2.1.2等式性质与不等式的性质【试题版】

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2.1 不等式和不等式的性质训练题及解析

2.1 不等式和不等式的性质训练题1．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm ，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a ，b ，c （单位：cm ），这个规定用数学关系式可表示为（） A ．a +b +c ＞130B ．a +b +c ＜130C ．a +b +c ≥130D ．a +b +c ≤1302．已知t ＝2a +2b ，s ＝a ²+2b +1，则（） A ．t ＞sB ．t ≥sC ．t ≤sD ．t ＜s3．已知P ＝x 2+xy +y 2，Q ＝3xy ﹣1，则（） A ．P ＞Q B ．P ＝QC ．P ＜QD ．P ，Q 的大小关系不确定4．已知a ，b 为不相等的实数，记M ＝a 2﹣ab ，N ＝ba ﹣b 2，则M 与N 的大小关系为（） A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不确定5.如果,a b >那么下列说法正确的是（）A ．ac bc >B ．22ac bc <C ．ac bc =D ．0b a -< 6.若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（） A ．11a b> B ．11a b a >- C ．|a|>|b| D ．22a b > 7.下列命题正确的是（） A ．若>a b ，则11a ba b ，则22a b > C ．若>a b ，c d <，则>a c b d -- D ．若>a b ，>c d ，则>ac bd8.若,,a b c 为实数，且0a b <<，则下列命题正确的是（）A ．22ac bc D ．22a ab b >> 9.已知,a b ∈R ，满足0ab <，0a b +>，a b >，则（） A ．11a b C ．22a b > D ．a b < （多选）10．已知a ，b ∈R ，则下列命题正确的是（） A ．若a ≠b ，则a 2≠b 2B ．若a 2≠b 2，则a ≠bC ．若a ＞b ，则a 2＞b 2D ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2（多选）11．已知a ，b ，c 满足c ＜a ＜b ，且ac ＜0，那么下列各式中一定成立的是（） A ．ac （a ﹣c ）＞0B ．c （b ﹣a ）＜0C ．cb 2＜ab 2D ．ab ＞ac（多选）12．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（） A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2C ．若a ＞b ＞0且c ＜0，则D ．若a ＞b 且，则ab ＜0（多选）13．如果a ＜b ＜0，c ＜d ＜0，那么下面一定成立的是（） A ．a +d ＜b +cB ．ac ＞bdC ．ac 2＞bc 2D ．14.若25,310<<<<a b ，则2a b -的范围为_______15.（多选）已知660a <<，1518b <<，则下列正确的是（） A ．1,43a b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()21,78a b +∈C ．()9,42a b -∈-D ．739,59a b b +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭16.已知122,34a b a b -<+<<-<，则4a b -的取值范围是____________.17.已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（）A ．[7,26]-B ．[1,20]-C ．[4,15]D ．[1,15]18.已知a b c >>，求证111b c a b a c+>---.19.若0bc ad -≥，0bd >，求证： a b c db d++≤．20.（1）已知,a b c d ><，求证：a c b d ->-；（2）已知,0a b ab >>，求证：11a b<；（3）已知0,0a b c d >><<，求证：a b c d>.2.1 不等式和不等式的性质训练题解析1．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（）A．a+b+c＞130 B．a+b+c＜130 C．a+b+c≥130 D．a+b+c≤130 【答案】D【解答】解：由题意可知a+b+c≤130．故选：D．2．已知t＝2a+2b，s＝a²+2b+1，则（）A．t＞s B．t≥s C．t≤s D．t＜s【答案】C【解答】解：由t＝2a+2b，s＝a²+2b+1，s﹣t＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≥0，所以s≥t，故选：C．3．已知P＝x2+xy+y2，Q＝3xy﹣1，则（）A．P＞Q B．P＝QC．P＜Q D．P，Q的大小关系不确定【答案】A【解答】解：P﹣Q＝x2+xy+y2﹣3xy+1＝（x+y）2+1＞0．故P．故选：A．4．已知a，b为不相等的实数，记M＝a2﹣ab，N＝ba﹣b2，则M与N的大小关系为（）A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不确定【答案】A【解答】解：∵M ＝a 2﹣ab ，N ＝ba ﹣b 2， ∴M ﹣N ＝a 2﹣ab ﹣ba +b 2＝（a ﹣b ）2， ∵a ，b 为不相等的实数， ∴（a ﹣b ）2＞0， ∴M ＞N ．故选：A ．5.如果,a b >那么下列说法正确的是（）A ．ac bc >B ．22ac bc <C ．ac bc =D ．0b a -< 【答案】D【解答】因为a b >，不等式两边同时减去a 得0b a >-，D 正确，若0c，则AB 错误，若0c ≠，C 错误．故选：D ．6.若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（） A ．11a b> B ．11a b a >- C ．|a|>|b| D ．22a b > 【答案】B【解答】选项A ：由于0a b <<，即0ab >，0b a ->，所以110b a a b ab --=>，所以11a b>，所以成立；选项B ：由于0a b <<，即0a b -<，所以110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a<-，所以不成立；选项C ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以成立；选项D ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以22a b >，所以成立7.下列命题正确的是（） A ．若>a b ，则11a ba b ，则22a b >C ．若>a b ，c d <，则>a c b d --D ．若>a b ，>c d ，则>ac bd【答案】C【解答】A.若>a b ，则11a b<，取1,1a b ==- 不成立 B.若>a b ，则22a b >，取0,1a b ==- 不成立 C. 若>a b ，c d <，则>a c b d --，正确D. 若>a b ，>c d ，则>ac bd ，取1,1,1,2a b c d ==-==- 不成立故答案选C8.