选修2-1(空间向量)复习课精品PPT课件
选修2-1第三章空间向量与立体几何教案(精品资料)1[1][1].part1(11)精选教学PPT课件
![选修2-1第三章空间向量与立体几何教案(精品资料)1[1][1].part1(11)精选教学PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/5fe1a0d7524de518964b7d74.png)
2答案
练习 3⑴.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中 , E 、F 分别是 BB1 、 CD 的中点,求证: D1F 平面ADE .
证明: 设正方体的棱长为1,
1 则 AD ( 1, 0, 0), D1 F (0, , 1), 1 2 AD D1 F ( 1, 0, 0) (0, , 1) 0. 2 1
3.中点坐标公式 已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) x1 x2 y1 y2 z1 z2 , , ) 则线段 AB 的中点坐标A(1,0,0), B(0,1,0) , C (0,0,2) , ⑴已知 (1,-1,2) 则顶点 D 的坐标为______________; ⑵ Rt △ ABC 中, BAC 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , 2 C ( x,0,1) ,则 x ____; ⑶已知 A(3,5, 7) , B(2,4, 3) ,则 AB 在坐标平面 yOz 上的射影的长度为_______. 101
5
练习 3: ⑴在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中 ,
E 、F 分别是 BB1 、 CD 的中点,
D1 A1 D A F B B1 E
C1
求证: D1F 平面ADE .
C
⑵如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，O 是 B1D1 的中点， 求证：B1C∥面 ODC1.
6
1答案
x
OP ( x, y, z ) P( x, y, z )
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1) 2
空间向量类似于平面向量可以用坐标表示, 而且也类似于平面向量可以用坐标 来进行各种运算及进行有关判断. 如: 1.长度的计算
3.1.1空间向量及其加减运算 课件(人教A版选修2-1)
答案
→ → → OA，OB，OC是不同在一个平面内的向
量，而我们以前所学的向量都在同一平面内． 结论：在空间，具有大小和方向的量叫空间向量．向量的 大小叫做向量的长度或模．
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.1.1
问题 2 用？
空间向量和平面向量有什么区别？它有什么作
答案
空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示既
量必相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终 点相同，故①错；
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.1.1
根据向量相等的定义，不仅模相等，而且方向相同，故② 错；
→ → 根据正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，向量AC与A1C1的方向相 → → 同，模也相等，应有AC＝A1C1，故③正确； 命题④显然正确； 空间中任意两个单位向量模均为 1，但方向不一定相同，故 不一定相等，故⑤错．
小结 在空间，零向量、单位向量、向量的模、相等（反） 向量的概念和平面向量完全一致，研一研· 问题探究、课堂更高效
3.1.1
( B )
跟踪训练 1 下列说法中正确的是 B．若向量 a 是向量 b 的相反向量，则 |a |＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 → → → D．在四边形 ABCD 中，一定有AB＋AD＝AC
3.1.1
例 1 给出下列命题： ①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同； ②若空间向量 a， b，满足 |a |＝ |b |，则 a＝ b； → → ③在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，必有AC＝A1C1； ④若空间向量 m， n， p 满足 m＝ n， n＝ p，则 m＝ p； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中不正确的命题的个数是 ( C ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 解析 当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向
2020版高中数学人教B版选修2-1课件：3.1.2 空间向量的基本定理 (2)
第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理高中数学选修2-1·精品课件引入课题平面向量中包含哪些基本定理形式？能否将平面向量的定理推广到空间向量？其形式又会有怎样的变化？知识点一：共线向量定理规定：零向量与任意向量共线.1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a ∥b .2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使 a =λb .推论:如果l 为经过已知点A 且平行已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,满足等式OP =OA +t a ,其中 a 叫做直线l 的方向向量.探究点：三点共线如何利用共线向量定理判定三点共线？AC BOAC=λABOC−OA=λ(OB−OA) OC=(1−λ)OA+λOBA、B、C三点共线⇔OC=xOA+yOB(其中O为空间中任意一点，且x+y=1)特别有：当B为线段AC的中点时OB=12(OA+OC)例1 如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且CF=23CB，CG=23CD.利用向量法证明四边形EFGH是梯形．[思路探索]只需证EH∥FG，且EH≠FG即证EH∥FG，且|EH|≠|FG|利用BD构建EH与FG的关系∵E、H分别是边AB、AD的中点，∴AE=12AB，AH=12AD，EH=AH−AE=12AD−12AB＝12(AD−AB)＝12BD＝12(CD−CB)＝12(32CG−32CF)＝34(CG−CF)＝34FG，∴EH∥FG，且|EH|≠|FG|,又F不在EH上，∴四边形EFGH是梯形．证明：跟踪训练1.设两非零向量e1、e2不共线，AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)．