第6讲 随机变量的分布函数,连续型随机变量
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连续型随机变量及其分布函数
0.9974
正态分布与标准正态分布之间具有下面的关系：
第34页，共40页。
引理
证明
若X ~ N ( μ,σ 2 ),则 Z X μ ~ N (0,1). σ
Z X μ的分布函数为 σ
P{Z
x}
P
X
σ
μ
x
P{
X
μ
σx}
1
(t μ)2
e μσx 2σ2 d t ,
2σ
令 t μ u,得 P{Z x} 1
p( x)
1
( x μ)2
e 2σ2 , x ,
2 πσ
其中 μ, σ(σ 0) 为常数,则称 X 服从参数为 μ, σ
的正态分布或高斯分布 , 记为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
第24页，共40页。
正态分布概率密度函数的几何特征
(1)曲线关于 x μ 对称;
(2)当x μ时, p( x)取得最大值 1 ; 2 πσ
因而有Βιβλιοθήκη P{Y2} 3 2 21 2 3
2 3
3 2 31 3 3
2 0 3
20 . 27
第18页，共40页。
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
ex , x 0,
p(x)
0,
x 0.
其中 0 为常数,则称 X 服从参数为 的指数
分布.
第19页，共40页。
0,
其它,
则称 X 在区间 (a, b)区间上服从均匀分布 ,
记为 X ~ U (a, b).
概率密度
函数图形
a
p( x)
o
b
第15页，共40页。
分布函数
正态分布与标准正态分布之间具有下面的关系：
第34页，共40页。
引理
证明
若X ~ N ( μ,σ 2 ),则 Z X μ ~ N (0,1). σ
Z X μ的分布函数为 σ
P{Z
x}
P
X
σ
μ
x
P{
X
μ
σx}
1
(t μ)2
e μσx 2σ2 d t ,
2σ
令 t μ u,得 P{Z x} 1
p( x)
1
( x μ)2
e 2σ2 , x ,
2 πσ
其中 μ, σ(σ 0) 为常数,则称 X 服从参数为 μ, σ
的正态分布或高斯分布 , 记为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
第24页，共40页。
正态分布概率密度函数的几何特征
(1)曲线关于 x μ 对称;
(2)当x μ时, p( x)取得最大值 1 ; 2 πσ
因而有Βιβλιοθήκη P{Y2} 3 2 21 2 3
2 3
3 2 31 3 3
2 0 3
20 . 27
第18页，共40页。
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
ex , x 0,
p(x)
0,
x 0.
其中 0 为常数,则称 X 服从参数为 的指数
分布.
第19页，共40页。
0,
其它,
则称 X 在区间 (a, b)区间上服从均匀分布 ,
记为 X ~ U (a, b).
概率密度
函数图形
a
p( x)
o
b
第15页，共40页。
分布函数
一维连续型随机变量
第六讲 一维连续型随机变量教学任务：1．随机变量的分布函数的定义； 2．常见的连续型随机变量。
教学重点：常见的连续型随机变量教学目的：1． 让学生理解随机变量的分布函数的定义； 2． 理解连续型随机变量的定义；3． 学会求一些简单的连续随机变量的密度； 4． 掌握常见的连续型随机变量。
教学方法：课堂教学。
三、随机变量的分布函数对于非离散随机变量, 由于其所有可能取值不能一个一个列举出来, 因此不能用分布律来表示. 而是关心这种随机变量落在一个区间的概率, 并不关心它取各个值的概率. 如测量误差, 考虑落在某一区间内的概率, 产品寿命大于某个数的概率等. 为此, 我们首先引进随机变量分布函数的概念.分布函数的定义 设X 是一个随机变量, 对任意实数x, 则称)()(x X P x F ≤= (2.8)为随机变量X 的分布函数.通过分布函数能用数学分析的方法研究随机变量.分布函数的性质: （1）单调不减函数, 若, 则21x x <)()(21x F x F ≤ 事实上, 当时, 21x x <},{}{21x X x X ≤⊂≤有),()(21x X P x X P ≤≤≤则 )()(21x F x F ≤（2）右连续性 即)0()(+=x F x F（3）, 0)()(lim =−∞=−∞→F x F x 0)()(lim =−∞=∞→F x F x不论随机变量是离散型随机变量或非离散型随机变量, 分布函数)(x F 全面地描述了随机变量的统计规律性.