若,,a b c 为实数，且0a b <<，则下列命题正确的是（） A ．22ac bc D ．22a ab b >> 【答案】D【解答】对于A ，当0c时，220ac bc ==，A 错误；对于B ，当2a =-，1b =-时，112a =-，11b =-，此时11a b>，B 错误；对于C ，220b a b a a b ab--=<，b a a b ∴<，C 错误；对于D ，0a b <<，0a b ∴-<，()20∴-=->a ab a a b ，()20ab b b a b -=->，22a ab b ∴>>，D正确.9.已知,a b ∈R ，满足0ab <，0a b +>，a b >，则（） A ．11a b C ．22a b > D ．a b < 【答案】C【解答】因0ab <，a b >，则a>0，b<0，110,0a b><，A 不正确； 0,0b a a b <<，则0b aa b+<，B 不正确；又0a b +>，即0a b >->，则22()a b >-，22a b >，C 正确；由0a b >->得||a b >，D 不正确.故选：C（多选）10．已知a ，b ∈R ，则下列命题正确的是（） A ．若a ≠b ，则a 2≠b 2B ．若a 2≠b 2，则a ≠bC ．若a ＞b ，则a 2＞b 2D ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2【答案】BD【解答】解：对于A，若a≠b，则a2≠b2错误，反例：a＝1，b＝﹣1，故A错误：对于B，若a2≠b2，则a≠b正确，故B正确；对于C，若a＞b，则a2＞b2错误，反例：a＝1，b＝﹣5，故C错误；对于D，若a＞|b|，则a2＞b2正确，故D正确，故选：BD．（多选）11．已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式中一定成立的是（）A．ac（a﹣c）＞0 B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ab＞ac【答案】BCD【解答】解：因为a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，所以c＜0，a＞0，b＞0，a﹣c＞0，b﹣a＞0，所以ac（a﹣c）＜0，c（b﹣a）＜0，cb2＜ab2，ab＞ac，故选：BCD．（多选）12．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＞b＞0且c＜0，则D．若a＞b且，则ab＜0【答案】BCD【解答】解：A，不成立，比如c＝0时，ac2＝bc2，B，成立，a＜b＜0，则a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，ab﹣b2＝b（a﹣b）＞0，即a2＞ab＞b2，C，成立，若a＞b＞0且c＜0，则a2＞b2＞0，，即有，D，成立，若a＞b且，可得＞0，∵b﹣a＜0，∴ab＜0，故选：BCD．（多选）13．如果a＜b＜0，c＜d＜0，那么下面一定成立的是（）A．a+d＜b+c B．ac＞bd C．ac2＞bc2D．【答案】BD【解答】解：当a ＝﹣2，b ＝﹣1，c ＝﹣5，d ＝﹣1时，a +d ＞b +c ，故选项A 错误；∵a ＜b ＜0，c ＜d ＜0， ∴﹣a ＞﹣b ＞0，﹣c ＞﹣d ＞0， ∴ac ＞bd ，故选项B 正确； ∵a ＜b ，c 2＞0，∴ac 2＜bc 2，故选项C 错误； ∵﹣a ＞0，﹣c ＞﹣d ＞0， ∴＞＞0，故选项D 正确；故选：BD ．14.若25,310<<<<a b ，则2a b -的范围为_______ 【答案】()18,1--【解答】依题意可知2026-<-<-b ，由于25<<a ，由不等式的性质可知1821-<-<-a b .15.（多选）已知660a <<，1518b <<，则下列正确的是（） A ．1,43a b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()21,78a b +∈C ．()9,42a b -∈-D ．739,59a b b +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】AB【解答】因为660<<a ，1518<<b ，所以1111815<<b ，1815-<-<-b ，则6601815<<a b ，6156018+<+<+a b ，6186015-<-<-a b ，即143<<a b ，2178<+<a b ，1245-<-<a b ，则41,53+⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭a b a b b ；故AB 正确，CD 错.16.已知122,34a b a b -<+<<-<，则4a b -的取值范围是____________.【答案】(5,10)【解答】令4(2)()(2)()-=++-=++-a b m a b n a b m n a m n b ，则241+=⎧⎨-=-⎩m n m n ，解得12=⎧⎨=⎩m n ，所以4(2)2()-=++-a b a b a b ，因为34<-<a b ，所以62()8<-<a b ，因为122-<+<a b ，所以1622()28-+<++-<+a b a b ，所以5410<-<a b ，所以4-a b 的取值范围为(5,10)，17.已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（） A ．[7,26]- B ．[1,20]- C ．[4,15] D ．[1,15] 【答案】B【解答】令=-m x y ，4=-n x y ，,343-⎧=⎪⎪⇒⎨-⎪=⎪⎩n m x n my , 则85933=-=-z x y n m552041333-≤≤-∴≤-≤m m 又884015333-≤≤∴-≤≤n n ，因此85192033-≤=-=-≤z x y n m ，故本题选B.18.已知a b c >>，求证111b c a b a c+>---. 【答案】证明见解析.【解答】证明：111()()()()()()()()()--+--+--+-=------a b c a c a b c b c a b b c a b a c b c c a a b2()()()()()()----=---a b c a b c b c c a a b .由>>a b c ，可知0->a b ，0-<c a ，从而()()0--<a b c a ，又0->b c ，()()()0------b c a b a c ，即111+>---b c a b a c. 19.若0bc ad -≥，0bd >，求证：a b c db d++≤．【解答】证明：+++----==a b c d ad bd bc bd ad bcb d bd bd， 0,0-≥>bc ad bd ，0-∴≤ad bcbd， ++∴≤a b c db d. 20.（1）已知,a b c d ><，求证：a c b d ->-；（2）已知,0a b ab >>，求证：11a b<；（3）已知0,0a b c d >><<，求证：a b c d>. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解答】（1）因为,a b c d ><，所以,a b c d >->-.则a c b d ->-. （2）因为0ab >，所以10ab>. 又因为a b >，所以1a b ab ab1⋅>⋅，即11b a >，因此11a b<. （3）因为0c d <<，根据（2）的结论，得110c d>>. 又因为0a b >>，则 11a b c d⋅>⋅，即a b c d >。