试问：A、B、D是否共线，请说明理由．解:∵BD＝BC＋CD＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1+e2)，∴BD＝5AB又∵B为两向量的公共点，∴A、B、D三点共线．知识点二：共面向量共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.想一想，为什么？说明：空间任意两个向量都是共面向量，但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的.探究点：共面向量定理1.若 a 与b 为不共线的两个向量， p 、 a 、b 共面，p 能被 a 、b 唯一表示吗？想一想，为什么？存在唯一有序实数对(x , y ) p =x a +y b2.若存在唯一有序实数对(x , y )，使 p =x a +yb ，则 p 、 a 、b 共面吗？ab xayb p 平行四边形的对角线三个向量共面共面向量定理如果两个向量a 、b 不共线,则向量p 与a 、b共面的充要条件是:存在唯一的有序实数对(x , y )使p =x a +y b .知识点四：四点共面类似于共线向量定理可以判定三点共线，利用共面向量定理怎样判定四点共面？AP =mAB +nAC系数和等于1APCBOOP −OA =m(OB −OA)+n(OC −OA )OP =1−m −n OA +mOB +nOCP 、A 、B 、C 四点共面⇔OP =xOA +yOB +zOC (其中O 为空间中任意一点，且x +y +z =1)例2 如图所示，P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连结PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连结MN，NQ，QR，RM.应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面．[思路探索]只需找到EF，EG，EH的线性关系证明：∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心，∴M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连结M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，且有PE=23PM，PF=23PN，PG=23PQ，PH=23PR.∵MNQR为平行四边形，∴EG=PG−PE＝23PQ－23PM＝23MQ＝23(MN＋MR)＝23(PN−PM)＋23(PR−PM)＝23(32PF−32PE)＋23(32PH−32PE)＝EF+EH.∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.2.已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE＝k OA，OF＝k OB，OG＝k OC，OH＝k OD＝k，求证：(1)四点E、F、G、H共面；(2)平面EG∥平面AC.证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC=AB+AD，EG=OG−OE＝k OC－k OA＝k AC＝k(AB+AD)＝k(OB−OA+OD−OA)＝OF−OE+OH−OE＝EF+EH.所以E、F、G、H共面．(2)EF＝OF−OE＝k(OB−OA)＝k AB，且由第(1)问的证明中知EG＝k AC，于是EF∥AB，EG∥AC.且EF∩EG＝E，AB∩AC＝A，所以平面EG∥平面AC.知识点五：空间向量基本定理如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一有序实数组{x，y，z}，使得p=x a+y b+z c.{a, b, c}为空间中的一个基底a, b, c叫做基向量.cabx ay bz c p(1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.(2)基底不同，对于向量的分解形式不同.典例分析解：例3 若{a ，b ， c }是空间的一个基底，判断{a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a }能否作为该空间的一个基底．假设a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a 共面，则存在实数λ，μ使得a ＋b ＝λ(b ＋ c )＋μ( c ＋a )，∴a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ) c .∵{a ，b ，c }为基底，∴a ，b ，c 不共面，∴a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a 不共面．∴{a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a }可以作为空间一个基底．∴λ=1，μ=1，λ+μ=0，此方程组无解．是否共面3.以下四个命题中正确的是________．①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．【解析】因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．【答案】②③例4空间四边形OABC 中，M ，N 是△ABC ，△OBC 的重心，设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝ c ，用向量a ，b ， c 表示向量OM ，ON ，MN .AC BO PNMac b如图，取BC 中点P ，则A 、M 、P ，O 、N 、P 分别共线，连结AP ，OP .AM ＝OA ＋AM ＝a ＋23AP＝a ＋23×12(AB ＋AC )，解：利用线性运算，结合图形，对向量进行分解＝a＋13(OB－OA)＋13(OC－OA)＝a＋13b－13a＋13c－13a＝13a＋13b＋13c.ON＝23OP＝23×12(OB＋OC)＝13b＋13c.MN＝ON－OM＝13b＋13c－13b－13c－13a＝－13a.A CBOPNMa cb4.如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示BF，BE，AE，EF.解:连结BO，则BF＝12BP＝12(BO＋OP)＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.BE＝BC＋CE＝－a＋12CP＝－a＋12(CO＋OP)＝－a－12b＋12c.AE＝AP＋PE＝AO＋OP＋(PO＋OC)＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c.EF＝12CB＝12OA＝12a.归纳小结1.用好已有的定理及推论：如共线向量定理、共面向量定理及推论等，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题. 2.