2018_2019学年九年级数学下册第二十七章相似章节复习同步练习课件新版新人教版ppt版本
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2018_2019学年九年级数学下册第二十七章相似27.3位似第1课时位似图形的概念及画法课件(新版)新人教版
并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是
( )C
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长比为1∶2； ④△ABC与△DEF的面积比为4∶1.
图K－14－5
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] C 根据位似的性质得出：①△ABC与△DEF是位似图形，② △ABC与△DEF是相似图形．∵D，E，F分别是OA，OB，OC的中点， ∴△ABC与△DEF的相似比为2∶1， ∴△ABC与△DEF的周长比为2∶1，故③错误．根据面积比等于相似
图K－14－10
解：(1)(2)如图所示．
12．如图K－14－11，矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图 形，点A为位似中心，已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4， DD′＝2，求AB，AD的长．
图K－14－11
解：∵矩形 ABCD 的周长为 24，∴AB＋AD＝12.设 AB＝x， 则 AD＝12－x，AB′＝x＋4，AD′＝14－x. ∵矩形 ABCD 与矩形 AB′C′D′是位似图形， ∴AABB′＝AADD′，即x＋x 4＝1124－ －xx， 解得 x＝8，∴AB＝8，AD＝12－8＝4.
链接听课例4归纳总结
图K－14－9
解：情况 1：如图所示，分别连接 OA，OB，OC，分别取线段 OA，OB，OC 的中点 A′，
B′，C′，顺次连接点 A′，B′，C′，则△A′B′C′即为所要求作的图形．
情况 2：如图所示，分别连接 AO，BO，CO，在线段 AO，BO，CO 的延长线上分别截
链接听课例4归纳总结
图K－14－12
解：(1)如图所示． (2)△ABC与△A1B1C1的相似比为1∶2. (3)如图所示
2018_2019学年九年级数学下册第二十七章相似27.1图形的相似课件新版新人教版20181227154
6.如图,四边形EFGH和四边形ABCD相似,则 ∠A= 70° ,∠C= 120° ,x= 20 22.5 .
,y=
15
Hale Waihona Puke ,z=1.相似多边形的特征 【例1】 小明家有一个矩形相框,其边长分别为10 cm,20 cm,小 明还想做一个与该相框形状完全相同的相框,但手中只有一根作为 一边的30 cm长的框料,那么小明还要准备多长的框料? 分析因为这两个矩形的形状完全相同,所以它们相似,对应边成 比例.设相框另一边长为x cm,则有①10 = ������ ;②10 = 30 两种情况,先 20 30 20 ������ 分别求出x,再计算出需准备的框料.
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设原矩形纸片的长为 x,宽为 y,根据题意有1 = ,
2
������
������
������ ������
������ 2 所以 2 ������
= ,即 =
2 1
������ ������
2 . 1
关闭
2∶1
解析 答案
1
2
3
4
5
5.如图,已知菱形ABCD和菱形A'B'C'D',∠A=∠A'=110°,那么这两个 菱形是相似的菱形吗?为什么?
2.比例的定义 【例2】 下列数据能成比例的是( A.3 cm,6 cm,8 cm,9 cm B.3 cm,5 cm,6 cm,9 cm C.3 cm,6 cm,7 cm,9 cm D.3 cm,6 cm,9 cm,18 cm
)
解析:6 ≠ 9 , 5 ≠ 9 , 6 ≠ 9 , 6 = 18.
答案:D
解:因为这两个矩形的形状完全相同, 所以它们相似,对应边成比例. 设相框另一边长为x cm,
2018_2019学年九年级数学下册第二十七章相似本章整合课件新版新人教版
本章整合
知识构建导图
专题归纳复习
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题一:比例线段 【例1】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E是AC的中点,ED 交AB的延长线于点F.
求证:������������������������ = ������������������������.
分析欲证明������������
2
= 49,∴������������23 = 35,
答案:1∶3∶5
专题归纳复习
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
跟踪训练
3.已知△ABC的三边长分别为5,12,13,与其相似的△A'B'C'的最大
边长为26,求△A'B'C'的面积S.