等式与不等式的性质(原卷版)

等式与不等式的性质【考纲要求】1、会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质.2、会利用不等式性质比较大小【思维导图】【考点总结】【考点总结】一、等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc .二、不等式的概念我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．三、比较两个实数a 、b 大小的依据文字语言符号表示如果a ＞b ，那么a －b 是正数；如果a ＜b ，那么a －b 是负数；如果a ＝b ，那么a －b 等于0，反之亦然a >b ⇔a －b >0 a b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .推论(同向可加性)：⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性： ⎭⎬⎫a >b c >0⇒ac >bc ；⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc ；推论(同向同正可乘性)：⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ； (5)正数乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *，n ≥1)； (6)正数开方性：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N *，n ≥2)． [化解疑难]1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件． 2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．【题型汇编】题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小题型二：作差法比较数（式）大小题型三：利用不等式的性质证明不等式【题型讲解】题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小一、单选题1．（2022·浙江·三模）已知,,,a b c d ∈R ，且,,()()()a b c c d a d b d c d c d <<≠---+=，则（） A ．d a 2．（2022·北京·北大附中三模）已知0a b >>，下列不等式中正确的是（） A ．c ca b> B ．2ab b <C ．12a b a b-+≥- D ．1111a b <-- 3．（2022·江西萍乡·三模（理））设2ln1.01a =， 1.021b =，1101c =，则（） A ．a b c <>”是“()22()log log 0-->m n m n ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知0,0a b >>，且2e 1b a a b -+=+则下列不等式中恒成立的个数是（） ①1122b a --< ②11b a a b -<- ③e e b a b a -<- ④52727ln 5a a b b ++-+<+A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．（2022·山东日照·二模）若a ，b ，c 为实数，且a b <，0c >，则下列不等关系一定成立的是（） A ．a c b c +<+B ．11a b< C ．ac bc > D ．b a c ->7．（2022·陕西渭南·二模（文））设x 、y 都是实数，则“2x >且3y >”是“5x y +>且6xy >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（） A ．22a b >B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>9．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（文））设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极小值点，则（） A ．a b C ．2ab a <D ．2ab a >10．（2022·江西·二模（文））已知正实数a ，b 满足1a b +=，则下列结论不正确的是（） A ab 12B ．14a b+的最小值是9C ．若a b >，则2211a b < D ．22log log a b +的最大值为0 二、多选题1．（2022·全国·模拟预测）已知110a b<<，则下列不等关系中正确的是（） A ．ab a b >-B ．ab a b <--C ．2b aa b+>D ．b a a b> 2．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系一定成立的是（） A ．221a b >+ B ．122a b +> C ．24a b >D ．1ab b>+ 3．（2022·重庆·二模）已知2510a b ==，则（） A ．111a b+> B ．2a b > C ．4ab > D ．4a b +>题型二：作差法比较数（式）大小一、单选题1．（2022·全国·模拟预测（理））已知10a b a>>>，则下列结论正确的是（） A ．1a bb a -⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．log log a a bba b <C ．log log a b baa b <D ．11b a a b-<- 2．（2022·重庆·二模）若非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（） A ．11a bC ．22lg lg a b >D ．33a b >3．（2022·江西上饶·二模（理））设e 4ln 2313e 4ln 214e ea b c ===，，其中e 是自然对数的底数，则（）注：e 2.718ln 20.693==，A ．b a c <，则下列不等式一定成立的是（） A ．22a b >B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>5．（2022·广东广州·一模）若正实数a ，b 满足a b >，且ln ln 0a b ⋅>，则下列不等式一定成立的是（） A ．log 0a b - C ．122ab a b ++< D ．11b a a b --<6．（2022·山西太原·二模（文））已知32a =，53b =，则下列结论正确的有（） ①a b < ②11a b ab+<+ ③2a b ab +< ④b a a a b b +<+ A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2022·河北衡水中学一模）已知110a b<<，则下列结论一定正确的是（） A ．22a b >B ．2b aa b+<C ．a ba a <D ．2lg lg a ab <8．（2022·重庆·三模）已知0.3πa =，20.9πb =，sin 0.1c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．b a c >>9．（2022·湖南·雅礼中学二模）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是 A ．ax by cz ++ B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++二、多选题1．（2022·山东日照·三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E 与工作年限()0r r >，劳累程度()01T T <<，劳动动机()15b b <<相关，并建立了数学模型0.141010r E T b -=-⋅，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（）A ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高B ．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低C ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱D ．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强 2．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知0a b >>，115a b a b+++=，则下列不等式成立的是（） A ．14a b <++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知1m n >>，若1e 2e e m n m m m n +-=-（e 为自然对数的底数），则（） A ．1e e 1m n m n +>+ B ．11122m n-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．4222m n --+>D ．()3log 1m n +>4．（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（）． A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭5．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a 和b ，满足1ab >，下列不等式正确的是（） A ．1ab a b +>+ B ．()2log 1a b +> C ．11a b ab+<+D ．11a b a b+>+ 15．（2022·山东聊城·三模）已知实数m ，n 满足01n m <<<，则下列结论正确的是（） A ．11n n m m +<+ B ．11m n m n+>+ C ．n m m n >D ．log log m n n m <题型三：利用不等式的性质证明不等式一、单选题1．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）设,a b ∈R ，则“||1+≤a b ”是“||1a b +≥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2021·浙江·模拟预测）已知a ，b R ∈，则“a b b ->”是“12b a <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2021·上海长宁·二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值．则下列判断正确的是（） A ．p 和q 都是真命题 B ．p 和q 都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题D ．p 是假命题，q 是真命题5．（2021·浙江·模拟预测）已知x ，y ∈R ，则“2214xy +≤”是“12x y +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2021·全国·模拟预测）已知a ∈R ，()21ln 0ax x a x --+≤在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．（2021·浙江·模拟预测）已知0a b >>，给出下列命题： 1a b =，则1a b -<； ②若331a b -=，则1a b -<； ③若1a b e e -=，则1a b -<； ④若ln ln 1a b -=，则1a b -<. 其中真命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．48．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知,a b ∈R 且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是（） A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]9．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知,,a b c ∈R 且0,++=>>a b c a b c ，则22a c ac +的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．(],2-∞-C ．5,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦10．（2022·浙江·模拟预测）若实数x ，y 满足1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，则2x y +的取值范围（）A ．[1,)+∞B ．[3,)+∞C ．[4,)+∞D ．[9,)+∞二、多选题1．（2021·江苏·扬州中学模拟预测）已知两个不为零的实数x ，y 满足x y <，则下列说法中正确的有（） A ．31x y ->B ．2xy y <C ．x x y y <D ．11x y> 2．（2021·福建·模拟预测）下列说法正确的是（）A ．设,x y R ∈，则“222x y +≥”是“1≥x 且1y ≥”的必要不充分条件B ．2πα=是“cos 0α=”的充要条件C ．“3x ≠”是“3x ≠”成立的充要条件D ．设R θ∈，则 “1212ππθ-<”是“1sin 2θ<”的充分而不必要条件 3．（2021·广东·石门中学模拟预测）设,a b 为正实数，下列命题正确的有（） A ．若221a b -=，则1a b -<；B ．若111b a -=，则1a b -<；C 1a b =，则1a b -<；D ．若331a b -=，则1a b -<.4．（2021·江苏南京·二模）已知0a >，0b >，且221a b +=，则（） A ．2a b +≤B ．1222a b -<< C ．221log log 2a b -D ．221a b ->-。

