量子力学课件 周世勋3-7

研究算符之间的关系以及它们代表的物理量之间的关系。

一、算符的对易关系：[]⎪⎩⎪⎨⎧……≠……=−=不对易对易G ˆ,F ˆ0G ˆ,F ˆ0G ˆF ˆF ˆG ˆF ˆ,G ˆ1.坐标算符x ˆ和动量算符x pˆ的对易关系[]?p ˆ,x x = 将[]x p ˆ,x x p ˆpˆx x x −=作用在任意波函数上，即： (x p ˆp ˆx x x −))x (Ψx )i (x ∂∂−=h )(x Ψi h −))x (x (xΨ∂∂ i h =)x (x x Ψ∂∂i h −)(x x x Ψ∂∂ih −)(x Ψ )x (i Ψ=h 而)x (Ψ是任意的所以：[]x pˆ,x =h i ①该式称为x 和x pˆ的对易关系，等式右边不等于0，即x 和 x p ˆ不对易。

同样可得：[]y p ˆ,y ˆ=h i ② []z pˆ,z ˆ=h i ③ []=y p ˆ,x []0p ˆ,x z =； []z p ˆ,y ˆ=[]0p ˆ,y ˆx =； []=y p ˆ,z ˆ[]0pˆ,z ˆx =； []y x p ˆ,p ˆ=[]z x p ˆ,p ˆ=[]z y p ˆ,p ˆ=0以上可总结为基本对易关系：[][][]⎪⎩⎪⎨⎧==δ=0p ,p 0x ,x i p ,x ji j i ij j i h 3,2,1j ,i =即动量分量和它所对应的坐标分量是不对易的，而和不对应的坐标分量是对易的；动量各分量和坐标各分量是对易的。

说明：a .[]G ˆF ˆF ˆG ˆF ˆ,Gˆ−=叫G ˆ与F ˆ的对易关系，等于0叫二算符对易；否则叫二算符不对易 。

b .以上i x 和j p ˆ的对易关系是量子力学算符的基本对易关系，由它们可以推出其他的一些算符（有经典对应的）对易关系。

2.角动量算符的对易关系：[]=y x L ˆ,L ˆxy y x L ˆL ˆL ˆL ˆ− =)p ˆz ˆp ˆy ˆ(y z −)pˆx ˆp ˆz ˆ(z x −)p ˆx ˆp ˆz ˆ(z x −−)p ˆz ˆp ˆy ˆ(y z − =−x z p ˆz ˆp ˆy ˆ−z z pˆx ˆp ˆy ˆx y p ˆz ˆp ˆz ˆ+z y p ˆx ˆp ˆz ˆ +−z x p ˆy ˆp ˆz ˆy x p ˆz ˆp ˆz ˆ+−z z p ˆy ˆp ˆx ˆy z p ˆz ˆp ˆx ˆ=−x z pˆz ˆp ˆy ˆx z p ˆp ˆz ˆy ˆ+−x ˆp ˆz ˆp ˆz y x ˆz ˆp ˆp ˆz y =x pˆy ˆi h −+x ˆp ˆi y h =zL ˆi h 即：[]=y x L ˆ,L ˆzL ˆi h 同理可证： []=z y L ˆ,L ˆx L ˆi h ；[]=xz L ˆ,L ˆy L ˆi h 说明：a .[]=y x L ˆ,L ˆz L ˆi h ；[]=z y L ˆ,L ˆx L ˆi h ；[]=xz L ˆ,L ˆy L ˆi h 可合并写为：L i L L r h r r =× (矢量式)，即角动量算符的定义式。

