研究生数理统计课程设计(大作业)

人均GDP 与民用小型载客汽车拥有量的线性回归分析

摘 要：随着生产力的不断提高，人们的物质生活水平不断改善，与此同时，汽车的拥有量也不断提高。本文研究人均GDP 与汽车拥有量之间是否有显著线性关系。分析两者的关系有助于增加对社会的认识和政策的制定。在人均GDP 与汽车拥有量之间的线性方程中，采用一元线性回归分析的分析方法，同时对MATLAB 在线性回归分析中的应用进行了初步的探讨。分别介绍了常规计算法与用MATLAB 计算法进行回归分析的方法与步骤，并对模型进行了显著性检验，试验结果表明两者之间具有显著的线性相关关系。

关键字：人均GDP 汽车拥有量 一元线性回归分析 常规计算法 MATLAB 一、 数据描述

表1.1 重庆人均GDP 与民用小型载客汽车拥有量

以上数据来源于是中国统计局网以及重庆市统计局网的《重庆统计年鉴》、《中国区域经济统计年鉴》，真实可靠。 二、 模型建立

2.1 提出假设条件，明确概念，引进参数

回归函数()(|)y f x E Y X x ===是线性函数的回归分析称为线性回归，当可控制变量只有一个时，即回归函数为01()y f x x ββ==+，则

012

~(0,)

Y x N ββε

εσ=++

称为一元线性回归模型，上式称为Y 对x 的一元线性回归方程或者一元线性回归直线，0β、1β称为回归系数，常数0β、1β、2σ均未知。 2.2 模型构建

由于总体回归方程01()y f x x ββ==+中的参数0β、1β在实际中并不知道，

需要通过样本值对它们进行估计，得到估计值0ˆβ，1ˆβ，从而得到样本回归方程01

ˆˆY x ββ=+，此样本方程可用作总体回归方程()(|)y f x E Y X x ===的估计。 通常可用最小二乘法估计得到公式

1

1

2

1

01

()()

ˆ()

ˆˆn

i

i

i n

i

i x x y y x x y x βββ==--=-=-∑∑ 其中11n i i x x n ==∑，1

1n

i i y y n ==∑

2.3 模型求解与模型检验 2.

3.1模型求解

（1）设不同的人均GDP(千元)为X ，对应的民用小型载客汽车拥有量（万辆）为Y 。做出人均GDP 与民用小型载客汽车拥有量的散点图，如图所示。

图2.1 不同人均GDP与民用小型载客汽车拥有量的散点图

该图形显示不同人均GDP与民用小型载客汽车拥有量存在线性相关系。（2）显示不同人均GDP与民用小型载客汽车拥有量

由表得 x = 15.41，

y =33.44，

8

1

8xy i i i l x y x y ==-⋅∑= 1001.64

8

2

21

8xx i i l x x ==-∑=439.26

8

2

2

1

8yy i

i l y y ==-∑= 2976.08

1xy

xx l l β∧

=

=2.93

01y x ββ∧

∧

=-=-11.91

222

2

1E T R yy xx S S S l l

β∧=-=-=

3000.05

σ∧

=

=22.36

所以，吸光人均GDP 与民用小型载客汽车拥有量的样本回归直线方程是

Y=-11.91+2.93x 2.3.2 模型检验原理

由1xy xx l β∧=，01y x ββ∧∧

=-可知，不管Y 与X 是否有线性相关关系，只要给定一组不完全相同的数据就能得到一条样本回归直线。显然，如果Y 与X 之间的不存在线性相关关系，那么寻求回归直线就失去了实际意义。因此，使用样本回归直线前需要对Y 与X 之间的线性关系、样本回归直线拟合效果进行检验。

从线性回归模型可见，若1β越大，Y 随X 的变化的趋势就越明显；反之，若1β越小，Y 随X 的变化就越不明显。特别是，当10β=时，则表明无论X 如何变化Y 的值都不受影响，因而Y 与X 之间不存在线性相关关系。当10β≠时，则认为Y 与X 之间有线性相关关系。 三、 计算方法涉及和计算机实现

3.1 用MATLAB 实现

MATLAB 是由英文Matrix Laboratory （矩阵实验室）的缩写组成，它是由美国

Math Works 公司推出的用于数值计算和图形处理的科学计算系统环境。MATLAB

软件具有强大的数学运算能力、方便使用的绘图功能及语言的高度集成性，因此它已经成为国际上科学与工程计算类最流行的工具软件之一。

输入源代码1，运行界面如下：

得到了人均GDP与民用小型载客汽车拥有量的散点图如下：

图4.1 不同人均GDP与民用小型载客汽车拥有量的散点图通过输入源代码2，运行界面如下：

从而得到线性回归直线：Y=-11.93+2.94x 主要的结论

比较上述两种方法可以看出，用第一种方法计算时只适量于样本数较小而且数据较简单的情况，若牵涉到较复杂的类型时，采用MATLAB 求解要简单得多,且能很快画出相应的拟合曲线，但由于目前MATLAB 在高校中还没有普及且对硬件设施的要求较高，所以也仍存在它的局限性。 四、 四 结果分析与检验

4.1 结果分析.

人均GDP 与汽车拥有量有线性相关性。

4.2 检验

取显著水平α=0.05

原假设01:0H β=， 备择假设：11:0H β≠用F 检验法： 因为

()2

11,n 2xx

F c l ασ∧

--=

=

()

2

0.951,6xx

F l σ∧=2.59

拒绝域为K 0:{β12 >c} 而β12=8.64>2.59

应拒绝0H ，也就认为人均GDP 与汽车拥有量显著的线性相关关系。 参考文献

[1] 孙莉.一元线性回归分析在实验数据处理中的应用.2002,42(3、4), 47-48. [2] 杨伍梅.MATLAB 在回归分析中的应用.高等函授学报(自然科学版)，2008.10 [3] 宋明顺.回归分析中的自相关检验和建模.计量技术,1998(2),43-45. [4] 王漠然.MATLAB 与科学计算[M].北京：电子工业出版社，2003. [5] 杨虎.数理统计[M].北京：高等教育出版社，2006.