泛函分析复习提要
泛函分析期末复习提要
泛函分析期末复习提要一、距离空间与拓扑空间(一)教学内容1. 距离空间的基本概念：定义与例子、收敛性、距离空间的连续映射与等距。
2. 距离空间中的点集：开集与闭集、稠密子集，可分距离空间。
3. 完备距离空间：Cauchy 列，完备性、闭球套定理、纲，纲定理、距离空间完备化。
4. 压缩映射原理：不动点，压缩映射原理、压缩原理的一些应用。
5．拓扑空间的基本概：拓扑空间的定义、拓扑基、拓扑空间中的连续映射，同胚、分离公理。
6．紧性和距离空间的紧性：紧性的概念、紧空间的连续映射。
7．距离空间的紧性：列紧集，全有界集、Arzela 定理。
重点 掌握距离空间的基本概念、 距离空间中的点集、 完备距离空间、 压缩映射原理、拓扑空间的基本概念、紧性和距离空间的紧性。
难点 完备距离空间、 压缩映射原理。
(二)教学基本要求1.理解距离空间、距离空间中的点集等基本概念。
2.了解完备距离空间的概念，掌握压缩映射原理的证明。
3.理解拓扑空间的基本概念及其运算性质。
二、赋范线性空间(一)教学内容1. 赋范空间的基本概念：赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例。
2. 空间)1(≥p L p：Holder 不等式与Minkowski 不等式、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞。
3. 赋范空间进一步的性质：赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
4. 有穷维赋范空间。
重点 赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例、Holder 不等式与Minkowski 不等式、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞、赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
难点 Holder 不等式与Minkowski 不等式、赋范空间的完备化、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞。
考研数学备考如何做好泛函分析的复习
考研数学备考如何做好泛函分析的复习泛函分析是考研数学中的一门重要课程，对于数学相关专业的考研生来说，学好泛函分析是非常关键的。
然而，由于泛函分析的抽象性和难度较大，很多考生在备考过程中感到困惑。
下面将从如何理解泛函分析、合理安排复习时间以及选择合适的学习方法等方面给出几点建议，帮助考生更好地备考泛函分析。
一、理解泛函分析的基本概念和思想理解泛函分析的基本概念和思想是备考泛函分析的第一步。
首先，要熟悉泛函分析的基本概念，如拓扑空间、线性算子、连续性、紧算子等。
这些基本概念是学好泛函分析的基础。
其次，要掌握泛函分析的基本思想，了解泛函分析研究的对象、问题的关键，以及泛函分析在数学中的应用领域。
通过理清泛函分析的基本概念和思想，考生能够更好地把握学习重点，提高复习效果。
二、合理安排复习时间合理安排复习时间是备考泛函分析的关键。
首先，考生要有一个详细的复习计划，明确每天复习的内容和时间安排。
可以根据泛函分析的教材和考纲，将知识点分成若干部分，按照难易程度和重要程度进行排序，然后合理安排复习时间，每天专注复习一个或几个知识点。
其次，要注意分配好每天的复习时间和休息时间，保持良好的学习节奏和学习状态。
最后，要留出足够的时间进行综合复习和答题训练，巩固所学知识，并熟悉考试形式和要求。
三、选择合适的学习方法选择合适的学习方法是备考泛函分析的重要环节。
首先，要结合个人的学习习惯和特点，选择适合自己的学习方法。
有的学生喜欢通过阅读教材和笔记来学习，有的学生喜欢通过听课和上课笔记来学习，还有的学生喜欢通过讨论和解题来学习。
只有找到适合自己的学习方法，才能够事半功倍。
其次，可以参加相关的学习班或者辅导班，听取专业的老师的讲解和解题技巧，加深对于泛函分析的理解。
另外，可以加入相关的学习社群或者网络论坛，与他人进行交流和讨论，互相学习和帮助。
通过不同方式的学习，可以提高学习效果，更好地备考泛函分析。
四、重点强化解题能力泛函分析的考试往往以解答问题为主，因此解题能力的强弱直接影响考试成绩。
泛函分析复习与总结
泛函分析复习与总结泛函分析是数学中的一个重要分支，是研究无限维空间上的函数和线性算子的学科。
它的研究对象不再是有限维线性空间上的向量，而是函数或者函数空间，包括无限维的函数空间。
