泛函分析考试题
北邮研究生泛函分析 - 加强版 - 最终稿--2016修改
泛函分析基础(2015年加强版) ,设(,d x]0,1为闭区间]0,1上赋予度量]为定义在3的哪些子集构成3的线性子空间【[0,2],Cπ【为赋范空间,,,n nx Xαα∈[0,1]上的∞和1不为等价范数∞中除有限个坐标之外均为.p【19】.X '∈【190E 是X 的真闭子空间.y X ∈【23固定,考虑3的线性子空间}33:0x =为赋范空间,M 为X 的线性子空间】 为赋范空间*,.f X ∈【31】Banach 空间Y 为赋范空间为一系列有界线性算子【1,【34】】存在唯一的[0,1],x C ∈,<∞-∞<},n e 为和{:n f n ≥的子空间,,M N ⊥是线性子空间并对于∞中只有有限多个零项的序列构成的子空间,,n x 是赋范空间(,)B xε≠∈使得M,=根据下确界的重要条件，得0inf{d. (略)n n a t .对于n n na t -+2n n b t nb t -++)()g t -<是一个有理数,且().t{()|s f t s 中任何两个不同元素之间的距离均为且有不可数多个.,则这些不相交的小球每一个必含有,,n n x y ∃∈).→+∞②2中元素e 1,0,1,0,.n⎫-⎪⎭{|n e n =≥,0,).下面证明M 是有界闭集但不是紧集.2(,0)1,n d e =<故M 是有界集有2(,)n m d e e ⎛= 2时,则必有0,0,N ∃>当.M .,)d 是完备的的闭子集定义映射,T Tx =,)|Tx Ty Tx =3的哪些子集构成3的线性子空间3).2,x =且3x 11x =+的0≥且2x ≤},1,2.i =)1,0,y M ∈,,1,2,3i =2,1,M α=}:,[,].n n i a t a t a b +∈∈容易验证在通常多项式的加法和与实数的乘法运算下有()(p t p t α且易验证加法与数乘满足线性空间的八个条件},n t 线性无关},n t 是X 的不是Y 的线性子空间∈K ,有()p t α为赋范空间,,n n x y ,y α→→∞和1不为等价范数110|()|max t x t dt ∈=≤⎰⎰使得()[0,1],x t C ∀∈[0,1],C 使得nx ∞>∞中除有限个坐标之外均为不为Banach ∞的线性子空间.1111,,,,,0,0,.23n⎫⎪⎭则()n x ∈})n 是一个Cauchy 列.,n >则()()1110,,0,,,,,0,,12n m x x n n m⎛⎫-= ⎪++⎝⎭10(,).1n m n =→→+∞+故{}()n x 是Cauchy 111,,,,12n n n ⎫⎪++⎭,则()()11sup 0(1n n k k k x x x x n n ≥-=-=→+),n →+∞但x M ∉,故M 不完备.}}:lim 0n n x ∞→∞∈=,由例1.3.6知0C)10,,,,,n n x x C +∈存在),,,0,0,,n x M ∈()11sup sup n k k k k k n x x x ≥≥+-=→时).中稠密.故0C 是M 的完备化空间上定义线性泛函(=(),[1,1].f x x t dt x C ∈-） sup ()sup 212n n f x n ∈∈=- ⎪⎝⎭()x t ⇔在(1,0)-上符号相同且},n e 为,1,i j n ≤≤唯一确定,,n α∈K ,n β∈K 1111n n n nx e e y e e αααββ=++=++,11,,,nni ii i i j i i ij i j ee e βαβαβγ===∑∑∑00,x ⇔=),,n α∈K 12212222120,n n n n n nn n γγαγγγα⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪≥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭①满足①式,则由11nni i ij i j αβγ==∑∑所定义的映射是一个内积Hilbert 空间为H 的闭线性子空间.