另外，显然有：)()()()()(121221x F x F x X P x X P x X x P −=≤−≤=≤<例题2.7 一袋中装有2个白球和3个黑球, 每次从中任取1个球, 不放回抽样, 直至取到白球为止, 求 (1) 取球次数X 的分布函数; (2) )1(≤X P ; (3) )32/3(≤<X P ; (4))42(≤≤X P .解 X 的概率分布为X 1 2 3 4 )(k X P = 0.4 0.3 0.2 0.1(1) X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<≤<=xx x x x x F 41439.0327.0214.010)( )(x F 的图形是一条阶梯形的曲线, 在x=1,2,3,4处有跳跃点, 跳跃值分别为0.4, 0.3, 0.2, 0.1.(3) 5.04.09.0)2/3()3()32/3(=−=−=≤<F F X P(4) 6.03.07.01)2()2()4()42(=+−==+−=≤≤X P F F X P一般地, 设离散型随机变量X 的分布律为 k k p x X P ==)(, L .2.1=k 则X 的分布函数为∑∑≤≤===≤=xx k xx k k k p x X P x X P x F )()()( (2.9)和式是对所有满足的k 求和. x x k ≤)(x F 在k x x =处有跳跃, 其跳跃值. )(k k x X P p ==四、 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量的定义 设)(x F 为随机变量X 的分布函数, 如果存在非负函数)(x f , 使对于任意实数x , 有(2.10)∫∞−=xdt t f x F )()(则称X 为连续型随机变量, 称)(x f 为的概率密度函数.由式(2.10)知, 几何上解释, )(x F 表示曲线)(x f 下，x 轴上方的面积, 所以)(x F 是连续函数. 本书主要讨论两类随机变量: 离散型随机变量和连续型随机变量. 概率密度具有如下性质: (1)非负性 0)(≥x f (2) 归一性∫∞∞−=1)(dx x f (3)∫=≤<21)()(21x x dx x f x X x P (1) 若)(x f 在点x 处连续, 则)()('x f x F =随机变量X 落在小区间],(x x x Δ+上的概率为x x f x x X x P Δ≈Δ+≤<)()( (2,11)x x f Δ)(称为概率微分.连续型随机变量取任一指定的实数值a 的概率为0, 即0)(==a XP .事实上, }{}{a X x a a X≤<Δ−⊂=得)()()(){0x a F a F a X x a a X P Δ−−=≤<Δ−≤=≤0)]()([lim ){lim 00=Δ−−≤=≤→Δ→Δx a F a F a X P x x所以0)(==a XP . 根据这一结果, 则有)()()(b X a P b X a P b X a P <<=≤≤=≤<另有, 若φ=A , 则0)(=A P ; 反之, 若0)(=A P , 并不一定意味着A 是不可能事件.常用的连续型随机变量及其概率密度(1) 均匀分布如果连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=其他1)(b x a ab x f (2.12) 则称X 在区间(a , b )上服从均匀分布， 简记为),(~b a U X ，∞<<<∞−b a 为参数。
06离散型连续型随机变量的分布
dx
18
注意要点
x
（2）从几何上看定义中的 F( x) f (t)dt y F (x) = P {X ≤ x }
o
x
x
（3）密度函数不是唯一的。
因为改变 f (x) 在个别点上的函数值，不会改 变分布函数 F(x) 的值。
19
2、概率密度函数的性质：
2、概率密度函数的性质：
(1) f ( x) 0;
P{X 0}, P{X 1}, P{X 2}
7
（3）P{ X 1} F ( 1 ) 0.6
2
2
P{1 X 3} F ( 3) F ( 1 ) 0.9 0.6 0
P{1 X 2} P{X 1} P{X 2} 0.4
8
1、(0-1)分布
二、常见的离散型分布
分布列为： X 0
1
P 1 p p
2、二项分布
2、二项分布
在独立试验概型中，进行 n 次重复试验时 A 发生 k 次的概率已知为：
Pn (k ) Cnk pk (1 p)nk (k 0,1, 2, ..., n)
如果用随机变量 X 表示 A 发生的次数，则 X 的可 能取值为：k = 0, 1, 2, …, n ，相应的分布律为：
1、(0-1)分布
若随机变量 X 只取两个值 x0 和 x1 ，并且
已知 P{ X x0 } 1 p, P{X x1} p，
称随机变量 X 服从两点分布。
特别：若 x0 0, x1 1, 则称为(0-1)分布。
其分布律为：P{ X k} pk (1 p)1k , (k 0,1)
k!