泛函分析在数学中有着广泛的应用，例如在微分方程的理论研究中，泛函分析有助于研究解的连续性、唯一性和存在性等问题；在概率理论中，泛函分析有助于研究随机过程的性质等。
下面将对泛函分析的重要内容进行复习和总结。
1.线性空间与拓扑空间线性空间是指具有线性结构的集合，泛函分析研究的对象就是线性空间上的函数或者函数空间。
拓扑空间是指在集合中引入一个拓扑结构，使得可以定义连续性和收敛性等概念。
泛函分析的研究对象通常是拓扑线性空间，即同时具有线性结构和拓扑结构的空间。
2.赋范空间与完备空间赋范空间是指在线性空间上定义了一个范数（或称规范），从而使得该空间成为一个度量空间。
范数的引入使得我们可以定义距离，并且可以定义收敛性。
完备空间是指其中的Cauchy列总是收敛于该空间中的点。
泛函分析中，赋范空间和完备空间是重要的概念，在研究函数的连续性和收敛性时起到了关键的作用。
3.内积空间与希尔伯特空间内积空间是指在线性空间上定义了一个内积，从而可以定义长度和夹角。
希尔伯特空间是指满足内积空间中所有Cauchy列都收敛于该空间中的点的空间。
内积空间和希尔伯特空间在泛函分析中具有重要的作用，特别是在研究函数的正交性和投影等问题时。
4.线性算子与连续算子线性算子是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射。
连续算子是指在拓扑空间上保持连续性的线性算子。
泛函分析中，线性算子和连续算子是重要的研究对象，它们可以用来描述函数之间的关系和映射。
5. Banach空间与可分空间Banach空间是指在完备的范数空间上定义了一个范数，从而构成一个完备空间。
可分空间是指线性空间中存在可数稠密子集的空间。
Banach空间和可分空间是泛函分析中重要的类别，它们在研究最优性，特别是最优解的存在性和表示性时起到了关键的作用。
实变函数与泛函分析基础之课程论文提纲
∀ {xn} ⊂ U (x0, λ) ⊂ Df , xn → a, 成立：f (xn) → a
特别地，当 f (x) 在 x0 ∈ X 点连续，即：limx→x0 ∈ Y f (x) = f (x0) ∈ Y ，则上述去心领域均可 改成含心领域。
Theorem 1 复合映照极限定理 设有：
(1) limy→y0 ∈ Y g(y) = c ∈ Z
《实变函数与泛函分析基础》之课程论文提纲
2007 年 7 月 5 日1 赋范线性空间基本概念
Problem 1 (Ck(Ω) 空间) 设 Ω ⊂ Em，Ck(Ω) 表示 Ω 上具有有界连续的 k 阶各类偏导数
的 函 数 全 体 按 通 常 函 数 加 法 和 数 乘 所 成 的 线 性 空 间 。 用 p = (p1, · · · , pn) 表 示 非 负 整 数
注： 1. 上述可测简单函数列中的每一个均可取成具有紧支集的函数。 2. 若 f (x) 是有界的，则上述收敛是都是一致的。
Problem 8 按周民强著《实变函数论》整理 Rm 上测度理论的建立。 Problem 9 按夏道行等著《实变函数论与泛函分析》（上册）整理一般集类上测度理论的建 立。 Problem 10 按周民强著《实变函数论》或夏道行等著《实变函数论与泛函分析》（上册）进 行有关问题（习题）的解答。
注：本学期本课程采用课题论文形式进行考核。可参考上述的提纲进行相关内容的整理 （可以扩充内容或更改上述提纲所反映的思路）：（1）澄清概念；（2）完成性质的证明及 问题解答。要求：正本清源；思想清晰，证明推理严谨，并尽量体现微积分及线性代数的思 想和方法在本课程中的应用。
3
f (x0 + h) = f (x) + Df (x0) · h + o(|h|X ), h ∈ X
《应用泛函分析》前四章重点复习大纲
《应用泛函分析》前四章重点复习大纲1第1章预备知识1.1集合的一般知识1.1.1概念、集合的运算上限集、上极限下限集、下极限1.1.2映射与逆映射1.1.3可列集可列集集合的对等关系~（定义1.1）1.2实数集的基本结构1.2.1建立实数的原则及实数的序关系阿基米德有序域（定义1.4）1.2.2确界与确界原理上确界sup E（定义1.5）下确界inf E确界原理（定理1.7）1.2.3实数集的度量结构数列极限与函数极限单调有界原理区间套定理Bolzano-Weierstrass定理Heine-Bore定理Cauchy收敛准则1.3函数列及函数项技术的收敛性1.3.1函数的连续性与一致连续函数的一致连续性（定义1.10）1.3.2函数列和函数项级数的一致收敛逐点收敛（定义1.11）一致收敛（定义1.12）Weierstrass