哈工大泛函考试题

P9-3 设A 为可列集，B 是有A 的有限子集构成的集合，证明B 可列。

证：记C n n C A A C⎧⎫⊂⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭且只有个元素则1nn B A ∞== ，设12,(,,,),in i j k N F k k k k k i j ⎧⎫∈⎪⎪=⎨⎬≠≠⎪⎪⎩⎭且则F 是可列集，对n A 中的每个元{}12,,n k k k a a a 素，令其对应于F 中的元素{}12,n k k k ，则nA 与F 中的一个子集对等，故nA 也是可列集，故B 也是可列集P9-6 证明以有理数为圆心且以有理数为半径的区间全体是可列集。

证：设{}12,,Q r r = ，用ij I 表示以i r 为中心，以jr 为半径的区间，则{},ij I I i j N =∈，令{}(,),i j i jB r r r r Q Q Q =∈=⨯是可列集，做映射:,()(,),,ij i j I B I r r i j N ψψ→=∈则ψ为一一映射，因而I 与B 的一个子集对等，由于B 为可列集，故I 也为可列集。

P16-8、对于点列,n x R ∈若11,1,2,...,2n n nx x n +-≤=求证n x 是cauchy 列。

犹若1lim 0n n n x x -→∞-=，问n x 是否一定为Cauchy 列？证：1）先证{}n x 为Cauchy 列。

由于对,n p N ∀∈有11111111...111(12)1221(12)2n p n p n p n n p n n np n p n p i i i n i ni nx x x x x x x x x x ++-++-+++-+-+-==-+-=--+--≤-≤=≤-∑∑而11lim0,2n n -→∞=故0,ε∀>00,N ∃>当n N >时有112n ε-<因而对,p N ∀∈当0n N >时，有112n ε-<因而对,p N ∀∈当0n N >时，有112n p n n x x ε+--≤<因此{}n x 为Cauchy 列。

2）若1lim 0n n n x x -→∞-=，{}n x 未必为Cauchy 列。

例如，定义11nnk x k==∑显然1112n pn p n k n p x x k n p ε++=+-=≥==+∑，因此{}nx不是Cauchy 列P 241、证明1()sinf x x=在（0,1）内不一致连续。

证明：取01,0,2εδ=∀>取1211,222x x k k πππ==+，当k充分大时，12121,()()0112x x f x f x δ-<-=-=>，所以不一致连续 P40-5 计算：21lim nx x edx -→∞⎰。

解：21limnx x edx -→∞⎰ =1lim 210=⎰∞→dx enxnP24证明：13()f x x =在[0,)∞上一致连续。

对于12,(0,)x x ∀∈+∞，1/31/32/31/31/32/31212112231/31/31/31/321/31/31/31/312121212()()3x x x xx x x x x x x x x x x x -=-++⎡⎤=--+≥-⎣⎦1/31/31/31212xxx x ⇒-≤-于是，0,ε∀>取3δε=，当12,(0,)x x ∈+∞且12x x δ-<时1/31/31/312x x δε-≤=故1/3()f x x =在(0,)+∞上是一致连续的。

P24-7 证明：11()xn f x n ∞==∑在[1,)+∞内连续，并且他有各阶连续导数。

证取[][]11,(1,),,,x a a b x a b n n ⊂+∞≤∀∈，而且11a n n∞=∑收敛。

证明：1()nxn f x ne ∞-==∑在(0,)+∞内连续。

证：111()()()1nxnx n n xnx xn nee ee e ∞∞--==-∞--='=-='-=--∑∑∑，任取[,](0,)a b ⊂+∞由比较原则1nan ne∞-=∑收敛的，而且[,]x a b ∀∈，都有||nx na ne ne --≤，所以。

Page40-4计算：。

1220lim 1n nx dxn x →∞+⎰解：122220[0,1]22[0,1]lim lim 11lim 01n n n nx nxdx dx n x n x nxdx n x →∞→∞→∞=++==+⎰⎰⎰2212n x nx+≥则221||122nx nx n x nx ≤=+ P45-5 设(),()f x g x 在(0,1)内为非负函数，11222,(0,1)fg L ∈，且在(0,1)几乎处处成立1()()x f x g x -≤求证：114()()f x dx g x dx ≤⎰⎰证明：由于g f ,为（0,1）内非负可测函数，且)1,0(,22121L g f ∈，故由Holder 不等式知：21121121121))(())(()()(dm x g dm x f dm x g x f ⎰⎰⎰≤ 即))()()(())()((1102211021dm x g dm x f dm x g x f ⎰⎰⎰≤又由于在（0,1）上几乎处处成立)()(1x g x f x ≤-，即)()(212121x g x f x ≤-因此可知：1111122222011()(()())(())(())x dx f x g x dm f x dm g x dm -≤≤⎰⎰⎰⎰而2211021==⎰-x dx x故1104()()f x dx g x dx ≤⎰⎰设x 是度量空间，在x 中若x n →x(n →∞)，y n →y(n →∞)，证明ρ(x n ,y n ) →ρ(x,y)[证] 由已知有ρ(x n ,x) →0,ρ(y n ,y) →0,n →∞。