在解决空间向量问题时，结合图形，以图形为指导不但事半功倍，更是迅速解题的关键！D1．下列命题中正确的个数是()①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线②向量a、b、c共面即它们所在的直线共面③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb A．1B．2 C．3 D．02.已知三角形ABC中，AB|AB|+AC|AC|=AD|AD|则D点位于( )A.BC边的中线上B.BC边的高线上C.BC边的中垂线上D.∠BAC的平分线上D3.已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是()DA．a B．b C．a＋2b D．a＋2c4．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG＝x OA＋y OB＋z OC，则(x，y，z)为()A.(14,14,14) B.(34,34,34)C.(13,13,13) D.(23,23,23)A再见。
2.4.1 空间向量与平行关系 课件(北师大选修2-1)
(3)设n是平面π的法向量，a是直线l的方向向量，根据
下列条件判断π和l的位置关系：
①n＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)； ②n＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)； ③n＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)． [思路点拨] 本题可由直线的方向向量、平面的法向
(
)
解析：当a· b＝0时，lπ或l∥π. 答案：D
2．已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，平面π1、π2的 法向量分别为n1，n2，若a＝n1＝(1，－2，－2)，b＝n2 ＝(－2，－3,2)，试判断l1与l2，π1与π2，l1与π2间的位置 关系．
解：∵a· b＝n1·2＝a·2 n n
AC 的中点，所以 OB⊥AC，OA＝OB＝OC， 如图，建立空间直角坐标系，设 OA＝a， 则 A(a,0,0)， B(0， a,0)， C(－a,0,0)， P(0,0，
a a a)，D－2，0，2，
a a 所以 OD ＝－2，0，2.
设平面 PAB 的法向量为 n＝(x，y，z)．
SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点.求证：
MN∥平面RSD.
证明：法一：如图所示，建立空间直角 坐标系，则根据题意得
4 M 3，0，3 ，
2 N(0,2,2)，R(3,2,0)，S0，4，3.
2 2 ∴ MN ＝－3，2，3， RS ＝－3，2，3， MN ＝ RS . ∴ MN ∥ RS .
一点及其法向量确定，因此可利用直线的方向向量与平
高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》(2.3)ppt课件
3.2.3 空间的角的计算
5
[预习导引]
1.两条异面直线所成的角
(1)定义：设a、b是两条异面直线，过空间任一点O作直线
a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b
所成的角. (2)范围：两条异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤π2.
(3)向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，
1234
2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的 正弦值为________.
解析 建系如图，设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，
A(1,0,0)， ∴B→C1＝(－1,0,1)，A→C1＝(－1,1,1)，A→1B＝(0,1，－1)，
则a，b所成角的余弦值为cos θ＝|cos φ|＝|a|a|··b|b||.
3.2.3 空间的角的计算
6
2.直线与平面所成的角
(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面
内的射影所成的角. (2)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是0≤θ≤π2.
(3)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，
3.2.3 空间的角的计算
34
1234
∴A→B1＝ 26， 22，－1，C→1B＝ 26，－ 22，1， ∴A→B1·C→1B＝64－24－1＝0，∴A→B1⊥C→1B. 即AB1与C1B所成角的大小为90°. 答案 90°
3.2.3 空间的角的计算
35
1234
4.如图，在三棱锥V-ABC中，顶点C在空间直角 坐标系的原点处，顶点A、B、V分别在x、y、z 轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2， ∠VDC＝θ.当θ＝π3 时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值. 解 由于AC＝BC＝2，D是AB的中点， 所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).
2.1从平面向量到空间向量课件(北师大版高中数学选修2-1)
例3 对空间任意一点O和不共线的三点 A、B、C，试问满足向量关系式 OP xOA yOB zOC （其中
x y z 1 ）的四点P、A、B、
C是否共面？
例4
已知A、B、M三点不共线，对于平面
ABM外的任一点O，确定在下列各条件下， 点P是否与A、B、M一定共面？
2.共面向量定理:如果两个向量
p与向量 不共线,则向量
a ,b
a , 共面的充要 b 条件是存在实数对 x, y使 P xa yb
B b M a A
p
A
P
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充要
条件是存在有序实数对x,y使 MP xMA yMB 或对空间任一点O,有 OP OM xMA yMB
向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量 叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线. 量 使 的充要条件是存在实数λ a, b(b o), a // b a b
2.共线向量定理:对空间任意两个向
a 知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在 直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式 l a OP=OA+t 其中向量a叫做直线的方向向量.