求证:M 为H[1,1]odd C -[1,1],even C ∈-Hilbert 空间{sup,x y =,,n k 有0,=即j e ),j j x e e e 固定,考虑3的线性子空间}33:0Z x =上的线性泛函2311(,)f x x x a x =到3上的所有保范延拓的有界线性泛函.3中定义范数1x x =首先证{12max ,f a a =因为对12(,,0)x x Z ∀∈∈又若取(sgn x =3,定义F ,Z 有()F x }时,有F故,此时F 是f 到3上的保范延拓.32★4-4.设X 为赋范空间,M 为X 的线性子空间,0.x X ∈ 求证0x M ∈当且仅当任取,0,Mf X f'∈=都有0()0.f x ="":⇒若0,x M ∈则{},n x M ∃⊂且0().n x x n →→∞ 因,f X '∈且0,Mf=则()()0()lim lim 0.n n n n f x f x x →∞→∞===""⇐:反证法.若0,x M ∉因为M 是闭集,故()0,0.x M d ρ=> 则根据定理4.1.7,则,f X '∃∈使得01,0,()0Mf ff x d ===>，与条件矛盾. 34●4-17.设X 为Banach 空间,Y 为赋范空间,(,)n T B X Y ∈为一系列有界线性算子,设任取{},n x X T x ∈都是Y 中的Cauchy 列,求证:存在常数0,C ≥使得任取1,.n n T C ≥≤35 ●4-18.在上题中又设Y 为Banach 空间,求证:存在(,),T B X Y ∈使得任取,,n x X T x Tx ∈→且1sup .n n T T ≥≤因为{}n T x 是Y 中的Cauchy 列,则{}n T x 是有界集,即,x X ∀∈有sup .n n T x ∈<+∞因为X 是Banach 空间,故由一致有界原则有sup ,n n T ∈<+∞即0,c ∃>使得对,n ∀有.n T c ≤若Y 完备,则,Tx Y ∃∈使得n T x Tx →(参考定理2.4.5的证明), 且lim lim sup ,n n n n n n Tx T x T x T x →∞→∞∈==≤⋅故sup .n n T T ∈≤36★4-20.设X 为赋范空间,,,n n x x X x ∈⇀.x 求证:{:1}.n x span x n ∈≥ 若n x ⇀x ,则,f X '∀∈有()().n f x f x →若{}:1,n x span x n ∉≥则{}(),:10.n d x span x n d ≥=> 根据定理4.1.7知,存在{}:1,1,0,n span x n f X f f≥'∈==且()0f x d =>与()()n f x f x →相矛盾.1,级数1n ≥∑.∞)1,,,n x ∈定义1()nn i i i f x y x ==∑是定义在1上的线性泛函且1max n f ≤=1,级数1n n n y x +∞=∑收敛,故lim n →∞1,都有sup (n n f x ∈根据一致有界原则,得sup ,n n f ∈<+∞即1sup max sup .i n i nn y y ≤≤∈∈=<+∞∞中只有有限多个零项的序列构成的子空间)()1,,,,,,,n n x y y y →=式中k y =并计算;T 逆算子定理矛盾?21∞有Tx (1,1,,1,)x =(全为1),111,,,,,2Tx n ⎛⎫= ⎪⎝⎭且1,1,x Tx == 1sup 1,x Tx Tx >=≥=故 1.T =()()1121212:,,,,,2,,,,,,k k k k T y y y y x y y ky ky ky -++=→= 111,1,,1,,,,k k y k k ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭项故,k y X ∈且()11,2,,,1,1,,k T y k X -=∈ 11,(),k k k y x T y k k -===→+∞→+∞故1T -无界.这与开映射定理不矛盾,因为X 不完备.取1010,0,,0,,,n n x X n -⎛⎫ ⎪=∈ ⎪⎝⎭个因为110,(,),n m x n m n m =-→→∞所以但是当n →∞时,有(0,0,,0,),n x X →∉故。
