为区分不同流体质点的标志.
拉格朗日方法的一般表达:
流体力学第二章
第二章
流体运动学基础
2021/6/29
整理课件
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第二章 流体运动学基础
流体力学第二章
✓ 流体运动学是运用几何的方法来研究流体的运动，通常不 考虑力和质量等因素的影响。
✓ 流体运动学是用几何学的观点来研究流体的运动规律，是 流体力学的一个组成部分。
✓ 本章的学习目标：
➢ 掌握描述流动的两种方法（拉格朗日法及欧拉法）， 结合迹线，流线，流管，流体线等显示流动特性的曲 线研究流动特性。
Vr
Vr r
V r
Vr
Vz
Vr z
V
2
r
ddVt
V t
Vr
V r
V r
V
Vz
V z
VrV r
dVz
dt
Vz t
Vr
Vz r
V r
Vz
Vz
Vz z
可得平面极坐标中加速度的表达式
Vz 0
ddVtr
Vr t
Vr
Vr r
V r
Vr
V
2
r
dV dt
V t
Vr
V r
V r
V
VrV r
2021/6/29
整理课件
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流体力学第二章
第二章 流体的运动
第二章流体的运动复杂的心脏流动模式可以利用速度场中假象粒子的轨迹直观地表示出来。
此图使用时间分辨三维相差磁共振成像技术通过粒子轨迹直观地表示了流入左心室的血流本章是用这些一般规律去研究适用于液体和气体流动的较为特殊的规律。
液体和气体的各部分之间可以有相对运动，因而没有固定的形状。
物体各部分之间可以有相对运动的特性，称为流动性。
具有流动性的物体，称为流体。
从具有流动性来看，液体和气体都是流体。
流体的运动规律在水利、电力、煤气和石油的输送等工程部门都有广泛的应用。
在人体生命活动中，也起着十分重要的作用。
本章研究流体运动的方法，选用欧拉法，即通过确定流体质元每一时刻在空间各点的密度和速度来描述流体的运动。
实际流体是复杂的，具有可压缩性和粘滞性，研究流体的运动时，可分为理想流体和粘性流体。
一般流体的运动也是复杂的，根据流体的运动状态可分为层流（即稳定流动）、湍流和过渡流。
实际流体及其运动都是复杂的。
实际流体具有可压缩性和粘滞性；一般实际流体运动时，流速是空间点(位置)及时间的函数，即v = f ( x ,y, z, t )。
但在某些问题中可以突出起作用的主要因素，忽略掉作用不大的次要因素，而使问题简化。
因此，提出流体的理想模型——绝对不可压缩、完全没有粘滞性的流体，称为理想流体。
把在流体中，各点质元流速不随时间改变的流动称为稳定流动(或定常流动)。
为了形象地描述流体的运动情况，引入流线和流管；为了便于描述流体在管道中运动，定义了横截面上的体积流量和平均速度等物理概念。
经分析得出不可压缩的流体、稳定流动时的运动规律——连续性方程。
可压缩性：流体的体积（或密度）随压力的大小而变化的性质，称为流体的可压缩性。
压力增大时，流体的体积减小：压力减小时，流体的体积增大。
液体的可压缩性很小；气体流动时，可压缩性可以忽略。
粘滞性：流体分层流动时，速度不同的各流层之间存在着沿分界面的切向摩擦力（即内摩擦力），流体的这种性质称为流体的粘滞性。
大学物理流体力学
A h
理想流体在同一流管的任一处，三种水头之和是常量
利用伯努利方程研究流体时，不用研究每一质点的运动状况， 而只需研究在流管中各个几何点上运动状态参量(p,v,h);即不需研 究过程。
四、方程的应用举例
1.小孔流速
的流动方向，因而不作功； 所以外力的总功是
a2 b2
v2 h2 p2 S2
A p1s1v1t p2s2v2t
因为流体不可压缩
所以 A p1 p2 Qt
作功的结果是使液柱的能量发生变化：a1 b1
E EK EP
1 2
m(v
2
2
v2 1
)
mg (h2
h1)
p1S1
v1
1 2
Qt
(v
2
2
因而截面大处流速小截面小处流速大。
三、伯努利方程方程 (理想流体)
