材料力学I-第9章 压杆稳定
材料力学_压杆稳定
π 2E λp = σp
欧拉公式仅适用于细长压杆的稳定计算
对Q235 钢,E=200GPa,σp=200MPa,则 , ,
200 × 109 λp = π ≈ 100 6 200 × 10
9.2 压杆的临界应力
二,临界应力总图 大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆 细长压杆): 细长压杆
σ cr σs
π 2 EI π 2E Fcr σ cr = = = 2 A (l / i )2 A(l )
其中
记
λ=
l
i
压杆的柔度或 压杆的柔度或长细比 欧拉临界应力
i=
I A
π 2E σ cr = 2 λ
(λ = λmax )
π 2E π 2E σ cr = 2 ≤ σ p λ ≥ λ σp
大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆 细长压杆): λ ≥ λ p 细长压杆
σp
σ cr = σ s
σcr = a1 b1λ
2
π 2E σ cr = 2 λ
直线经验公式: 直线经验公式:
(λ ≥ λ p )
σ cr = a bλ
σ cr = π E λ2
2
中柔度压杆(中长压杆 中柔度压杆 中长压杆) 中长压杆
σ cr = a bλ (λs ≤ λ ≤ λ p )
σ cr ≤ σ s (σ b ) λs =
2
d y = M ( x) = M B + FBy (l x) Fy 2 dx
2
k2 =
F EI ~ M M= B F
y
A
y (0) = 0 y′(0) = 0 y (l ) = 0 y′(l ) = 0 ~ ~ B + M + F l = 0 0 1 1 l ~ k 0 0 1 A k F = 0 =0 ~ sin kl cos kl 1 0 A sin kl + B cos kl + M = 0 ~ k cos kl k sin kl 0 1 kA cos kl kB sin kl F = 0 kl sin = 0 or Det = k[kl sin kl 2(1 cos kl )] 2 kl kl kl kl kl = 2k sin ( kl cos 2 sin ) = 0 (kl cos 2 sin ) = 0 2 2 2 2 2
材料力学课件第9章 压杆稳定
BC ≈ 0.7l
FACcr =
( 2 × 0.3l )
π 2 EI
2
=
( 0.6l )
2
π 2 EI
2
, FBCcr =
( 0.7l )
π 2 EI
2
综合得： 综合得：
Fcr =
( 0.7l )
π 2 EI
（9.4） ）
三、欧拉公式的普遍表达式 π 2 EI 1、公式： 、公式： Fcr = 2 ( µl ) 2、常见约束压杆的长度系数： 、常见约束压杆的长度系数： •两端铰支： 两端铰支： µ=1 两端铰支 •一端固定，一端自由： 一端固定， µ=2 一端固定 一端自由： •两端固定： 两端固定： µ=0.5 两端固定 •一端固定，一端铰支： 一端固定， µ≈0.7 一端固定 一端铰支：
FACcr = FBDcr =
π 2 EI
2
l 2× 4 l 2
=
π 2 EI
l 2
2
, FCDcr =
π 2 EI
l 2
2
综合得： 综合得： Fcr =
π 2 EI
2
（9.3） ）
3、一端固定，一端铰支： 、一端固定，一端铰支：
µl
λ > λ1
d=25mm杆为大柔度杆。 杆为大柔度杆。 杆为大柔度杆 由欧拉公式试算结果正确。 由欧拉公式试算结果正确。 5、活塞直径确定为 、活塞直径确定为25mm。 。
§9— 5 提高压杆稳定性的措施 一、影响因素 •压杆截面形状、长度、约束条 压杆截面形状、 压杆截面形状 长度、 件和材料的性质。 件和材料的性质。 二、提高压杆稳定性的措施 1、选择合理的截面形状： 、选择合理的截面形状：
2020年材料力学习题册答案-第9章 压杆稳定
作者：非成败作品编号：92032155GZ5702241547853215475102时间：2020.12.13第九章压杆稳定一、选择题1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q时处于直线平衡状态。
在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。
A、弯曲变形消失，恢复直线形状；B、弯曲变形减少，不能恢复直线形状；C、微弯状态不变；D、弯曲变形继续增大。
2、一细长压杆当轴向力P=P Q时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P，则压杆的微弯变形（ C ）A、完全消失B、有所缓和C、保持不变D、继续增大3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。