泛函分析考试题集与答案
d1(x,y) min( d(x,y),1) 0或d2(x,y)
均有d(x,y)0成立，于是x y成立
2)d(y,x) d(x,y)，
因此d1(y,x) min(d(y,x),1) min( d(x,y),1) d1(x, y)和d2(y,x)d(y,x) d(x, y)d2(x,y)
21 d(y,x) 1 d(x, y)2
若R是赋范空间，d(x,0) ||x|| |x|p，所以x,k R，必须有：||kx|||k|||x||成立，即|kx|p|k ||x|p，p1， 当p1时，若R是度量空间，p1时，若R是赋范空间。
2．若( X , d)是度量空间，则d1min( d ,1)，d2d也是使X成为度量空间。
1 21 d
映射
T:
c*0l1,
f
(f(e1), f(e2), ,
f (en),
) (1,2, ,n, )
使得
x
(x1, x2, ,xn,
) c0，
有f ( x)xi i成立
i1
则T线性保距同构映射，因此c*0l1
9．设H是Hilbert空间，xn是H中正交集，则以下三条等价；
1)xn收敛，2)y H，(xn,y)收敛，3)||xn||2收敛
1取S1O(0, ) X，则T在S1上无界，因此x1S1，
使得||Tx1||1成立。
1
取S2O(0,2) X，则T在S2上无界，因此x2S2，
22
使得||Tx2||2成立。
类似地过程一直进行，直到
1
取SnO(0,n) X，则T在Sn上无界，因此xnSn，2n
使得||Txn||n成立。
因此，xnX，使得xn0，但||Txn||
实变函数与泛函分析考试内容及答案
14、建立下面集合之间的具体双射 1）（-1,1）与[-1,1] 2)实数轴和全体无理数3）R 3中除去一点的单位球面与全平面R 24）平面中的开圆盘{（x,y ）:x 2+y 2<1}与闭圆盘{（x,y ）:x 2+y 2≤1}解：（1）、从（-1,1）与[-1,1]分别取出两个数集A={r 1,r 2,r 3,……，r n }与B={-1,1，r 1，r 2，……，r n-2}则A 、B 之间可定义以下双射：Ф(r 1)=-1, Ф(r 2)=1, Ф(r n )=r n (n>2)然后定义Ф：(-1,1)︱A →[-1,1]︱B x →x 得Ф（-1,1）→[-1,1]是所求双射（2）、从R 与R\Q 中分别取出两个可数集A=Q ∪B 与B=2，则A 与B 之间可定义如下双射：Ф2然后定义：Ф：R|A →(R\Q)|B x →x得：Ф：R →R\Q 是实数轴与全体无理数之间的双射。
(3)、假设单位球面上除去P 点按以下步骤建立双射： i)球心为O P 点关于O 点对称的点为球内的点Q 以Q 为切点作一个切面R 2以O 为原点作一直角坐标系ii ）过切点Q 连接PQ iii ）连接P 点与球面上异于P 点的任一点M 并延长，点肯定交R 2与一点记为M ’ 这就建立了R 3中除去一点的单位球面与全平面R 2之间的双射。
(4)、首先两个同心圆周之上的点之间可建立一一对应：做圆周集合子列 A n ={(x,y):x 2+y 2=12n } n ∈N 则 令E 1=n-2∞A n ⊂{(x,y):x 2+y 2<1}E 2=n-1∞ A n ⊂{(x,y):x 2+y 2≤1}且 E 1~E 2 又{(x,y):x 2+y 2<1}| E 1={(x,y):x 2+y 2≤1}|E 2 ，令B 1=(x,y):x 2+y 2<1}B 2={(x,y):x 2+y 2≤1}则 B 2=(B 1|E 1) E 2 令 Ф((x,y))= （x 1,y 1）若（x,,y ）∈B 1|E 1或（x 2,y 2）若（x,y ）∈E 2 由此得：Ф是B 1到B 2的双射。
泛函分析答案(张恭庆)
k1
. 于是
x M , 设 a 为空间 X 的一个固定元. 我们有
x, a
x, xk
xk, a
1
max
1kn
xk, a ,
即 M 是有界的.