关闭
设△ABC 的三边依次为 BC=5,AC=12,AB=13,
长∴为B'C2'6=,1可0,以A'求C'=出2相4, 似比,从而求出△A'B'C'的两条直角边长,再求
得∴△S=A12'BA''CC''的×B面'C积'=.12×24×10=120.
解析 答案
专题归纳复习
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题四:相似三角形的实际应用 【例4】如图,有一批形状大小相同的不锈钢片,呈直角三角形.已 知∠C=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,试设计一种方案,用这批不锈钢片裁 出面积最大的正方形不锈钢片,并求出这种正方形不锈钢片的边长.
=
������������ ������������
知识构建导图
专题归纳复习
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题一:比例线段 【例1】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E是AC的中点,ED 交AB的延长线于点F.
求证:������������������������ = ������������������������.
分析欲证明������������
2
= 49,∴������������23 = 35,
答案:1∶3∶5
专题归纳复习
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
跟踪训练
3.已知△ABC的三边长分别为5,12,13,与其相似的△A'B'C'的最大
边长为26,求△A'B'C'的面积S.
关闭
设△ABC 的三边依次为 BC=5,AC=12,AB=13,
长∴为B'C2'6=,1可0,以A'求C'=出2相4, 似比,从而求出△A'B'C'的两条直角边长,再求
得∴△S=A12'BA''CC''的×B面'C积'=.12×24×10=120.
解析 答案
专题归纳复习
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题四:相似三角形的实际应用 【例4】如图,有一批形状大小相同的不锈钢片,呈直角三角形.已 知∠C=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,试设计一种方案,用这批不锈钢片裁 出面积最大的正方形不锈钢片,并求出这种正方形不锈钢片的边长.
=
������������ ������������
2018_2019学年九年级数学下册第27章相似小结课件(新版)新人教版
2．三角形的相似与三角形的全等有什么关系？如何判断两个三 角形相似？
答：三角形的相似包括三角形的全等，全等三角形是相似比为1的相似三角形. 判断两个三角形相似的常用方法是： （1）平行于三角形的一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相 似． （2）三边成比例的两个三角形相似． （3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． （4）两角分别相等的两个三角形相似． （5）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
答：应用位似作图的一般步骤是： ①确定位似中心：画位似图形时,位似中心可能在图形的内部,也可能在图形的外部, 还可能在图形的边上. ②连接关键点与位似中心：找出关键点(多边形常取顶点),连接位似中心和关键点. ③画出对应点：根据相似比,确定原图形关键点的对应点,顺次连接所得的对应点,得 到新的图形. ④写出作图的结论. 平移、轴对称、旋转和位似之间的异同是：图形经过平移、旋转、轴对称后，图 形的位置虽然改变了，但是图形的大小和形状没有改变，即两个图形是全等的； 而图形经过位似变换后，图形是相似的.
一、回顾思考
1．相似三角形有哪些性质？位似图形呢？
答：相似三角形的性质有：（1）相似三角形的对应边成比例，（2）相似三角 形的对应角相等，（3）相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平 分线)的比等于相似比，（4）相似三角形的周长比等于相似比，（5）相似三角 形的面积比等于相似比的平方. 位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位 似中心的距离之比等于相似比；（2）位似图形中的对应线段平行或在同一条直 线上.
内部文件，请勿外传
内部文件，请勿外传
一、回顾思考
3.举例例说明三角形相似的一些应用.
答：应用相似三角形可以求角的度数、线段长度、图形面积，可以证比例式、 等积式，还可以测量不易直接得到的距离，如测河宽、测旗杆高等.
九年级数学下册 第二十七章 相似章节复习同步练习课件 新人教版
8
例2 如图27- Z - 3 所示, CD 是Rt△ABC斜边上的高, E是 AC的中 点, ED, CB的延长线交于点F. 求证：△FDB∽△FCD.