• 1738年，伯努利在他的《流体动力学》中引 入了“势函数”这一概念，提出了实际的下降 和位势的升高的等同原理。他把这一思想用于 理想流体的运动，得出了著名的伯努利方程， 这一系列发现，已经突破了“活力守恒”的局 限，非常接近于现在所说的机械能守恒原理。
§2.1 理想流体 一、流体力学的基本概念 1.流速场 在有流体的空间中，每一点(x,y,z)上流体都有一速度
V(x,y,z) ，整个空间的速度矢量构成了----矢量场--空间每一点均有一定的流速矢量与之相对应的空间
注：1.流速场的空间分布随时间变化v= v(x,y,z,t) -----不定常流动
第2章 流体力学
• 流体看成连续介质是由无数个质点组成的质点系，在 外观上都无固定的形状和具有流动性，或者确切地说 它们在外力作用下能连续不断地变形。 有关流体质点 的概念不能与个别分子混为一谈，经典力学中质点是 一个含有足够分子数并具有确定的分子统计特性的分 子集合。基于连续介质概念的经典力学系统可以使我 们引用数学上的连续函数来描述流体运动，并用以表 示质点状态的参数如密度、压强和温度等，在度量上 也便于量测和标定，这无论在分析研究和实用上都是 很重要的。
第2章 流体的运动
医学物理学
第2章 流体的运动
由两处的高度差测得(ρ 由两处的高度差测得 ’为 管中工作液体的密度)： 管中工作液体的密度 ：
用于实际的皮托管
P − P = (ρ − ρ)gh A M
'
1 2 又因为：PA − PM = ρυ 2
所以：υ = 所以：
2( ρ ' − ρ )gh
ρ
医学物理学
第2章 流体的运动
医学物理学
第2章 流体的运动
第二章 流体的运动
医学物理学
第2章 流体的运动
本章教学要求： 本章教学要求：
（1）理解理想流体和稳定流动的概念 ） （2）掌握流体连续性方程及伯努利方程并能熟练应用。 ）掌握流体连续性方程及伯努利方程并能熟练应用。 （3）理解黏性流体的伯努利方程、层流、湍流、雷诺数 ）理解黏性流体的伯努利方程、层流、湍流、 和斯托克斯公式。 和斯托克斯公式。 （4）了解牛顿黏滞性定律，心脏作功、血液速度及血管 ）了解牛顿黏滞性定律，心脏作功、 中血压的分布以及血液流变学的基础知识。 中血压的分布以及血液流变学的基础知识。
SAυA = SBυB = Q
医学物理学
第2章 流体的运动
Q 0.12 -1 υA = = −2 ms = 12m/s S A 10
Q 0.12 υB = = −2 m/s = 20m/s SB 10
又由伯努利方程得： 又由伯努利方程得：
1 1 2 2 ρυ A + PA = ρυ B + PB + ρ ghB 2 2
医学物理学
第2章 流体的运动
第一节 理想流体 稳定流动 一、理想流体
• 为了突出流动性这一基本特性，引入理想 为了突出流动性这一基本特性， 流体这一概念： 流体这一概念： • 绝对不可压缩的完全没有黏性的流体。 绝对不可压缩的完全没有黏性的流体 的流体。
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5.97 104（Pa s m3 )
P QRf 1.00104 5.97104 5.97 (Pa)
可见与平均动脉压13.3kPa相比，主动脉的血压降落是微不 足道的
2、斯托克司定律
分析：当物体在粘性流体中作匀速运动时，物体表面附着一层 流体，此层流体随物体一起运动，因而与周围流层之间存在内 摩擦力，所以物体在运动过程中必须克服这一阻力。如果物体 是球形的，且流体对于球体作层流运动，则球体所受的阻力为
s 2 h(H h)
若有相同射程，即有s=s'
解得
h'=H-h
（3）要使s最大，只要求s的极大值即可
求得
最大射程为Ｈ
h H 2
三、压强与高度的关系（体位对血压的影响）
如果流体在等截面管中流动，其流速不变，由伯努力方程可得
P1 gh1 P2 gh2
高处压强小，低处压强大
解释体位对血压的影响 可见测血压要注意体位
f 6vR
斯托克司定律