下面说明 ek k 1 有界但不完全有界. 首先, 对
k , 2 ek,
1 , 其中
0, 0, , 0, .
由此可见 ek k 1 有界. 再注意到
ei ej 0, 0, , 1, 0,
1.3.1 在度量空间中求证；为了子集 A 是列紧的，其充分
且必要条件是对
0 存在 A 的列紧的 网．
证明 必要性显然,只证充分性.
0, 设 N 是 A
的列紧的 2 网;
N0 是 N 的有限 2 网, 则有
x A,
N, x,
2
N, x
,
,x
2
x, x
x,
,x
2
2
.
N0 是 A 的有限 网.
1.3.2 给定距离空间 X, ,设 M
2 a
n
fn
2 b
ba
.
1.4.6 设 X 1, X 2 是两个线性赋范空间，定义
X
X1 X2
x1, x2 | x1
X1, x2
X2 称
为 X1 与 X2 的 Decard笛卡尔空间. 规定线性运算如下：
x1, x2
y1, y2
x1
y1, x2
y2
5
,
K, x1, y1
X1, x2, y2
X 2 ，并赋以范数
0
inf f tn
0,
n1
0
0, 1 .
1.3.3 在度量空间中求证：完全有界的集合是有界的, 并且通 过考虑
泛函分析考试题型及答案
泛函分析考试题型及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设函数空间E为所有连续函数的集合，定义泛函F(u)=∫₀¹u(x)dx，则F(u)是线性的。
A. 正确B. 错误答案：A2. 每一个线性泛函都可以表示为一个内积。
A. 正确B. 错误答案：B3. 泛函分析中的“泛函”一词指的是函数的函数。
A. 正确B. 错误答案：A4. 弱收敛和强收敛是等价的。
A. 正确B. 错误答案：B5. 紧算子总是有界算子。
A. 正确B. 错误答案：A6. 每一个闭算子都是有界的。
A. 正确B. 错误答案：B7. 每一个有界线性算子都是紧算子。
A. 正确B. 错误答案：B8. 每一个线性泛函都可以用Riesz表示定理表示。
A. 正确B. 错误答案：A9. 每一个线性算子都可以分解为一个紧算子和一个有界算子的和。
A. 正确B. 错误答案：B10. 每一个线性算子都可以分解为一个有界算子和一个紧算子的和。
A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设X是赋范线性空间，如果对于X中的每一个序列{x_n}，都有‖x_n‖→0当且仅当x_n→0，则称X是______空间。
答案：完备2. 设T是线性算子，如果T(X)是X的闭子空间，则称T是______算子。
答案：闭3. 设E是Hilbert空间，如果对于每一个x∈E，都有∥Tx∥≥∥x∥，则称T是______算子。
答案：正4. 设E是Banach空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑‖x_n‖<∞当且仅当∑x_n收敛，则称E是______空间。
答案：自反5. 设E是线性空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑x_n收敛当且仅当∑‖x_n‖<∞，则称E是______空间。
答案：序列完备三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述Hahn-Banach定理的内容。
答案：Hahn-Banach定理指出，如果X是一个赋范线性空间，p是X 的一个线性子空间，f是p上的一个线性泛函，并且存在一个常数M使得对于所有x∈p，有|f(x)|≤M‖x‖，则存在X上的一个线性泛函F，使得F|p=f，并且对于所有x∈X，有|F(x)|≤M‖x‖。
2015南京大学考博真题泛函分析
f ( x ) g ( x )dx M
g ( x ) dx q ，
q
1
1 1 1 ，证明 f Lp () 并且 ‖f‖ M. Lp ( ) p q
第1页
试题编号
共 2 页
5． （15 分）设 X 为紧的度量空间，证明在 X 上存在 Borel 测度 使得对 X 上的任何非负连 续函数 f ，并且 f 0 ，有
Ax, x x ，
其中 , 表示 H 中的内积，证明对任何 y H ，方程
2
Ax y
有唯一的解. 4． （15 分）设 为 n 中的有界开集， f 为 上的 Lebesgue 可测函数，并且存在 M 0 ， 使得对 上的任何有界连续函数 g ，有
其中 1 q ，
X
f d 0 .