9
证明 ∵CD是Rt△ABC斜边上的高, E是AC的中点,
∴∠EDA=∠A, ∠EDC=∠ECD. ∵∠EDC+∠EDA=90° , ∠EDA=∠BDF, ∴∠EDC+∠BDF=90° , ∴∠ECD+∠BDF=90° . ∵∠ECD+∠DCF=90° , ∴∠BDF=∠DCF. 又∵∠F=∠F, ∴△FDB∽△FCD.
10
相关题2
如图27- Z - 4所示, 在 ABCD中, 对角线AC, BD 相交于点O, 分 别过点D, C 作DE∥OC, CE∥OD． (1)图中有若干对相似三角 形, 请至少写出三对相似 (不全等的) 三角形, 并选择 其中一对加以证明； (2)求证：DM= OB.
11
解 (1)相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE， △DNE∽△CNA等． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴△ABM∽△NDM. ∵CE∥OD，∴△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE， ∴△ABM∽△NDM∽△NCE. ∵DE∥OC， ∴△DNE∽△CAN.
【要点指导】(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比、 对应角 平分线的比都等于相似比；(2)相似三角形周长的比等 于相似比；(3)相 似三角形面积的比等于相似比的平方．
14
例3 若△ABC∽△A′B′C′, 且A′C′=3 cm, BC=5 cm, AC=4 cm,
角分别相等的 两个三角形相似
两边成比例且夹角相等的 两个三角形 相似
三边成比例的两个三角形相似
例2 如图27- Z - 3 所示, CD 是Rt△ABC斜边上的高, E是 AC的中 点, ED, CB的延长线交于点F. 求证：△FDB∽△FCD.
9
证明 ∵CD是Rt△ABC斜边上的高, E是AC的中点,
∴∠EDA=∠A, ∠EDC=∠ECD. ∵∠EDC+∠EDA=90° , ∠EDA=∠BDF, ∴∠EDC+∠BDF=90° , ∴∠ECD+∠BDF=90° . ∵∠ECD+∠DCF=90° , ∴∠BDF=∠DCF. 又∵∠F=∠F, ∴△FDB∽△FCD.
10
相关题2
如图27- Z - 4所示, 在 ABCD中, 对角线AC, BD 相交于点O, 分 别过点D, C 作DE∥OC, CE∥OD． (1)图中有若干对相似三角 形, 请至少写出三对相似 (不全等的) 三角形, 并选择 其中一对加以证明； (2)求证：DM= OB.
11
解 (1)相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE， △DNE∽△CNA等． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴△ABM∽△NDM. ∵CE∥OD，∴△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE， ∴△ABM∽△NDM∽△NCE. ∵DE∥OC， ∴△DNE∽△CAN.
【要点指导】(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比、 对应角 平分线的比都等于相似比；(2)相似三角形周长的比等 于相似比；(3)相 似三角形面积的比等于相似比的平方．
14
例3 若△ABC∽△A′B′C′, 且A′C′=3 cm, BC=5 cm, AC=4 cm,
角分别相等的 两个三角形相似
两边成比例且夹角相等的 两个三角形 相似
三边成比例的两个三角形相似
2018_2019学年九年级数学下册第二十七章相似27.1图形的相似课件新版新人教版
解析:36
≠
8 9
,
3 5
≠
6 9
,
3 6
≠
7 9
,
3 6
=
198.
答案:D
互动课堂理解
ห้องสมุดไป่ตู้ 1
2
3
4
5
1.有下列各组线段: (1)a=12 dm,b=8 dm,c=1.5 m,d=10 m; (2)a=300 dm,b=20 dm,c=0.8 dm,d=12 mm; (3)a=7 m,b=4 m,c=3 m,d=5 m;
(4)a=14m,b=12m,c=9 m,d=18 m.
其中成比例的线段有( ) A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
统一单位后,按从小到大或从大到小的顺序排列,进行验证. (1)ac≠bd;(2)ad≠cb; (3)ac≠bd;(4)ad=bc.
