泛函分析考试试卷自制试卷
泛函分析基础试卷参考答案
又对en{0,, 0, 1, 0,, }X, || en||1,
|| T ||sup|| x ||1|| T x |||| T en|||| {0,, 0, an, 0,} || = | an|(5分)
所以|| T ||supn| an|M.
所以|| T ||M.(3分)
所以2A x, y0x, yH
所以A x0xH
所以A0.(5分)
4.证明无穷维赋范线性空间X的共轭空间X '也是无穷空间.
证设{ x1, x2,}是X中线性无关向量,
由Hnha-Banach定理
存在f1X ', f1(x1)0,
存在f2X ', f2(x2)0, f2(x1)0
存在f3X ', f3(x3)0, f3(x1)f3(x2)0
所以(T), (5分)
对[0, 1],定义线性算子T : XX,对xC [0, 1]
(T x) (t) x (t)t[0, 1]
由|| T x ||maxt[ 0, 1]| x (t) |
maxt[ 0, 1]| x (t) |
|| x ||
所以T有界.且
T (AI)(AI) TI
所以(A),
所以(A)[0, 1]. (5分)
令SB1A1B (XX),则
S TB1A1ABI, A B B1A1I (2分)
所以ST1,所以T是正则算子. (1分)
二.以下各题每题15分,共75分
1.设X是度量空间, {xn}是X中Cauchy列,证明若存在{xn}的收敛子列{xn k},则{xn}收敛.
证设xX, xn kx (k)
对任何> 0,存在K, k > K时,
泛函分析考试题型及答案
泛函分析考试题型及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设函数空间E为所有连续函数的集合，定义泛函F(u)=∫₀¹u(x)dx，则F(u)是线性的。
A. 正确B. 错误答案：A2. 每一个线性泛函都可以表示为一个内积。
A. 正确B. 错误答案：B3. 泛函分析中的“泛函”一词指的是函数的函数。
A. 正确B. 错误答案：A4. 弱收敛和强收敛是等价的。
A. 正确B. 错误答案：B5. 紧算子总是有界算子。
A. 正确B. 错误答案：A6. 每一个闭算子都是有界的。
A. 正确B. 错误答案：B7. 每一个有界线性算子都是紧算子。
A. 正确B. 错误答案：B8. 每一个线性泛函都可以用Riesz表示定理表示。
A. 正确B. 错误答案：A9. 每一个线性算子都可以分解为一个紧算子和一个有界算子的和。
A. 正确B. 错误答案：B10. 每一个线性算子都可以分解为一个有界算子和一个紧算子的和。
A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设X是赋范线性空间，如果对于X中的每一个序列{x_n}，都有‖x_n‖→0当且仅当x_n→0，则称X是______空间。
答案：完备2. 设T是线性算子，如果T(X)是X的闭子空间，则称T是______算子。
答案：闭3. 设E是Hilbert空间，如果对于每一个x∈E，都有∥Tx∥≥∥x∥，则称T是______算子。
答案：正4. 设E是Banach空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑‖x_n‖<∞当且仅当∑x_n收敛，则称E是______空间。
答案：自反5. 设E是线性空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑x_n收敛当且仅当∑‖x_n‖<∞，则称E是______空间。
答案：序列完备三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述Hahn-Banach定理的内容。
答案：Hahn-Banach定理指出，如果X是一个赋范线性空间，p是X 的一个线性子空间，f是p上的一个线性泛函，并且存在一个常数M使得对于所有x∈p，有|f(x)|≤M‖x‖，则存在X上的一个线性泛函F，使得F|p=f，并且对于所有x∈X，有|F(x)|≤M‖x‖。
泛函分析试题
1． 对于积分方程()()()1t s x t e x t ds y t λ--=⎰为一给定的函数，λ为常数，1λ<，求证存在唯一解()[]0,1x t ∈。
2．设s 为一切实（或复）数列组成的集合，在s 中定义距离为()11,21+k kkk k kx y ξηρξη=-=-∑，其中，()()11,,,=,,n n x y ξξηη=⋅⋅⋅⋅⋅⋅。
求证s 为一完备的距离空间。
3．在完备的度量空间(),x ρ中给定点列{}n x ，如果任意的0ε>，存在基本列{}n y ，使(),0n n x y ρ<。
求证{}n x 收敛。
4． 证明内积空间()(),,x 是严格凸的*B 空间5．为了()F C M ⊂使一个列紧集，必须且仅需F 是一致有界的且等度连续的函数族。
6． 设(),A x y ϕ∈，求证（1）.1sup x A AX≤=，（2）1sup x A AX<=。
7．设X 是一个Hilbert 空间，(),a x y 是X 上的共轭双线性函数，并存在0M>，使得(),a x y M x y≤，则存在唯一的()A x ϕ∈，使得()(),,a x y x Ay =且()(),0,0,supx y X Xx y a x y A x y∈⨯≠≠=。
8． 求证()2f L ∀∈Ω，方程()0u f u ∂Ω⎧-∆=Ω⎪⎨=⎪⎩在内若解存在唯一。
9．设X 是复线性空间，P 是X 上的半模，()00,0x X x ρ∀∈≠。
求证存在X 上的线性泛函f 满足()()01.1f x =，()()()()02.x f x x ρρ≤。
10． 叙述开映象定理并给出证明。
11． 叙述共鸣定理并给出证明。
(完整word版)泛函分析试卷
泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分）1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）.A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）.A. 0等价于0且,0==≥x x xB.()数复为任意实,αααx x =C. y x y x +≤+D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有11p q+的值为（ ）.A. 1-B.12 C. 1 D. 12- 二、填空题（每个3分，共15分）1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。
