高中数学专题讲义-不等式性质的应用 比较大小
高中数学知识点精讲精析 比较大小
3.1.2 比较大小1. 实数的运算性质与大小顺序之间的关系。
设、为任意两个实数，如果是整数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么，反过来也成立，即注：①上面的“”表示“等价于”，即可以互相推出；②上面的“”左边的式子反应了实数的运算性质，右边的式子反应的是数的大小，而这结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系。
③这一关系是不等式的理论基础，是比较两个实数大小的依据，也是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据。
2. 实数比较大小的方法。
(1)作差比较：“作差法”的一般步骤是： ①作差；②变形；③判断符号；④得出结论. 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理化等方法.常用的结论有等.(2) 作商比较：“作商法”的一般步骤是：①作商；②变形；③判断商值与1的大小关系；④得出结论.用“作商法”比较两个实数大小的关键是判断商值与1的大小关系，常采用约分、分解等变形方法。
注：利用作商法比较两个实数的大小时，作为比较大小的两个数必须同号切不为零；关键是正确变形和判断商的值与1的大小。
在数（式）的结构中含有幂、根式或绝对值时，常采用作商法。
3. 不等式的性质及证明。
性质1：（对称性）；证：∵ ∴由正数的相反数是负数性质2：（传递性），证：∵， ∴，∵两个正数的和仍是正数 ∴即 ∴由对称性、性质2可以表示为：如果且那么性质3：（加法单调性），证：∵ ∴从而可得移项法则：推论①：（相加法则） a b b a -b a >b a -b a =b a -b a <⎪⎩⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-.0;0;0b a b a b a b a b a b a ⇔⇔2200x x ≥-≤≥≤，，|x|0，-|x|0b a >⇔a b <b a >0>-b a 0)(<--b a 0<-a b a b <b a >c b >⇒c a >b a >c b >0>-b a 0>-c b +-)(b a 0)(>-c b 0>-c a c a >b c <a b <a c <b a >R c ∈⇔c b c a +>+0)()(>-=+-+b a c b c a c b c a +>+b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()(d b c a d c b a +>+⇒>>,证： 推论②：（相减法则）如果且，那么 证：∵ ∴ 或证：上式>0 ……… 性质4：（乘法单调性），；，证： ∵ ∴根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：时即：时即：推论①：（相乘法则）且 证： 推论②：（乘方法则）推论③：（相除法则）且，那么证：∵ ∴ 性质5：（开方法则）如果，那么证：（反证法）假设则：若这都与矛盾 ∴d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>b a >d c <d b c a ->-d c <d c ->-d b c a d c b a ->-⇒⎩⎨⎧->->)()()()(d c b a d b c a ---=---d c ba <> ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a b a >0>c ⇒bc ac >b a >0<c ⇒bc ac <c b a bc ac )(-=-b a >0>-b a 0>c 0)(>-c b a bc ac >0<c 0)(<-c b a bc ac <0>>b a 0>>d c ⇒bd ac >bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0,0>>b a ⇒n n b a >)1(>∈n N n 且0>>b a d c <<0d b c a >0>>c d ⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a >0>>b a n n b a >)1(>∈n N n 且n n b a ≤ba b a b a b a n n n n =⇒=<⇒<b a >n n b a >例1：有三个条件：（1）ac 2>bc 2；(2)＞；(3)a 2>b 2，其中能分别成为a>b 的充分条件的个数有（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】（1）由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故ac 2>bc 2是a >b 的充分条件，（2）c <0时，a <b ，（3）a <0时，a <b ，故（2）、（3）不是a >b 的充分必要条件，故答案选B 。
专题03 等式与不等式的性质 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题03等式与不等式的性质比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较b a >0>-b a )0(1>>b a b a ，或)0(1<<b a b a ，b a =0=-b a )0(1≠=b baba <0=-b a )0(1><b a b a ，或)0(1<>b a ba ，2.不等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性ab b a a b b a >⇔<<⇔>；传递性c a c b b a c a c b b a <⇒<<>⇒>>，；，可加性cb c a b a >>+⇔>可乘性ac c b a bc ac c b a ⇒<>>⇒>>00，；，同向可加性db c a d c c a +>+⇒>>，同向同正可乘性bdac d c b a >⇒>>>>00，可乘方性nn b a N n b a >⇒∈>>*0，【方法技巧与总结】1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.【题型归纳目录】题型一：不等式性质的应用题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围题型四：不等式的综合问题【典例例题】题型一：不等式性质的应用例1．（2022·北京海淀·二模）已知,x y ∈R ，且0x y +>，则（）A ．110x y +>B ．330x y +>C ．lg()0x y +>D ．sin()0x y +>例2．（2022·山东日照·二模）若a ，b ，c 为实数，且a b <，0c >，则下列不等关系一定成立的是（）A ．a c b c+<+B ．11a b<C ．ac bc >D ．b a c->例3．（2022·山西·模拟预测（文））若0αβ<<，则下列结论中正确的是（）A ．22αβ<B ．2βααβ+>C ．1122αβ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．sin sin αβ<（多选题）例4．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系一定成立的是（）A ．221a b >+B ．122a b +>C ．24a b>D ．1ab b>+（多选题）例5．（2022·重庆八中模拟预测）已知0a >，0b >，且3ab a b ++=，则下列不等关系成立的是（）A ．1ab ≤B ．2a b +≥C ．1a b ->D ．3a b -<（多选题）例6．（2022·广东汕头·二模）已知a ，b ，c 满足c <a <b ，且ac <0，那么下列各式中一定成立的是（）A ．ac （a -c ）>0B ．c （b -a ）<0C ．22cb ab <D ．ab ac>（多选题）例7．（2022·福建三明·模拟预测）设a b c <<，且0a b c ++=，则（）A ．2ab b <B ．ac bc <C ．11a c<D ．1c ac b-<-【方法技巧与总结】1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．2．充分利用基本初等函数性质进行判断．3．小题可以用特殊值法做快速判断．题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式例8．（2022·全国·高三专题练习（文））设2312m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1312n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2315p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．m p n<<B ．p m n<<C ．n m p<<D ．p n m<<例9．（2022·全国·高三专题练习）若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．例10．（2022·全国·高一）（1）试比较()()15x x ++与()23x +的大小；（2）已知a b >，11a b<，求证：0ab >．例11．（2022·湖南·高一课时练习）比较()()213a a +-与()()62745a a -++的大小．例12．（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：(1))21与)21；(2)()()2211xx ++与()()2211xx x x ++-+．