M-判别法（定理1.15）1.3.3一致收敛的性质极限与积分可交换次序1.4 Lebesgue积分1.4.1一维点集的测度开集、闭集有界开集、闭集的测度m G m F外测度内测度可测集（定义1.16）1.4.2可测函数简单函数（定义1.18）零测度集按测度收敛1.4.3 Lebesgue积分有界可测集上的Lebesgue积分Levi引理Lebesgue控制收敛定理（性质1.9）R可积、L可积1.4.4 Rn空间上的Lebesgue定理1.5 空间Lp空间（定义1.28）Holder不等式Minkowski不等式（性质1.16）2第2章度量空间与赋范线性空间2.1度量空间的基本概念2.1.1距离空间度量函数度量空间（X，ρ）2.1.2距离空间中点列的收敛性点列一致收敛按度量收敛2.2度量空间中的开、闭集与连续映射2.2.1度量空间中的开集、闭集开球、闭球内点、外点、边界点、聚点开集、闭集2.2.2度量空间上的连续映射度量空间中的连续映射（定义2.7）同胚映射2.3度量空间中的可分性、完备性与列紧性2.3.1度量空间的可分性稠密子集（定义2.9）可分性2.3.2度量空间的完备性度量空间中Cauchy列（定义2.11）完备性完备子空间距离空间中的闭球套定理（定理2.9）闭球套半径趋于零，则闭球的交为2.3.3度量空间的列紧性列紧集、紧集（定义2.13）全有界集2.4 Banach压缩映射原理压缩映像不动点Banach压缩映射原理（定理2.16）2.4.1应用隐函数存在性定理（例2.31）2.5 线性空间2.5.1线性空间的定义线性空间（定义2.17）维数与基、直和2.5.2线性算子与线性泛函线性算子线性泛函（定义2.18）零空间ker(T)与值域空间R(T) 2.6 赋范线性空间2.6.1赋范线性空间的定义及例子赋范线性空间Banach空间（定义2.20）2.6.2赋范线性空间的性质收敛性——一致收敛绝对收敛连续性与有界性2.6.3有限维赋范线性空间N维实赋范线性空间3Riesz定理（引理2.2）第3章连续线性算子与连续线性泛函3.1连续线性算子与有界线性算子算子、线性算子、泛函、线性泛函线性算子连续←→有界有解线性算子的范数（定义3.3）有界线性算子空间L(X, Y)L(X, Y)的完备性3.2共鸣定理及其应用有界线性算子列的一致收敛、强收敛稀疏集、第一纲Baire纲定理算子列的一致有界原理（定理3.8）算子范数的有界→强收敛3.3 Hahn-Banach定理次可加正齐次泛函Hahn-Banach定理（定理3.12）Banach保范延拓定理（定理3.14）3.4共轭空间与共轭算子3.4.1共轭空间共轭空间（注定理3.6 p.93）嵌入子空间、等距同构（定义3.7）自反空间（定义3.8）嵌入算子（定理3.15）弱收敛点列（定义3.9）共轭空间上泛函的收敛（定义3.10）线性算子列弱收敛3.4.2共轭算子共轭算子（定义3.12）共轭算子的性质3.5开映射、逆算子及闭图像定理逆算子的有界性开映射Banach开映射定理Banach逆算子定理乘积赋范线性空间闭图像闭算子闭图像定理→算子连续3.6算子谱理论简介复Banach 空间线性算子的正则点谱点：特征值、连续谱、剩余谱正则集——开集谱——有界闭集谱半径（定义3.17）全连续算子（定义3.18）Riesz-Schauder定理4第4章内积空间4.1基本概念内积空间Schwaraz不等式内积空间 Hilbert空间4.2内积空间中元素的直交与直交分解4.2.1直交及其性质直交、直交补（定义4.2）直交投影最佳逼近元极小化向量定理（定理4.2）4.2.2投影定理投影定理（定理4.3）直交分解4.3直交系标准直交系元素x 关于的Fourier级数（定义4.6）Bessel不等式（定理4.5）标准直交系是完全的（定义4.7）Parseval等式（定理4.7）Gram-Schmidt标准正交化法4.4 Hilbert空间上的有界线性泛函4.4.1 Riesz定理Riesz定理4.4.2Hilbert空间上的共轭算子共轭算子（定义4.8）共轭算子的性质4.5自共轭算子自共轭算子（定理4.13）4.6投影算子、正算子和酉算子投影算子（定义4.10）投影算子<->自共轭算子<->幂等算子（定理4.19）正算子（定义4.11）平方根算子（定理4.21）酉算子（定理4.22）。
(完整)泛函分析知识总结,推荐文档
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
上海市考研数学四十三复习资料泛函分析(统考)重点梳理与案例分析