则称 X 服从参数为λ的泊松(Poisson)分布。
记为： X ~ ( )， 容易验证：
概率论数理统计课件第6讲
(2) X的分布函数为
F x
x
5 3 5 3 (3) P X F F 2 2 2 2 1 0.9375 0.0625
2.3.3 常见的连续型随机变量
均匀分布、指数分布、正态分布
1. 均匀分布 (Uniform) 若随机变量X 的概率密度为：
(2).
f ( x) dx 1；
这两条性质是判定函数 f(x) 是否为某随机变量 X 的概率密度函数的充 要条件。
f(x)与x轴所围 面积等于1。
(3). 对 f(x)的进一步理解：
若x是 f(x)的连续点，则 x x f (t )dt P( x X x x) x lim lim x 0 x 0 x x =f(x)， 故, X的概率密度函数f(x)在 x 这一点的值, 恰 好是X 落在区间 [x , x +△x]上的概率与区间长 度△x 之比的极限。 这里, 如果把概率理解为 质量，f (x)相当于物理学中的线密度。
这100个数据中，最小值是128，最大值是155。
作频率直方图的步骤
(1). 先确定作图区间 （a, b）; a = 最小数据-ε/ 2，b = 最大数据+ε/ 2，
ε 是数据的精度。 本例中 ε = 1, a = 127.5, b = 155.5 。
(2). 确定数据分组数 m = 7， 组距 d = (b − a) / m=28/7=4，
1
。
p k 0, k 1,2,,
2。
p
k 1
k
1.
随机变量X 的所有取值 随机变量X的 各个取值所 对应的概率
常用的离散型随机变量的分布
1.两点分布（ 0-1分布） 模型：一个人射击，射中的概率为p，不中的概 率为 q=1-p. 规定：
连续型随机变量及其分布
P(X ) F() 1 F() P(X )
1 2
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
-6 -5 -4 -3 -2 -1
f (x) 的两个参数：
— 位置参数 即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x)
的形状不变化，只是位置不同．
— 形状参数
固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同．
§2.3 连续型随机变量及其分布
连续型随机变量的概念
定义 设 X 是一随机变量，若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得
x
F (x) f (t)dt x
其中F ( x )是它的分布函数， 则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的概 率密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数或概率 密度．
F
(
x)
1
0, ex
,
x0 x0
f ( x)
0
x
F( x) 1
0
x
对于任意的 0 < a < b,
P(a X b) b exd x a F (b) F (a) ea eb
应用场合 用指数分布描述的实例有：
随机服务系统中的服务时间；
电话问题中的通话时间；
无线电元件的寿命； 动物的寿命．
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
-6 -5 -4 -3 -2 -1
3
f (x) 的性质
图形关于直线x= 对称： f ( + x) = f ( - x)
在 x = 时, f (x) 取得最大值
1
2 在 x = ± 时, 曲线 y = f(x) 在对应的 点处有拐点．
概率论第六讲--随机变量的分布函数
及
其
y
由 FY ( y) F (x, )
[
f (x, y)dx]dy
知Y是连续型随机变量,其概率密度为
分 布
称为(X,fYY)(关y)于 Y的 f边(x缘, y)概dx率密度.