说明：R是球体的半径，v是球体相对于流体的流速， η是 流体的粘度
设在粘性流体内一半径为R的小球受重力作用而下沉，
小球所受合力为
F 4 R3 g 4 R3g 6vR
3
3
小球在合力作用下加速下沉，速度增加，同时随速度增加， 阻力也愈来愈大，最后合力为零，它将作匀速运动。此时有
3、雷诺数 雷诺数Re 说明：
Re vr
（1）Re < 1000时，流体作层流
（2）Re > 1500时，流体作湍流
（3）1000 < Re < 1500时，流体流动不稳定
例2-3 主动脉的内半径为0.01m，血液的流速、粘度、密度
分别为0.25m/s 、0.003Pa.s、1050kg/m3 ，求雷诺数并判断
第四节 粘性流体的流动
一、粘性流体的运动
1、层流和湍流
层流：粘性液体的分层流动，相邻两层之间 只作相对滑动，流层间没有横向滑动，机械 能不守恒，轴线上速度最大，管壁最小。
图2-11 粘性流体的流动
湍流：当液体在管中流速很大时，液体的流动不再保持分 层流动状态，而变成无规则的运动，这时流体的流动有垂 直管轴的分速度，而且还会出现涡流，整个流动显得杂乱 而不稳定
在稳定流动中，假设一段细流管，且任一截面上的各物理量都 可以看成均匀的，即（ρ1、S1、v1）和（ ρ 2、S2、v2） 经过 t时间，通过截面S1流入流管质量为
m1 1(v1t)S1 1S1v1t
经过 t时间，通过截面S2流出流管质量为
m2 2 (v2t)S2 2S2v2t
根据质量守恒原则及稳定流动的特点有m1=m2，即
都有粘性，很多流体的粘性小，在小范 围流动时，粘性造成的影响可以忽略。
理想流体：绝对不可压缩、完全没有粘滞性
二、稳定流动
研究流体运动的方法有两种
拉格朗日法： 将流体分成许多无穷小的流体质元，跟踪并研究每一个 流体质元的运动情况，求出它们各自的运动轨迹和流动速度。 这实际上是沿用质点动力学的方法来讨论流体的运动。
P Q
Rf
式中
Rf
8L R 4
称为流阻
其物理意义是：当粘性流体流过一个水平均匀细管时，体积 流量与管子两端的压强差成正比，而与流阻成反比。
值得注意的是，流阻与管半径的四次方成反比，半径的微小 变化就会对流阻造成很大的影响。血管可以收缩和舒张，其 半径变化对血液流量的影响是很显著的。
流阻的单位： 流阻的串并联
W F1v1t F2v2t P1S1v1t P2S2v2t
W P1V P2V
故当流体从XY流到X'Y'时的机械能增量为：
E
E2
E1
(1 2
mv22
mgh2 )
(1 2
mv12
mgh1)
由功能原理有： W= E
P1V
P2V
(1 2
mv22
mgh2
)
(
1 2
mv12
mgh1)
最后整理得：
解：根据连续性方程有
SAvA SBvB
vA
Q SA
0.12 10 2
12(m / s)
vB
Q SB
0.12 0.6 102
20(m / s)
又根据伯努力方程有
PA
ghA
1 2
v A 2
PB
ghB
1 2
vB 2
PB
PA
ghA
1 2
v A2
ghB
1 2
vB 2
PA
g (h A
hB )
1 2
v A2
图2-8 文特利管
粗、细两处各物理量见图所示，根据伯努力方程有
P1
1 2
v12
P2
1 2
v2 2
由连续性方程有 S1v1 S2v2
由图可知 P1 P2 ( )gh
由以上3式，解得流量为
Q S1v1 S2v2 S1S2
2( )gh (S12 S22 )
二、流速和高度的关系（小孔流速）
实际上水柱自小孔流出时截面有所收缩，用有效截面S'代 替S，则有
Q Sv S 2gh
例2-2 一开口水槽中的水深为H，如图例2-2所示。在水面下h 深处开一小孔。问：（1）射出的水流在地板上的射程S是多 大?（2）在水槽的其他深度处，能否再开一小孔，其射出的 水流有相同的射程？（3）小孔开在水面下的深度h多大时， 射程最远？射程多长？
（6）水平管：当h1=h2，有：
P 1 v2 常量
2
