分类讨论思想在分段函数中的应用
分类讨论思想在数学学习中的运用
分类讨论思想在数学学习中的运用分类讨论思想，是一种对特定题型可能出现的不同情况分不同条件分析讨论进而得出结论的思想，即当题目不能在唯一的情况下进行讨论时，这时就要根据特定的标准将此题人为地划分为若干部分，然后再对各个部分分别求解，最后综合部分解题过程得到答案。
在一些题目中，特别是涉及函数、数列、几何等的题型，只针对一方面进行思考无法得出完整的答案，这就需要学生们进行分类讨论。
其实质是一种逻辑划分的思想，是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，属于思维的范畴，体现出的是一种对数学问题的认识、处理和解决的能力。
分类讨论的具体步骤：1．准确识别出所要讨论的对象，同时明确它的范围；2．确定分类依据，并在此基础上分类，使之不重复也不遗漏；3．逐个攻坚，获取阶段性的结论；4．进行归纳总结，得出完整答案。
一、分类讨论的基本原则能得出完整答案的前提条件是要能准确地利用分类讨论方法，在运用此法分析题目的思考过程中，应确保分类依据的统一性、互斥性、代表性，做到不重、不漏，然后再考虑如何使分类变得更精简，更易于我们下一步的操作。
为了确保分类的准确性，需要遵循如下原则。
1．分类标准的统一性。
分类讨论的难点在于学生不好把握开始讨论的时机，即心中不清楚为何讨论、又从哪方面开始进行，等等。
这就要求我们需要完全理解吃透所用的概念、定理、定义，全面地考虑题目给的条件。
通常情况下，含参数的一元二次不等式的判别式、项的系数、根的大小等，常常是分类讨论划分的依据，学生们也要善于总结这些划分的关键点。
举个例子，根据角的特点把三角形分为锐角、直角、钝角三角形是完全符合要求的。
但是假如把锐角三角形、直角三角形、等边三角形、等腰三角形、钝角三角形等划分在一起，此种分类方法同时用了按边、按角分类两种方法。
要不就按边分，要不就按角分，应该只用一种标准，因此这种分类方法是不正确的。
2．分类标准的互斥性。
各个分类的集合应该彼此互相排斥，即避免各个分类中出现相重合的部分，要不然会造成重复讨论，违背分类讨论的原则。
分段函数在实际生活中的应用
分段函数在实际生活中的应用新课标的不断深化，使得各地的教师了解到应不断强化学生对数学思维方式的检查，特别是将学生生活当作背景，在生活中应用分段函数，和分类探讨实现相结合的一类中考数学问题，极为引人注目。
这一类型的试题可以较好地测试学生对一局部根底功能与知识的掌握情况，也测试学生灵活使用知识处理具体问题的技能。
与此同时，还可以检验学生是够使用动和静、变化和不变、特殊和一般的辩证思维。
处理这一类型问题的重点在于必须将问题归纳成设定条件〔分段函数〕，结合自变量的各种取值范围，开展分类求解，从而实现不重不漏，并进行分层讨论求解。
一、分段函数数学模型概念分段函数的数学模型通常利用函数的方式来表达。
然而，也有一些情况，必须利用几个式子来表达。
如果自变量的值位于不同的域中，函数的表达式就会不同。
这样的函数称为分段函数。
如果自变量的值处在不同的域中，函数的表达式就会不同，这样的函数称为分段函数。
在具体使用时，分段函数当中包含了分类讨论的数学思想。
正是由于我们的日常生活中有许多问题需要各种方式来处理，所以分类讨论思想就变得十分重要。
分段函数是解决数学实际问题的一种很有效的工具。
利用分段函数数学模型，可以处理日常生活中遇到的许多问题。
〔一〕生活中的用水用电问题例如：为促进节能减排的开展，某市制定了以下用电收费标准：当每户月用电量低于120度，电价为a元/度;在超过120度以后，不超过局部依旧是a元/度，其他超过的局部那么是b元/度，据了解，某用户5月份用电115度，电费69元;6月份用电140度，电费94元。
〔1〕求出a、b的值;〔2〕用户每月用电量为小时〔度〕，应付电费为y〔元〕。
首先，分别求出0≤某≤120和某>120时，y和某间的函数关系;其次，如果用户方案在7月份的时候使用电费不超出83元，那么其在7月最多可使用多少度？解：〔1〕结合题目含义〔2〕①在0≤某≤120和某>120时，y=0.6某。
如何求解含参分段函数问题
思路探寻分段函数是中学数学中的重要内容之一.含参分段函数问题经常出现在高考试题中.含参分段函数问题侧重于考查分段函数的值域、定义域、单调性等.含参分段函数问题中不仅含有参数，还含有分段函数，因而这类问题通常较为复杂，往往要灵活运用分类讨论思想、方程思想、数形结合思想来辅助解题.下面结合实例探讨一下不同含参分段函数问题的解法.一、含有一个参数的分段函数问题当分段函数含有一个参数时，问题就具有不确定性，参数通常会出现在函数解析式中或区间分界点处，那么参数就会对函数的性质、图象有所影响，此时需运用分类讨论思想，对参数的取值进行分类，讨论每种情形下函数的解析式以及图象的变化情况，进而求得问题的答案.例1.已知函数f (x )={-x 2+ax ,x ≤1,ax -1,x >1,若存在x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)=f (x 2)成立，则实数a 的取值范围为.解：当a =0时，f (x )={-x 2,x ≤1,-1,x >1,f (x )的图象如图1所示，显然满足题意；当a ≠0时，设g (x )=-x 2+ax ，h (x )=ax -1，则g (x )是一个开口朝下的二次函数，其对称轴方程为x =a 2，h (x )是一次函数.当a2≥1，即a ≥2时，f (x )的大致图象如图2所示，显然不存在x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)=f (x 2)成立，故不满足题意；图1图2当0<a 2<1，即0<a <2时，f (x )的大致图象如图3所示，显然存在x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)=f (x 2)成立，故满足题意；当a 2<0，即a <0时，f (x )的大致图象如图4所示，显然存在x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)=f (x 2)成立，故满足题意.综上可知，实数a的取值范围为(-∞,2).图3该分段函数解析式中含参数a ，且函数f (x )在R 上不是单调函数，所以影响本题的两个关键要素是二次函数的对称轴x =a2以及a 的正负，所以我们从这两个要素入手，对参数进行分类讨论，即分a =0、a ≥2、0<a <2、a <0几种情况讨论函数f (x )的图象，并利用数形结合思想讨论f (x 1)=f (x 2)是否成立.例2.已知x ∈R ，函数f (x )={x -4,x ≥λ,x 2-4x +3,x <λ,若函数f (x )恰有两个零点，则实数λ的取值范围为.5xy6o图5图6解：设g (x )=x -4，h (x )=x 2-4x +3，则g (x )的零点为x =4，h (x )的零点为x =1和x =3.