因为ρ(x n ,y n )≤ρ(x n ,x)+ ρ(x,y)+ ρ(y n ,y)所以 ρ(x n ,y n )-ρ(x n ,x) ≤ρ(x,y)+ ρ(y n ,y) (1)又因为 ρ(x,y)≤ρ(x n ,x)+ ρ(x n ,y n ) + ρ(y n ,y) 所以 ρ(x,y) - ρ(x n ,y n ) ≤ρ(x n ,x)+ ρ(y n ,y) (2)于是，由(1)， (2)可知0≤|ρ(x n ,y n ) -ρ(x,y) |≤ρ(x n,x)+ ρ(y n ,y) →0， n →∞故ρ(x n ,y n ) →ρ(x,y)，n →∞P45-6 证明：2211n n k k k k t n t ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑。

[证]在离散型Holder 不等式中：11111p q pqnnnn n n n ab a b ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑令p=q=1/2,1,2,.,1,1,2,,0,0,k k k t k n k na b k n k n==⎧⎧==⎨⎨>>⎩⎩ ,则有2221112222211111(1)()1n n k kk k k k k n n n k k k k k k k k k t t a b a b t n t ∞===∞∞=====⎛⎫=⋅=≤ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑ P58-5设X 是一度量空间，F X ⊂是一个非空闭集，对x X ∈，记作inf{(,):}(,)p x y y F x F ρ∈=,证明：任意r>0{:(,)}x X x F r ρ∈<是开集。

证 要证A=实开集，只需正A c=是闭集。

设且，下证，由的定义可知而且，于对任意的两把取极限得由y 的任意性可知，即P72-5 设X 使完备度量空间，:X T X →，如果()n n ρT x,T y a inf sup1ρ(x,y)x y≠=<证明T 存在唯一的不动点。

证 因为()n n ρT x,T y a inf sup1ρ(x,y)x y≠=<，由下确界定义，，使得()n n ρT x,T y sup1ρ(x,y)x yβ≠=<于是对，有()n0n0ρT x,T y 1ρ(x,y)β≤<即()n0n0ρT x,T y (,)x y βρ≤，其中1β<，因而0n T 为压缩映像，由Banach 压缩映像定理，0n T 存在唯一一个不动点P85-3.在连续函数空间C[0,1]上定义两个范数，()11221()ff x dx=⎰，()11221()(1)f f x x dx=+⎰，证明1⋅与2⋅等价。

证明：显然()()11221220112210()()()22ffff x Hx dx f x dx f ≤=≤⋅=⎰⎰，所以两者等价。

任2[-1,1]x L ∈,求x 在M上的投影。

解：对于2[1,1]f L ∀∈-,令12()()()()()()22f t f t f t f t f t f t +---==,，。

显然，12f f f =+，1f ∈M ，2f ∈M ⊥。

由2L M M ⊥=⊕与直和分解的唯一性可知：f在M 上的投影为：1()()()2f t f t f t +-=。

P134-3 设X 为内积空间，,v u X ∈，对任何X x ∈有,,,x u x v =证明u=v.证明：由已知得，对任何X ∈x 有 0,,,=-=-v x u x v u x ，令x=u-v,则有0,2=-=--vu u v u x ，故u=v.P93-4.设X 为所有有界数列组成的线性空间，范数为()1sup {}i i i x a x a ≥==。

给定无穷矩阵()ijT t =满足1sup ij ij t ∞=<+∞∑，定义算子:TX X →为Tx y =，其中{}i x a =，{}i y a =且。

证明：(,)T L X X ∈且1sup ijij T t ∞==∑证明：显然T 是线性算子，设{}i x a x =∈，则由T 的定义可知，11111sup sup sup (sup )sup ij j ij j iij j ij k ijik ij j Tx t a t a t a x t ∞∞==∞∞≥===≤≤=∑∑∑∑，所以 (,)T L x x ∈。

当1x ≤时，1sup ijij Tx t ∞=≤∑，于是1sup ijij T t ∞=≤∑，另一方面，定义()kikj asign t =，{}1k k j j x a∞==，显然kx 是有界数列，且1,1,2k x k ==于是111su p s u p kk ki jj k j j k j iij j j Tx t a t a t ∞∞∞====≥=∑∑∑于是11sup sup sup kkjkj k kkj j Tx t T t ∞∞==≥⇒≥∑∑，所以结论成立。