2、任何赋范线性空间的共轭空间是（ ）。
3、1l 的共轭空间是（ ）。
4、设X按内积空间<x,y>成为内积空间，则对于X中任意向量x,y 成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。
5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。
三、判断题（每个3分，共15分）1、设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。
( )2、距离空间中的列紧集都是可分的。
( )3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。
( )4、任何一个Hilbert空间都有正交基。
泛函分析考试试卷自制试卷
泛函分析考试试卷一、选择题。
1、下列说法不正确的是（）A、 n维欧式空间R n 是可分空间B、全体有理数集为R n 的可数稠密子集C、 l∞是不可分空间D、若X为不可数集则离散度量空间X是可分的答案：D2、设T是度量空间(X,d）到度量空间（Y，d~）的映射，那么T在x0ЄX连续的充要条件是（）A、当x n→x0（n→∞）时，必有Tx n→Tx0（n→∞）B、当x n→x0（n→∞）时，必有Tx0→Tx n（n→∞）C、当x0→x n（n→∞）时，必有Tx n→Tx0（n→∞）D、当x n→x0（n→0）时，必有Tx n→Tx0（n→0）答案：D3、在度量空间中有（）A、柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列B、柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列C、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列D、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列答案：C4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是（）A、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间B、L p[a，b]（p≥1）是巴拿赫空间C、空间l p是巴拿赫空间D、赋范线性空间的共轭空间不是巴拿赫空间答案：D5、下列对共轭算子性质描述错误的是（）A、（A+B)*=A*+B*;B、(A*)*=A**C、当X=Y时,(AB)*=B*A*D、（aA)*=a A*答案：B二、填空题1、度量空间X到Y中的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中的任意开集M为。
答案：原像T-1M是X中的开集2、设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充要条件是T 是X上的。
答案：连续算子。
3、若T为复内积空间X上有界线性算子，那么T=0的充要条件是对一切xЄX有。
答案：（Tx，x）=04、有界线性算子T的共轭算子T×也是有界线性算子，并且T T。
答案：=5、设{f n}是巴拿赫空间X上的一列泛函，如果{f n}在X的每点x处有界，那么{f n} 。
(完整word版)泛函分析试题B
(完整word 版)泛函分析试题B试卷第 1 页 共 1 页 泛函分析期末考试试卷 （B ）卷一、填空题（每小题3分，共15分）1.设X =(,)X d 是度量空间，{}n x 是X 中点列，如果____________________________, 则称{}n x 是X 中的收敛点列。
2. 设X 是赋范线性空间，f 是X 上线性泛函，那么f 的零空间()N f 是X 中的闭子空间的充要条件为_____________________________。
3. T 为赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 中的线性算子， 如果_________________, 则称T 是同构映射。
4. 设X 是实Hilbert 空间，对X 中任何两个向量,x y X ∈满足的极化恒等式公式为：___________________________________________。
5. 设X 是赋范线性空间，X '是X 的共轭空间，泛函列(1,2,)n f X n '∈=，如果_______________________________________________,则称点列{}n f 强收敛于f 。
二、计算题（共20分）叙述(1)p l p <<+∞空间的定义，并求p l 的共轭空间。
三、证明题（共65分）1、（12分）叙述并证明空间(1)p l p >中的Holder 不等式。
2、（15分）设M 是Hilbert 空间X 的闭子空间，证明M M ⊥⊥=。
3、（14分）Hilbert 空间X 是可分的，证明X 任何规范正交系至多为可数集。
4、（12分） 证明Banach 空间X 自反的充要条件是X 的共轭空间自反。
5、（12分）叙述l ∞空间的定义，并证明l ∞空间是不可分的。
最新--2学年度-《泛函分析》期末试题1资料