当λ<1时，f (x )的大致图象如图5所示，此时f (x )在R 上有1个零点，故不满足题意；易验证当λ=1时，也不满足题意；李喜春47思路探寻当1<λ<3时，f(x)的大致图象如图6所示，此时f(x)在R上有2个零点，故满足题意；易验证当λ=3时，满足题意；当3<λ<4时，f(x)的大致图象如图7所示，此时f(x)在R上有3个零点，故不满足题意；易验证当λ=4时，也不满足题意；当λ>4时，f(x)的大致图象如图8所示，此时f(x)在R上有2个零点，故满足题意.综上可知，实数λ的取值范围为(1,3]⋃(4,+∞).7oo图78由题意可知，两个函数的零点是确定的，即x=1、3、4，三个零点将x轴分成四段，将四种情形下的λ的值分别代入函数式中进行检验，结合两个函数的图象，将数形结合起来，便可顺利解题.在解答含有一个参数的分段函数问题时，要注意关注参数所在的位置，明确参数对函数的影响，进而确定分类标准；然后运用分类讨论思想对每种情形逐一进行讨论；最后综合所得的结果即可.二、含有两个参数的分段函数问题在解答含有两个参数的分段函数问题时，首先不要只画出函数在定义域内的图象，而是要在同一坐标系中画出每一个区间段上的完整的函数图象；再结合图象，对参数进行分析，明确分类的标准，这样一个清晰的解题方案就形成了.例3.已知函数f(x)={(2a-1)x+3a-4,x≤t，x3-x,x>t，若无论t为何值，函数f(x)在R上总不单调，则实数a的取值范围为.解：设g(x)=(2a-1)x+3a-4，h(x)=x3-x，则h′(x)=3x2当x∈(-∞,+∞)时，h′(x)>0；当x时，h′(x)<0，所以函数h(x)在(-∞,和+∞)上单调递增，在上单调递减.当2a-1>0，即a>12时，在同一平面直角坐标系中画出函数g(x)和h(x)的大致图象，如图9所示.观察图象可知始终存在实数t，使得函数f(x)在R上是单调递增函数，故不满足题意；当2a-1=0，即a=12时，在同一平面直角坐标系中画出函数g(x)和h(x)的大致图象，如图10所示.观察图象可知，无论实数t为何值，函数f(x)在R上总不单调，故满足题意；当2a-1<0，即a<12时，在同一平面直角坐标系中画出函数g(x)和h(x)的大致图象，如图11所示.99观察图象可知，无论实数t为何值，函数在R上总不单调，故满足题意.综上可知，实数a的取值范围为(-∞,12].本题中的分段函数解析式中含有参数a，分界点中也含有参数t，两个参数对函数的图象都有影响，对此，需从函数的单调性入手，分别讨论不同情形下，即当2a-1>0、2a-1=0、2a-1<0时，同一个坐标系中两个函数g(x)和h(x)的图象的变化趋势以及单调性.三、含有三个参数的分段函数问题当遇到含有三个参数的分段函数问题时，需对题目条件和参数进行认真的分析，并将抽象的解析式用图象呈现出来，明确参数对函数图象、性质、大小的影响，以确定分类讨论的标准，最终在不断的尝试和分析中确定一个好的方案对问题加以解答.例4.已知函数f(x)={e x+m-1,x≥0，ax+b,x<0，其中m<-1，x1∈R，且对于任意x1≠0，均存在唯一实数x2，使得48思路探寻数列是数学高考的必考内容之一.近几年的高考数学全国卷试题中的数列问题侧重于考查等差和等比数列的通项公式、性质、前n项和公式的应用.求数列和的方法很多，其中错位相减法比较常用.等比数列前n项和的公式Sn=a1(1-q n)1-q(q≠1)就是用错位相减法求得的.如果一个数列的通项公式可以变形为一个等差数列与一个等比的通项公式的乘积，我们就可以用错位相减法求数列的和.错位相减法的运用步骤为：第一步，根据数列的通项公式列出数列的前n项和式，并将其记为①式；第二步，在①式的左右两边同乘以等比数列的公比q，得到②式；第三步，将②式右边的式子与①式右边的错开一位，使q的指数相同的项对齐；第四步，将两式相减，合并同类项，并提取公因式；第五步，构造出等比数列，利用等比数列的前n 项和公式进行求和，并化简.例1.若数列{}a n是以a1为首项，d为公差的等差数列，数列{}b n是以b1为首项，q(q≠1)为公比的等比数列，令c n=a n b n，求数列{}c n的前项和T n.解：T n=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+a n−1b n−1+a n，①qTn=a1b1q+a2b2q+a3b3q+⋯+a n−1b n−1q+a n b n q=a1b2+a2b3+a3b4+⋯+a n−1b n+a n b n q，②由①-②得：(1-q)T n=a1b1+d(b2+b3+⋯+b n−1+b n) -a n b n q，当q≠1时，Tn=a1b1+d()b2+b3+⋯+b n−1+b n-a n b n q1-q=a1b1+déëêêùûúúb2()1-q n−11-q-a n b n q1-q周永松。
分段函数(含答案)
22、（2013•湖州）某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函数如图①所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n（亩）之间函数关系如图②所示．（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是140元，小张应得的工资总额是2800元，此时，小李种植水果10亩，小李应得的报酬是1500元；（2）当10＜n≤30时，求z与n之间的函数关系式；（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10＜m≤30时，求w与m之间的函数关系式．考点：一次函数的应用．分析：（1）根据图象数据解答即可；（2）设z=kn+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；（3）先求出20＜m≤30时y与m的函数关系式，再分①10＜m≤20时，10＜m≤20；②20＜m≤30时，0＜n≤10两种情况，根据总费用等于两人的费用之和列式整理即可得解．解答：解：（1）由图可知，如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是（160+120）=140元，小张应得的工资总额是：140×20=2800元，此时，小李种植水果：30﹣20=10亩，小李应得的报酬是1500元；故答案为：140；2800；10；1500；（2）当10＜n≤30时，设z=kn+b（k≠0），∵函数图象经过点（10，1500），（30，3900），∴，解得，所以，z=120n+300（10＜n≤30）；（3）当10＜m≤30时，设y=km+b，∵函数图象经过点（10，160），（30，120），S ∕海里 13 0 5 8 150 t ∕小时343 ∴，解得， ∴y=﹣2m+180，∵m+n=30，∴n=30﹣m ，∴①当10＜m ≤20时，10＜m ≤20，w=m （﹣2m+180）+120n+300，=m （﹣2m+180）+120（30﹣m ）+300，=﹣2m 2+60m+3900，②当20＜m ≤30时，0＜n ≤10，w=m （﹣2m+180）+150n ，=m （﹣2m+180）+150（30﹣m ），=﹣2m 2+30m+4500，所以，w 与m 之间的函数关系式为w=．