A
解析
轻松尝试应用
关闭 关闭
答案
1
2
3
4
5
2.在下面给出的五组图形中,相似的有
.(填序号)
轻松尝试应用
②③
关闭
答案
1
2
3
4
5
轻松尝试应用
3.有四条成比例的线段,若其中两条长度分别为2 cm,32 cm,另两条
线段的长度相等,则它们的总长应该等于
.
设相等线段的长度为x cm,则有2∶x=x∶32,故x=8.总长 =2+32+8×2=50(cm).
50 cm
解析
关闭
关闭
答案
1
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
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【要点指导】(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比、 对应角 平分线的比都等于相似比；(2)相似三角形周长的比等 于相似比；(3)相 似三角形面积的比等于相似比的平方．
例3 若△ABC∽△A′B′C′, 且A′C′=3 cm, BC=5 cm, AC=4 cm,
AB= 7 cm, 则△A′B′C′的周长为( A ).
A．12 cm
B．13 cm
C．14 cm
D．15 cm
相关题3 在△ABC中, BC=6, AC=8, AB=10, 另一个与它相似的 三
角形的最短边长是3, 则 其最长边长是( B).
A．12
B．5
C．16
D．20
解析 在△ABC中，最短边长BC＝6，最长边长AB＝10，另一个与它相似 的三角形的最短边长是3，∴它们的相似比是2∶1，∴另一个三角形的 最长边长是5.
两角分别相等的 两个三角形相似
两边成比例且夹角相等的 两个三角形 相似
三边成比例的两个三角形相似
利用视线测量物高
利用影长测量物高
利用其他方法构成相似三 角形测 距离
归纳整合
专题一 平行线分线段成比例
【要点指导】 平行线分线段成比例是三角形相似的基础 , 也 是求线 段比和证明与线段长度相关的等式的一种方法 .
例1 如图27-Z-1, 在△ABC中, D为AC上一点,且
,过
点 D 作 DE ∥ BC 交 AB 于点 E, 连接 CE, 过点D 作 DF
∥ CE 交 AB 于点F. 若 AB=15, 则 EF=_________．
相关题1
如图27-Z-2, 在△ABC中, DE∥BC,
则AC的长是( C ).
解 (1)证明：在正方形ABCD中, ∠B=∠C=90° . ∵AM⊥MN, ∴∠AMN=90° , ∴∠CMN+∠AMB=90°． 在Rt△ABM中, ∠MAB+∠AMB=90° ,
(2) ∵Rt△ABM∽Rt△MCN,
∴当x=2时, y取最大值, 最大值为10． 故当点M运动到BC的中点时, 四边形ABCN的面积最大, 最大面积为10.
解： (1)如图27-Z-10, △DEF和 △D′E′F′即为所求的三角形.
(2)与点M对应的点M′的坐 标为(2a, 2b)或(-2a, -2b)．
相关题6
如图27-Z-11, △ABC的三 个顶点坐标分别为A (2, 7), B (6, 8), C (8, 2). (1)以点O为位似中心, 在第 三象限内作出 △A1B1C1, 使 △A1B1C1与△ABC的位似 比为1∶2； (2)写出点A1, B1, C1的坐标； (3)如果△ABC内部一点M 的坐标为(x, y), 写出点M的 对应点M′的坐标．
例5 如图27-Z-6所示, 在四边形ABCD中, AD=CD, ∠DAB= ∠ACB=90° , 过点D作DE⊥AC, 垂足为F, DE与AB相交于点E. 求 证：AB·AF=CB·CD．
证明 ∵DE⊥AC, ∴∠DFA=90°． ∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90° , ∠CAB+∠B=90° , ∴∠DAF=∠B. 在△DAF和△ABC中, ∠DFA=∠ACB=90° , ∠DAF=∠B,
相关题5-2
如图27-Z-8所示, AB是 半圆O的直径, 点P在BA的 延长线上, PD切⊙O于点 C, BD⊥PD, 垂足为D, 连接 BC. 求证：(1)BC平分∠PBD； (2)BC2=AB·BD.