6． （15 分）设 (, , ) 为正测度空间，如果存在一列可测子集 {En } 使得当 n m 时，
En Em ，并且 0 ( En ) ，证明 Banach 空间 L1 (, ) 不是自反的.
第2页
p
证明：⑴ f Lp (, ) ； ⑵ lim
p
x | f n ( x )| M
f n ( x ) dx .
p
n
f n ( x ) f ( x ) d 0 .
3． （20 分）设 H 为 Hilbert 空间， A : H H 为有界线性算子，并且存在 0 使得对任 何 x H ，有
2． （20 分）设 (, ) 为正测度空间， () ，再设 { f n } L (, ), 1 p ，满 足如下条件： （i）存在 上的可测函数 f 使得 { f n } 在 上几乎处处收敛于 f ； （ii）对任意 0 ，存在 M 0 ，使得对任何 n 有
2007年10月自考试题实变函数与泛函分析初步试卷
做试题,没答案?上自考365,网校名师为你详细解答!浙江省2007年10月高等教育自学考试实变函数与泛函分析初步试题课程代码：10023一、单项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.已知Z 和Q 分别为整数集和有理数集，记A=［0，1］-Q ，则( ) A Z Q =>A B. Z Q ==A C. Z Q >>A D. Z Q =<A2.若A=［0,1］-{31,21,1，…},B=［2,3］∩Q ,C=［5,6］-Q ,则A ∪B ∪C 的测度为( ) A.1B.2C.3D.无意义 3.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--∈ 其他,1]3,1[,1]1,0[,22x x Q x x ∩Q ,则⎰］，［80f(x)dx=( )A.0B.1C.2D.8二、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）4.集列的上限集与下限集一定不相等.( )5.开集一定是博雷尔（Borel ）集.( )6.设E ⊂R 1，E 是E 的闭包，mE=0，则m(E )=0.( )7.设f(x)在［0，1］的一个稠密集上处处不连续，则f(x)一定不是Riemann 可积函数.( )8.定义在零测集上的函数一定是可测函数.( )9.定义在区间上的单调函数的导数几乎处处存在.( )三、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
10.设A 2n-1=(0,sin n 1)，A 2n =(n1,n),则集列{A n }的上限集为___________. 11.球面S 2={（x,y,z)|x 2+y 2+z 2=1}的基数为___________.12.设F={(x,y)|x 2+y 2≤1},E=F ∪⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=)1,0(,1sin |),(x x y y x ，则E 的开核E =___________.13.记E 为康托集和有理数集的并集，则mE=___________. 14.设函数f(x)在［0，1］上单调，E 是f(x)的连续点全体，则mE=___________.15.f(x)是可测集E 上的简单函数是指___________.16.函数f(x)在区间［a,b ］上的黎曼可积的充要条件是___________.17.f(x)与g(x)在E 上几乎处处相等是指___________.18.举一个函数列{f n (x)}的例子，使得{f n (x)}在［0,∞)上处处收敛于0，但{f n (x)}在［0,∞)上不依测度收敛于0，例如f n (x)=___________.19.区间［a,b ］上的函数F(x)是f(x)的一个不定积分是指________________________________________________________.四、完成下列各题(本大题共4小题，每小题9分，共36分)20.设f(x)是(-∞,+∞)上的实值连续函数，证明对于任意常数a,E={x|f(x)>a}是开集，而F={x|f(x)≥a}总是闭集.21.设E 是［0,1］中的不可测集，令f(x)⎩⎨⎧∉-∈,,,E x x E x x ，问f(x)和|f(x)|在［0,1］上是否可测？为什么？22.设f(x)在E 上可积分，记e n =E ［|f|≥n ］，证明0lim =∙∞→n n me n . 23.问函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=∈0,0]1,0(,1sin 2x x x x 在［0,1］上是不是有界变差函数？为什么？。