点评： 本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，（3）难点在于要分情况讨论并注意m 、n 的取值范围的对应关系，这也是本题最容易出错的地方．19、（2013凤阳县县直义教教研中心）（本小题满分10分）黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富.一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼.捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航.渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛.下图是渔政船及渔船与港口的距离s 和渔船离开港口的时间t 之间的函数图象.（假设渔船与渔政船沿同一航线航行）（1）直接写出渔船离港口的距离s 和它离开港口的时间t 的函数关系式.（2）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离.（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？解：（1） 当0≤t ≤5时 s=30t ………………………………（1分） 当5＜t ≤8时 s =150 …………………………………………… （2分）当8＜t ≤13时 s =－30t +390 ………………………………………（3分）（2） 渔政船离港口的距离与渔船离开港口的时间的函数关系式设为s =kt +b………………………………………………（4分）解得： k =45 b =－360∴s =45t －360 ………………………………………………（5分）解得 t =10 s =90渔船离黄岩岛距离为 150－90=60 （海里） ……………………………（6分）(3) S 渔=－30t +390S 渔政=45t －360分两种情况：① S 渔－S 渔政=30－30t +390－（45t －360）=30解得t =485（或9.6） -……………………………………………… （8分） ② S 渔政－S 渔=3045t －360－（－30t +390）=30解得 t =525（或10.4） ∴当渔船离开港口9.6小时或10.4小时时，两船相距30海里. (10)17、（2013•徐州）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示： 每月用气量 单价（元/m 3）不超出75m 3的部分2.5 超出75m 3不超出125m 3的部分a 超出125m 3的部分a+0.25 （1）若甲用户3月份的用气量为60m 3，则应缴费 150 元；（2）若调价后每月支出的燃气费为y （元），每月的用气量为x （m 3），y 与x 之间的关系如图所示，求a 的值及y 与x 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若乙用户2、3月份共用1气175m 3（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？B考点：一次函数的应用．分析：（1）根据单价×数量=总价就可以求出3月份应该缴纳的费用；（2）结合统计表的数据）根据单价×数量=总价的关系建立方程就可以求出a值，再从0≤x≤75，75＜x≤125和x＞125运用待定系数法分别表示出y与x的函数关系式即可；（3）设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气（175﹣x）m3，分3种情况：x＞125，175﹣x≤75时，75＜x≤125，175﹣x≤75时，当75＜x≤125，75＜175﹣x≤125时分别建立方程求出其解就可以．解答：解：（1）由题意，得60×2.5=150（元）；（2）由题意，得a=（325﹣75×2.5）÷（125﹣75），a=2.75，∴a+0.25=3，设OA的解析式为y1=k1x，则有2.5×75=75k1，∴k1=2.5，∴线段OA的解析式为y1=2.5x（0≤x≤75）；设线段AB的解析式为y2=k2x+b，由图象，得，解得：，∴线段AB的解析式为：y2=2.75x﹣18.75（75＜x≤125）；（385﹣325）÷3=20，故C（145，385），设射线BC的解析式为y3=k3x+b1，由图象，得，解得：，∴射线BC的解析式为y3=3x﹣50（x＞125）（3）设乙用户2月份用气xm 3，则3月份用气（175﹣x ）m3，当x ＞125，175﹣x ≤75时，3x ﹣50+2.5（175﹣x ）=455，解得：x=135，175﹣135=40，符合题意；当75＜x ≤125，175﹣x ≤75时，2.75x ﹣18.75+2.5（175﹣x ）=455，解得：x=145，不符合题意，舍去；当75＜x ≤125，75＜175﹣x ≤125时，2.75x ﹣18.75+2.75（175﹣x ）=455，此方程无解．∴乙用户2、3月份的用气量各是135m 3，40m 3．点评： 本题是一道一次函数的综合试题，考查了单价×数量=总价的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，分段函数的运用，分类讨论思想在解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键．（2012湖北黄石，23，8分）某楼盘一楼是车库（暂不出售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）．商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为120平方米．开发商为购买者制定了两种购房方案：方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）．方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a 元）⑴请写出每平方米售价y （元/米2）与楼层x （2≤x≤23，x 是正整数）之间的函数解析式． ⑵小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？