证明 (1)连接OC，则OC⊥PD. ∵BD⊥PD，∴OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD. ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CBD＝∠OBC，即BC平分∠PBD. (2)连接AC.∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵BD⊥PD，∴∠PDB＝90°. 又∵∠CBD＝∠OBC，∴△ABC∽△CBD，
(2) ∵这两个三角形的相似比为 5 ∶ 2, ∴这两个三角形的面积 比为 25 ∶ 4. 设较大的三角形的面积为 25y cm2, 较小的三角形 的面积为 4y cm2. ∵它们的面积相差 588 cm2, ∴ (25-4)y=588, ∴ y=28, ∴ 25y=25×28=700(cm2), 4y=4×28=112 (cm2), ∴较大 的三角形的面积为 700 cm2, 较小的三角形的面积为 112 cm2.
例4 已知两个相似三角形的一对对应角平分线的长分别 是35 cm 和 14 cm. (1)已知它们的周长相差 60 cm, 求这两个三角形的周长； (2)已知它们的面积相差 588 cm2, 求这两个三角形的面积 .
解 (1) ∵两个相似三角形的一对对应角平分线的长分别是 35 cm 和 14 cm, ∴这两个三角形的相似比为 5 ∶ 2, ∴这两个三角形的周长 比为 5 ∶ 2. 设较大的三角形的周长为 5x cm, 较小的三角形的周长 为 2x cm. ∵它们的周长相差 60 cm, ∴ 3x=60, 解得 x=20, ∴ 5x= 5×20=100(cm), 2x=2×20=40(cm), ∴较大的三角形的周长为 100 cm, 较小的三角形的周长为 40 cm.
(2)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC. 又∵CE∥OD，∴AM＝ME， ∴OM 为△ACE 的中位线，∴OM＝12CE. ∵CE∥OD，DE∥OC， ∴四边形 DOCE 为平行四边形， ∴CE＝OD，∴OM＝12OD＝12OB. 故 DM＝12OB.
专题三 相似三角形的性质
相关题2
如图27- Z - 4所示, 在 ABCD中, 对角线AC, BD 相交于点O, 分 别过点D, C 作DE∥OC, CE∥OD． (1)图中有若干对相似三角 形, 请至少写出三对相似 (不全等的) 三角形, 并选择 其中一对加以证明； (2)求证：DM= OB.
解 (1)相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE，△DNE∽△CNA 等． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴△ABM∽△NDM. ∵CE∥OD，∴△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE， ∴△ABM∽△NDM∽△NCE. ∵DE∥OC， ∴△DNE∽△CAN.
例2 如图27- Z - 3 所示, CD 是Rt△ABC斜边上的高, E是AC 的中 点, ED, CB的延长线交于点F. 求证：△FDB∽△FCD.
证明 ∵CD是Rt△ABC斜边上的高, E是AC的中点,
∴∠EDA=∠A, ∠EDC=∠ECD. ∵∠EDC+∠EDA=90° , ∠EDA=∠BDF, ∴∠EDC+∠BDF=90° , ∴∠ECD+∠BDF=90° . ∵∠ECD+∠DCF=90° , ∴∠BDF=∠DCF. 又∵∠F=∠F, ∴△FDB∽△FCD.
专题五 位似变换
【要点指导】 位似图形一定是相似图形, 经位似变换后的图 形, 不 仅与原图形相似, 而且对应点的连线交于一点, 利用位似变 换, 可以将一 个图形放大或缩小.
例6 如图27-Z-9, △ABC的顶点坐标分别为A(1, 1), B(2, 3), C(3, 0). (1)以点O为位似中心画△DEF, 使它与△ABC位似, 且相似比为2； (2)在(1)的条件下, 若M(a, b)为△ABC边 上的任意一点, 则△DEF的 边上与点M对 应的点M′的坐标为多少？
第 二十七章 相似
章末复习
章末复习
知识框架 归纳整合 素养提升 中考链接
知识框架
两个边数相同的多边形, 如 果它们 的角分别相等, 边成 比例, 那么这 两个多边形叫 作相似多边形
定义
对应角相等, 对应边成比例
相似多边形
周长比等于相似比, 面积 比等于 相似比的平方
性质
相 似 三
角
不仅相似, 而且对应 点的连线相交于一点
专题四 证明比例式或等积式
【要点指导】 本章中常出现证明比例式或等积式的题目, 解决 此类 问题主要运用相似三角形的性质, 常用的方法有：
1．三点定形法. 分别观察所证线段比例式的分子和分母或各个 比 的分子和分母, 它们各自两条线段的四个字母中不同的三个字 母是否分 别为某三角形的三个顶点, 若恰好能组成两个三角形, 则可以考虑证明 这两个三角形相似.