例3 求例1中二维随机变量（X、Y）关于X
和关于Y的边缘分布律。
例4 设随机变量X和Y具有联合概率密度 求
已知 分布函数F(x)
函 则f(x)在连续点处: f ( x) F `( x)
数
§2.5 多维随机变量及其分布
(一)二维随机变量
1.二维随机变量
引例1 E：火炮射击观察“弹着点”的位置；
例2 E：抽查学龄前儿童，观察身体素质。
定义：
随机试验E,样本空间为S=｛e｝,设X=X(e) 和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量,由它们构 成的向量(X,Y),称为二维随机变量。
其 且F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1.
分 (3)F(x,y)关于x或y右连续.
布
多 • 2.离散型随机变量的联合分布律
维 设二维随机变量(X,Y)所有可能取值为
随 (xi,yj),记P｛X=xi,Y=yj｝=pij,称为二维
机
离散型随机变量(X,Y)的概率分布或分布 律,或称为随机变量X,Y的联合分布律.
机 F(x,y),如存在非负的函数f(x,y),
变 使对于任意x,y，都有：
量 则称(X,Y)是连续型的二维随机变量,
及 函数f(x,y)称为(X,Y)的概率密度,
其 或称为X和Y的联合概率密度.
分
布
多 概率密度f(x,y)的性质
维 1 f (x, y) 0;
第六章随机变量的函数及其分布
定理1 正态分布的线性函数仍服从正态分布
设X ~ N ( , ), Y aX b(a 0), 则
2
Y ~ N (a b, (a ) )
2
推论 正态分布的标准化方法 X 2 若X ~ N ( , ), 则 ~ N (0, 1)
定理2 若随机变量X及其函数Y = g(X)的密度函 数分别为fX (x), fY (y), 且g(x)是严格单调 函数，则： fY ( y) f X [(G( y)] G( y) 其中x = G(y)为y = g(x)的反函数.
例：设(X, Y)的联合分布律为： Y 0 1 2 X 1 1 3 1 12 12 12 1 1 2 0 2 12 12 2 2 3 0 12 12 请求出：(1) X+Y的分布律； (2) X-Y的分布律； (3) X2+Y-2的分布律.
解：由(X, Y)的联合分布律可得如下表格
1 1 ( , 2) ( , 1) (3, 2) ( X , Y ) ( 1, 2) ( 1, 1) ( 1, 0) 2 2
概率 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12 X-Y 1 0 -1 5/2 3/2 5 3
概率 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12
X2+Y-2
-3
-2
-1
-15/4 -11/4
5
7
概率
1/12 1/12 3/12 2/12 1/12
2/12 2/12
或
两个独立随机变量的和的分布 如果X与Y相互独立，则： X P (1 ) (1) X Y P (1 2 ) Y P ( 2 )
随机变量的分布函数、连续型
02
偏度是描述数据分布不对称性的量，即三阶中心矩与三阶原点矩的比值。偏度 大于0表示分布右偏，偏度小于0表示分布左偏。
03
峰度是描述数据分布形态陡峭或扁平程度的量，即四阶中心矩与四阶原点矩的 比值。峰度大于3表示分布比正态分布更陡峭，峰度小于3表示分布比正态分布 更扁平。
PART 04
连续型随机变量的应用
用。
PART 03
连续型随机变量的性质
REPORTING
WENKU DESIGN
概率密度函数（PDF）
概率密度函数（PDF）描述了随机变量取值在 某个区间的概率，即密度函数值与该区间长度 之积等于该区间内事件发生的概率。
PDF具有非负性，即对于所有实数x， PDF(x)≥0。
整个实数轴上的概率总和为1，即 ∫∞−∞f(x)dx=1，其中f(x)是随机变量的概率密 度函数。
在模拟连续型随机变量时，蒙特卡洛方法通过产生大 量随机样本，并计算其统计量，来估计随机变量的分
布函数和概率密度函数。
蒙特卡洛方法的优点是简单易行，适用于各种类型的 分布函数，但缺点是精度取决于样本数量，样本数量
越多，精度越高。
逆变换采样法
逆变换采样法是一种基于概率分布的反向抽样方法，即先从均匀分布的随机数中抽取样本，再通过概 率分布的反函数变换得到所需的随机变量。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
正态分布的实际应用案例
金融领域
正态分布被广泛用于描述金融数据的分布，如股 票价格、收益率等。
自然现象
许多自然现象的分布呈现正态分布特征，如人类 的身高、智商等。
统计学
在统计学中，正态分布是最常用的分布之一，用 于描述数据的集中趋势和离散程度。
随机变量的分布函数
1 1 x arcsin x 2
2
x
1
对 x>1， F (x) = 1
即
x 1 0, x 1 1 2 F ( x) 1 x arcsin x , 1 x 1 2 1, x 1 (3).