等式性质与不等式性质》(第2课时)

《 2.1.2 等式性质与不等式性质》
（第2课时）
1.了解等式的性质；
学习目标
2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质
解决有关问题．
等式的性质与不等式的性质
【问题思考】
1.你能说出等式有哪些基本性质吗?
提示:性质1.如果a=b,那么b=a;
性质2.如果a=b,b=c,那么a=c;
性质3.如果a=b,那么a±c=b±c;
√
)
解析:(方法一)∵c2≥0,
∴当 c=0 时,有 ac2=bc2,故 A 为假命题;

∵ −
-
=

,又
(-)
< < ⇒- > -

a>b>0,∴
>0⇒
> ,故 B 为假命题;
(-)
-

> ⇒- > - ,

⇒ > b,那么ac=bc;

性质 5.如果 a=b,c≠0,那么 = .

2.你能类比等式的基本性质,猜想不等式的基本性质吗?
提示:能.
3.填表:
性质
1
2
3
别名
对称性
传递性
可加性
4
可乘性
性质内容
a>b⇔ b<a
a>b,b>c⇒ a>c
a>b⇔a+c > b+c
> ,
⇒ac > bc
>
> ,
⇒ac < bc
<
注意
⇔
同向传递

2.1等式性质与不等式性质基础练习题

A． B． C． D．
6．若实数满足，则下列不等式正确的是（）
A． B． C． D．
7．下列结论正确的是（）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，则
8．若，则下列四个数中最小的数是（）
A． B． C． D．
9．下列说法不正确的是（）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
【详解】
因为，所以，即，故C正确；
取，满足题意，此时，故A错误；
，故B错误；，故D错误，
故选：C
4．C
【分析】
本题可根据题意以及进行计算，即可得出结果.
【详解】
因为，，，
所以，，，
故的取值范围是，
故选：C.
5．C
【分析】
利用不等式的性质逐一判断即可.
【详解】
若，
对于A，，所以，故A不成立；
19．若，，求证：．
20．设 .
（1）当时，比较的大小；
（2）当时，比较的大小.
21．已知，比较与的大小.
22．已知，求证： .
参考答案
1．D
【分析】
根据不等式的性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
对于选项A：当时，，故选项A不正确；
对于选项B：当时，，故选项B不正确；
15．a克糖水中含有b克塘（），若在糖水中加入x克糖，则糖水变甜了.试根据这个事实提炼出一个不等式：______________.
16．设，，，则a，b，c之间的大小关系为__________
三、解答题
17．比较与的大小，其中 .范围.