⑶有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据阐明你的看法．【答案】（1）①当2≤x ≤8时，每平方米的售价应为：3000－（8－x ）×20＝20x ＋2840 (元／平方米)②当9≤x ≤23时，每平方米的售价应为：3000＋（x －8）·40＝40x ＋2680(元／平方米)∴{8)x (22840,20x 23)x (92680,40x ≤≤+≤≤+=y ， x 为正整数（2）由（1）知：①当2≤x≤8时，小张首付款为（20x ＋2840）·120·30%＝36（20x ＋2840）≤36（20·8＋2840）＝108000元＜120000元∴2～8层可任选②当9≤x≤23时，小张首付款为（40x ＋2680）·120·30%＝36（40x ＋2680）元36（40x ＋2680）≤120000，解得：x ≤3116349= ∵x 为正整数，∴9≤x ≤16综上得：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层．（3）若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为：y 1＝(40·16＋2680) ·120·92%－60a （元）若按老王的想法则要交房款为：y 2＝(40·16＋2680) ·120·91%（元）∵y1－y2＝3984－60a∴当y1＞y2即y1－y2＞0时，解得0＜a＜66．4，此时老王想法正确；当y1≤y2即y1－y2≤0时，解得a≥66．4，此时老王想法不正确．。
高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析
高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.设，求的值。
【答案】【解析】先求出来，再由求出，一定要注意定义域选择好解析式．又，而【考点】分段函数的求值2.已知函数,若,则实数的值为 .【答案】【解析】当时，则有，解得或（舍去）；当时，则有，解得，所以．【考点】分段函数的求值．3.已知函数的定义域为集合.（1）若函数的定义域也为集合，的值域为，求；（2）已知,若,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）对数定义域真数大于零求定义域，有真数范围，求值域；（2解不等式（注意移项通分）化分式不等式为整式不等式，，对大小关系分三类讨论，再分别求满足的值.试题解析：（1）由，得，， 2分， 3分当时，，于是，即， 5分，。
7分（2））由，得，即． .8分当时，，满足； 9分当时，，因为，所以解得， 11分又，所以；当时，，因为，所以解得，又，所以此时无解； 13分综上所述，实数的取值范围是． 14分【考点】1.函数定义域值域；2.分类讨论思想；3.集合运算.4.设，则（）A．B．0C．D．【答案】C【解析】，故选C【考点】分段函数5.设，则【答案】【解析】由分段函数有.【考点】分段函数的定义域不同解析式不同.6.已知函数，则【答案】【解析】假设，则，所以=，即.【考点】本题考查的是复合函数的知识点，本题的解法是常用的思维方式，要切记.7.已知 (且)在上是的减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】是定义域内的减函数，又是定义域内的增函数，由复合函数的单调性知(且)在定义域内单调递减，所以对于此题只需恒成立，即恒成立，，，又所以.故选B.【考点】复合函数的单调性8.函数，则（）A．５B．４C．３D．２【答案】D【解析】，所以答案选.【考点】分段函数的求值9.如果函数f(x)的定义域为，且f(x)为增函数，f(xy)=f(x)+f(y)。
（1）证明：；（2）已知f(3)=1，且f(a)>f(a-1)+2，求a的取值范围。
专题07分类讨论思想在分段函数中的应用-高考数学解题模板.doc
专题7分类讨论思想在分段函数中的应用【高考地位】分段函数是高中数学中一类重要的函数类型，不仅能考查函数的概念、表示及性质，而且能有效考查学生分类讨论的数学思想方法，培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力，因此掌握分 段函数的几类常见问题是必要的，下面针刈•分段函数的特征归纳三类问题：求值问题、单调性问题和最值 问题。
【方法点评】类型一求值问题使用情景：分段函数的求值问题类型二单调性问题使用情景：分段函数的单调性问题解题模板：第一步通过观察分析，袂圧如何对白变量进行分类;第二步通过运算、变形，利用对数运用.指数运算等，将问题转化为对数型方程、指数型方程等类型加以求解;第三步得出结论.例1已知函数f(x) =2x+a,x< I1呃21'若/叫则2()A. 16B. 15C. 2【变式演练1】在函数y =x + 2, x<-1x 2, -l<x<2 中,2X 9 X >2若f(x) = 1,则兀的值是(A. 1C- ±1D. V3【变式演练2】函数f(x) =log 2 X, x 2 +4x + l,x>0x<0若实数a 满足/(/«))=1，则实数a 的所有取值的和为A. 1B.・J1615C16D. -2解题模板：第一步通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步根据常见函数的单调性，分别计算每段函数的单调性；第三步满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）；第四步得出结论.[X2,XG [0,+8）例2已知函数= j ?+ / 3 +2 0在区问（—T+x）上是增函数,则常数d的取值范围是（）A.(L2)B. (一。
o,l]U[2,+oo)C. [1,2]D. (一。
o」)U(2,+oo)_ Y - 1 A y y V- 八一，若函数J = /(x)在区间(Q, d+1)上单调递增，则实数log2x y x> 4G的取值范围是()A.(_oo , 1 ]B. [1, 4]C. [ 4, +oo )D. (-8, 1 ] U [4, +8 )（3Q-1）X +4Q,X v 1【变式演练4】已知函数f（x） = \在/?是单调函数，则实数Q的取值范围是[log“x, x>l类型三最值问题使用情景：分段函数的最值问题解题模板：第一步通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步根据常见函数的最值，分别计算每段函数的最值；第三步满足函数在整个区间上的最值，即比较每段函数的最值大小，谁最大谁是最大值，谁最小谁是最小值；第四步得出结论.例3 设函数g(x) = x2 - 2(XG /?), /(x) 则/(兀)的值域是( ) \g(x)-x y x>g(x)A. [0, +oo)B.[-p+oo)49QC. [--,0]U(l,+oo)D. [--,0]U(2,+oo)44(兀一 兀 SO,例4 /(x) =1 若/(0)是/⑴的最小值，则。