1 1 2 2 P( X ) 1 x dx 2 2 sin 2t 6 1 1 1 3 (t ) F( ) F( ) . 2 6 2 2 3 2 1
分布函数是一个普通的函数，正是 通过它，我们可以用数学分析的工具来 研究 随机变量.
二、离散型 r.v的分布函数
设离散型r.vX 的概率分布列是 P{ X=xk } = pk , 则 F(x) = P(X x) = k =1,2,3,…
xk x
p
k
由于F(x) 是 X 取 x 的诸值 xk 的概率之和， 故又称 F(x) 为累积概率函数.
• 例3.2.4
设§是某台仪器从时刻零开始持 续工作的时间。假设在时刻t以前没有损坏， 而在时间间隔（t，t+△t）中损坏的条件概 率为 (t )t (t ), (t )是与t有关的正值函数， 求 §的分布函数为。
3.4
连续型随机变量
连续型随机变量X所有可能取值充满 一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能 象离散型随机变量那样, 以指定它取每个 值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是 通过给出所谓“概率密度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量 的描述方法.
x1 x2
y
f (x)
o x1
x2
x
4. 对 f(x)的进一步理解:P79中
若x是 f(x)的连续点，则： x x f ( t )dt P ( x X x x ) lim lim x x 0 x 0 x x =f(x) 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 ( x, x x ]上的概率与区间长度 x 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度.
随机变量函数的分布解读
X Y 2 1 0
1
1
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
12 12 12
1
2
6
例2 设 X pk
1 1 6
1 2 6
2 3 6
求 Y X 2 5的分布律.
解 Y 的分布律为
Y 4
1
1
1
p
2
2
7
三、连续型随机变量函数的分布
例3 设 随 机 变 量X 的 概 率 密 度 为
f
X
(
x)
x 8
,
0 x 4,
0, 其 他.
求 随 机 变 量Y 2X 8 的 概 率 密 度.
解 先求随机变量Y X 2 分布函数,
FY ( y) P{Y y} P{X 2 y} P{ y X y}
y
y
FX ( y) FX ( y) f X ( x)d x f X ( x)d x.
再由分布函数求概率密度. fY ( y) FY ( y) fX ( y)( y) fX ( y)( y)
证明 X 的概率密度为
fX (x)
1
e
(
x μ)2 2σ2
,
x
.
2πσ
设 y g( x) ax b,
得 x h( y) y b , 知 h( y) 1 0.
a
a
14
由公式
fY
( y)
fX [h( y)]h( y) , y
0,
其它.
,
得 Y aX b 的概率密度为
fY ( y)
16
有一大群人,令 X 和 Y 分别表示一个人的 年龄和体重, Z 表示该人的血压,并且已知 Z 与 X , Y 的函数关系 Z g( X ,Y ), 如何通过 X ,Y 的 分布确定 Z 的分布.