b .利用L i L L r h r r =×可以证明：]L ˆ,L ˆ[x 2=]L ˆ,L ˆ[y 2=]L ˆ,L ˆ[z2 =0； ]L ˆ,L ˆ[x 2=2x x 2LˆL ˆL ˆL ˆ− =3x L ˆ+x 2y L ˆL ˆ+x 2z L ˆL ˆ3x L ˆ−2y x L ˆL ˆ−2zx L ˆL ˆ− =y L ˆy L ˆx L ˆy L ˆ−x L ˆy L ˆ+y L ˆx L ˆy L ˆxL ˆ−y L ˆy L ˆ +z L ˆz L ˆx L ˆz L ˆ−x L ˆz L ˆ+z L ˆx L ˆz L ˆx L ˆ−zz L ˆL ˆ =]L ˆ,L ˆ[L ˆx y y +y x y L ˆ]L ˆ,L ˆ[+]L ˆ,L ˆ[L ˆx z z +zx z L ˆ]L ˆ,L ˆ[ =03.算符对易关系的运算法则：<1>[]B ˆ,Aˆ=]A ˆ,B ˆ[−；<2>]A ˆ,Aˆ[ =0；<3>[]c ,A ˆ =0 （c 为复常数）；<4>[]C ˆB ˆ,Aˆ+=[]B ˆ,A ˆ+[]C ˆ,A ˆ；<5>[]C ˆB ˆ,Aˆ=]C ˆ,A ˆ[B ˆ+[C ˆ]B ˆ,A ˆ；<6>[]C ˆ,B ˆAˆ=]C ˆ,B ˆ[A ˆ+B ˆ]C ˆ,A ˆ[。

证明<5>：等式右边=C ˆA ˆB ˆC ˆB ˆA ˆA ˆC ˆB ˆC ˆA ˆBˆ−+−=A ˆC ˆB ˆC ˆB ˆA ˆ− 等式左边=A ˆC ˆB ˆC ˆB ˆAˆ−，等式成立。

说明：利用算符对易关系的运算法则可以大大简化算符对易关系的证明，例如：[]Lˆ,Lˆzy =[]pˆyˆpˆxˆ,pˆxˆpˆzˆxyzx−−=[]pˆyˆpˆxˆ,pˆzˆxyx−]pˆyˆpˆxˆ,pˆxˆ[xyz−−=[]pˆxˆ,pˆzˆyx]pˆyˆ,pˆzˆ[xx−]pˆxˆ,pˆxˆ[yz−+[]pˆyˆ,pˆxˆxz=yxpˆ]xˆ,pˆ[zˆ+zxpˆ]pˆ,xˆ[yˆ=)pˆzˆpˆyˆ(iyz−h=xLˆi h[]p ˆ,L ˆy z=[]p ˆ,p ˆy ˆp ˆx ˆy x y −=]p ˆ,p ˆx ˆ[y y ]p ˆ,p ˆy ˆ[y x − =]p ˆ,p ˆ[xˆy y +y y p ˆ]p ˆ,x ˆ[]p ˆ,p ˆ[y ˆy x −x y p ˆ]p ˆ,y ˆ[− =x pˆi h − ]L ˆ,L ˆ[x 2=]L ˆ,L ˆ[x 2x +]L ˆ,L ˆ[x 2y +]L ˆ,L ˆ[x 2z =y L ˆ]L ˆ,L ˆ[x y +]L ˆ,L ˆ[x y y L ˆ+z L ˆ]L ˆ,L ˆ[x z +]L ˆ,L ˆ[x z zL ˆ =z y L ˆL ˆi h −y z L ˆL ˆi h −+y z L ˆL ˆi h +zy L ˆL ˆi h =0同理可证：]L ˆ,L ˆ[y 2=]L ˆ,L ˆ[z 2=0，即：]L ˆ,L ˆ[i2=0 ，,y ,x i =z二、两个力学量同时具有确定值的条件1.定理定理1：如果两个算符F ˆ和G ˆ有一组共同本征函数nΦ，而且n Φ组成完全系，则算符Fˆ和G ˆ对易。

证明：设有两力学量F ˆ和G ˆ有一组共同的本征函数nΦ，即： n n n F ˆΦλ=Φ； nn n G ˆΦμ=Φ而n Φ组成完全系，即对于任意的波函数Ψ都可按{n Φ}展为级数：Ψ=nn n a Φ∑则：)F ˆG ˆG ˆF ˆ(−Ψ=)F ˆG ˆG ˆF ˆ(−nn n aΦ∑ =∑nn a )F ˆG ˆG ˆF ˆ(−nΦ而)F ˆG ˆG ˆF ˆ(−n Φ=G ˆF ˆn ΦF ˆG ˆ−n Φ=F ˆn n ΦμG ˆ−nn Φλ =n μn n Φλn λ−n n Φμ=0于是：)F ˆG ˆG ˆFˆ(−0=Ψ而Ψ是任意的波函数所以：F ˆG ˆG ˆFˆ−=0即：[G ˆ,Fˆ]=0，定理得证。