A、长度B、横截面尺寸C、临界应力D、柔度4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。
A、长度，约束条件，截面尺寸和形状；B、材料，长度和约束条件；C、材料，约束条件，截面尺寸和形状；D、材料，长度，截面尺寸和形状；5、图示四根压杆的材料与横截面均相同，试判断哪一根最容易失稳。
答案：（ a ）6、两端铰支的圆截面压杆，长1m，直径50mm。
其柔度为 ( C )A.60；B.66.7；C.80；D.507、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。
8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。
A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小；B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大；C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大；D 、弹性模量E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ）A 、λ≤、λ≤C 、λ≥π D、λ≥10、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（ C ）A 、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是；B 、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是；C 、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的；D 、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的； 11、两根材料和柔度都相同的压杆（ A ）A. 临界应力一定相等，临界压力不一定相等；B. 临界应力不一定相等，临界压力一定相等；C. 临界应力和临界压力一定相等；D. 临界应力和临界压力不一定相等；12、在下列有关压杆临界应力σe 的结论中，（ D ）是正确的。
材料力学课件——压杆稳定计算
9.1 工程中压杆的稳定问题 9.2 细长压杆的临界力 9.3 欧拉公式的适用范围·临界应力的
经验公式 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
材料力学基本任务
构件的承载能力
问题
分析设计过程
失效方式
①强度 外力—内力—应力—强度条件 塑性屈服或脆断
②刚度 外力—变形—刚度条件 变形过大失去工作能力
P （压杆稳定性条件）
A
• 压杆的合理截
面:
L i Imin
i
A
Plj
2 EImin (L)2
Imin Imax
合理
保国寺大殿的拼柱形式
• 压杆的合理截
面:
L i Imin
i
A
Plj
2 EImin (L)2
Imin Imax
合理
1056年建，“双筒体”结 构，塔身平面为八角形。经 历了1305年的八级地震。
压杆的实验观察
总结以上实验观察，可得到如下结论： （1）压杆稳定与外载的大小、方式和杆的约束有关； （2）压杆稳定与杆件几何尺寸有关； （3）当尺寸确定、约束确定、加载方式确定的情况下， 存在一个临界载荷Plj：当P<Plj时，杆件处于稳定平衡状 态；当P>Plj时，处于不稳定平衡状态. 稳定问题的核心是寻找临界载荷。
解 螺旋千斤顶的螺杆一般简化为一端固定，另一端自由的压 杆，其长度系数 μ=2，为求此螺杆的临界力Plj，首先要计算此 螺杆的柔度λ，以确定此螺杆的临界应力Plj应当按哪一个公式 来计算。
l0
i
式中 l0=μl=2×500=1000(mm)
i
I A
d 4 / 64 d2/4
第9章 压杆稳定
第九章压杆稳定§9.1 压杆稳定的概念§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力§9.3 其它支座条件下细长压杆的临界压力§9.4 欧拉公式的适用范围，经验公式§9.5 压杆的稳定校核§9.6 提高压杆稳定性的措施1. 引言强度——构件抵抗破坏（塑性变形或断裂）之能力2．实例crcr①受均匀外压作用的圆筒形薄壳——由圆形平衡变成椭圆形平衡。
②受均匀压力作用的拱形薄板——由拱形平衡变成翘曲平衡。
③窄高梁或薄腹梁的侧向弯曲——由平面弯曲变成侧向弯曲。