【方法技巧与总结】比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：若0,0a b >>，则1b b a a >⇔>；1b b a a <⇔<；1bb a a =⇔=；若0,0a b <<，则1b b a a >⇔<；1b b a a <⇔>；1bb a a=⇔=.题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围例13．（2022·浙江·模拟预测）若实数x ，y 满足1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，则2x y +的取值范围（）A ．[1,)+∞B ．[3,)+∞C ．[4,)+∞D ．[9,)+∞例14．（2022·全国·高三专题练习）已知12a ≤≤，14b -≤≤，则2a b -的取值范围是（）A ．724a b -≤-≤B ．629a b -≤-≤C ．629a b ≤-≤D ．228a b -≤-≤例15．（2022·全国·高三专题练习）若,x y 满足44x y ππ-<<<，则x y -的取值范围是（）A ．(,0)2π-B ．(,22ππ-C ．(,0)4π-D ．(,44ππ-例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知－3<a <－2，3<b <4，则2a b的取值范围为（）A ．(1，3)B ．4934⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．2334⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭例17．（2022·江西·二模（文））已知122x y ≤-≤，1231x y -≤+≤，则6x ＋5y 的取值范围为______．例18．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数()()22,f x mx x n m n =-+∈R ，若函数()f x 的值域为[)0,∞+，且()12f ≤，则222211m n n m +++的取值范围为___________.例19．（2022·全国·高三专题练习）已知有理数a ，b ，c ，满足a b c >>，且0a b c ++=，那么ca的取值范围是_________．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()34f x x ax b =++，当[]1,1x ∈-时，()1f x ≤恒成立，则a b +=____________．例21．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b 满足5﹣3a ≤b ≤4﹣a ，ln b ≥a ，则ba的取值范围是___.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 均为正实数，且111,,232425ab bc ca a b b c c a +++，那么111a b c++的大值为__________．【方法技巧与总结】在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.题型四：不等式的综合问题例23．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知0,0a b >>，且2e 1b aa b -+=+则下列不等式中恒成立的个数是（）①1122b a --<②11b aa b -<-③e e b a b a -<-④5ln5a b +<+A ．1B ．2C ．3D ．4例24．（2022·江西·临川一中高三期中（文））若实数a ，b 满足65a a b <，则下列选项中一定成立的有（）A ．a b<B ．33a b <C ．e 1a b ->D ．ln 0a b ⎛⎫< ⎪⎝⎭例25．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若m ，n ∈+N ，则下列选项中正确的是（）A ．()()1log 1log 2m m m m ++<+B ．(n m m n mn ⋅≥C ．()()22sin1sin 31n n n n n ππ⋅<+⋅>+D ．1121111n n n n n n n n +++++<++（多选题）例26．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知0,0a b >>，直线2y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切，则下列不等式一定成立的是（）A ．19ab ≤B ．219ab+≥C D ≤（多选题）例27．（2022·辽宁辽阳·二模）已知0a >，0b >，且24a b +=，则（）A ．124a b->B ．22log log 1a b +≤C ≥D ．412528a b +≥（多选题）例28．（2022·重庆八中模拟预测）已知0a >，0b >，且3ab a b ++=，则下列不等关系成立的是（）A ．1ab ≤B ．2a b +≥C ．1a b ->D ．3a b -<例29．（2022·全国·高三专题练习）若x ，y R ∈，设2223M x xy y x y =-+-+，则M 的最小值为__．例30.（2022·四川泸州·三模（理））已知x 、y ∈R ，且224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +≤；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．【过关测试】一、单选题1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为a ，从乙地到甲地的平均速度为(0)b a b >>，他往返甲乙两地的平均速度为v ，则（）A ．2a bv +=B ．v =C 2a b v +<<D ．b v <<2．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知0a b <<，则（）A ．110->a bB ．sin sin 0a b ->C ．0a b -<D ．ln()ln()0a b -+->3．（2022·陕西宝鸡·三模（理））若a b <，则下列结论正确的是（）A ．330a b ->B ．22a b <C ．()ln 0a b ->D ．a b<4．（2022·重庆·二模）若非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a b<B ．a b +>C ．22lg lg a b >D ．33a b >5．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22a b >B ．11b b a a +<+C ．22ac bc >D ．332a b -+>6．（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知0a >，0b >，22a b m +=，则以下正确的是()A ．若1m =，则1a b +B ．若1m =，则331a b +C ．若2m =，则2a b +>D ．若2m =，则332a b + 7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知32a =，53b =，则下列结论正确的有（）①a b <②11a b ab+<+③2a b ab+<④b aa ab b +<+A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（）A ．1423b b b b +≤+B ．4132b b b b ≤--C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤二、多选题9．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a 和b ，满足1ab >，下列不等式正确的是（）A ．1ab a b +>+B ．()2log 1a b +>C ．11a b ab+<+D ．11a b a b+>+10．（2022·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）已知a b c >>，且0a b c ++=，则下列结论正确的是（）A ．2ab b >B ．ac bc<C ．11a c>D ．1a cb c->-11．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知实数a ，b ，c 满足1,01a b c >><<，则下列不等式一定成立的有（）A ．()()c c a c b c -<-B ．log (1)log (1)a b c c +<+C ．log log 2a c c a +≥D ．22224a cbc c >>12．（2022·河北保定·一模）已知a 、b 分别是方程20x x +=，30x x +=的两个实数根，则下列选项中正确的是（）.A ．10b a -<<<B ．10a b -<<<C ．33a b b a ⋅<⋅D ．22b aa b ⋅<⋅三、填空题13．（2022·四川泸州·三模（文））已知x ，R y ∈，满足224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +<；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______（写出所有成立结论的编号）．14．