A．2 cm
B．4 cm
AD AE 解析 ∵DE∥BC，∴AB＝AC.
C．6 cm
AD 1
21
∵AB＝3，AE＝2 cm，∴AC＝3，
∴AC＝6(cm)．故选 C.
, AE= 2 cm, D．8 cm
专题二 相似三角形的判定
【要点指导】 判定两个三角形相似的方法：(1)平行于三角 形一边 的直线和其他两边相交, 所构成的三角形与原三角形相 似；(2)三边成比 例的两个三角形相似；(3)两边成比例且夹角 相等的两个三角形相似； (4)两角分别相等的两个三角形相似. 证明两个三角形相似, 要结合已知 条件和隐含条件灵活选择判 定方法. 以上四种方法中, 两角分别相等和 平行线法是常用的 证明方法.
形
不仅相似, 而且对应 点的连线相交于一点
确定位似中心, 找关键 点, 作关键点的对应点 作图
坐标 中的 位似 变换
位似
相似
定义 性质 判定 应用
三个角分别相等, 三条边 成比例的 两个三角形叫作 相似三角 对应角相等,对应边成比例
对应线段(高、中线、角平 分线等)的 比等于相似比
周长的比等于相似比,面积 的比等于 相似比的平方 平行于三角形一边的直线 和其他两边 相交, 所构成 的三角形与原三角形相似
相关题4 如图27-Z-5所示, 在△ABC 中,点D,E分别在形BCED的值为( C ).
A．
B．1∶2
C．1∶3
D．1∶4
解析 ∵AAEB＝AADC＝12，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB， ∴SS△△AADCEB＝AADC2＝122＝14，∴S四S边△形ADBECED＝13.
例3 若△ABC∽△A′B′C′, 且A′C′=3 cm, BC=5 cm, AC=4 cm,
AB= 7 cm, 则△A′B′C′的周长为( A ).
A．12 cm
B．13 cm
C．14 cm
D．15 cm
相关题3 在△ABC中, BC=6, AC=8, AB=10, 另一个与它相似的 三
角形的最短边长是3, 则 其最长边长是( B).
A．12
B．5
C．16
D．20
解析 在△ABC中，最短边长BC＝6，最长边长AB＝10，另一个与它相似 的三角形的最短边长是3，∴它们的相似比是2∶1，∴另一个三角形的 最长边长是5.
两角分别相等的 两个三角形相似
两边成比例且夹角相等的 两个三角形 相似
三边成比例的两个三角形相似
利用视线测量物高
利用影长测量物高
利用其他方法构成相似三 角形测 距离
归纳整合
专题一 平行线分线段成比例
【要点指导】 平行线分线段成比例是三角形相似的基础 , 也 是求线 段比和证明与线段长度相关的等式的一种方法 .
例1 如图27-Z-1, 在△ABC中, D为AC上一点,且
,过
点 D 作 DE ∥ BC 交 AB 于点 E, 连接 CE, 过点D 作 DF
∥ CE 交 AB 于点F. 若 AB=15, 则 EF=_________．
相关题1
如图27-Z-2, 在△ABC中, DE∥BC,
则AC的长是( C ).
解 (1)证明：在正方形ABCD中, ∠B=∠C=90° . ∵AM⊥MN, ∴∠AMN=90° , ∴∠CMN+∠AMB=90°． 在Rt△ABM中, ∠MAB+∠AMB=90° ,
(2) ∵Rt△ABM∽Rt△MCN,
∴当x=2时, y取最大值, 最大值为10． 故当点M运动到BC的中点时, 四边形ABCN的面积最大, 最大面积为10.