即流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。
例2-1 设有流量为0.12m3 s-1 的水流过一管子，A点的压强为 2×105Pa，A点的截面积为100cm2，B点的截面积为60cm2，B 点比A点高2 m。假设水的内摩察力可以忽略不计，求A、B点 的流速和B点压强。
第二章 流体的运动
流体：包括气体、液体
流体的基本特征：流动性，无固定形状 流体运动的学科称为流体动力学 ？理想流体、稳定流动
连续性方程、伯努利方程 ？？实际流体
粘性、雷诺数、粘性流体的运动规律
第一节 理想流体 稳定流动
一、理想流体 实际流体
可缩体，体积随压强不同 而改变。液体的体 积变化小，气体的体积变化大。
3、单位时间内体积流量：
V=Sv（单位：m3/s）
4、S与v成反比，S大v小，S小v大。
5、流管有分支时：
Sv S1v1 S2v2
二、伯努力方程
1、伯努力方程的推导
利用功能原理来进行推导 截取一段流体XY作研究对象
各物理量见图所示，经过 t时 间变为X'和Y'
F1=P1S1 F2=P2S2 故当流体从XY流到X'Y'时外力所作功为：
流管：在流体中作一微小的闭合曲线，通过其上各点的流线所 围成的细管
2、稳定流动 流线上任一点速度大小、方向都不随时间变化，即流线的形
状保持不变 流线即流体质元的运动轨迹
3、性质 （1）流线不能相交 （2）在某一流管内，外面流线不能流进来，里面流线不能流
出去
第二节 连续性方程 伯努利方程
一、理想流体的连续性方程
2、牛顿粘滞定律 f S dv 牛顿粘滞定律
dx
说明：
图2-12 粘性力 速 度梯度
（1）dv/dx表示速度梯度，S表示层与层的接触面积，η为流体的粘度 （2）粘度的物理意义：速度梯度为1时，单位面积上的粘滞阻力 （3）粘度的单位：Pa.s （4）粘度的大小由流体的性质和温度决定 （5）牛顿流体和非牛顿流体：遵守牛顿粘滞定律的流体为牛顿流体，如水 和血浆；不遵守牛顿粘滞定律的流体为非牛顿流体，如血液
Pa s m3
R f R f 1 R f 2 R fn
1 1 1 1
Rf Rf1 Rf2
R fn
例2-4 成年人主动脉的半径为。问在一段距离内的流阻和压 强降落是多少？设血流量为 ， 1.00104 m3 s1 3.0 10 3 Pa s
解：
Rf
8L
R 4
8 3.0 103 0.2
1 2
vB 2
5.24 104 (Pa)
第三节 伯努利方程的应用
一、压强与流速的关系
水平管中作稳定流动时
P 1 v2 常量
2
即流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。
1、空吸作用
A处和C处的横截面积远大于B处的横截面积。在A处 加一个外力使管中流体由A向B 处流动。B处的流速必 远大于A处和C处的流速，B处的压强小。若增加流管 中流体的流速，可以使B 处的流速增到很大，而使B 处的压强很小，于是D容器中的流体因受大气压强的 作用被压缩到B处，而被水平管中的流体带走。这种 作用叫空吸作用。
图2-13 粘性流体在水平管中的压强分布
结论：要使粘性流体匀速流体，两
端必须有压强差
1、泊肃叶公式 粘性流体在等截面水平细管作稳定流动时，如果雷诺数
不大，则流动的形态是层流。
泊肃叶公式： 说明：
图2-14 泊肃叶公式的 推导
Q R 4P 8L
式中R是管子的半径，η是流体的粘度，L是管子的长度。
泊肃叶公式又可写成如下形式
图2-9 小孔流速
对于任一流线，由伯努利方程得
由上式得
p0
gh
p0
1 2
v 2
v 2gh
结果表明，小孔处流速和物体自高度h处自由下落得到的速 度是相同的。这一关系是意大利物理学理学家、数学家托里 斥利（(E.Torricelli)首先发现的，又称为托里斥利定理。它 反映了压强不变时，理想流体稳定流动过程中，流体重力势 能与动能之间的转换关系。
欧拉法： 把注意力集中到各空间点，观察流体质元经过每个空间 点的流速、压强、密度等物理量，寻求它的空间分布随时 间的演化规律。