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F ( x)
0.8 0.9 1
,
2 x 3 , 3 x4 , . 4 x
,
.
例2
设随机变量X的分布率为
X
p
-1
1/5
0
2/5
2
1/5
3
1/10
4
1/10
试写出随机变量X的分布函数. 解 随机变量X的分布函数的图像为
一、随机变量的分布函数
1. 分布函数的概念 定义1 设 X 是一个随机变量, x 是任意实数, 称函数
例5
设随机变量X的分布函数：
计算 P ( X 0), P ( X 1/ 4), P ( X 1/ 4), P (0 X 1/ 3),
, x 0, 0 F ( x ) x 1 / 3 , 0 x 1 / 2, 1 , x 1/ 2
P (0 X 1/ 3).
表示概率 P ( X a ) 、 ( X a ) 、P (a X b ) 。 P 解 P ( X a ) 1 F (a )
P ( X a ) F (a ) F (a 0) P (a X b) F (b) F (a 0)
类似可求得
P (a X b) F (b 0) F (a ) P (a X b) F (b) F (a 0)
x
若0 x 2，则由题意 P (0 X x ) kx 2 P (0 X x ) 22 k 1 特别 x 2 时,
x2 F ( x ) P ( X x ) P ( X 0) P (0 X x ) 4
例6
设一个靶子的半径为2米的圆盘，设击中目标上
所以
P(a X b) P[(a X b) ( X a )] P (a X b) P ( X a )
[F (b) F (a )] [( F (a ) F (a 0)] F (b) F (a 0)
例4
设随机变量X的分布函数魏F(x), 试用分布函数
X
b
x
例3
设随机变量X的分布率为
X
p
-1
0.25
2
0.5
3
0.25
1 3 5 写出随机变量X的分布函数.并求 P ( X ), P ( X ), 2 2 2
P ( X 5.5), P (2 X 3).
解 由已知条件
0, 0.25, F ( x) 0.75, 1,
x 0
F (a ) lim F (a x )
x 0
F (a ) F (a 0)
例4 解
设随机变量X的分布函数魏F(x), 试用分布函数 因为
表示概率 P ( X a ) 、 ( X a ) 、P (a X b ) 。 P
( a X b) ( a X b) ( X a ) ( a X b) ( X a )
1 0，
x
2
x
x
当x<0时，
例1
设盒中有5个球 (2白3红), 从中任抽3个,以X
表示取得白球的个数，试求随机变量X的分布函数.
解 随机变量X的分布函数的图像
F ( x)
例2
设随机变量X的分布率为
X
p
-1
1/5
0
2/5
2
1/5
3
1/10
4
1/10
试写出随机变量X的分布函数. 解 随机变量X的分布函数为 , x 1 0 , 0.2 , 1 x 0 , 0.6 , 0 x 2 ,
x
x
x
o
x
(3) P (a X b) F (b) F (a ). 证
(a X b) ( X b) ( X a ) P (a X b) P[( X b) ( X a )] P ( X b) P ( X a )
o
a
x 1, 1 x 2, 2 x 3, x 3.
1 1 P ( X ) F ( ) 0.25 2 2 3 5 5 3 P ( X ) F ( ) F ( ) 0.75 0.25 0.5 2 2 2 2
P ( X 5.5) 1 P ( X 5.5) 1 P ( X 5.5) P ( X 5.5) 1 F (5.5) P ( X 5.5) 0
P{ x1 X x2 } P{ X x2 } P{ X x1 }
?
F ( x2 )
F ( x1 )
分布函数
一、随机变量的分布函数
1. 分布函数的概念 定义1 设 X 是一个随机变量, x 是任意实数, 称函数
F ( x ) P ( X x ), x
解
P (0 X 1/ 3) P( X 0) P(0 X 1/ 3) 1/ 3 1/ 3 2 / 3.