“分段函数”的应用案例
“分段函数”的应用案例开元职校吴为在平常数学教学中展示出来的书本世界抽象性太强，与真实的世界有着不少的差距，因此许多不爱数学的学生就常常会把数学与生活剥离开来。
事实上，数学与生活是密不可分的。
以下是我们生活中常见的几个例子。
案例一：目前杭州市出租车的运价标准为：起步价是前4公里10元，基本单价每公里2元，在运送途中因红灯或乘客原因停车时，累计5分钟以1公里计。
太原市出租车的运价标准为：日间起程价前4公里7元，基本单价每公里1元；夜间起程价前4公里7.8元，基本单价1.2元／公里；停车等待计费标准为累计5分钟以1公里计。
案例二：近年来，由于用电紧张，用电成本增加，为使居民节约用电，浙江省2004年8月1日抄见电量开始执行新的居民生活用电价格。
一户一表居民用户实施阶梯式累进电价：月用电量低于50千瓦时（含50千瓦时）部分不调整；月用电量在50千瓦时—200千瓦时部分，电价每千瓦时上调0.03元；月用电量超过200千瓦时部分，电价每千瓦时上调0.10元。
执行峰谷电价的居民用户以总电量与阶梯基数比对进行计算。
居民合表用户和学校等集体用户的电价每千瓦时上调0.02元。
双月抄表的一户一表居民用户的阶梯基数电量按标准月度基数电量乘二执行。
对于调价当月抄表计算的双月抄表居民用户，本次抄见电量的一半按原电价计算，另一半按照调整后新电价计算，阶梯基数电量执行标准月度基数电量。
案例三：《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分全月应纳税款按下述标准分段累计：不超过500元的部分税率为5%；超过500元至2000元的部分税率为10%；超过2000元至5000元的部分税率为15%；超过5000元至20000元的部分税率为20%；超过20000元至40000元的部分税率为25%；超过40000元至60000元的部分税率为30%；超过60000元至80000元的部分税率为35%；超过80000元至100000元的部分税率为40%；超过100000元的部分税率为45%。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想在高中数学解题中的应用浙江省丽水中学 323000摘要：分类讨论是数学中一种重要的思想方法，也是一种重要的解题策略，在人教版普通高中数学新教材以及全国各地高考试卷中，都有丰富的表现。
本文结合集合、函数、概率和解析几何的相关例题，介绍分类讨论思想在高中数学解题中的重要应用。
关键词：分类讨论；高中数学；解题数学教学内容贯穿着两条主线，即数学基础知识和数学思想方法。
数学基础知识是一条明线，直接写在教材里，反映着知识间的纵向联系。
数学思想方法则是一条暗线，反映着知识间的横向联系，常常隐藏在基础知识的背后，需要人们加以分析、提炼才能显露出来。
在人教版普通高中数学新教材以及全国各地高考试卷中，分类讨论思想表现丰富多彩，从集合、函数、概率、到解析几何都会涉及分类讨论的思想。
本文主要通过典型例题来介绍分类讨论思想在高中数学解题中的重要应用，突出应用的关键是找准分类标准，做到不重不漏。
1.分类讨论思想在集合中的应用1.1集合中的元素具有确定性、无序性和互异性的特点，在分析集合所含元素情况时，常常会涉及分类讨论。
例1.已知集合，若，求的值。
【思路探寻】本题考查交集概念，要理解是两个集合的共同元素，即-3∈A，且-3∈B，因，则，都有可能是，因而要分类讨论，逐一求解，需注意验证元素的互异性以及是否满足题意。
1.2与集合子集有关的问题，解题时常需对已知集合的子集进行分类讨论。
特别地，“空集是任何集合的子集”，“空集是任何非空集合的真子集”。
例2．设集合若，求实数的取值范围。
【思路探寻】由得是的子集。
因为有2个元素，所以集合B的元素个数为2，1或0个，因而要分类讨论，逐一求解。
特别地，空集是任何集合的子集。
因此，要考虑是空集的特殊情况。
2. 分类讨论思想在函数中的应用2.1函数概念引起的分类讨论。
如分段函数在定义域的不同区间内函数的解析式不同，因此，求分段函数的函数值时需要对的范围进行分类讨论。
例3.设函数，则满足的的取值范围是。
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.设集合A=，函数，当且时，的取值范围是。
【答案】【解析】,解得,【考点】分段函数2.设函数，若，则 .【答案】【解析】若，则，所以，无解；若，则，所以，解得.故.【考点】分段函数，复合函数，容易题.3.设，则f（6）的值( )A．8B．7C．6D．5【答案】B【解析】.【考点】分段函数的函数值.4.已知函数.若，则的取值范围是 .【答案】【解析】当时，，∴；当时，，∴，综上所述的取值范围是.【考点】1、分段函数；2、一元二次不等式的解法.5.若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由已知得，函数的最大值是，所以要使得不等式存在实数解，则，解得或.【考点】1.分段函数的图像与性质；2.解不等式6.已知函数，则= .【答案】【解析】这是分段函数的函数值计算问题，计算时一定要分清楚自变量的范围．．【考点】分段函数．7.,则 .【答案】【解析】,.【考点】分段函数求值.8.已知函数则的值是 .【答案】【解析】，.【考点】分段函数求值.9.已知函数，，若函数有两个不同的零点，则实数的取值为( )A．或B．或C．或D．或【答案】D【解析】画出函数的图像如图.将的值代入解析式，然后画出图像，可知符合题意 .【考点】1.分段函数；2.数形结合.10.已知函数，则满足方程的所有的的值为 .【答案】0或3【解析】当时，，解得；当时，，解得.综上.【考点】1.分段函数；2.指数、对数函数的求值11.已知函数的图像在点处的切线方程为.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值；（Ⅲ）若曲线上存在两点使得是以坐标原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时在[-1，2]上的最大值为2，当时在[-1，2]上的最大值为；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）由题意先对时的函数进行求导，易得，解得；（Ⅱ）因为函数为分段函数，要求在区间上的最大值，需分别求区间和上的最大值，当时，应对函数进行求导，求函数的单调性，从而求区间上的最大值；当时，应对函数分两种情况讨论，可得结论；（Ⅲ）根据条件可知的横坐标互为相反数，不妨设，其中，若，则，由是直角，得，即，方程无解；若，则由于中的中点在轴上，且，所以点不可能在轴上，即同理有，，得的范围是.试题解析：（I）当时，因为函数图象在点处的切线方程为，所以切点坐标为且解得. 