2.1等式性质与不等式性质同步练带答案

2.1等式性质与不等式性质一、单选1．如果a b >，那么下列运算正确的是（）A ．33a b -<-B ．33a b +<+C ．33a b<D ．33a b<--2．下列命题中为真命题的是（）A ．220a b a b >>⇒>B ．220a b a b >⇒>>C ．1b a b a>⇒<D ．33a b a b >⇒>3．已知14a ≤≤，12b -≤≤，则3a b -的取值范围是（）A ．1331a b -≤-≤B ．138a b -≤-≤C ．1313a b -≤-≤D ．1313a b ≤-≤4．下列命题是真命题的为（）A ．若a b >，则11a b或2b c >C ．若x y <，则22x y <D ．若a b =，则a b=5.（P43.T8）下列不等式中成立的是（）A.若0a b >>，则22ac bc >B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b <<D.若0a b <<，则11a b<二、填空6.（P42）用不等号“>”或“<”填空:(1)如果a b >,c d <,那么a c -______b d -;(2)如果0a b >>,0c d <<,那么ac ____bd ;(3)如果0a b >>,那么21a____21b ;(4)如果0a b c >>>,那么c a ____c b.7．已知01,23a b a b ≤+<≤-<，则b 的取值范围是．三、解答8(p43).已知23a <<，21b -<<-，求2a b +的范围.9(p43).比较下列各组中两个代数式的大小：（1）256x x ++与2259x x ++；（3）当1x >时，2x 与21x x -+；第3页共8页◎第4页共8页2.1等式性质与不等式性质答案，⎤⎥⎥⎦330a b >≥；当0a b ³>时，330a b ≥>；综上所述：当a b >时，33a b >，D 正确.故选：D.3．已知14a ≤≤，12b -≤≤，则3a b -的取值范围是（）A ．1331a b -≤-≤B ．138a b -≤-≤C ．1313a b -≤-≤D ．1313a b ≤-≤【答案】D【分析】由不等式的性质求出b -，3a 的范围，两式相加即可得出答案．【详解】因为14a ≤≤，12b -≤≤，所以是假命题．故选：C5.（P43.T8）下列不等式中成立的是（）A.若0a b >>，则22ac bc > B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b << D.若0a b <<，则11a b<【答案】B【详解】A.若0a b >>，则22ac bc >错误，如0c =时，22ac bc =，所以该选项错误；B.若0a b >>，则2222()()0,a b a b a b a b -=+->∴>，所以该选项正确；C.若0a b <<，则22()0,a ab a a b a ab -=->∴>，所以该选项错误；D.若0a b <<，则11110,b a a b ab a b--=>∴>，所以该选项错误.故选：B二、填空6.（P42）用不等号“>”或“<”填空:(1)如果a b >,c d <,那么a c -______b d -;(2)如果0a b >>,0c d <<,那么ac ____bd ;(3)如果0a b >>,那么21a ____21b ;(4)如果0a bc >>>,那么c a ____cb.【答案】①.>②.<③.<④.<【详解】解析:(1)c d < ,c d ∴->-.a b > ,a cb d ∴->-.(2)0c d <<Q ,0c d ∴->->.0a b >> ,ac bc bd ∴->->-,ac bd ∴<.(3)0a b >> ,0ab ∴>,10ab>,110a b ab ab ∴⋅>⋅>,110b a∴>>,2211b a ⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即2211a b <.(4)0a b >> ,所以0ab >,10ab>.于是1a b ab ab 1⋅>⋅,即11b a >,即11a b <.0c >Q ,c ca b∴<.故答案为:(1)>；(2)<；(3)<；(4)<【点睛】本题考查利用不等式性质判断不等关系,熟练掌握不等式性质是解题关键7.（2023·全国·高一专题练习）已知01,23a b a b ≤+<≤-<，则b 的取值范围是．【答案】31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】利用不等式的性质即可求出b 的取值范围.【详解】由题意，在23a b ≤-<中，32b a -<-≤-∵01a b ≤+<，∴321b -<<-，解得：3122b -<<-，故答案为：31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.三、解答8(p43).已知23a <<，21b -<<-，求2a b +的范围.【答案】225a b <+<第7页共8页◎第8页共8页【详解】解：23a << ，426a ∴<<，又21b -<<- ，225a b ∴<+<.9.(p43).比较下列各组中两个代数式的大小：（1）256x x ++与2259x x ++；（3）当1x >时，2x 与21x x -+；【答案】（1）2256259x x x x ++<++.（2）2(3)(2)(4)x x x ->--.（3）221x x x >-+.（4）2212(1)x y x y ++>+-.【详解】解：（1）因为()()2225625930xx x x x ++-++=--<，所以2256259x x x x ++<++.（2）因为()22110x x x x --+=->，所以当1x >时，221x x x >-+.。

高中试卷-专题2.1 等式与不等式性质解析版)(含答案)