大庆师范学院2011级数学与应用数学专业《泛函分析》期末考试试卷题号一--------------------------------------------一、填空题（每空1分，共5分）1．如果度量空间X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间．2．离散度量空间X可分的充要条件是X是可数集．3．'l的共轭空间是．4．当Y是巴拿赫空间时，）（YX→B是．5．完备的度量空间上的有唯一的不动点．二、单项选择题（每小题1分，共5分）1．设111(,)P x y，222(,)P x y是平面2R上任意两点，则下列关系d不是2R上距离的为（）A．12,)(Pd P= B．{}121212,)max||,||(P x x y yd P=--C．212,)(Pd P= D．121212||,)1||(x xPx xd P-=+-2．下列度量空间不是可分空间的有（）A．R n B．[,]C a b C．l∞ D．(0)pL p<<∞3．（2R）中，按下列定义不能构成赋范线性空间的有（）A．22yxP+=()2RyxP∈⋅= B．yxP+=C．}{yxP⋅=max D．xxP+=1三、判断题（每小题1分，共10分）1．完备度量空间的闭子空间是完备子空间．（）2．离散度量空间是完备的度量空间．（）3．有限维赋范线性空间都是巴拿赫空间．（）4．赋范空间有限维子空间都是完备的．（）5．(1)Ln i+1ln2(2),0,1,2,24i k kππ=++=±±．（）四、计算题（共70分）1．设)(31132RxxTx∈∀⎥⎦⎤⎢⎣⎡=为2R上算子，求T．2．设dttxT bax⎰=)([]）（bax.∈∀，求T.3．设),(τtkT bax⎰=，()[]),(bacxx∈∀τ其中),(τtk为[]b a,在[]b aX,上连续函数，求T.五、证明题（共10分）1．证明l∞是不可分空间．（ 10分）2．度量空间X到Y中的映射T是X上的连续映射充要条件是Y中任意开集M的原象1T M-是X中的开集。
《 泛函分析》期末试题
存在 xn X , xn 0 使得 Txn . 3 （15 分） 设 X 是 Banach 空间， An , A B( X ), 则 An x Ax, x X 当且仅当{ An }
有界并且存在子集合 G 使得 spanG X ，在 G 上 An x Ax. 4 （15 分） 对于内积空间 H 中的规范正交集{e1, , en}和 H 中的 x ，证明函数
n
f (1, , n ) x iei 当且仅当 i (x, ei ) （ i 1, , n) 时达到 i1
极小值。
5 （15 分） 设 H 是 Hilbet 空间，{en , n 1}是其中的规范正交系。证明级数 nen 按 n1 H 的范数收敛等价于弱收敛。
《 泛函分析》期末试题
1（20 分） 证明非ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性积分方程
b
x(t) a K (t, s, x(s))ds y(t), t [a,b]
在 足够小时有唯一连续解。这里 y(t) C[a,b], K : [a,b][a,b] R R
连续并且满足
K(t, s,1) K(t, s, 2 ) L1 2 , t, s [a,b]. 2 (15 分) 设 X ,Y 是线性赋范空间，T : X Y 是线性算子, 则T 不是有界的当且仅当
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B、(A*)*=A**
D、(aA)*= a
A*
x?X有
泛函分析考试试卷
、选择题。
1、下列说法不正确的是( )
A、n维欧式空间R n是可分空间
B、全体有理数集为 R n的可数稠密子集
C、 I a是不可分空间
D、若X为不可数集则离散度量空间 X是可分的
答案：D
2、设T是度量空间(X,d )到度量空间(Y , d~)的映射，那么T在x°?x连续的充要条件是()
A、当xm x o (n fg)时，必有 Tx n i Tx o (n^m)
B、当 X n f x o (n ig)时，必有T X O T Tx n (n^m)
C、当 X O T x n (n fg)时，必有 Tx n i Tx o (n^m)
D、当 X n f x o (n^O)时，必有 Tx n f Tx o (n0)
答案：D
3、在度量空间中有()
A、柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列
B、柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列
C、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列
D、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列
答案：C
4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是( )
A、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间
B、L p[a, b] (p》)是巴拿赫空间
C、空间l p是巴拿赫空间
D、赋范线性空间的共轭空间不是巴拿赫空间
答案：D
5、下列对共轭算子性质描述错误的是( )
A、(A+B)*=A*+B*;
C、当 X=Y 时,(AB)*=B*A*
答案：B
、填空题
1、度量空间X到Y中的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中的任意开集 M为
__________________ O
答案：原像T-1M是X中的开集
2、设T是赋范线性空间X到赋范线性空间 Y中的线性算子，则T为有界算子的充要条件是T是X上的。
答案：连续算子。
3、若T为复内积空间X上有界线性算子，那么T=0的充要条件是对一切
答案：(Tx , x) =0
4、有界线性算子T的共轭算子T x也是有界线性算子，并且
答案：=
5、设｛f n｝是巴拿赫空间 X上的一列泛函，如果｛f n｝在X的每点x处有界，那么｛f n｝_______ 。
答案：一致有界
三、判断题
1、自伴算子一定为正常算子，正常算子不一定是自伴算子。
()V
2、设T i和T2是希尔伯特空间 X上两个自伴算子，则T I*T2自伴的充要条件是T I*T2=T2*T I。
()V
3、强收敛必定弱收敛，弱收敛必定强收敛。
()x
4、设X和Y都是巴拿赫空间，如果 T是从X到Y上的一对一有界线性算子，则T的逆算子T-1不是有界线性算子。
()X
5、无界算子不是闭算子。
()X 四、证明题
1.设X是赋范线性空间，f是X上连续线性泛函，证明f的零空间N ( f )是X中闭子空间
证明：对任何 x, y N ( f ),及任何 , f ( x y) f (x) f (y) 0
所以 x y N ( f ).所以N (f)是线性空间.又设x n N ( f ),且x n x X,由f连续 f (x) lim n f (x n)
0 所以 x N ( f ).所以 N ( f )是闭集.