例6
设一个靶子的半径为2米的圆盘，设击中目标上
任一同心圆盘上点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射
击都能击中靶，以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机 变量X的分布函数. 解 若 x 0 ，则 ( X x ) 是不可 能事件，于是 F ( x ) P ( X x ) 0.
x 1, 1 x 2, 2 x 3, x 3.
0, 0.25, F ( x) 0.75, 1,
P (2 X 3) P[( X 3) ( X 2)] P ( X 3) P ( X 2) P ( X 3) P ( X 2) P ( X 2) F (3) F (2) P ( X 2)
(3) P (a X b) F (b) F (a ). (4) F ( x ) 右连续，即 F ( x 0) lim F (t ) F ( x ).
t x0
x x
(1) F ( x ) 单调不减，即 x1 x2 , F ( x1 ) F ( x2 ).
(2) 分布函数F(x)是x一个普通的实值函数.
例1
设盒中有5个球 (2白3红), 从中任抽3个,以X
表示取得白球的个数，试求随机变量X的分布函数.
解 随机变量X 的所有可能取值为: 0， 1，2. 随机 变量X的分布率： X 0 1 2 P 0.1 0.3
0.6
x 0
x
0.1， 当 0 x 1 时， F ( x) P( X x) 0.1+0.3=0.4， 当1 x 2时， 0.1+0.3+0.6=1， x 2 时. 当
第6讲 随机变量的分布函数与连 续型随机变量
一、随机变量的分布函数
二、连续型随机变量 三、常见连续型随机变量
一、随机变量的分布函数
1. 分布函数的概念
对于随机变量X, 我们不仅要知道X取哪些值, 还需 要知道X 在数轴取这些值的概率;更重要的是想知道X 在 任意区间内取值的概率.
例如 求随机变量X 落在区间 ( x1 , x2 ]内的概率。
为 X 的分布函数.
说明: (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间 内取值的概率情况.即 P{ x1 X x2 } P{ X x2 } P{ X x1 }. 因此如果已知的分布函数就可以求出它落在任一区间上的 概率,从这个意义上说,分布函数完整的描述了随机变量的 统计规律性.
表示概率 P ( X a ) 、 ( X a ) 、P (a X b ) 。 P
P ( X a ) 1 P ( X a ) 1 F (a );
又因为 ( X a ) ( X a ) ( X a ) ，所以
P( X a) P( X a) P( X a) F (a ) lim P ( X a x )
一、随机变量的分布函数
1. 分布函数的概念 定义1 设 X 是一个随机变量, x 是任意实数, 称函数
F ( x ) P ( X x ), x
为 X 的分布函数.
说明: (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间 内取值的概率情况.即 P X x1 }.
1 0.75 0.5 0.75
0, 0.25, F ( x) 0.75, 1, x 1, 1 x 2, 2 x 3, x 3.
例4 解
设随机变量X的分布函数魏F(x), 试用分布函数 因为 ( X a ) S ( X a ) ，所以
F ( x ) P ( X x ), x
为 X 的分布函数.
2. 分布函数的性质 (1) F ( x ) 单调不减，即 x1 x2 , F ( x1 ) F ( x2 ). (2) 0 F ( x ) 1 且 lim F ( x ) 1, lim F ( x ) 0.
任一同心圆盘上点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射
击都能击中靶，以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机 变量X的分布函数. 解 若 x 2 ，则( X x ) 是必然事件，于是
F ( x ) P ( X x ) 1.
0 2 x F ( x) 2 1
证
x1 x2
{ X x1 } { X x2 } P{ X x1 } P{ X x2 } F ( x1 ) F ( x2 ).
(2) 0 F ( x ) 1 且 lim F ( x ) 1, lim F ( x ) 0. x x 证 F ( x) P( X x) 0 F ( x) 1 当x沿数轴无限向左移动（即 x ），则“随机点 X落在点x左边”这一事件趋于一个必然事件，从而其概 率趋于1,即 ) lim F ( x ) 1 . F (