4分（II）由（I）得，当时，令，可得或在和上单调递减，在上单调递增，所以在上的最大值为，当时，,当时，恒成立此时在[-1，2]上的最大值为；当时在[1，2]上单调递增，且，令则，所以当时在[-1，2]上的最大值为，当时在[-1，2]上的最大值为，综上可知，当时在[-1，2]上的最大值为2，时当时在[-1，2]上的最大值为. 9分（III）根据条件可知的横坐标互为相反数，不妨设，其中，若，则，由是直角，得，即，即此方程无解；若，则由于中的中点在轴上，且，所以点不可能在轴上，即同理有，，令由于函数的值域是所以实数的取值范围是 14分【考点】1、分段函数；2、利用导数求函数的单调性及最值；3、函数与导数的综合应用.12.已知函数的定义域为，则的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于复合函数的定义域为，即，所以，故函数的定义域为，故选C.【考点】复合函数的定义域13.已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 .【答案】.【解析】当时，，此时函数单调递减，则有，，当，，此时，则函数在上单调递增，，即，故函数在上的值域为，，所以，所以，由于，，，故有或，解得.【考点】1.函数的值域；2.存在性命题14.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）A．[1，2]B．[0，4]C．（0，4]D．[，4]【答案】D【解析】依题意，得，即，故 .【考点】1.抽象函数的定义域；2.不等式的解法.15.某商场宣传在“五一黄金周”期间对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次性购物不超过200元，不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（）A．608元B．574.1元C．582.6元D．456.8元【答案】C【解析】根据题意，应付款付款176元时没有折扣.付款432元时标价为432÷0.9=480（元）.故两次购物的标价为176+480=656（元）.500×0.9+（656-500）×0.85=582.6(元).【考点】分段函数.16.设函数，若是奇函数，则 .【答案】2【解析】依题意，由于是奇函数，，.【考点】分段函数，函数的奇偶性.17.已知.①若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；②若函数f(x)在区间（－∞，1－）上是增函数，求实数m的取值范围.【答案】① ;②.【解析】①根据复合函数中的对数函数和二次函数的图像和性质解题确定m的取值；②由复合函数的性质，结合二次函数的图像解题，判断区间端点与对称轴的位置关系，注意复合函数单调性的判断是本题的关键.试题解析：①设,要使得函数的值域为R，则能取遍所有的正数, 2分则有, 4分解得; 6分②函数的底数是，那么若函数f(x)在区间（－∞，1－）上是增函数,函数在区间上是减函数, 8分则有, 10分解得. 12分【考点】复合函数的性质，对数函数和二次函数的图像和性质的应用.18.已知函数则______.【答案】【解析】 , ,所以.【考点】分段函数求函数值.19.设函数则关于x的方程的根的情况，有下列说法：①存在实数k，使得方程恰有1个实数根②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实数根③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实数根④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实数根其中正确的是（）A．①③B．①②C．②④D．③④【答案】B【解析】因为所以，当时，，，所以当时，关于x的方程的恰有一个实根，则①正确.当时，，所以当时，关于x的方程的恰有2个不相等实根，则②正确；③④错误.【考点】分段函数，方程的根的判断.20.已知函数，则满足的的取值范围是______．【答案】【解析】解不等式组得，解不等式组得，综上得的取值范围是【考点】分段函数的意义、解不等式.21.已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】排除法：令，则不等式变为，又因为函数是定义在R上的偶函数，所以有，成立，故排除B；令，则不等式变为，即，，而已知函数在区间单调递增，所以不成立，排除A、D，故选C.【考点】本小题主要考查抽象函数的性质（单调性、奇偶性）等基础知识，考查分析问题与解决问题的能力.3)＝22.已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)．则f(2＋log2 A．B．C．D．【答案】A.3)＝，【解析】因为，所以f(2＋log2又，所以.【考点】分段函数的应用．点评：本题考查分段函数求值及指数对数的性质，对基本运算规则掌握的熟练程度要求较高．23.已知函数若，则实数x的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出该分段函数的简图可知，该函数在R上单调递增，所以.【考点】本小题主要考查函数单调性的应用和一元二次函数的解法.点评：解决此类问题，关键是求出已知函数的单调性，而分段函数不论分成几段，始终是一个函数.24.若且，在定义域上满足，则的取值范围是（）A．（0,1）B．[，1）C．（0，]D．（0，]【答案】B【解析】根据分段函数单调性是增函数，则说明每一段都是增函数，同时在x=0处的函数值，3a ,故可知，同时要满足,然后求其交集得到为[，1），故选B.【考点】函数单调性点评:解决的关键是理解已知中表示的含义是说函数在定义域内是递增的，属于基础题。
分类讨论思想在高中数学教学中的应用探究