2•设X是赋范空间，A, B B (X X)是X上正则算子，证明T A B是X上正则算子.
证 A, B是正则算子，所以A 1, B 1存在，且A 1, B 1 B (X X)
令 S B 1 A 1 B (X X),贝U S T B 1 A 1 A B I, A B B 1 A 1 I 所以S T1,所以T是正则算子.
3.设H是实内积空间，A是H上自伴算子，证明A 0的充分必要条件是对所有x
H, A x, x 0.
证明必要性：A x, x 0, x 0, x H.
充分性：对任意x, y H
0 A (x y), x y
A x, x A x, y A y, x A y, y
A x, y A y, x
由T是自伴算子 A y, x y, A x A x, y ,
所以 2 A x, y 0 x, y H
所以 A x 0 x H
所以 A 0.
4、.证明：l p(1 P )是可分空间。
解：考虑集合 B {(SB，，
G ,0, )"Q，n 1}，即B是由至多有限个坐标不为0
且坐标都是有理数的元素构成。
因此, B是可数集。
|X j | p)
对于x (X i) l p，有i 1所以0, N 0 ,当当n N时，|X i |p) (二)p
i n 1 2，有有理数的稠密性, 可取得「1,「2, ,r n
i 1
p \ 1 X r| ) (-)p
使得i 1 2
令y (「1 ,「2, ,「n ,0,
)B l 。
且
II X yII ( I X i y i
1 p J / p
I )
n
(I X i
1 p
1 1 P\
r i
I
I x i
I )
i 1
i 1
i n 1
n
( I X i 「i I p )1/p
(I X i
I p )1/p
p 1 / p
(2H)p
) p
i 1
i n 1
2
即B 在lP(1 p )中稠密。
依定义知lP(1 p
)是可分的。
5、设 H 是内积空间，X n ,X,y n ,y H ，则当 X n X , y
n
y
时 J X
n ,y n )
(x
, y
),
即内积关于两变元连续。
解：H 是内积空间，设11 11
是由其内积导出的范数，由于
X n
x
，y n
y
，
所以 0，n 。
使得当n n
时均有11
X n X||和||
y n
y|
|
同时由于
y n y
，故知y n
有界，X H 所以
||X| 1
有限。
因此可取
M
sup(||x ||,|| y n ||)
1 n
因此 |(X n , y n ) (X,y) | | (X n ,y n ) (X , y n ) (X , y n ) (X, y) |
I (X n , y n ) (x,y n ) | |(x 」n ) (x,y)||(X n x, y .) | | (x, y . y)|
I|X n X||
II y n II
||x||||y n
y || | M | X n x || M || y . y|| 2M
J
im{ (x n
,y n
) (x,y
)} 0
”(x y)
(x y)
故 n
，即
(x n
, y n
)
(X, y)
五、计算题
p
1、在实数轴R 上，令d (x,y )
Ix yI
，当p 为何值时，R 是度量空间，p 为何值时，R
是赋范空间。
解：若R 是度量空间，所以x,y
,z R ，必须有：d(x,z) d(x,y
) d(y,z)成立 即 I x Z|p Ix
y I p
I y z|p ，取 x 1,y 0, z
1，
有2p
1p
1p
2，所以，
p 1
若R 是赋范空间，d
(x,0)
"XU Ix
〔
p
，所以x,k R
， 必须有：IIkxII IkI IIxII 成立，
即 IkxI p IkIIxI p ，p 1， 当
p 1
时，若R 是度量空间，
p 1
时，若R 是赋范空间。