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知实数x 、y 满足223x y -≤+≤，220x y -≤-≤，则34x y -的取值范围为______．15．（2022·全国·高三专题练习）如果a >b ，给出下列不等式：①11a b <；②a 3>b 3>2ac 2>2bc 2；⑤ab>1；⑥a 2＋b 2＋1>ab ＋a ＋b .其中一定成立的不等式的序号是________．16．（2022·全国·高三专题练习）设x ，y 为实数，满足238xy ≤≤，249x y≤≤，则3x y 的最小值是______.四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）已知1a >，1b >，2222,1111a b b a M N a b a b =+=+----．（1）试比较M 与N 的大小，并证明；（2）分别求M ，N 的最小值．18．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b 均为正实数.试比较33+a b 与22a b ab +的大小；（2）已知a ≠1且a ∈R ，试比较11a-与1a +的大小.19．（2022·全国·高三专题练习）已知下列三个不等式：①0ab >；②c da b>；③bc ad >，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？并选取一个结论证明.20．（2022·全国·高三专题练习）已知1＜a ＜4，2＜b ＜8，试求a －b 与ab的取值范围.21．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知,,,a b c d R∈(1)证明：()()22222()a b c d ac bd --- ；(2)已知,x y R ∈，2241x y -=，求2|y +的最小值，以及取得最小值时的x ，y 的值．22．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数2()2()f x ax bx c c b a =++>>，其图像过点(1,0)，且与直线y a =-有交点.（1）求证：01ba≤<；（2）若直线y a =-与函数|()|y f x =的图像从左到右依次交于A ，B ，C ，D 四点，若线段,,AB BC CD 能构成钝角三角形，求ba的取值范围.。
不等式比较大小-高中数学知识点讲解
不等式比较大小1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法푏2푎2典例 1：若a＜0 ，b＜0 ，则p =+q＝a b푎푏与的大小关系为（）A．p＜q B．p q C．p＞q D．p q푏2푎2푏2―푎2푎2―푏21解：=+―a =+푎―p﹣q ﹣b =（b2﹣a2）⋅(푎푏푎푏1푏)=(푏2―푎2)(푏―푎)푎푏=(푏―푎)2(푎+푏)，푎푏Q a＜0，b＜0，a b＜0，ab＞0，若，则，此时，a＝b p﹣q＝0 p＝q若，则，此时，a b p﹣q＜0 p＜q综上，p q故选：B1/ 2方法二：利用函数的单调性―1―1―2266典例 2：三个数(5，(5，(5)5)5)5的大小顺序是（）―1―2―1―2―1―1―1―1―2―1―1―2 662662626626 A．(5)5)5＜(5)5)5)5)5)5)5)5)5)5) 5＜(5B．(5＜(5＜(5C．(5＜(5＜(5D．(5＜(5＜(5―1―266解：由指数函数的单调性可知，(5)5，5)5＞(―1―126由幂函数的单调性可知，(5)5，5)5＞(―1―1―2266则(5＞(5)5)5)5＞(5，―2―1―1662故(5＜(5＜(5，5)5)5)故选：B ．2/ 2。
高中数学高考总复习----不等式与不等关系知识梳理及考点梳理
高中数学高考总复习----不等式与不等关系知识梳理及考点梳理【考纲要求】1.了解不等关系、不等式（组）的实际背景；2.理解并掌握不等式的性质，理解不等关系；3.能用不等式的基本性质解决某些数学问题.【知识网络】、【考点梳理】要点一、符号法则与比较大小1.实数的符号任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立。
2.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：；③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，.3、比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、①；②；③。
对于任意实数、,,,三种关系有且只有一种成立。
不等式与不等关系不等式的性质基本性质的应用实际背景要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
要点二、不等式的基本性质１．不等式的基本性质（1）（2）（3）（4）２．不等式的运算性质（１）加法法则：（２）减法法则：（３）乘法法则：（４）除法法则：（５）乘方法则：（６）开方法则：要点诠释：不等式的概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。
基本不等式可以在解题时直接应用。
要点三、比较大小的方法1、作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小。
2、作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小。
3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.4、利用函数的单调性比较大小：若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.【典型例题】类型一：比较代数式（值）的大小例1．已知：,比较和的大小.【解析】∵，，∴∴.【总结升华】作差比较法基本步骤：作差，变形，判断差的符号，结论，其中判断差的符号为目的，变形是关键，常用变形技巧有因式分解，配方，拆、拼项等方法.举一反三：【高清课堂：不等式与不等关系394833典型例题一】【变式1】若，则下列不等式中，不能成立的是()A. B. C. D.【解析】取特殊值，代入验证即可【答案】B【变式2】已知,试比较和的大小.【解析】∵，又∵即∴当时，；当时，.【变式3】且，比较与的大小.【解析】作差：(1)当，即时，，此时.(2)当，即(3)当，,此时，其中时取等号.(4)当即时，，此时例2．已知：、,且,比较的大小.【解析】∵、，∴，作商：（*）(1)若a>b>0,则，a-b>0,,此时成立；(2)若b>a>0,则,a-b<0，,此时成立。
认识不等式和大小关系
认识不等式和大小关系不等式是数学中一种重要的关系符号表示方式，用于描述数值大小之间的关系。
在解决实际问题中，对不等式的认识和运用至关重要。
本文将介绍不等式的定义、性质以及它们与大小关系的应用。
一、不等式的定义和性质不等式是用不等号（<，>，≤，≥）表示的数值大小关系，分为严格不等式和非严格不等式。
严格不等式中不等号两侧的值不能相等，例如x > y；非严格不等式中不等号两侧的值可以相等，例如x ≥ y。
不等式具有以下性质：1. 反身性：对于任意实数x，有x = x。
2. 对称性：如果x > y，则y < x；如果x ≥ y，则y ≤ x。
3. 传递性：如果x > y，y > z，则x > z；如果x ≥ y，y ≥ z，则x ≥ z。
4. 加法性：如果x > y，则x + z > y + z；如果x ≥ y，则x + z ≥ y + z，其中z为任意实数。
二、大小关系的判断在不等式中，常常需要通过比较关系来判断数值的大小。
以下是常见的判断方法：1. 单个变量的不等式：对于单个变量的不等式，可以通过计算来判断其大小关系。
例如，对于不等式2x - 5 > 0，可以将不等式转化为等式2x - 5 = 0，求得x = 2.5，然后判断2x - 5在x = 2.5两侧的取值情况，从而确定不等式的解集为x > 2.5。
2. 两个变量的不等式：对于含有两个变量的不等式，通常需要先将其化简为一元不等式或者求解解集。
可以通过互换变量的位置，并通过图像、计算等方法来判断大小关系。
例如，对于不等式x^2 - y^2 > 0，可以将其化简为(x + y)(x - y) > 0，然后通过绘制函数图像或者列举取值表来判断不等式的解集为x + y > 0且x - y > 0。
3. 绝对值不等式：绝对值不等式是一种常见的不等式类型，含有绝对值符号。
高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解04 比较大小
高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解第4讲比较大小专项突破高考定位比较大小题型每年必考，而且以多种形式出现，可以囊括高中各部分知识，综合性极强，该题型很好的考察了学生的综合素养。