A E B C
D
(1) AC x( AB BC CC )
' '
(2) AE AA x AB y AD
'
A
D C
B
练习
A
在立方体AC1中,点E是面A’C’ 的中心,求下 列各式中的x,y. ' D ( 2) AE AA x AB y AD
高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》(2.1)ppt课件
15
A→E·D→1F＝(0,1，12)·(0，12，－1)＝0， 所以A→D⊥D→1F，A→E⊥D→1F，又 AD∩AE＝A， 所以D→1F⊥平面 ADE， 从而D→1F是平面 ADE 的法向量.
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
16
规律方法 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的 数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直 相同，区别在于必须证明两个线线垂直.
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
27
谢谢欣赏！
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
23
课堂小结 1.直线的方向向量的应用 利用方向向量可以确定空间中的直线.若有直线 l，点 A 为直线上的 点，向量 a 是 l 的方向向量，在直线 l 上取A→B＝a，则对于直线 l 上任意一点 P，一定存在实数 t，使A→P＝tA→B，这样，点 A 和向量 a 不仅可以确定直线 l 的位置还可以具体地表示出直线 l 上的任意点.
y 轴，z 轴的正方向建立如图所示坐标系，
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
12
则 A(0,0,0)，D(12，0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，
A→D＝(12，0,0)是平面 SBA 的法向量， 设平面 SCD 的法向量 n＝(1，λ，u)，有 n⊥D→C，n⊥D→S，
则 n·D→C＝(1，λ，u)·(12，1,0)＝21＋λ＝0，∴λ＝－12. n·D→S＝(1，λ，u)·(－21，0,1)＝－12＋u＝0， ∴u＝12，∴n＝(1，－21，21).
高中数学人教A版选修2-1 空间向量运算的坐标表示 课件(25张)
合作探究
探索性质
(a b) c a c b c 当向量 a, b, c 不共面时， （分配律）还成立吗？若成立，你能 给出证明吗？ 独立思考
合作交流
自我展示
学生出现的问题
向量相等 向量投影
平面辅助
问题三：
利用空间向量数量积可以解决立体 几何中的哪些问题？
注重
激发
学情分析
有利条件：有平面向量的相关知识作为基础， 有将向量线性运算推广到空间的经验，有较 强的观察及形象思维能力 不利条件：空间想象能力、转化化归能力 不足，缺乏对数形结合思想的引用意识
重点与难点
空间两个向量数量积的计算方 法及其应用（类比思想方法的 应用）
重点
如何将立体几何问题转化为向量 难点 的计算问题（数形结合及转化思 想方法的应用）
m g
m
按如下过程引导学生思考：
（1）如何把已知的几何条件转化为向量表示
（2）考虑未知向量能否用基向量或已知向量 表示 （3）如何对已经表示出来的向量进行运算， 获得需要的结论
回顾小结 整体感知 本节课学习了哪些数学知识？ 体现了怎样的数学思想和数学方法？
课后作业 巩固延伸
1.课本P 2、 3 92练习 2.阅读课本P 99阅读与思考：《向量概念的推广与应用》
引导者
教学过程分析
教 学 流 程
合作探究 探索性质 创设情境 形成概念
课后作业 巩固延伸
回顾小结 整体感知 初步应用 体会方法
问题一：
创设情境
形成概念
已知正方体ABCD A1B1C1D1 D1 中，E为DD 的中点， 1 A1 如何确定 AA1与CE的夹角？ E
类比平面向量相关知识，归纳得出
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、利用向量法确定直线、平面间的平行、 垂直位置关系
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置关系， 所以可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直 线与平面间的平行、垂直位置关系．
二、利用向量求空间距离、空间角
点到直线、点到平面的距离问题以及直线与直线、直线与平面、 平面与平面之间的夹角问题是立体几何研究的重要问题． 我们可以把点、直线、平面用向量表示，然后利用向量的运算 (特别是数量积)解决点、直线、平面之间的夹角与长度等问题
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in g听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal