不等式的性质

C 练习1．下列不等式中，正确的个数是( )
①若a>b，则ac>bc
②若a·2c>b·2c，则a>b
③若a>b，c>0，则algc>blgc
④若a|c|>b|c|，则a>b
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：对于①：a>b，取c＝0⇒ac＝bc，①错； 对于②：∵2c>0，∴a·2c>b·2c⇒a>b，②对； 对于③：a>b，取c＝1，则algc＝blgc＝0，③错； 对于④：a|c|>b|c|⇒|c|>0⇒a>b，④对． 综上，正确的个数有2个，故选C. 答案：C
又－53≤53(a＋b)≤53， －2≤－23(a－2b)≤－23， ∴－131≤a＋3b≤1.
纠错补练 2 设 x，y 为实数，满足 3≤xy2≤8,4≤xy2≤9， 则xy43的最大值是________．
解
：
x2

y

2
∈
[16,81]
，x1y2
∈
18，13
，
xy43＝
A．如果 a>b，那么ac>bc B．如果 ac<bc，那么 a<b C．如果 a>b，那么1a<b1 D．如果 a>b，则ca2>cb2
要点二 利用不等式性质证明不等式 利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题 一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质，并注意在解题中 灵活准确地加以应用．
⇒f(3)＝9a－c＝－53f(1)＋83f(2)．
－4≤f1≤－1⇒53≤－35f1≤230
－1≤f2≤5⇒－38≤83f2≤430

⇒－1≤f(3)≤20.
∴f(3)的取值范围为[－1,20]．
方法 2：(待定系数法)设 f(3)＝λf(1)＋μf(2)， ∴9a－c＝λ(a－c)＋μ(4a－c)． ∴9－＝1＝ λ＋－4μλ－μ ，解得λμ＝＝－83. 53 ∴f(3)＝－53f(1)＋83f(2)．下同方法 1，略．
答案：D
C 2．下列不等式中，正确的个数是( )
①若a>b，则ac>bc
②若a·2c>b·2c，则a>b
③若a>b，c>0，则algc>blgc
④若a|c|>b|c|，则a>b
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个Βιβλιοθήκη 解析：对于①：a>b，取c＝0⇒ac＝bc，①错； 对于②：∵2c>0，∴a·2c>b·2c⇒a>b，②对； 对于③：a>b，取c＝1，则algc＝blgc＝0，③错； 对于④：a|c|>b|c|⇒|c|>0⇒a>b，④对． 综上，正确的个数有2个，故选C. 答案：C
③a>b，b≥c⇒a>c >，≥⇒> 传递
④a≥b，b>c⇒a>c ≥，>⇒> 不传递
例 1 适当增加不等式条件，使下列命题成立： (1)若 a>b，则 ac≤bc； c≤0 (2)若 ac2>bc2，则 a2>b2； c≠0 (3)若 a>b，则 lg(a＋1)>lg(b＋1)； a>b>-1 (4)若 a>b，则 log0.5(a-1)<log0.5 (b-1)；a>b>1 (5)若 a>b，c>d，则ad>bc. a>b>0且c>d>0
x2