考点解析（1）特殊值法（2）单调性法（3)基本不等式法（4）放缩法（5）图像法（6）作差法（7）作商法（8）构造法（9）反证法题型解析类型一、特殊值法例1-1．已知111,,,a b aM a N a P ba b<<===，则,,M N P的大小关系正确的为（）A．N M P<<B．P M N<<C．M P N<<D．P N M<<【答案】B【分析】根据指数函数与幂函数的单调性即可求解.【详解】 解：111a b <<，01b a ∴<<<，∴指数函数x y a =在R 上单调递减，b a a a ∴>，即N M >，又幂函数a y x =在()0,∞+上单调递增，a a ab ∴>，即M P >，N M P ∴>>，故选：B.例1-2．设02x π<<，记l n s i n a x =，sin b x =，sin x c e =，则比较a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】A【分析】根据02x π<<，得到()sin 0,1b x =∈，再利用对数函数和指数函数的性质判断.【详解】因为02x π<<，所以()sin 0,1b x =∈，lnsin 0a x =<，sin 1x c e =>，所以a b c <<，故选：A例1-3．已知()()2221,2,2,2,2x x x x a b c ∈===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【分析】根据指数函数的单调性，将问题转化为比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小，利用特值法即可求得结果.【详解】因为()2222x x b ==，函数2x y =是单调增函数，所以比较a ，b ，c 的大小，只需比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小即可.用特殊值法，取 1.5x =，容易知3222.25,23,22xx x ===， 再对其均平方得()()()2222232.25 5.0625,29,228x x x =====， 显然()()()22232229228 2.25 5.0625x x x =>==>==， 所以222x x x >>，所以b c a >>【点睛】本题考查利用指数函数的单调性比较指数式的大小关系，属基础题.本题解题的关键在于将问题转化为比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小，再通过特殊值法即可得答案.例1-4．设0x y >>，1x y +=，若1y a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1log xy b xy ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1log y c x =，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】C【分析】利用0x y >>，1x y +=可知01y x <<<，结合不等式性质知11x >，01xy <<，1111xy y x >>>，再利用指数函数、对数函数的性质直接求解．【详解】0x y >>，1x y +=，01y x ∴<<< 利用不等式性质可知11x >，01xy <<，1111xy y x>>>， ∴011()()1y a x x =>=，1()log 10xy b xy ==-<，111log 1log log 1y y yc x y =>>=-， ∴实数a ，b ，c 的大小关系为b c a <<．【点睛】方法点睛：本题考查指数对数的大小判断，判断方法：解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1，考查学生的转化能力，属于基础题.类型二、单调性法例2-1．设233344443,,332a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】C【分析】 根据指数函数43⎛⎫= ⎪⎝⎭x y 与幂函数34y x =的单调性判断,,a b c 的大小关系. 【详解】 因为函数43⎛⎫= ⎪⎝⎭xy 在R 上是增函数，所以23344433<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b <，又因为函数34y x =在(0,)+∞上是增函数，所以33444332⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以b c <，故a b c <<.练．已知 4.10.90.1445,,554a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则这三个数的大小关系为（ ） A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】B【分析】利用指数函数的单调性即可比较大小.【详解】0.90.94554b -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为54xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增﹐则1b c >>， 又 4.1044155a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故b c a >>.故选：B.练．设3log πa =，32log 2b =，1ln e 4c =，则a ，b ，c 大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】B根据指数函数、对数函数的性质判断可得；【详解】 解：因为1ln ln10e <=，所以1ln 0e 0441<<=，即01c <<，又2333332log 2log 2log 4log log 31π==>>=，即1b a >>，所以b a c >>；故选：B类型三、简单同构法（同底、同指、同真、同分母、同分子等）例3-1．已知43a =，3log 4b =，0.13c -=，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>【答案】A【分析】 首先根据题意得到4333log 3log 4>，从而得到a b >，又根据3log 41b =>，100.313c -<==，从而得到b c >，即可得到答案.【详解】因为4334log 33a ==， 344333=3=81464⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 所以4333log 3log 4>，即a b >.又因为33log 4log 31b =>=，100.313c -<==，即b c >，所以a b c >>.故选：A练．已知2516log 3,log 9,0.3a a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a【答案】D【分析】利用对数运算、指数运算化简,b c ，结合对数函数的性质比较三者的大小关系.【详解】22444log 3log 3log 41b ==<=，所以01a b <<<， 5555325log log log 5253log 32231010100.30.3110333a c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫====>=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以cb a >>.故选：D例3-2．已知ln 22a =，ln 33b =，ln 55c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】D【分析】运用比差法分别比较,a b 与,a c ，进而可得结果.【详解】 因为ln 2ln 33ln 22ln 3ln8ln 902366a b ---=-==<，所以a b <； 又ln 2ln 55ln 22ln 5ln 32ln 250251010a c ---=-==>，所以a c >， 所以c ab <<.故选：D.练．已知12019ln20202020a =+，12020ln 20212021b =+，12021ln 20222022c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】A【分析】根据三个数的形式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，最后根据单调性进行比较大小即可.【详解】构造函数()ln 1f x x x =+-，()111x f x x x -'=-=，当01x <<时，()0f x '>， ()f x 单调递增，所以111202*********f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b c >>. 故选：A练．已知ln 22a =，1b e =，ln 33c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】C【分析】结合导数求()ln x f x x =的单调性，可判断,b a b c >>，令a c -，结合对数的运算性质可判断出c a >，从而可选出正确答案.【详解】解：设()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=，当0x e <<时，()0f x '>； 当x e >时，()0f x '<，则()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，则当x e =时，()max ln 1e f x e e ==，即,b a b c >>；ln 2ln 33ln 22ln 3ln8ln 902366a c ---=-==<，则c a >，所以bc a >>， 故选：C ．【点睛】思路点睛：比较几个数的大小关系时，常用的思路是：1、求出函数的单调性，结合增减性进行判断；2、利用作差法，判断两数与零的关系；3、利用作商法，判断两数与1的关系.练．已知7log 22a =，7log 33b =，7log 66c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >>【答案】B【分析】先把a 、b 、c 化为“同构”形式，利用函数的单调性判断大小.