(完整word版)北京理工大学数学专业泛函分析期末试题(MTH17060)
北京理工大学2012-2013学年第一学期2010级泛函分析试题（A 卷）一、（10分）设T 是赋范线性空间X 到自身的线性映射。
证明以下三条等价： （1）T 连续； （2）T 在零点连续； （3）T 有界。
二、（10分）设H 是Hilbert 空间。
证明： （1）若n x x →，则对于任意固定的y H ∈，()(),,n x y x y →； （2）若n x x →，n y y →，则()(),,n n x y x y →。
三、（10分）设H 是Hilbert 空间，()A B H ∈且存在0m >使得()2,,x H Ax x m x ∀∈≥，证明：存在()1A B H -∈。
四、（10分）设H 是Hilbert 空间，M 是H 的线性子空间。
证明：M 在H 中稠密的充分必要条件是{}M θ⊥=。
注：M 仅为H 的子集时充分性不成立，试举反例 五、（15分）设[]0,1C 为区间[]0,1上连续函数的全体，对于[]0,1f C ∈， 令[]()0,1max x f f x ∈=。
证明：（1）[]0,1C 是完备的赋范线性空间，即Banach 空间；（2）对于[]0,1t ∈，令()()t F f f t =，则t F 是[]0,1C 上线性有界泛函，求t F 。
六、（15分）设[]2,0,1,1,2,k f f L k ∈=L ，且[],..0,1k f f a e →。
证明：lim k k f f →∞=当且仅当lim 0k k f f →∞-=，其中()[][]12220,1,0,1f f x dx f L ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪⎝⎭⎰。
七、（15分）设12,f f 是Hilbert 空间H 上的线性无关的线性有界泛函，12ker ker M f f =I。
证明：（1）M 是闭的线性子空间；（2）存在12,y y H ∈使得对于x H ∈，有01122x x y y λλ=++，其中0x 为x 在M 上的正交投影，12,λλ∈£。
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判断题：
(1) 设X 是线性赋范空间，X 中的单位球是列紧集，则X 必为有限维。
√ (2) 距离空间中的列紧集都是可分的。
√
(3) 若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。
× (4) 任何一个Hilbert 空间都有正交基。
×
(5) 设X 是线性赋范空间，T 是X →X 的有界线性算子，若T 既是单射又是
满射，则T 有逆算子。
× (6) 设X 是线性赋范空间，若X 与X *同构，则X 必是完备的。
√ (7) 设X 是Hilbert 空间，T 是线性算子，满足()(),,,,Tx y x Ty x y X =∈，则
()T L X ∈。
√
(8) 设M X ⊆是线性赋范闭子空间，若0x M ∉，则一定存在f X *∈，使
()
000,,1M
f
f x x f ===。
×
(9) 设X 是Banach 空间，T 是X 上线性算子，如果()D T 是X 中的闭集且
在X 中稠密，则T 有界。
√
(10) 设{}n a l ∞⊆，定义2l 上的算子T 为{}(){}n n n T a ξξ=，则(){}p n T a σ=。
√
1.设X 是有限维赋范空间，试证：X 上任意两个范数都是等价范数。
证明：令()()1212
,,,X X X X =∙=∙
，显然必存在有一个范数较强，不
妨假设存在一个M>0，使得21x M x ≤。