说明：若F ˆ和G ˆ有一组共同本征函数nΦ，并不一定能够得到]G ˆ,F ˆ[=0的结论，除非nΦ组成完全系。

例：[]=00y x Y L ˆ,L ˆ(x y y x L ˆL ˆL ˆL ˆ−)00Y =000Y =0，但[]0L ˆ,L ˆy x ≠定理2（定理1的逆定理）：如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。

证明：设{n Φ}是F ˆ的完全本征函数系，且本征值 n λ非简并。

则：nn n F ˆΦλ=Φ L ,3,2,1n = ①而Fˆ和G ˆ对易，则： G ˆ(F ˆn Φ）=F ˆG ˆn Φ=n λG ˆ()nΦ ②即G ˆn Φ也是F ˆ属于nλ的本征函数而n λ非简并则G ˆn Φ与n Φ最多只能差一常数因子，记为 nμ，即： nn n G ˆΦμ=Φ这样n Φ也是G ˆ的本征函数，本征值为 nμ 在n λ简并时，Fˆ的本征函数不一定都是G ˆ 的本征函数，但总可以通过线性迭加证明它们会有共同的本征函数且组成完全系）。

结论：（总结以上两定理）两算符具有共同完全本征函数系的充要条件是这两个算符对易。

所以F ˆ和G ˆ有组成完全系的共同的本征函数nΦ。

推广：（两个以上的算符）一组力学量算符具有共同完全本征函数系的充要条件是这些算符相互对易。

即：如果一组算符（,Gˆ,FˆIˆ,Hˆ……）有共同本征函数，而且这些共同本征函数组成完全系，则这组算符中的任何一个和其余的算符对易。

这个定理的逆定理也成立。

2.不同力学量取确定值的条件：若,G ˆ,F ˆI ˆ,H ˆ……等可对易，由以上定理知，这些函数有完全的共同的本征函数系{n Φ}，按本征函数与本征值的意义可知，当体系处于它们的本征态n Φ时，力学量F 有确定值 n λ，Gˆ有确定值 n μ，……（按3.6节讲的基本假设）。

于是会存在这样的态，在这些态中，,G ˆ,F ˆI ˆ,H ˆ……代表的力学量可同时取确定值。

结论：不同力学量同时具有确定值的充分必要条件是在这些力学量算符的共同本征态中。

例如：①动量算符x pˆ，y p ˆ，z p ˆ对易，则它们有完全共同的本征函数系{p r Ψ}， p r Ψ=r p i Ae r r h ⋅=)z p y p x p (i z y x Ae ++h ，在这些态中，力学量z y x p ,p ,p 同时都具有确定值z y x p ,p ,p ；②氢原子的哈密顿算符r e r 2L ˆ2p ˆH ˆ2s 222r −μ+μ=和z 2L ˆ,L ˆ相互对易，则它们有完全的共同的本征函数系{m n l Ψ}，在态m n l Ψ中，z 2L ˆ,L ˆ,H ˆ同时具有确定值，依次为：h h l l m ,)1(,E 2n +。

解释：前面已证：[z 2L ˆ,L ˆ]=0而r e r 2L ˆ2p ˆH ˆ2s 222r −μ+μ= =r e ]sin r 1)(sin sin r 1)r r (rr 1[2s 222222222−ϕ∂∂θ+θ∂∂θθ∂∂θ+∂∂∂∂μ−h 且2L ˆ是关于θ，ϕ的微分算符，zL ˆ是关于ϕ的微分算符所以：0]L ˆ,H ˆ[2= ；0]L ˆ,H ˆ[z =说明：[G ˆ,Fˆ]=0不一定是不同力学量同时具有确定值的条件。

实际上两个力学量算符对易与它们所代表的力学量可同时取确定值是两回事。