【详解】∵log log m a a m b b =， ∴777log lo 6g 23g 2826lo a ===， 777log 3lo 6g 2g 3936lo b ===7log 66c = 因为7log y x =为增函数，所以777log 6log 8log 9<<，所以b a c >>.故选：B【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.练．已知e a =，33log e b =，5ln 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】D【分析】 设()ln x f x x =，e x ≥，利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小； 【详解】 解：设()ln x f x x=，e x ≥，则()2ln 10(ln )x f x x -'=≥恒成立，∴函数()f x 在[e )+∞，上单调递增，又(e)a f =，333log e (3)ln 3b f ===，5(5)ln 5c f ==，∵e 35<<，()()()e 35f f f ∴<<，∴a b c <<，例3-3．已知0a b c d <<<<，若c a a c =，则d b 与b d 的大小关系为（ ）A ．d b b d <B ．db b d =C ．d b b d >D ．不确定 【答案】C【分析】由c a a c =得ln ln a c a c =，构造新函数ln x y x =，利用导数讨论ln x y x =的单调性，从而判断出ln ln ln b c d b c d >>，即可 得到d b b d >.【详解】因为c a a c =，所以ln ln c a a c =，即ln ln a c a c =， 设ln x y x =，则21ln x y x -'=，令21ln x y x-'==0，得x e =， 当(0,)x e ∈时，0y '>，ln x y x=单调递增， 当(,)x e ∈+∞时，0y '<，ln x y x=单调递减； 因为ln ln a c a c =，0a b c d <<<<，所以a e c <<， 所以ln ln ln b c d b c d >>，即d b b d >.故选：C.指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.练．若e a =π，3e b =，3c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】A【分析】首先利用指数函数和幂函数的单调性得到b c <和a b >，再构造函数，利用导数得到函数的单调性得到a c <，即可得到答案.【详解】因为3x y =在R 上为增函数，所以33e π<，即b c <.因为e y x =在(0,)+∞为增函数，所以3e e π>，即a b >. 设ln ()x f x x =， 21ln ()x f x x -'=，令()0f x '=，x e =. (0,)x e ∈，()0f x '>，()f x 为增函数，(,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 为减函数.则()(3)f f π<，即ln ln 33ππ<，因此3ln ln3ππ<， 即3ln ln 3ππ<，33ππ<.又33e πππ<<，所以a c <.所以b a c <<.故选：A【点睛】本题主要考查指数和幂的比较大小，利用导数得到函数的单调性来比较大小为解决本题的关键，属于中档题.练．已知5ln 4a π=，4ln 5b π=，45ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】C【分析】 令ln ()()x f x x e x =≥，利用导数研究函数的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】 解：令ln ()()x f x x e x =≥，21ln ()x f x x -'=， 可得函数()f x 在(),e +∞上单调递减，ln 4ln 5,5ln 44ln 5,45a b ππππ∴>∴>∴>，同理可得：44ln ln 4,4ln ln 4,4,5ln 5ln 4,4c a ππππππππ>∴>∴>∴>∴>，∴b a c <<.故选：C.本题考查了利用导数研究函数的单调性、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.类型四、中间量d=，则a，b，c，d的大小关系是（）例4-1．若0.8b=，0.30.2a=，0.20.81.1c=，lg0.2A．c b a d>>>>>>B．c a b dC．b c a d>>>>>>D．a c b d【答案】A【分析】由指数函数、幂函数以及对数函数的单调性比较大小即可.【详解】由指数函数的单调性知：0.20.8>=1.1 1.11>，0.300.20.2由幂函数的单调性知：0.20.2>，0.80.2所以0.20.20.8c b a>>=>>=>，10.80.20.20d=<=又由对数函数的单调性可知：lg0.2lg10综上有：c b a d>>>.例4-2．已知1253a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小顺序是（ ） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】D【分析】 由11225335-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 4>，333log 3log 7log 9<<判断.【详解】 因为112253135a -⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 42b =>=， 3331log 3log 7log 92c =<=<=，所以b c a >>故选：D练．已知a =b =2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b c a >>【答案】C【分析】根据指数运算与对数的性质，求得2a >，2b <，12c <<，再结合22log log 3b c ==，利用对数函数的单调性，即可求解.【详解】根据指数运算与对数运算的性质，可得122a =>=，2b =，2log 3(1,2)c =∈，设22log log 3b c ===，因为函数2log y x =为增函数，由于8523>，所以b c >，所以a b c >>.故选：C.练．已知0.352,ln 2,2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b >>【答案】B【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合指数函数和对数函数的性质进行判断即可.【详解】由551log 2log log 522a a a =⇒==<，由112b >>，0.312c =>，所以c b a >>，故选：B类型五、放缩法例5-1．若1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2x b =，ln 2x c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a >>【答案】D【分析】先利用ln y x =的单调性求出a 值范围；再利用2x y =的单调性比较b 和c 的大小而得解.【详解】因1(,1)x e -∈，且函数ln y x =是增函数，于是10a -<<；函数2x y =是增函数，1ln 0ln 1x x -<<<-<，而ln ln 1()22x x -=，则ln 11()22x <<，ln 1212x <<，即1122c b <<<<， 综上得：b c a >>故选：D练．设02x π<<，记lnsin a x =，sin b x =，sin x c e =，则比较a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】A【分析】 根据02x π<<，得到()sin 0,1b x =∈，再利用对数函数和指数函数的性质判断.【详解】 因为02x π<<，所以()sin 0,1b x =∈，lnsin 0a x =<，sin 1x c e =>， 所以a b c <<，故选：A练．已知sin3a =，3log sin 3b =，sin33c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【分析】利用指数函数、对数函数以及三角函数值即可得出选项.【详解】 因为32ππ<<，所以()sin30,1a =∈，33log sin3log 10b =<=，sin30331c =>=，所以c a b >>.故选：C练．已知0.32=a ， 1.12.3b =，3log 6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】C【分析】根据指数函数，对数函数的单调性来判断数值大小.【详解】由对数及指数的单调性知：0.30.522 1.414a =<=， 1.12.3 2.3b =>，332log 6log 1.5c >=>，所以a ，b ，c 的大小关系为a c b <<.故选：C.类型六、比较法例6-1作差法．设2l og 3a =，32log 2b =，32log 2c =-，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】A【分析】 先通过变形3339log 9log 2log 2c =-=，而332log 2log 4b ==，故可判断,b c 大小，再作差利用基本不等式有23log 3log 2220a c -=+->=即可得解.【详解】 由33333392log 2log 9log 2log log 42log 22c b =-=-=>==，23log 3log 222220a c -=+->>-=，所以a c >，所以a c b >>，故选：A.【点睛】本题考查了对数函数的比较大小，对数函数的比较大小是高考中重点考查对象，考查了利用中间量以及作差法比较大小，考查了变形转化以及对数的运算能力，比较大小有以下几种方法：（1）利用函数单调性比较大小；（2）中间量法比较大小；（3）作差法、作商法比较大小.例6-2作商法．已知0.75a =，52log 2=b ，21log 32=c ，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】A【分析】根据对数的运算法则及性质比较,b c 与a 的大小，利用作商法比较,b c 的大小.【详解】 由30.754a ==, 因为3444(5)1254256=<=，故3454<， 所以3455log 5log 4a b =<=， 因为3444(2)89=<=，故342< 所以3422log 2log a c =<=因为58165>，故85165>，因为5832<，故8532<， 所以8555558225222log 24log 2log 16log 511log 3log 3log 3log 22b c ===>=， 所以b c >，故a c b <<，故选：A【点睛】关键点点睛：根据对数的运算性质将a 写成对数345log 5，342log 2，利用函数的单调性比较真数大小即可，利用作商及放缩的方法可得,b c 的大小，属于较难题目.练．已知1ln 23a =，24log 25b =，25log 26c =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】D【分析】 先由题，易知1ln 231a =<，而2425log 251,?log 261b c =>=>，再将b ，c 作商，利用对数的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.【详解】因为1ln 02<，故1ln 231a =< 2425log 251,?log 261b c =>=> 2225252525252524log 26log 26log 241log 26log 24()[log (251)(251)]1log 2524c b +==⋅<=+⋅-< 所以c b < ，即b c a >>故选D【点睛】本题考查了对数的运算以及基本不等式的综合，解题的关键是在于运算的技巧以及性质，属于中档偏上题型.类型七、图像法例7-1．若()122211log ,0,222a b c a b b c -⎛⎫⎛⎫==>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B【分析】 分别画出函数1221(),log ,2x y y x y x ===的图象，由图象交点坐标，即可判断得出,,a b c 的大小关系.【详解】 分别画出函数1221(),log ,2x y y x y x ===的图象，如图所示，由图象，可得c b a <<.故选：B.练．若44log x x -=，144log y y =，44log 0zz -+=，则实数x ，y ，z的大小关系为（）A ．x y z <<B ．z y x <<C ．z x y <<D ．y z x <<【答案】D【分析】利用指数与对数函数的单调性，确定各方程根的范围，进而比较它们的大小.【详解】对于44log x x -=，由()4x f x -=与4()log g x x =有交点，()f x 过一、二象限，()g x 过一、四象限，∴()f x 与()g x 的交点必在第一象限且()f x 单调递减、()g x 单调递增，而1(1)(1)04f g =>=，11(2)(2)162f g =<=，可得()1,2x ∈， 对于144log y y =，由()4y m y =与14()log n y y =有交点，()m y 过一、二象限，()n y 过一、四象限，∴()m y 与()n y 的交点必在第一象限且()m y 单调递增、()n y 单调递减，而(0)1m =，0lim ()y n y +→→+∞，111()2()222m n =>=，可得10,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 对于44log 0z z -+=，显然有12z =， ∴x ，y ，z 的大小关系为y z x <<，故选：D.例7-2．已知,,(0,)a b c ∈+∞，且ln 1a a =-，ln 1b b =，e 1c c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】C【分析】由题意可得ln 1a a =-，1ln b b =，1e c c =.依次作出e x y =，ln y x =，1y x =-，1y x =在(0,)+∞上的图像，然后根据函数图像可求得答案【详解】ln 1a a =-，1ln b b =，1e c c =.依次作出e x y =，ln y x =，1y x =-，1y x =在(0,)+∞上的图像，如图所示.由图像可知01c <<，1a =，1b >，所以c a b <<.故选：C.练．正实数a ，b ，c 满足22a a -+=，33b b +=，4log 4c c +=，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】A【分析】将22a a -+=，33b b +=，4log 4c c +=，转化为函数13x y =+，122xy =+，4log y x =与4y x =-的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解.【详解】4log 4c c +=4log 4c c ⇒=-， 即c 为函数4log y x =与4y x =-的图象交点的横坐标，33b b +=134b b ⇒+=-，即b 为函数13x y =+与4y x =-的图象交点的横坐标，22a a -+=1242a a ⇒+=-， 即a 为函数122x y =+与4y x =-的图象交点的横坐标， 在同一坐标系中画出图象，如图所示：由图象可知：b a c <<.故选：A.练．已知5630x y ==，log x z y =，则x ，y ，z 的大小关系为（ ）A ．x y z <<B ．z y x <<C ．y x z <<D ．z x y <<【答案】B【分析】首先对5630x y ==取对数，可比较x ，y 的大小关系，利用对数的运算判断,x y 与1的大小关系，即可利用单调性判断z 的范围，进而可得出x ，y ，z 的大小关系.【详解】对5630x y ==两边同时取常用对数可得lg5lg6lg30x y ==, 所以lg30lg5x =，lg30lg 6y =， 因为lg y x =在()0,∞+单调递增，所以0lg5lg6<<， 所以lg30lg30lg5lg 6>，即x y >， 又因为5lg30lg5lg 61log 61lg5lg5x +===+>， 6lg30lg5lg 61log 51lg 6lg 6y +===+>， 所以0log log 1x x z y x <=<=，所以z y x <<.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是取对数判断x ，y 的大小关系，判断x 与1的关系利用单调性得出z 的范围.类型八、方程中隐含条件例8-1．已知正数x ，y ，z 满足ln z x y ye zx ==，则x ，y ，z 的大小关系为（）A ．x y z >>B ．y x z >>C ．x z y >>D ．以上均不对【答案】A【分析】将z 看成常数，然后根据题意表示出,x y ，再作差比较出大小即可【详解】解：由ln z x y ye zx ==，得ln x y zx =，则ln z y =，得z y e =，所以z z e e zx ⋅=，所以2ze x z =，令()(0)z f z e z z =->，则()10z f z e -'=>，所以函数()f z 在(0,)+∞上单调递增，所以0()(0)01f z f e >=-=，所以z e z >，即y z >所以22()0z z z z z z e e ze e e z x y e z z z---=-==>， 所以x y >，综上x y z >>，故选：A练．设正实数a ，b ，c ，满足2ln 2a c e b b ce ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】B【分析】通过构造函数()(0)x f x xe x =>，利用导数判断函数的单调性，并判断c 的范围，通过变形得c b e =，得,b c 的大小关系，再直接解方程求a 的范围，最后三个数比较大小.【详解】设()(0)x f x xe x =>，0x >时，()()10x f x x e '=+>恒成立，()f x 在(0,)+∞单调递增，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x e ⎫∈⎪⎝⎭，2<，所以1,12c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ln ln ln b c b b b e ce =⋅=，故ln b c =，即c b e =∈，而ln 2122a =<，所以a cb <<． 故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()(0)x f x xe x =>，并且根据指对互化ln ln ln b b b b e =⋅，这样根据单调性可得ln b c =.练．设x ，y ，z 为正实数，且235log log log 1x y z ==>，则2x ，3y ，5z 的大小关系是（ ） A ．