④圆筒形薄壳在轴向压力或扭转作用下引起局部皱折。
⑤细长压杆由直线平衡变成曲线平衡。
3．稳定研究发展简史早在18世纪中叶，欧拉就提出《关于稳定的理论》但是这一理论当时没有受到人们的重视，没有在工程中得到应用。
原因是当时常用的工程材料是铸铁、砖石等脆性材料。
这些材料不易制细细长压杆，金属薄板、薄壳。
随着冶金工业和钢铁工业的发展，压延的细长杆和薄板开始得到应用。
19世纪末20世纪初，欧美各国相继兴建一些大型工程，由于工程师们在设计时，忽略杆件体系或杆件本身的稳定问题向造许多严重的工程事故。
例如：19世纪末，瑞士的《孟希太因》大桥的桁架结构，由于双机车牵引列车超载导致受压弦杆失稳使桥梁破坏，造成200人受难。
弦杆失稳往往使整个工程或结构突然坍蹋，危害严重，由于工程事故不断发生，才使工程师们回想起欧拉在一百多年前所提出的稳定理论。
从此稳定问题才在工程中得到高度重视。
§9.1 压杆稳定的概念 1．工程实例（1当推动摇臂打开气阀时就受压力作用。
（2）磨床液压装置的活塞杆，当驱动工作台移动时受到压力作用。
（3）空气压缩机，蒸汽机的连杆。
（4）桁架结构的某些杆件。
（5）建筑物中的柱。
2．压杆分类⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫--.,,.3.2.1曲线平衡而发生失稳杆件会由直线平衡变成比例极限甚至低于或者强度极限当应力低于屈服极限稳定问题细长杆中长杆强度问题短杆b b s σσσ 3．压杆失稳：压杆由直线形状的稳定平衡而过渡到曲线平衡称为失稳或者屈曲。
材料力学第九章__压杆稳定(1)
所以，临界力为：
kL2
Pcr4L22EI(L2/E2)I2
.
类比法
.
.
.
压杆临界力欧拉公式的一般形式
Pc r
2EI (L)2
—长度系数（或杆端约束影响系数）。 约束越紧，越小；反之. ， 越大。
Euler’s Formula for Critical Force of thin and long Bars under compression
.
32
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
解：截面惯性矩
I d 4
64
0.054
64
307 1 09m4
临界力
Pcr
2 EI l2
两杆的临界压力分别为 ：
Fcr1
l21E 2 I， Fcr2
2EI
l22
要使P最大，只有N1、N2
都达到临界压力，即
P cos
2E
l12
I
Psin 2 E I
l22
（1）
①
90
②
（2）
.
82
2
将(式 2)除以 (1)便 式 , t得 g ll1 2 ctg2
由 此 得arctg (ctg2)
① 90 ②
.
83
作业
9．1 9．2 9．5 9．7
.
例：三种不同截面形状的细长压杆如图所 示。试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形 心主惯性轴转动。
正方形
等边角钢 槽钢
.
85
例 试由挠曲线近似微分方程，导出下述 两种细长压杆的临界力公式。
材料力学上册第九章压杆稳定
一、工程实例
压力机的压杆
Mechanics of Materials
网架结构中的杆
桥墩
Mechanics of Materials
铁塔中的杆
Mechanics of Materials
Mechanics of Materials
航 天 飞 机 发 射 架 中 的 杆 件
Mechanics of Materials
第九章 压杆稳定
§9-1 压杆稳定性的概念 §9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 §9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉
公式·压杆的长度因数 §9-4 欧拉公式的应用范围·临界应力总图 §9-5(9-6)压杆的稳定计算·压杆的合理截面
§9-1 压杆稳定的概念
Mechanics of Materials
压杆可能在低应力情况下发生弯曲 —失稳破坏
Mechanics of Materials
鱼洞长江大桥边 跨现浇支架失稳
Mechanics of Materials
稳定计算的重要性
Mechanics of Materials
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第9章-压杆稳定
压杆稳定
§９-1
§９-2 §９-3 §９-4 §９-5 §９-6
压杆稳定的概念
两端铰支细长压杆的临界压力 其他支座条件下压杆的临界压力 压杆的临界应力 压杆的稳定校核 提高压杆稳定性的措施
压杆稳定