专题2.1 等式与不等式性质知识点①等式性质1．如果a ＝b ，那么b ＝a ．2．如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ．3．如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ．4．如果a ＝b ，那么ac ＝bc ．5．如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc．知识点②不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a ⇔2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 不可逆3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6同向同正可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向同正7可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正知识点③两个实数比较大小的方法1．作差法：⎪⎩⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-b a b a ba b a b a b a 0002．作商法：()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∈<⇔<≠∈=⇔=>∈>⇔>010101b R a b a b ab R a b a b ab R a b a b a，，，知识点④常用结论1．倒数性质的几个必备结论(1)a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b ；(2)a ＜0＜b ⇒1a ＜1b；(3)a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd；(4)0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a.2．两个重要不等式若a ＞b ＞0，m ＞0，则：(1)b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m (b －m ＞0)；(2)a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －mb －m(b －m＞0)．一、单选题1．已知R a b c d ∈、、、，下列命题正确的是（）A ．若a b >，则ac bc >B ．若,a b c d >>，则ac bd >C ．若a b >，则11a b<D ．若11||||a b <，则||||a b >【来源】四川省乐山市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D【解析】对于A ，当0c £时不成立；对于B ，当1,2,0,1a b c d ==-==-时，显然不成立；对于C ，当1,2a b ==-时不成立；对于D ，因为110||||<<a b ，所以有||||0a b >>，即||||a b >成立.故选：D ．2．下列命题正确的是（）A ．22,0a b c ac bc >≠⇒>B ．a b <⇒<C ．a b >且c d a c b d <⇒+>+D ．22a b a b >⇒>【答案】A【解析】对于选项A ，∵0c ≠，∴20c >，又a b >，22ac bc \> 成立，故A 正确；对于选项B ，当0a <，0b >时，结论明显错误，故B 错误对于选项C ，当4,3,1,2a b c d ====时，a c b d +=+，所以结论错误，故C 错误对于选项D ，当1,2a b ==-时，22a b <，所以结论错误，故D 错误故选：A3．下列命题正确的是（）A ．若ac bc >，则a b >B ．若ac bc =，则a b =C ．若a b >，则11a b<D ．若22ac bc >，则a b>【答案】D【解析】对于A ，若0c <，由ac bc >可得：a b <，A 错误；对于B ，若0c =，则0ac bc ==，此时a b =未必成立，B 错误；对于C ，当0a b >>时，110a b>>，C 错误；对于D ，当22ac bc >时，由不等式性质知：a b >，D 正确.故选：D.4．已知04x <<，06y <<，则2x y -的取值范围是（）A ．(2,0)-B ．(0,2)C ．(8,6)-D ．(6,8)-【来源】第07讲不等式的基本性质-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）【答案】D【解析】解：因为04x <<，06y <<，所以028x <<，60y -<-<，所以628x y -<-<，所以2x y -的取值范围是(6,8)-，故选：D.5．如果,,a b c ∈R ，且0abc ≠，那么下列命题中正确的是（）A ．若11a b<，则a b >B ．若ac bc >，则a b >C ．若33a b >，则11a b<D ．若a b >，则22a b>【来源】山西省运城市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】D【解析】对于A ，若1a =-，1b =，满足11a b<，但a b >不成立，错误；对于B ，若0c <，则a b <，错误；对于C ，若2a =，1b =-，满足33a b >，但11a b<不成立，错误；对于D ，由指数函数的单调性知，正确.故选：D.6．若,,a b c ∈R ，则下列说法正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若c a <，则cb ab<C ．若0ab ≠且a b <，则11a b>D ．若a b >，则a c b c+>+【来源】新疆巴音州轮台县三校2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题【答案】D【解析】对A ，取1,2a b ==-，则有22a b <，A 错；对B ，取0b =，则有cb ab =，B 错；对C ，取1,2a b =-=，则有11a b<，C 错；对D ，若a b >，则a c b c +>+正确；故选：D7．设a ＞b ＞1，y 12311,,11b b b y y a a a +-===+-，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 3＜y 1【来源】专题2.1 等式性质与不等式性质（4类必考点）【答案】C【解析】解：由a ＞b ＞1，有y 1﹣y 2()()1111b b ab a ab b a ba a a a a a ++---=-==+++＞0，即y 1＞y 2，由a ＞b ＞1，有y 2﹣y 3()()1111b b ab b ab a a ba a a a a a ---+-=-==---0，即y 2＞y 3，所以y 1＞y 2＞y 3，故选：C.8．若,,,R a b c d ∈，则下列说法正确的是（）A ．若a b >，c d >，则ac bd >B ．若a b >，则22ac bc >C ．若a b >，则a c b c->-D ．若0a b <<，则1a<1b【来源】四川省成都市金牛区2021-2022学年高一下学期期末考试数学（文科）试题【答案】C【解析】对于A ，若2,1,1,2a b c d ===-=-，则2ac bd ==-，所以A 错误，对于B ，若0c =，则220ac bc ==，所以B 错误，对于C ，因为a b >，所以由不等式的性质可得a c b c ->-，所以C 正确，对于D ，因为0a b <<，所以0ab >，所以a b ab ab<，即11b a <，所以D 错误，故选：C9．若0a b >>，则下列不等式正确的是（）A ．ac bc>B ．33a b >C ．a b->-D ．a b ab+<【来源】四川省绵阳市南山中学2021-2022学年高一下学期6月月考数学试题【答案】B【解析】对于A ，若0c =，则ac bc =，所以A 错误，对于B ，因为0a b >>，所以330a b >>，所以B 正确，对于C ，因为0a b >>，所以a b -<-，所以C 错误，对于D ，若2,1a b ==，则32a b ab +=>=，所以D 错误，故选：B10．对任意实数a b c d ,,,，命题：①若,0a b c >≠，则ac bc >；②若a b >，则22ac bc >；③若22ac bc >，则a b >.④若33,0a b ab ><，则11a b>，其中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【来源】四川省自贡市2021-2022学年高一下学期期末考试数学（文）试题【答案】C【解析】对于①，若a b >，0c <，则ac bc <，①错；对于②，若0c =，则22ac bc =，②错；对于③，若22ac bc >，则20c >，由不等式的基本性质可得a b >，③对；对于④，若33,0a b ab ><，则0a b >>，则110a b>>，④对故选：C11．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（）A ．22a b >B ．11a b>C ．a b>D ．11a b a>-【来源】第05讲等式性质与不等式性质-【暑假自学课】2022年高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）【答案】D【解析】因为0a b <<，所以0a b +<，0a b -<，0ab >，0b a ->，又22()()a b a b a b -=-+，所以220a b ->，所以22a b >成立，110b aa b ab --=>，所以11a b>，0a b a b -=-+>，所以a b >，取2,1a b =-=-可得11=121a b =---+，112a =-，11a b a <-，所以11a b a>-不成立，故选：D.12．已知a b <，3x a b =-，2y a b a =-，则,x y 的大小关系为（）A ．x y >B ．x y <C ．x y=D ．无法确定【答案】B【解析】()()3221x y a b a b a a b a -=--+=-+，因为a b <，所以0a b -<，又210a +>，所以2()(1)0a b a -+<，即x y <.故选：B13．已知0,0,0a b c d e >><<<，则下述一定正确的是（）A ．ae be >B ．22c d <C ．0e e a c d b+>--D ．()ea d c b->【来源】山东省青岛市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】C【解析】解：因为0,0,0a b c d e >><<<，所以ae be <，22c d >，故AB 错误；0c d ->->，所以0a c b d ->->，所以11a c b d<--，所以e ea cb d >--，即0e ea c d b+>--，故C 正确；对于D ，若12,1,1,,12a b c d e ===-=-=-时，则()2ead c b-==，故D 错误.故选：C.14．下列说法中，错误的是（）A ．若22a b >，0ab >，则11a b ，则a b >C ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+D ．若a b >，c d <，则a c b d->-【来源】广东省广州市越秀区2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】A【解析】对A ，取3,2a b =-=-，所以11a b>，故错误；对B ，由20c >，22a b c c >，所以a b >，故正确；对C,()()()m b a a m a ab bm ab am b m b b b m b b m -++---==+×+×+，由0b a >>，0m >，所以()()0m b a b b m ->×+，所以a m ab m b+>+，故正确；对D ，由c d <，所以c d ->-，又a b >，所以a c b d ->-故选：A15．已知0a b >>，则（）A ．22ac bc >B ．22a ab b >>C ．11a b>D 的取值范围是[)2,+¥【来源】山西省吕梁市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】B【解析】当0c =时，22ac bc >不成立，A 错误．因为0a b >>，所以22a ab b >>，11b a>，B 正确，C 错误．当0a >，0b >时，a b +³a b =时，等号成立，而a b >，D 错误．故选：B16．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中的假命题是（）A ．若22ac bc >，则a b >B ．若0,0bc ad bd -³>，则a b c db d++£C ．若0a b <<，则b aa b>D ．若11,a b a b>>，则0,0a b ><【答案】C【解析】对于A ：若22ac bc >，则20c >，所以a b >，故A 正确；对于B ：若0bc ad -³，0bd >，则0bc ad bd -³，化为c ad b ³，可得a b c d b d++£，故B 正确；对于C ：若0a b <<，所以220a b >>，0ab >，则220b a b a a b ab --=<，故b a a b<，故C 错误；对于D ：若a b >，11a b>，则110b aa b ab --=>，所以0ab <，所以0a >，0b <，故D正确；故选：C。