㊀㊀㊀㊀㊀１１６㊀分类讨论思想在高中数学教学中的应用探究分类讨论思想在高中数学教学中的应用探究Һ祁㊀飞㊀（静宁县第二中学，甘肃㊀静宁㊀７４３４００）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学思想展现了数学学科的本质，而在高中数学课程教学中渗透数学思想则是促进学生数学知识学习㊁学习能力培养㊁提升思维品质的基本要求．分类讨论思想是高中阶段最重要的数学思想之一，学生在日常解题中时常用到．因此，教师应结合高中课程教学对分类讨论思想进行渗透．本文从分类讨论思想的含义出发，结合教学案例分析分类讨论思想的应用策略，以及其中应注意的问题，希望对提高学生的数学学习能力提供借鉴．ʌ关键词ɔ分类讨论思想；高中数学教学；实践及应用策略引㊀言分类讨论是一种常见的解决问题的逻辑方法，也是一种数学思想．我们在解决数学问题的时候，如果题目中所给的对象无法按现有条件进行统一研究，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后按照这些分类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到对原问题的整个解答．在核心素养理念指导下，促进学生的思维发展是高中数学教学的重要任务，在学生学习探究中融入分类讨论思想有利于帮助其简化研究对象，提升其逻辑思维能力．在高中数学教学日常实践中，教师可以结合当前所教课程内容㊁学生的学情现状和发展需要进行分类讨论思想的渗透．一㊁分类讨论思想基本概述在高中数学中，结合不同题目的特点以及不同类型题目之间的关联点，将数学题以及数学概念划分成不同的种类，并且进行归纳，这种思想就称为分类讨论思想．分类和讨论之间是有联系的，讨论的前提是学生对数学概念和数学问题进行分类．面对同一类题目，学生需要找出它们之间的共同点与联系之处，做到不同题目有着相同的解法，以此提高解决高中数学题目的效率和速度．讨论就是要让学生对归纳和总结的题目进行讨论，找出这些题目之间有关联的地方，最后再做出总结．所以教师在引领学生利用分类讨论思想解题时，一定要让学生先掌握这类解题方法的内涵和实际应用意义，再进行严谨和周密的训练和讨论，最后得出正确的结论．学生在做题的时候很容易遗漏某些知识点，最终对解题结果造成影响，因此教师必须给予其正确的引导，使他们在学习和训练的阶段就养成良好的学习习惯，培养分类讨论的思想和意识．二㊁在高中数学中分类讨论思想的重要意义如果用普通的方式无法解决问题，或者问题本身存在较多的解决办法和答案，这时可能就需要利用讨论的方式找到正确的问题结论．高中数学教师在教学过程当中高效应用分类讨论思想，可以有效强化学生的综合素养，帮助学生提升数学思维能力．教师在教学工作中渗透分类讨论思想，可以培养学生的综合能力，有助于他们在实际的解题过程中拓宽思路，建立完整的数学体系，从而理解课堂教学当中的相关知识点，进一步强化思维逻辑．三㊁应用分类讨论思想的原则高中数学教师在实际的教学过程中引导学生运用分类讨论思想，在帮助学生分析问题和解决问题的过程中非常重要．据此，学生可以科学㊁有逻辑地划分那些复杂的数学问题，然后结合不同的条件进行分析，从而制造更好的机会进行后续的解题．高中数学教师在应用分类讨论思想的过程中，一定要重视层次性㊁统一性和相对性．层次性是指学生在完成分类之后能够进一步讨论子项，这样才能呈现得更加清晰，将分类讨论思想的作用充分发挥出来．统一性是指在实际的教学过程中要对分类标准进行统一．相对性则是指在完成数学分类之后，要保证子项和母项之间保持相对统一．高中数学教师若是想借助分类讨论思想对教学效果和质量进行有效的提升，就要在实践教学中总结方法并合理运用，遵循一定的原则，分析数学问题．四㊁分类讨论思想在高中数学教学中的应用策略（一）充分把握教材内容，精准挖掘分类讨论思想分类讨论思想是对数学具体知识的进一步提炼概括，是以数学具体知识为载体的对数学具体知识的本质认识，是一种隐性的知识．因此，教师在教学研究中需要深入分析教材，从隐性知识中挖掘能够体现分类讨论思想方法的内容，抓住思想渗透的关键点，并通过课程整合潜移默化地展开教学．例如，讲解集合知识时，集合按照元素可以划分为有限集㊁无限集㊁空集三种形式，教师可以据此设计题目，启发㊀㊀㊀１１７㊀㊀学生思考不同集合限制的解的范围．同时，教师可以结合集合之间的关系引导学生讨论不同情况下集合包含的元素等，并结合不同条件下集合包含的元素强化学生对分类讨论的认识．再如，教师在课堂讲解中可以设计例题，要求学生到讲台进行解答，有的学生会出现遗漏讨论条件的情况，此时教师可以要求其他学生给出不同看法，从而引导学生在认知的碰撞中不断细化分类讨论过程．这样的教学设计可以让学生对分类思想有一个初步的认识，使他们以后做题时也能够有意识地考虑多种情况，为分类讨论思想的运用奠定基础．（二）高度重视知识生成，加强并持续强化分类讨论训练分类讨论思想的渗透过程也是学生知识生成的过程，因此，教师应围绕学生的思想互动，引导其逐渐探索，并设计训练强化的机会，促使学生逐渐发现问题，恰当运用方法，精细地探究分类讨论思想的本质．在教学训练中，高中数学教师应注意以下两点：第一，灌输性思维不利于学生的思想发展．在利用分类讨论思想时，教师应该在教学过程中不断向学生提供丰富的㊁典型的㊁正确的并且是更为直观的背景材料，引导学生对感性材料进行分析㊁综合㊁比较㊁分类㊁抽象㊁概括㊁系统化㊁具体化，在培养学生理性思维的同时，促使学生逐渐认识到分类讨论存在的重要性．例如，在讲解分段函数概念时，教师并不直接给出定义，而是结合生活中出租车计价问题启发学生主动发现问题，通过分析路程与费用的变化情况更加直观地理解分段函数的含义．第二，强化学生的问题意识，引导学生能够对相关结论进行质疑．教师要提醒学生不要过早下结论，而要经历探索㊁发现㊁推导的过程，在严密的逻辑下得出结论，这样才能保证学生准确运用分类讨论方法，提高教学训练效果．（三）悉心引导总结归纳，促使学生提炼分类讨论思想的精华分类讨论思想渗透于高中数学教材各章节中，比较分散，学生在学习的过程中难以形成系统的总结与提炼．针对此，教师在教学实践中应利用单元小结或复习的时间，为学生进行集中讲解，帮助学生梳理知识，强化对分类讨论思想的认识．例如，在围绕 函数的单调性 而进行的分类讨论思想的教学指导中，教师可针对分类讨论的顺序引导学生结合不同题目思考按照层级讨论㊁按照平移顺序讨论的不同，并进行集中总结，使学生有针对性地理解在函数单调性的知识学习中分类讨论的原则㊁分类讨论的方法以及一般步骤等．此外，教师还可以结合知识点，引导学生整理引起分类讨论的原因，启发学生思考简化分类讨论甚至避免讨论的相关策略．这样，学生在学习分类讨论思想的过程中，一方面可以集中探究，提升学习与应用的效果，构建分类讨论的知识体系，另一方面还能够促使学生优化学习过程，提高知识运用的灵活度．（四）审视错题解析，指导学生突破分类讨论思想的难点错题是一种重要的学习资源，教师要引导学生充分利用错题资源．在利用分类讨论思想解题的过程中，学生经常会出错，如在讨论有关等比数列前ｎ项和的计算问题的时候，往往会漏掉ｑ＝１的情况；在讨论ɑｘ２＋２ｘ＋１＝０的解集的时候，往往会漏掉ａ＝０的情况等．针对这些错误，教师应要求学生利用错题本进行收集整理，并主动反思，避免以后发生类似错误．在错题反思中，学生首先要思考 为什么会做错 ，是根本没有想到需要讨论，还是讨论的条件划分不清，抑或是讨论的方法不对等．在回答了这些问题后，学生才能 对症下药 ，主动纠错．接下来，学生需要思考 怎么才能不出错 的问题．例如错题是不是由于审题不清造成的，如果是，题目中的 陷阱 在哪里，以后在解题中应该重点关注哪些词语㊁条件等，这样才能做好提前预防，防止再次犯错．最后，学生应该及时改错，不应拖延㊁推脱，而是第一时间改错，并做好解析，给出正解，梳理总结，逐个突破分类讨论学习中遇到的问题．（五）师生充分联动，在互动中巩固学生对分类讨论思想的掌握在高中数学中，一些复杂的题目往往需要运用多种方法配合解答．