上海市考研数学四十三复习资料泛函分析（统考）重点梳理与案例分析一、泛函分析概述泛函分析是数学中的一个重要分支，它研究的对象是函数的推广，即泛函。
泛函分析在数学理论和实际应用中都具有广泛的意义。
在上海市考研数学四十三中，泛函分析作为一门必修课程，对于考生来说是一个具有较高难度和重要性的知识点。
下面将从重点概念、定理与证明、重要案例等几个方面进行梳理与分析。
二、重点概念1. Banach空间与Hilbert空间Banach空间是一个完备的赋范向量空间，满足了度量空间的完备性和线性空间的结构特点。
Hilbert空间是一个内积空间，具有完备性和正交性的性质，是泛函分析中较为重要的空间。
根据Banach空间和Hilbert空间的特点，可以推导出许多重要的定理和结论。
2. 连续性与可测性在泛函分析中，连续性和可测性是两个重要概念。
连续性是指函数在某个点附近变化不大，可测性是指函数在某个测度空间上的可观测性。
这两个概念在泛函分析中应用广泛，对于理解和证明定理具有重要意义。
3. 紧算子与谱分析紧算子是泛函分析中一个重要的概念，它具有正规性和有界性。
谱分析是研究算子特征值和特征向量的理论，包括有界线性算子、紧算子和自伴算子等。
这些概念在泛函分析的定理与证明中具有重要作用。
三、定理与证明1. Hahn-Banach定理Hahn-Banach定理是泛函分析中的一大重要定理，它是推广了线性泛函的存在性和唯一性的定理。
定理的证明通常采用分离集和有限子集的方法，通过构造一个满足条件的线性泛函来证明存在性。
这个定理的应用十分广泛，是泛函分析中必须掌握的内容之一。
2. Banach-Steinhaus定理Banach-Steinhaus定理是推广了一致有界原理的定理。
在定理的证明中，一般采用Baire范畴定理和Baire范畴性质来证明。
这个定理的应用范围广泛，例如在泛函分析中的均一化原理和有界线性算子定理中都有应用。
3. 开放映射定理与闭图像定理开放映射定理和闭图像定理都是泛函分析中的重要定理，它们分别给出了开映射和闭图像的条件和性质。
泛函分析复习提要
泛函分析复习提要一、填空1. 设X是度量空间，E和M是X中两个子集，如果 _______ ，那么称集M在集E中稠密。
如果X有一个可数的稠密子集，那么称X是_____ 空间。
2. 设X是度量空间，M是X中子集，假设________________ ，那么称M是第一纲集。
3. 设T为复Hilbert空间X上的有界线性算子，假设对任何x X，有T X T，那么T为_________ 算子。
(Hilbert 空间H上的有界线性算子T是正常算子的充要条件是____________________ 。
)4. 假设复Hilbert空间X上有界线性算子T满足对一切X，::: Tx,x •是实数，那么T为________ 算子。
(Hilbert 空间H上的有界线性算子T是自伴算子的充要条件是____________________ 。
)5. 设X是赋范线性空间，X ■是X的共轭空间，泛函列fn • X (n=1,2,||()，如果存在f • X '，使得对任意的X • X，都有______________ ，那么称｛ f n｝弱*收敛于f。
6•设X,Y是赋范线性空间，T n • B(X,Y)，n =1,2,川，假设存在「B(X,Y)使得对任意的x • X，有 ______________ ，那么称和强收敛于T。
7. 完备的赋范线性空间称为________ 空间，完备的内积空间称为_________ 空间8. 赋范线性空间X到赋范线性空间Y上的有界线性算子T的范数T二____________9. 设X是内积空间，那么称________ 是由内积导出的范数。
10. 设X是赋范空间，X的范数是由内积引出的充要条件是 ______________ 。
11. 设Y是Hilbert空间的闭子空间，贝U Y与Y--满足_______________ 。
12. 设X是赋范空间，T：D(T) X > X的线性算子，当T满足__________________ 时，那么T是闭算子。
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泛函分析复习提要
一、填空
1. 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，如果 ，则称集M 在集E 中
稠密。
如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是 空间。
2. 设X 是度量空间， M 是X 中子集，若 ，则称M 是第一纲集。