2.1等式性质与不等式性质同步练习——2021-2022学年高一上学期数学人教A版(必修第一册

2.1 等式性质与不等式性质同步练习一．选择题1．（2021•广东学业考试）已知a+b＞0，b＜0，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（）A．a＞b＞﹣b＞﹣a B．a＞﹣b＞﹣a＞b C．a＞﹣b＞b＞﹣a D．a＞b＞﹣a＞﹣b 2．（2021秋•靖远县期末）已知P＝x2+xy+y2，Q＝3xy﹣1，则（）A．P＞Q B．P＝QC．P＜Q D．P，Q的大小关系不确定3．（2021秋•和平区期末）若a＜0，﹣1＜b＜0，则下列各式中正确的是（）A．a＞ab＞ab2B．ab＞a＞ab2C．ab2＞ab＞a D．ab＞ab2＞a 4．（2021秋•南京期中）已知a∈R，则a＞4的一个必要条件是（）A．a＜5B．a＞5C．a＜1D．a＞15．（2021春•深圳期末）已知实数a，b，c满足a＞b＞0＞c，则下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．6．（2021秋•徐汇区校级期中）已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是（）A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．无法确定7．（2021秋•天心区校级期末）已知p＝a+，q＝﹣b2﹣2b+3（b∈R），则p，q的大小关系为（）A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．p＜q 8．（2021•济南模拟）已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（）A．B．C．D．二．多选题9．（2021秋•长沙期末）若，则下列不等式正确的是（）A．|a|＞|b|B．a＜b C．a+b＜ab D．a3＞b3 10．（2021•南海区校级模拟）设a，b为正实数，现有下列命题中的真命题有（）A．若a2﹣b2＝1，则a﹣b＜1B．若，则a﹣b＜1C．若，则|a﹣b|＜1D．若|a3﹣b3|＝1，则|a﹣b|＜1 11．（2021秋•大同期末）下列四个选项中，p是q的充分不必要条件的是（）A．p：x＞y，q：x3＞y3B．p：x＞3，q：x＞2C．p：2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，q：2＜2a+b＜5D．p：a＞b＞0，m＞0，q：12．（2021秋•新兴县校级月考）下列命题正确的是（）A．∀a∈R，∃x∈R，使得ax＞2B．若c＞a＞b＞0，则C．ab≠0是a2+b2≠0的必要不充分条件D．若a≥b＞﹣1，则三．填空题13．（2021秋•宝山区校级月考）三角不等式中，|a|+|b|≥|a+b|等号当且仅当成立．14．（2020秋•长宁区期末）已知α：x＜3m﹣1，β：x＜2，若α是β充分条件，则m的取值范围是．15．（2021秋•通州区校级月考）已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，则M与N的大小关系为．16．（2021春•五华区期末）糖水不等式：成立的实数c是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的c的值可以是（只需填满足题意的一个值即可）．四、解答题17．（2021秋•江岸区校级月考）试比较下列各组式子的大小：（1）与，其中x＞1；（2）x3﹣2y3与xy2﹣2x2y，其中x＞y＞0．18．（2021秋•浦东新区期中）已知命题α：﹣3≤x＜7，命题β：k+1≤x≤2k﹣1，且α是β的必要条件，求实数k的取值范围．19．（2021秋•普宁市校级月考）已知﹣2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列各式的取值范围．（1）|a|；（2）a+b；（3）a﹣b；（4）2a﹣3b．20．（2021秋•扬中市校级月考）（1）已知a＞0，b＞0，且a≠b，比较与a+b的大小；（2）若关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中整数恰好有3个，求实数a的取值范围．21．（2021•衡阳三模）已知函数f（x）＝|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．22．（2021•陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．。