教师可以引导学生利用分类讨论思想，打破思维的局限性，实现不同知识㊁方法之间的联动，从而提升学生对数学知识的掌握效果．例如，数形结合是高中阶段学生需要掌握的另一种思想方法，在分类讨论思想教学中渗透数形结合可以让分类更加细化，降低学生思考的难度．例如题目：已知函数：ｆ（ｘ）＝１３ｘ３－１２（ａ＋１）ｘ２＋ａｘ－１（ａɪＲ），讨论函数ｆ（ｘ）在［０，＋ɕ）上的单调性．在解答此题时，教师可以指导学生根据ａ＝１，ａ＜１，ａ＞１三种情况进行讨论，并绘制相应的二次函数图像，通过观察图像直观分析函数在不同区间的单调性．这样可以提高学生分类讨论的效果，也能够帮助学生强化对数学思想的体会．（六）培养学生对分类讨论思想的兴趣兴趣是学生最好的老师，教师在高中数学的教学实践㊀㊀㊀㊀㊀１１８㊀中，除了要教授基础知识之外，还要培养学生对数学这门学科的兴趣，从培养学生分类讨论思想的方法出发，让学生能够积极主动地参与到课堂学习当中．当前阶段学生面临的学习压力很大，同样教师的教学任务也比较艰巨，但是因为种种原因，有一部分学生在课堂中往往会感觉到枯燥乏味，这些不良因素的干扰，导致学生的学习效率低下．因此，教师可以利用分类讨论思想培养学生的学习兴趣．这样不但可以完成相关的教学目标，而且能够丰富课堂教学模式，进而提高数学教学效率．在教学实践中，教师要培养学生随时运用分类讨论思想进行学习，并且在学习和复习的各个阶段将分类讨论思想融会贯通．例如，在讲解指数函数和对数函数时，为了让学生能够画出指数函数和对数函数的图像，教师可以利用分类讨论思想引导学生对指数函数以及对数函数相关的问题进行讨论，从而将复杂的问题简单化，将抽象的问题具体化．因此，高效利用分类讨论思想，可以有效强化学生的学习兴趣，提高课堂学习效率，从根本意义上提高学生的数学成绩．（七）不同题目采取不同的分类讨论形式分类讨论思想是一种相对来说比较先进，并且在教学中具有一定效果的㊁成熟的教学思想，其能够将学生的思维模式和思考方式充分激发出来，帮助学生对他们的视野和思维进行有效的拓展．在实际的教学过程当中，教师需要考虑学生的个体差异性，重视学生之间不同的学习能力以及不同数学题目的不同难度，而不是进行盲目的讨论．尤其是面对不同类型的题目，高中数学教师在利用分类讨论思想时一定要使用不同的方式引导学生．例如，高中数学教师在实际的教学过程中为了能够照顾数学水平不同的学生，让他们都能够体会到分类讨论思想带来的意义和作用，就可以将相同类型㊁不同难度的题目进行分类，利用这种方式帮助学习能力不同的学生找到适合他们的问题，在最大的限度内将学生的潜能充分发挥出来，开展针对性教学．五㊁在高中数学教学中应用分类讨论思想应注意的问题在高中数学教学实践中，教师要想引导学生准确把握分类讨论思想，并在实践中灵活运用，需要注意以下几点：第一，既要直接讲解又要重视数学思想的渗透．在日常练习中，学生时常会遇到需要分类讨论进行解答的题目，教师可以针对题目引导学生集中分析分类讨论的运用技巧．此外，教师还应注重日常教学的渗透，即将分类讨论思想潜移默化地融入概念㊁性质㊁法则㊁公式㊁公理㊁定理等数学知识中来，不直接点明分类讨论思想，却潜移默化地引导学生体验㊁领会．第二，注重教学的渐进性，引导学生由浅入深逐渐掌握分类讨论的方法．分类讨论思想的渗透需要学生经历感性到理性㊁从领会到形成㊁从巩固到应用的发展过程．一些教师在实践中倾向于围绕某一题目展开分类讨论，对学生分类讨论的运用技巧进行指导，忽视了学生认知渐进发展的过程，从而影响了教学效果．针对此，教师应注意从发展的角度出发，引导学生在感知概念㊁定理㊁公式㊁法则等知识的过程中产生分类讨论的意识，并结合具体题目领悟方法运用的技巧，最后在活化运用中独立思考，实现对分类讨论的深入掌握．第三，注重教学指导的系统性．在指导学生学习分类讨论思想的过程中，教师应有意识地引导学生建立学习系统，建立数学知识结构，掌握数学思想方法内在的逻辑性．在教学指导中，教师应依托数学知识，引导学生认识到分类讨论思想产生的必然性，通过结合不同题目促使学生进行梳理总结㊁分类掌握，提高教学指导效果．第四，强调学生的自我建构过程．学生掌握分类讨论思想的过程也是一种认知的自我建构过程．在教学实践中，教师应时刻强调学生的自主性，促使学生有计划㊁有步骤地建构学习活动，形成对数学思想的个性化体验，这样才能促使其在知识运用中打破机械套用的局限，提高分类讨论思想运用的灵活性．结束语总之，在当前课程改革背景下，教师不仅要指导学生掌握数学知识，学习解题技巧，还应把握数学思想，提升数学核心素养．在分类讨论思想的渗透中，教师应坚持循序渐进地渗透，结合例题引导学生明确分类标准，进行合理分类以及归纳总结，这样才能让学生逐渐理解分类讨论思想，提升解决问题的能力．ʌ参考文献ɔ［１］王秋华．高中数学课堂教学中分类讨论思想的应用初探［Ｊ］．中国新通信，２０２０，２２（１１）．［２］石苍松．试论分类讨论思想在高中数学教学中的应用策略［Ｊ］．才智，２０２０（９）．［３］袁思宇．分类讨论的思想在高中数学解题中的应用［Ｊ］．才智，２０１８（３６）．［４］石记红．高中数学教学中分类讨论思想的应用分析［Ｊ］．科学咨询（教育科研），２０１８（１２）．。
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分类讨论思想在分段函数中的应用
[典例] 已知实数a ≠0，函 数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，
则a 的值为______．
[解析] ①当1－a ＜1，即a ＞0时，a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a
＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32
(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意．综上所述，a ＝－34
. [答案] －34
[题后悟道]
解答本题利用了分类讨论思想，由于f (x )为分段函数，要表示f (1－a )和f (1＋a )的值，首先应对自变
量1－a 和1＋a 的范围进行讨论，这样才能选取不同的关系式，列出方程，求出a 的值．得出结果后，应注意检验．所谓分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．
针对训练
设函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ≥0，－x ，x <0，
若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( ) A ．－3
B ．±3
C ．－1
D ．±1
解析：选D ∵f (a )＋f (－1)＝2，且f (－1)＝1＝1，
∴f (a )＝1，当a ≥0时，f (a )＝ a ＝1，a ＝1；当a <0时，
f (a )＝－a ＝1，a ＝－1.∴a ＝±1.。