y

2·x1y2
∈
[2,27]，则xy43的最大值是 27.
答案：27
1．知识结构梳理
2．规律方法总结 (1)不等式的基本性质是不等式变形的依据，每一 步变形都应有根有据，使用不等式的性质时要注意性质 成立的条件，如不等式同向可加，但不可相减，不等式 同向同正方可相乘．另外，还需注意它们的方向性，也 就是说每条性质是否具有可逆性．不等式的两边同乘以 (或同除以)一个含有字母的式子，一定要知道它的值是 正还是负，并且不能为零，才能得到正确结论．
【方法总结】 本题把所求的问题用已知不等式表 示，然后利用同向不等式性质解决．本题常用待定系数 法解决，设出方程，求出待定系数即可．
变式练习 5 已知 3≤a＋b≤4,1≤4a－2b≤2，求 4a ＋2b 的取值范围．
解：方法 1：(方程组思想)
令yx＝＝4aa＋－b2b ，则ab＝ ＝1323xx＋ －1616yy
＝2[f(1)＋f(－1)]－[f(1)－f(－1)] ＝3f(－1)＋f(1)． ∵1≤f(1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤f(－2)≤10，故选 D 项．
纠错补练 1 已知－1≤a＋b≤1 ①，1≤a－2b≤3 ②，求 a＋3b 的取值范围．
解：设 a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1 －2λ2)b，解得 λ1＝53，λ2＝－23.
4．已知 a，b，c∈R，且 ab>0，则下列推理中正
确的是( )
A．a>b⇒am2>bm2
B.ac>bc⇒a>b
C．a3>b3⇒1a<1b
而由1a<1b推不出 a>b>0.
例 2 判断下列不等关系是否成立，并说明理由． (1)若 ac2>bc2，则 a>b； (2)若 a<b，c<0，则ac<bc； (3)若 a>b>0，a>c，则 a2>bc； (4)若 a>b，m∈N*，则 am>bm.
变式练习 2 已知 a，b，c∈R，且 c≠0，则下列命题 正确的是( D )
同向
性质
别名
性质内容
注意
⑥
同向同正可乘性
ac>>db>>00⇒ac>bd
同向同 正
a>b>0⇒an>bn
⑦
可乘方性
(n∈N*，n≥2)
同正
⑧
可开方性
a>b>0⇒ n
n a>
b
(n∈N*，n≥2)
需要注意的：
不等式
不等号 是否传递
①a>b，b>c⇒a>c >，>⇒> 传递
②a≥b，b≥c⇒a≥c ≥，≥⇒≥ 传递
.
∴4a＋2b＝4(13x＋16y)＋2(23x－16y)＝83x＋13y，
又13≤≤yx≤≤24 ⇒813≤ ≤8313xy≤≤23332
⇒235≤83x＋13y≤334，
∴4a＋2b 的取值范围为[235，334]．
方法 2：(待定系数法) 设 4a ＋ 2b ＝ m(4a － 2b) ＋ n(a ＋ b) ， ∴
易错点 多次使用不等式性质 5，导致代数范围增
大
典 例 已 知二 次函 数 f(x) ＝ ax2＋ bx(a≠0) 满足
1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则 f(－2)的范围是( )
A．[3,12]
B．(3,12)
C．(5,10)
D．[5,10]
【错解】 由于 f(－2)＝4a－2b，要求 f(－2)的范 围，可先求 a 与 b 的范围．由 f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b， 得
原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不 等式同向”这一性质是单向的，用它来作变形，是非同 解变形．以上解法为了求 a，b 的范围，多次应用了这 一性质，使所求范围扩大了．
【正解】 ∵ff－ 1＝1＝ a＋a－ b，b， ∴ab＝ ＝1212[[ff11＋ －ff－ －11]]，. ∴f(－2)＝4a－2b
12<a<60

－b<45
15<b<36⇒ 31162<<1ba<<16150⇒13<ab<4.
∴a－b，ab的取值范围分别为(－24,45)、(13，4)．
【答案】 (－24,45) (13，4)
【方法总结】 只有同向不等式两边才能相加，两 边都是正数的同向不等式才能相乘，要充分利用所给条 件进行适当变形来求范围，要注意变形的等价性．
1≤a－b≤2， ① 2≤a＋b≤4. ② 两式相加得32≤a≤3，又－2≤b－a≤1. ③
②式与③式相加得 0≤b≤32. ∴6≤4a≤12，－3≤－2b≤0. ∴3≤4a－2b≤12. 即 3≤f(－2)≤12.故选 A 项．
【错因分析】 这种解法看似正确，实则使 f(－2) 的范围扩大了．事实上，这里 f(－2)最小值不可能取到 3，最大值不可能是 12.由上述解题过程可知，当 a＝32且 b＝32时才能使 4a－2b＝3，而此时 a－b＝0，不满足① 式．同理可验证 4a－2b 也不能等于 12.出现上述错误的
变式练习 3 已知 a>b>0，c<d<0，e<0.求证：a－e c>b－e d.
证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0. ∵a>b>0，∴a－c>b－d>0. ∴0<a－1 c<b－1 d. 又∵e<0，∴a－e c>b－e d.
要点三 利用不等式性质求范围 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一 类常见的问题，对于这类问题要注意：同向(异向)不等式的 两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题 过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围，所 以我们在解题时务必小心谨慎．
3．已知a＋b>0，b<0，则a，b，－a，－b的大小关 系为( )
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b 解析：∵a＋b>0且b<0，∴a>0且a>－b，b>－a，对 于－b与b，∵b<0，∴－b>b.由不等式传递性，知a>－ b>b>－a. 答案：C