2.1 等式性质与不等式性质(原卷版)

2.1 等式关系与不等式关系一、选择题1．下列说法正确的是( )A.某人月收入x 不高于2000元可表示为" 2 000x <"B.小明的身高x ,小华的身高y ,则小明比小华矮表示为"x y >"C.某变量x 至少是a 可表示为"x a ≥"D.某变量y 不超过a 可表示为"y a ≥"2.已知()12,0,1a a ∈,记12M a a =, 121N a a =+-,则M 与N 的大小关系是( )A. M N <B. M N >C. M N =D.不确定3．设,,a b c 为实数，且0a b >>，则下列不等式成立的是（）A ．22a b C ．2211ab a b <D ．11a b a >- 6.已知实数,,a b c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中不．一定成立的是（）A ．ab ac > B ．()0c b a -> C ．()0ac a c -< D ．22cb ab <7．（多选）对于任意实数a ，b ，c ，d ，则下列命题正确的是( )A ．若22ac bc >，则a b >B ．若a b >，c d >，则a c b d +>+C ．若a b >，c d >，则ac bd >D ．若a b >，则11a b > 二、填空题8．设2,73,62P Q R ==-=-，则,,P Q R 的大小顺序是______．9.已知12,36a b ≤≤≤≤，则32a b -的取值范围为_____．10.已知两实数22210a x x =-+-，239b x x =-+-，a ，b 分别对应实数轴上两点A 、B ，则点A 在点B 的（填“左边”或“右边” )．三、解答题11．已知a ，b 均为正实数，求证：a b a b +≥+.12．已知,且－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.13.甲乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间，问甲以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m n乙两人谁先到达指定地点？。

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2.1.2等式性质与不等式的性质
1. 已知a>b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是() A．ad＞bc B．ac＞bd
C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d
2. 给出下列命题：
①a>b⇒a2>b2；②a2>b2⇒a>b；③a>b⇒b
a<1；④a>b⇒
1
a<
1
b.
其中正确的命题个数是()
A．0B．1
C．2 D．3
3. 若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是()
A．－2<α－β＜0B．－2<α－β<－1 C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1 4. 若a>b>0，c<d<0，则一定有()
A.a
c>
b
d B.
a
c
b
c D.
a
db，则下列不等式恒成立的是()
A.1
a<
1
b B．a
2>b2
C.
a
c2＋1>
b
c2＋1D．a|c|>b|c|
6．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a
＋d >b ＋c ，a ＋c b >a >c
B ．b >c >d >a
C ．d >b >c >a
D ．c >a >d >b 7．已知a >0，b >0，c >0，若
c a ＋b <a b ＋c ><，则mb _____ma ，
b m a m --_____b a (用>，<填空). 10．已知若a >b >
c ，且a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac 0.(填“>”“<”或“＝”)
11.已知12,36a b ≤≤≤≤，则32a b -的取值范围为_____．
12．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是 .
13.对于实数a ，b ，c ，有下列说法：
①若a >b ，则ac <bc ；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a ab >b 2；其中正确的是________(填序号)．
14．设a ，b 为正实数，有下列命题：
①若a 2－b 2＝1，则a －b <1； ②若1b －1a ＝1，则a －b <1；
③若|a－b|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.其中正确的命题为(写出所有正确命题的序号)．
15．已知三个不等式：①ab>0；②c
a>
d
b
；③bc>ad.若以其中两个作为条件，余下的一个作为结
论，请写出两个正确的命题，并写出推理过程．
16．若bc－ad≥0，bd＞0，求证：a＋b
b≤
c＋d
d.
17.已知a>b>c>0，求证：
b
a－b
>
b
a－c
>
c
a－c
.
18．已知a>b>0，c>d>0，求证：
(1)a
d>
b c
；
(2)
ac
a＋c
>
bd
b＋d
.。