§９-1 压杆稳定的概念 1、杆件在轴向拉力的作用下：
塑性材料：工作应力达到屈服极限时出现屈服失效； 脆性材料： 工作应力达到强度极限时断裂；
B 0.7 1
F
C 1 2
F
D 2
题1图
题2图
压杆稳定
压杆稳定
例
如图所示一细长的矩形截面 压杆，一端固定，一端自由。材 料为钢，弹性模量E = 200GPa， 几何尺寸为：l=2.5m , b =40mm ， h=90mm 。试计算此压杆的临界 压力。若b=h=60mm ，长度相等， 则此压杆的临界压力又为多少？ （压杆满足欧拉公式计算条件*）
半波正弦曲线的一段长度。 长为L的一端固定一端自由的压杆的挠曲线与长为2L的两 端铰支的细长杆相当。 长为L的一端固定、另端铰支的压杆，约与长为0.7L的 两端铰支压杆相当。 长为L的两端固定压杆与长为0.5L的两端铰支压杆相当;
压杆稳定
讨论：
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
若杆端在各个方向的约束情况相同（球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩。 若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形铰），应分 别计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对 中性轴的惯性矩。
这类杆又称中柔度杆。 中柔度压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限， 故属于弹塑性稳定问题。
压杆稳定
类比法： 根据力学性质将某些点类比为支座点。 其它约束——折算成两端铰支。
工程力学：第九章 压杆稳定
即
Fcr
2EI
l2
Fcr
2EI
l2
欧拉在1774年提出的压杆稳定临界荷载计算公式
应用条件：
（1）理想“中心受压直杆”
（2）线弹性范围内
（3）两端为球形铰支座
公式说明：
（1）Fcr与杆长成反比 （2） Fcr与杆件的E I成正比（I为压杆失稳方向的惯性矩I=Imin ） （3） Fcr与杆端约束有关 （4） Fcr与外加压力的大小无关
276kN
此丝杠的工作稳定安全系数为
n
Fcr F
276 80
3.45 4 nst
此千斤顶丝杠不稳定。
§9-1 压杆稳定的概念
背景知识 稳定的平衡与不稳定的平衡 理想“中心受压直杆”
力学模型 临界压力 失稳 总结 提升
试验观察及思考
钢板尺：截面尺寸20×1，
许用应力[ s ]=196MPa
F 196 201 3920N
3920N
40N
问题的提出
松木板条：截面尺寸5×30，
抗压[ s ]=40MPa
F
(2) a=56.5mm i 16.3mm
2b 3m
2
ml
i
0.5 3000 16.3
92
s < p 中柔度杆
scr2=304-1.122 =304-1.12×92=200.9MPa
0.7d
Fcr2 s cr A
200.9106 3.2103
644kN
b
a
d
d
补 例 图示压杆材料为Q235钢，横截面有四种，面积均为
临界力：
稳定的平衡
临界状态下作用的压力Fcr称为临界力。
它是判别压杆是否会失稳的重要指标。
材料力学压杆稳定PPT课件
6
工程背景 (Engineering background)
crane truck
7
问题的提出
p pcr
p pcr
p pcr
求载荷pcr是稳定问题的实质!!! 对象—压杆
方法—静力学方法
基本问题—
求pcr； 讨论支承对临界力的影响；
8
压杆稳定条件
2 细长压杆的欧拉临界压力
横向干扰力产生初始变形, P
1983年10月4日，北京的一幢正在施工的高层建筑 的高54.2m、长17.25m、总重565.4kN大型脚手架屈 曲坍塌，5人死亡、7人受伤 。
1907年北美魁北克圣劳伦斯河上大铁桥施工中,珩架下 弦受压杆屈曲,就如少一杆,成变形体而坍塌.
1925年苏联莫兹尔桥试运行时，因压杆失稳而破坏。
1940年美国塔科马桥,一场大风,因侧向压杆失稳而破 坏。
解：压杆在xoy平面内，
z
l
iz
1210012.21 17 .32
压杆在xoz平面内，
y
l1
iz
1200086 .6 11 .55
1
2E p
2205109
200106
101
maxmax{y,z}121.21
18
iz
b 23
17 .32 mm
iy
a 23
1ห้องสมุดไป่ตู้ .55 mm
所以，压杆为细长杆。
Pcr2E2 A33.06kN
3
液压缸顶杆
hydraulic pressure post rod
4
Scaffold frame
脚手架中的压杆
工程背景 (Engineering background)