取单位算子()12,I L X X ∈，这时有21Ix M x ≤，故I 是有界线性算子，显然I 是单射，满射，由逆算子定理可知，I 存在逆算子1I -，且有界，因而1121
I x I x --≤，所以12,∙∙等价。
2.设X 是有限维赋范空间，试证：X 中弱收敛等价于按范数收敛。
证明：显然，在X 中按范数收敛的序列一定是弱收敛。
另一方面，取{}01,n n x X x X ∞
=⊆∈，使得0w n x x −−→，即对于任意的T X *∈使
得0lim n n Tx Tx →∞
=。
假若{}n Tx X ⊆，不按X 的范数收敛，即存在{}n Tx X ⊆中
的一个子列{}
k n Tx 使得，存在00ε>，有00k n Tx Tx ε-≥。
然而，在有限维空间X 中，由于{}1n n x ∞
=弱收敛，进而{}1n n x ∞
=有界，所以有n n Tx T x ≤<+∞，
即{}n Tx X ⊆为列紧集，故存在y X ∈，使得0lim lim k n n n k y Tx Tx Tx →∞
→∞
===，这与
00y Tx ε-≥矛盾，所以假若{}n Tx X ⊆按X 的范数收敛。
综述X 中弱收敛等价于按范数收敛。
3.定义2l 上的算子S 为()()1212,,,,0,,,,,n n S x x x x x x = ，试证S 有左逆但无右逆。
证明：定义2l 上的算子H 为()()1223,,,,,,,,n n H x x x x x x = ，显然
有()()()121212,,,,0,,,,,,,,,n n n HS x x x H x x x x x x == ，所以H 为S 的左逆算子。
另一方面，假设S 存在右逆算子T ，使得ST=I （其中I 为单位算子）。
取
2x l ∈使得(){}12,,,,01;1,2,n i x x x x x i === 或 ，显然1x <，这时
sup I ST STx ST x ST I ==≤<=，矛盾。
所以S 没有右逆算子。
4.设X ，Y 是Banach 空间， :T X Y →是有界线性算子，满足()()1R T Y =；（2）存在0m >，使得对任意x X ∈有Tx x ≥，试证；T 有有界逆1T -，且
11
T m
-≤。
证明：由条件1可以知道T 为满射。
令{}ker 0T x Tx ==则有0Tx m x =≥，这时x=0，所以kerT={0}，从而T 为单射。
由逆映射定理可以T 存在逆映射1T -，易求11T m
-≤。
5.设X 是线性赋范空间，{}1n n x ∞
=是X 中线性无关的序列，试证：存在{}n f X *⊆，使得1n f =且()
10n k n k f x n k =⎧=⎨≠⎩。
证明：令()()1211,,,,,,,i i i n i i i X L x x x x x d x X ρ-+== 。
显然i X X ⊆，由
Hanna-Banach 定理可知：存在i f X *∈，使得()()1,0,i i i i i i f f X f x d ===。
取i
i i f f d =
，得1n f =且()10n k n k f x n k
=⎧=⎨≠⎩。
6.设()0,t a b ∈，定义[]()1,C a b 上的泛函为()()0F f f t '=，
()
()(){},max ,x a b f f x f x ∈'=。
试证[]()1
,F C a b *
⎡⎤∈⎣⎦。
证明：任取[]()1,;,,R f g C a b αβ∈∈，有
()()()()()()()000F f g f g t f t g t F f F g αβαβαβαβ'''+=+=+=+
且()0F f t f '=≤，所以[]()1
,F C a b *
⎡⎤∈⎣⎦。
7.若X 是自反空间，弱收敛与弱*收敛等价。
证明：显然在X 中，弱收敛强于弱*收敛。
假设序列{}1,n n f X f X ∞
**=⊆∈，
有w
n f f *
−−→。
这时，对于任意的x X ∈，由于X 是自反空间，存在x x X ****=∈，使得()()()lim lim n n n n x f f x f x **→∞→∞
==，即w n f f −−→。
从而弱*收
敛强于弱收敛。
综上所述，弱收敛与弱*收敛等价。