解： (1)如图27-Z-10, △DEF和 △D′E′F′即为所求的三角形.
(2)与点M对应的点M′的坐 标为(2a, 2b)或(-2a, -2b)．
相关题6
如图27-Z-11, △ABC的三 个顶点坐标分别为A (2, 7), B (6, 8), C (8, 2). (1)以点O为位似中心, 在第 三象限内作出 △A1B1C1, 使 △A1B1C1与△ABC的位似 比为1∶2； (2)写出点A1, B1, C1的坐标； (3)如果△ABC内部一点M 的坐标为(x, y), 写出点M的 对应点M′的坐标．
例5 如图27-Z-6所示, 在四边形ABCD中, AD=CD, ∠DAB= ∠ACB=90° , 过点D作DE⊥AC, 垂足为F, DE与AB相交于点E. 求 证：AB·AF=CB·CD．
证明 ∵DE⊥AC, ∴∠DFA=90°． ∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90° , ∠CAB+∠B=90° , ∴∠DAF=∠B. 在△DAF和△ABC中, ∠DFA=∠ACB=90° , ∠DAF=∠B,
相关题5-2
如图27-Z-8所示, AB是 半圆O的直径, 点P在BA的 延长线上, PD切⊙O于点 C, BD⊥PD, 垂足为D, 连接 BC. 求证：(1)BC平分∠PBD； (2)BC2=AB·BD.
证明 (1)连接OC，则OC⊥PD. ∵BD⊥PD，∴OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD. ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CBD＝∠OBC，即BC平分∠PBD. (2)连接AC.∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵BD⊥PD，∴∠PDB＝90°. 又∵∠CBD＝∠OBC，∴△ABC∽△CBD，
(2) ∵这两个三角形的相似比为 5 ∶ 2, ∴这两个三角形的面积 比为 25 ∶ 4. 设较大的三角形的面积为 25y cm2, 较小的三角形 的面积为 4y cm2. ∵它们的面积相差 588 cm2, ∴ (25-4)y=588, ∴ y=28, ∴ 25y=25×28=700(cm2), 4y=4×28=112 (cm2), ∴较大 的三角形的面积为 700 cm2, 较小的三角形的面积为 112 cm2.
例4 已知两个相似三角形的一对对应角平分线的长分别 是35 cm 和 14 cm. (1)已知它们的周长相差 60 cm, 求这两个三角形的周长； (2)已知它们的面积相差 588 cm2, 求这两个三角形的面积 .
解 (1) ∵两个相似三角形的一对对应角平分线的长分别是 35 cm 和 14 cm, ∴这两个三角形的相似比为 5 ∶ 2, ∴这两个三角形的周长 比为 5 ∶ 2. 设较大的三角形的周长为 5x cm, 较小的三角形的周长 为 2x cm. ∵它们的周长相差 60 cm, ∴ 3x=60, 解得 x=20, ∴ 5x= 5×20=100(cm), 2x=2×20=40(cm), ∴较大的三角形的周长为 100 cm, 较小的三角形的周长为 40 cm.
(2)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC. 又∵CE∥OD，∴AM＝ME， ∴OM 为△ACE 的中位线，∴OM＝12CE. ∵CE∥OD，DE∥OC， ∴四边形 DOCE 为平行四边形， ∴CE＝OD，∴OM＝12OD＝12OB. 故 DM＝12OB.
专题三 相似三角形的性质
相关题2
如图27- Z - 4所示, 在 ABCD中, 对角线AC, BD 相交于点O, 分 别过点D, C 作DE∥OC, CE∥OD． (1)图中有若干对相似三角 形, 请至少写出三对相似 (不全等的) 三角形, 并选择 其中一对加以证明； (2)求证：DM= OB.