3. 设T 为复Hilbert 空间X 上的有界线性算子，若对任何x X ∈，有*T x Tx =，
则T 为 算子。
( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是正常算子的充要条件是 。
) 4. 若复Hilbert 空间X 上有界线性算子T 满足对一切x X ∈，,Tx x <>是实数，则
T 为 算子。
( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是自伴算子的充要条件是 。
)
5.设X 是赋范线性空间，X '是X 的共轭空间，泛函列(1,2,)n f X n '∈=，如果
存在f X '∈，使得对任意的x X ∈，都有 ，则称{}n f 弱*收敛于f 。
6. 设,X Y 是赋范线性空间，(,)n T B X Y ∈，1,2,n =，若存在(,)T B X Y ∈使得对任意的x X ∈，有 ，则称{}n T 强收敛于T 。
7. 完备的赋范线性空间称为 空间，完备的内积空间称为 空间
8. 赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 上的有界线性算子T 的范数T =
9. 设X 是内积空间，则称 是由内积导出的范数。
10.设X 是赋范空间，X 的范数是由内积引出的充要条件是 。
11. 设Y 是Hilbert 空间的闭子空间，则Y 与Y ⊥⊥满足 。
12.设X 是赋范空间，:()T D T X X ⊂→的线性算子，当T 满足 时，
则T 是闭算子。
二、叙述下列定义及定理
1. 里斯（Riesz ）定理；
2. 实空间上的汉恩-巴拿赫泛函延拓定理；
3. 一致有界性定理（共鸣定理）；
4. 逆算子定理；
5. 闭图像定理
6. Banach 压缩映象原理
7. 内积空间
8. 赋范线性空间
三、判断题
1. 距离空间中的收敛点列必是柯西点列.
2. 距离空间中两个不相交的闭集的距离一定大于零.
3. 柯西点列是有界点列.
4.赋范线性空间上的范数一定可以由内积导出.
5.设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 的线性算子,若T 的零空间是闭集,则T 一定有界.
6.赋范线性空间的共轭空间是Banach 空间.
7.Hilbert 空间中任一非空子集的正交补必是闭线性子空间.
8.在赋范线性空间中，弱收敛的点列必定强收敛.
9.任一非零Hilbert 空间都有完全规范正交系.
10. 疏朗集没有内点.
11.赋范线性空间上的连续线性泛函一定有界.
12. Hilbert 空间上的自伴算子必为正常算子.
13. 度量空间中的单点集是疏朗集.
四、证明题
1. Hilbert 空间X 中的正交投影算子为有界线性算子。
2．设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，,,n n x y x y →，
即内积关于两变元连续。
3.证明[,]C a b 完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。
4．证明[,]
||||max ()t a b x x t ∈=为[,]C a b 上范数，并论述证明范数的一般步骤
5．若(,)X ρ是度量空间，则1d ρ
ρ=+也使X 成为度量空间。
6.设X 是赋范线性空间，证明当Y 是Banach 空间，(,)B X Y 也是Banach 空间。
7.设X 是Banach 空间，{}n A ，{}n B 是X 上的两列有界线性算子，设{}n A 和{}n B 分别强收敛于A 和B ，求证{}n n A B 强收敛于AB 。
8.若H 是Hilbert 空间，M 是H 的线性子空间，则： 1）M M ⊥
⊥=；
2）()M M ⊥⊥=
9.设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 中的线性算子，则T 为有界算子的充要条件为T 是X 上的连续算子。
10. 求证：P 是Hilbert 空间X 上的投影算子的充要条件是2P P =且*P P =。
11.设T 为定义在复Hilbert 空间X 上的有界线性算子，若存在常数00α>使0,,Tx x x x α<>≥<>，证明此算子必有有界逆算子1T -且101T α-≤。
12.设A 与B 是定义在Hilbert 空间H 上的两个线性算子, 如果对任意,x y H ∈ 有 ,,,Ax y x By <>=<> 则A 为有界算子且*B A =.。