532zy x <<B ．235x y z << C ．325yxz <<D ．235x y z == 【答案】B【分析】,,x y z 为正实数，且235log log log 1x y z k ===>，可得：22,33,55k k k x y z =>=>=>,然后变形，构造函数，利用幂函数的单调性即可得出．【详解】,,x y z 为正实数，且235log log log 1x y z k ===>，可得22,33,55k k k x y z =>=>=>． ∴11121,31,51235k k k xy z ---=>=>=>，令()1k f x x -=，又()f x 在()0+∞，上单调递增， ∴()()()532f f f >>，即532zy x >>， 故选：B ．关键点睛：本题的关键是指数式与对数式的互化、构造幂函数并运用其的单调性． 例8-2．已知a 、b 、c 均为不等于1的正实数，且ln ln a c b =，ln ln c b a =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A【分析】分析可知，ln a 、ln b 、ln c 同号，分a 、b 、()0,1c ∈和a 、b 、()1,c ∈+∞两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】ln ln a c b =，ln ln c b a =，且a 、b 、c 均为不等于1的正实数，则ln a 与ln b 同号，ln c 与ln a 同号，从而ln a 、ln b 、ln c 同号.①若a 、b 、()0,1c ∈，则ln a 、ln b 、ln c 均为负数，ln ln ln a c b b =>，可得a b >，ln ln ln c b a a =>，可得c a >，此时c a b >>；②若a 、b 、()1,c ∈+∞，则ln a 、ln b 、ln c 均为正数，ln ln ln a c b b =>，可得a b >，ln ln ln c b a a =>，可得c a >，此时c a b >>.综上所述，c a b >>.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.练．已知大于1的三个实数,,a b c 满足2(lg )2lg lg lg lg 0a a b b c -+=，则,,a b c 的大小关系不可能是（ ）A ．a b c ==B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】D【分析】令()22lg lg lg f x x x b b c =-+，则lg a 为()f x 的零点，根据判别式可得b c ≥，就b c =和b c >分类讨论后可得,,a b c 的大小关系.【详解】令()22lg lg lg f x x x b b c =-+，则lg a 为()f x 的零点且该函数图象的对称轴为lg x b =， 故24lg 4lg lg 0b b c ∆=-≥，因为1,1b c >>，故lg 0,lg 0b c >>，所以lg lg b c ≥即b c ≥.又()()()()22lg lg lg lg lg lg lg ,lg lg lg lg lg lg lg f b b c b b c b f c c b c c c b =-=-=-=-，若b c =，则()()lg lg 0f b f c ==，故lg lg lg a b c ==即b c =.若b c >，则()()lg 0,lg 0f b f c <<，所以lg lg a c <或者lg lg b a <，即a c b <<或a b c >>.故选：D.【点睛】本题考查二次函数的零点，注意先根据方程的形式构建二次函数，再利用零点存在定理来讨论，注意合理分类，本题为中档题.例8-3．已知22,32a b a b +=+=，则lg b a 与lg a b 的大小关系是（ ）A ．lg lg b a a b <B ．lg lg b a a b =C ．lg lg b a a b >D ．不确定【答案】C【分析】令()()2,3x x f x x g x x =+=+，结合题意可知01b a <<<，进而有b b a a b b >>，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令()()2,3x x f x x g x x =+=+，则当0x >时，()()g x f x >，当0x <时，()()g x f x <；由22,32a b a b +=+=，得()()2,2f a g b ==考虑到()()2f a g b ==得01b a <<<，b b a a b b ∴>>由b a a b >，得()()lg lg b a a b >，即lg lg b a a b >故选：C练．设实数a ，b 满足51118a b a +=，7915a b b +=，则a ，b 的大小关系为（ ）A ．a b <B ．a b =C ．a b >D ．无法比较【答案】A【分析】从选项A 或C 出发，分析其对立面，推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.【详解】假设a b ≥，则1111a b ≥，77a b ≥，由51118a b a +=得51151118()()11818a a a a a +≥⇒+≥， 因函数511()()()1818x x f x =+在R 上单调递减，又51116(1)1181818f =+=<，则()1(1)f a f ≥>，所以1a <；由7915a b a +=得797915()()11515b b b b b +≤⇒+≤， 因函数79()()()1515x x g x =+在R 上单调递减，又7916(1)1151515g =+=>，则()1(1)g b g ≤<，所以1b >； 即有1a b <<与假设a b ≥矛盾，所以a b <，故选：A【点睛】思路点睛：应用反证法解决问题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．巩固训练（精选以一敌百）1．（多选）（2021·全国·高三期中）已知a ，b 为正数，且1a b -=，则（ ）A ．221a b +<B ．331a b ->C ．222log log 2-<a bD ．211b b a+> 【答案】BD【详解】由于1a b -=，取1,2b a ==，代入四个选项对于A ：221a b +<，左边2251a b +=>故A 错误；对于C ，222log log 2a b -=，故C 错误2．（多选）（2021·江苏·南京市第一中学高三期中）已知实数,,x y z 满足ln 1y z x z e ⋅=⋅=.则下列关系式中可能成立的是（ ）A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x >>【答案】ABC 设1ln y x e k z ===，0k >，则k x e =，ln y k =，1z k =，画出函数图象，如图所示：当1k x =时，z x y >>；当2k x =时，x z y >>；当3k x =时，x y z >>；故选：ABC。
不等式的比较掌握大小关系的判断
不等式的比较掌握大小关系的判断在数学学科中，不等式是常常会遇到的一个重要概念。
我们经常需要进行大小关系的判断，以解决各种实际问题或推导数学结论。
掌握不等式的比较，能够在解决数学问题时提供有效的参考和引导。
本文将介绍如何准确地判断不等式的大小关系。
一、基本概念不等式是数学中的一种关系，在形式上使用不等号进行表示。
通常我们会见到比较运算符“<”，“>”，“≤”，“≥”等。
这些符号的含义如下：1. 小于号“<”：表示左边的数小于右边的数，例如 a < b 表示 a 相对于 b 而言较小。
2. 大于号“>”：表示左边的数大于右边的数，例如 c > d 表示 c 相对于 d 而言较大。
3. 小于等于号“≤”：表示左边的数小于或等于右边的数，例如x ≤ y 表示 x 相对于 y 而言小于或等于。
4. 大于等于号“≥”：表示左边的数大于或等于右边的数，例如z ≥ w 表示 z 相对于 w 而言大于或等于。
二、比较不等式大小的方法判断不等式的大小关系主要有两种方法：一是通过运算的性质和规则，二是通过图形表示。
1. 运算的性质和规则：借助运算性质和规则，我们可以对不等式进行等价变形，从而方便地进行大小关系的判断。
以下是一些常见的运算性质：a) 加减法性质：对于任意实数 a、b、c，如果 a < b，则 a+c < b+c，a-c < b-c；b) 乘除法性质：对于任意实数 a、b、c（c 不为 0），如果 a < b，则 ac < bc，a/c < b/c；c) 等价变形性质：对于任意实数 a、b、c，如果 a < b，则 a+c <b+c，a-c < b-c，ac < bc（当 a、b、c 都大于 0 或都小于 0 时），a/c <b/c（当 a/c 和 b/c 定义有意义时）。
基于这些性质，我们可以通过不等式的等价变形，将其转化为更简单的形式以便进行大小比较。
高一数学不等式知识点讲解
高一数学不等式知识点讲解不等式是数学中比较大小关系的一种表示方式，它在实际问题解决中起着重要的作用。
高一数学学习的一部分内容就是学习不等式的相关知识。
本文将对高一数学中常见的不等式知识点进行讲解。
一、基本符号和性质在学习不等式之前，我们需要先了解一些基本符号和性质。
1.1 基本符号在不等式中，我们通常会用到以下几个基本符号：- 大于号（>）：表示大于的关系，如a > b表示a大于b；- 小于号（<）：表示小于的关系，如a < b表示a小于b；- 大于等于号（≥）：表示大于等于的关系，如a ≥ b表示a大于等于b；- 小于等于号（≤）：表示小于等于的关系，如a ≤ b表示a小于等于b。
1.2 传递性和对称性不等式具有传递性和对称性两个基本性质：- 传递性：若a > b，b > c，则有a > c。