解 (1)相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE，△DNE∽△CNA 等． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴△ABM∽△NDM. ∵CE∥OD，∴△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE， ∴△ABM∽△NDM∽△NCE. ∵DE∥OC， ∴△DNE∽△CAN.
例2 如图27- Z - 3 所示, CD 是Rt△ABC斜边上的高, E是AC 的中 点, ED, CB的延长线交于点F. 求证：△FDB∽△FCD.
证明 ∵CD是Rt△ABC斜边上的高, E是AC的中点,
∴∠EDA=∠A, ∠EDC=∠ECD. ∵∠EDC+∠EDA=90° , ∠EDA=∠BDF, ∴∠EDC+∠BDF=90° , ∴∠ECD+∠BDF=90° . ∵∠ECD+∠DCF=90° , ∴∠BDF=∠DCF. 又∵∠F=∠F, ∴△FDB∽△FCD.
专题五 位似变换
【要点指导】 位似图形一定是相似图形, 经位似变换后的图 形, 不 仅与原图形相似, 而且对应点的连线交于一点, 利用位似变 换, 可以将一 个图形放大或缩小.
例6 如图27-Z-9, △ABC的顶点坐标分别为A(1, 1), B(2, 3), C(3, 0). (1)以点O为位似中心画△DEF, 使它与△ABC位似, 且相似比为2； (2)在(1)的条件下, 若M(a, b)为△ABC边 上的任意一点, 则△DEF的 边上与点M对 应的点M′的坐标为多少？
第 二十七章 相似
章末复习
章末复习
知识框架 归纳整合 素养提升 中考链接
知识框架
两个边数相同的多边形, 如 果它们 的角分别相等, 边成 比例, 那么这 两个多边形叫 作相似多边形
定义
对应角相等, 对应边成比例
相似多边形
周长比等于相似比, 面积 比等于 相似比的平方
性质
相 似 三
角
不仅相似, 而且对应 点的连线相交于一点
专题四 证明比例式或等积式
【要点指导】 本章中常出现证明比例式或等积式的题目, 解决 此类 问题主要运用相似三角形的性质, 常用的方法有：
1．三点定形法. 分别观察所证线段比例式的分子和分母或各个 比 的分子和分母, 它们各自两条线段的四个字母中不同的三个字 母是否分 别为某三角形的三个顶点, 若恰好能组成两个三角形, 则可以考虑证明 这两个三角形相似.
A．2 cm
B．4 cm
AD AE 解析 ∵DE∥BC，∴AB＝AC.
C．6 cm
AD 1
21
∵AB＝3，AE＝2 cm，∴AC＝3，
∴AC＝6(cm)．故选 C.
, AE= 2 cm, D．8 cm
专题二 相似三角形的判定
【要点指导】 判定两个三角形相似的方法：(1)平行于三角 形一边 的直线和其他两边相交, 所构成的三角形与原三角形相 似；(2)三边成比 例的两个三角形相似；(3)两边成比例且夹角 相等的两个三角形相似； (4)两角分别相等的两个三角形相似. 证明两个三角形相似, 要结合已知 条件和隐含条件灵活选择判 定方法. 以上四种方法中, 两角分别相等和 平行线法是常用的 证明方法.
形
不仅相似, 而且对应 点的连线相交于一点
确定位似中心, 找关键 点, 作关键点的对应点 作图
坐标 中的 位似 变换
位似
相似
定义 性质 判定 应用
三个角分别相等, 三条边 成比例的 两个三角形叫作 相似三角 对应角相等,对应边成比例
对应线段(高、中线、角平 分线等)的 比等于相似比
周长的比等于相似比,面积 的比等于 相似比的平方 平行于三角形一边的直线 和其他两边 相交, 所构成 的三角形与原三角形相似
相关题4 如图27-Z-5所示, 在△ABC 中,点D,E分别在形BCED的值为( C ).
A．
B．1∶2
C．1∶3
D．1∶4
解析 ∵AAEB＝AADC＝12，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB， ∴SS△△AADCEB＝AADC2＝122＝14，∴S四S边△形ADBECED＝13.