即若a大于b，b大于c，则a大于c。
- 对称性：若a > b，则有b < a。
即若a大于b，则b小于a。
二、一元一次不等式一元一次不等式是高中数学中最简单的一类不等式。
其形式通常为ax + b > 0或ax + b < 0，其中a和b为实数，且a ≠ 0。
2.1 解一元一次不等式解一元一次不等式的基本思路是找出使不等式成立的x的取值范围。
对于不等式ax + b > 0，可以按如下步骤进行解答：- 将不等式转化为等式，即ax + b = 0；- 求得方程的解x = -b/a；- 判断x的取值范围，当a > 0时，解为x > -b/a；当a < 0时，解为x < -b/a。
类似地，对于不等式ax + b < 0，可以按照以上步骤解答。
2.2 不等式的加减运算性质在解决一元一次不等式时，我们需要运用加减运算性质。
对于不等式ax + b > c，可以将不等式两边同时减去c，得到ax + b - c > 0。
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【例1】 若0a b <<，1a b +=，则在下列四个选项中，较大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．b【例2】 将232，1223⎛⎫⎪⎝⎭，122按从大到小的顺序排列应该是 ．【例3】 若52x =-，23x =-，则,x y 满足（ ）A ．x y >B ．x y ≥C ．x y <D ．x y =【例4】 若110a b<<，则下列不等式中， ①a b ab +< ②||||a b > ③a b < ④2b aa b+> 正确的不等式有____ ．（写出所有正确不等式的序号）典例分析比较大小【例5】已知,a b∈R，那么“||a b>”是“22a b>”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【例6】若0b a<<，则下列不等式中正确的是（）A．11a b>B．a b>C．2b aa b+>D．a b ab+>【例7】比较下列代数式的大小：⑴23x x+与2x-；⑵61x+与42x x+；【例8】比较下列代数式的大小：⑴43x x y-与34xy y-；⑵（其中0xy>，且x y>）⑶x yx y与y xx y（其中0,0,x y x y>>≠）．【例9】 a 、b 、c 、d 均为正实数，且a b >，将b a 、a b 、bc a c ++与ad b d++按从小到大的顺序进行排列．【例10】 比较大小：log a ab、log a b 与log b a （其中21a b a >>>）【例11】 已知a 、b 、c 、d 均为实数，且0ab >，c da b -<-，则下列各式恒成立的是（ ） A ．bc ad <B ．bc ad >C ．a b c d >D ．a b c d<【例12】 当a b c >>时，下列不等式恒成立的是（ ）A ．ab ac >B ．a c b c >C ．ab bc >D ．()0a b c b -->【例13】 已知三个不等式：0ab >，0bc ad ->，0c da b->（其中a 、b 、c 、d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【例14】 ⑴已知：11,a b a b>>，求证：0,0a b ><． ⑵若0a b >>，0c d >>，求证：d ca b<．【例15】 设a ∈R ，则1a >是11a<的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【例16】 如果00a b <>，，那么，下列不等式中正确的是（ ）A ．11a b< B a b - C ．22a b < D ．||||a b >【例17】 设,a b ∈R ，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ）A ．0b a ->B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +>【例18】 若110a b<<，则下列结论不正确的是（ ） A ．22a b < B ．2ab b < C ．2b aa b+> D ．||||||a b a b +>+【例19】 若0a b <<，则下列结论中正确的命题是（ ）A ．11a b>和11||||a b >均不能成立 B ．11a b a >-和11||||a b >均不能成立 C ．不等式11a b a >-和2211a b b a ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭均不能成立D ．不等式11||||a b >和2211a b b a ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭均不能成立【例20】 若111a b<<，则下列结论中不正确的是（ ） A ．log log a b b a > B ．|log log |2a b b a +> C ．2(log )1b a <D ．|log ||log ||log log |a b a b b a b a +>+【例21】 设a b ∈R ，，且()10b a b ++<，()10b a b +-<，则（ ）A ．1a >B ．1a <-C ．11a -<<D ．1a >【例22】 判断下列各命题的真假，并说明理由．⑴若22ac bc >，则.a b > ⑵若a b >，则11.a b< ⑶若,a b c d >>，则.a c b d ->- ⑷若,a b m +>∈N ，则.m m a b >【例23】 已知102a -<<，试将下列各数按大小顺序排列：21A a =+，21B a =-，11C a=+，11D a=-．【例24】 实数a b c d 、、、满足条件：①,a b c d <<；②()()0a c b c -->；③()()0a d b d --<，则有（ ）A ．a c d b <<<B ．c a b d <<<C ．a c b d <<<D ．c a d b <<<【例25】 已知实数a 、b 满足等式1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列五个关系式①0b a << ②0a b << ③0a b << ④0b a << ⑤a b = 其中不可能成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例26】 设()1log 3x f x =+，()2log 2x g x =，其中0x >且1x ≠．试比较()f x 与()g x 的大小．【例27】 若2log 3a =，3log 2b =，13log 2c =，21log 3d =，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）A ．a b c d <<<B ．d b c a <<<C ．d c b a <<<D ．c d a b <<<【例28】 若110a b <<，则下列不等式①a b ab +<②||||a b >③a b <④2b aa b+>中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例29】 设a 、b 、c 、d 、m 、n 均为正实数，P Q 那么（ ） A ．P Q ≥ B ．P Q ≤C ．P Q <D ．P 、Q 间大小关系不确定，而与m 、n 的大小有关【例30】 设a 、b 为非零实数，若a b <，则下列各式成立的是（ ）A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b aa b<【例31】 设a b c ，，是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．||||||a b a c b c --+-≤ B ．2211a a a a++≥C ．1||2a b a b-+-≥ D【例32】 “0a b >，且a b ≠”是“222a b ab +<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【例33】 0a ≥，0b ≥，且2a b +=，则（ ）A ．12ab ≤B ．12ab ≥ C ．222a b +≥ D ．223a b +≤【例34】 若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥C ．22111a b +≤D ．22111a b+≥【例35】 设实数a 、b 满足0a b <<，且1a b +=，则下列四数中最大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．a【例36】 正实数a 、b 、c 满足a d b c +=+，a d b c -<-，则（ ）A ．ad bc =B ．ad bc <C ．ad bc >D ．ad 与bc 大小不定【例37】 已知a b c >>2a c-的大小关系是 ．【例38】 已知实数x 、y 、z 满足条件0x y z ++=，0xyz >，设111T x y z=++，则（ ）A ．0T >B ．0T =C ．0T <D ．以上都可能【例39】 若10a b >>>，以下不等式恒成立的是（ ）A ．12a b +> B ．12b a +>C ．1lg 2a b b +>D ．1lg 2b a a +<【例40】 若121200a a b b <<<<，，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是（ ）A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．12。