人教版-空间向量及其运算ppt完美课件完美版2
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1.1空间向量及其运算课件(人教版)
空间向量数量积的直接计 算
空间向量的数量 积
A
8.用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的 一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 （三垂线定理）
空间向量及其运算总结
加法
减法
线
性
加法运算律
运
算 数乘
数乘运算律
分配律 结合律
b+a a+(b+c)
相同 相反
空间向量及其运算总结
空
共线(平行)向量
间
表示空间向量的有向线段所
向 定义 在的直线互__相___平__行__或__重___合_，
量
则这些向量叫做共__线___向__量__或
共
平行向量
线
、 充要 共 条件 面
共面向量
平行于_同__一__个__平___面_的向 量叫做共面向量
空间向量及其运算总结
数乘向量与数量积的结合
共线(平行)向量
定义
充要 条件
互相平行或重合 共线向量
方向向量：
空间向量的共线与共面
共面向量 定义 平行于_同__一__个___平__面___的向
量叫做共面向量
充 要 条 件
此知识点可用来证明四 点共面，即通过证明三 个向量共面证明四点共 面
1.举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实 例. 一间教室的三面墙，每个平面取一个向
量
（1）根据向量加法的首尾相连法则，x=1 ；
共线与共面向量基本定 理
空间向量的共线定理与共 面
空间向量的夹角
定义：
夹角范围：
空间向量的数量积及运算律
定义：
运算律： 交换律 分配律
数量积的性 质
1.1.1空间向量及其线性运算课件(人教版)(2)
的想法是，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量
表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决
立体几何问题.
在本章，我们就来研究这些问题.
情景引入
引例1
这是一个做滑翔
伞运动的场景.你能
想象,在滑翔过程中,
飞行员会受到来自哪
些不同方向、大小各
异的力吗？
这是一个做滑翔
伞运动的场景.可以
若 0， a与a的方向相反；
若 0， a 0.
空间向量
实数与空间向量a的积
是一个向量，记作 a，
其长度和方向规定如下：
（1） a a
（2）若 0, a与a的方向相同；
若 0， a与a的方向相反；
若 0， a 0.
2. 空间向量的线性运算
人教A版202X高中数学选择性必修第一册
第一章 空间向量与立体几何
1.1.1 空间向量及其线性运算
星
学习目标
（1）经历向量及其运算由平面空间推广的过程，了解空间向量的
概念，发展数学抽象素养；
（2）掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；
（3）掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；
（4）借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.
反过来，a与b有什么位置关系时，a=λb？
对任意两个空间向量a, b（b 0）
, a / / b 存在实数，使a b
a
l
P
O
O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行
的非零向量称为直线l的方向向量
对于直线l上任意一点P，由向量共线的充要条件可知，存在唯一确
定的实数，使得 OP a . 也就是说，直线可以由其上一点和它的
表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决
立体几何问题.
在本章，我们就来研究这些问题.
情景引入
引例1
这是一个做滑翔
伞运动的场景.你能
想象,在滑翔过程中,
飞行员会受到来自哪
些不同方向、大小各
异的力吗？
这是一个做滑翔
伞运动的场景.可以
若 0， a与a的方向相反；
若 0， a 0.
空间向量
实数与空间向量a的积
是一个向量，记作 a，
其长度和方向规定如下：
（1） a a
（2）若 0, a与a的方向相同；
若 0， a与a的方向相反；
若 0， a 0.
2. 空间向量的线性运算
人教A版202X高中数学选择性必修第一册
第一章 空间向量与立体几何
1.1.1 空间向量及其线性运算
星
学习目标
（1）经历向量及其运算由平面空间推广的过程，了解空间向量的
概念，发展数学抽象素养；
（2）掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；
（3）掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；
（4）借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.
反过来，a与b有什么位置关系时，a=λb？
对任意两个空间向量a, b（b 0）
, a / / b 存在实数，使a b
a
l
P
O
O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行
的非零向量称为直线l的方向向量
对于直线l上任意一点P，由向量共线的充要条件可知，存在唯一确
定的实数，使得 OP a . 也就是说，直线可以由其上一点和它的
第八章第五节空间向量的运算及应用课件共60张PPT
A．－12 a＋12 b＋c
B．12 a＋12 b＋c
C．－12 a－12 b＋c
D．12 a－12 b＋c
A
→ [BM
＝BB1＋B1M＝AA1＋12
→ (AD
－A→B
)＝c＋12
(b－a)＝－12
a＋12
b＋c.]
4．若平面 α 的一个法向量为 u1＝(－3，y，2)，平面 β 的一个法向量为 u2＝(6，－2，z)，且 α∥β，则 y＋z＝________．
向量的基本定理及其意义，掌握空间 小问．
向量的正交分解及其坐标表示． 学科素养： 逻辑推理、数学运算．
课程标准
考向预测
3．掌握空间向量的线性运算及其坐 考情分析： 本节主要考查空间向量
标表示． 的线性运算、数量积及其坐标运算，
4．掌握空间向量的数量积及其坐标 利用空间向量证明空间中的平行与
表示，能运用向量的数量积判断向量 垂直关系，多出现在解答题中的第一
解析： (1)由题意可知，A→B ＝O→B －O→A ＝a＋2b，A→C ＝O→C －O→A ＝
－a－2b，∴A→B ＝－A→C ，又A→B ，A→C 有公共点，∴A，B，C 三点共线．
(2)∵A→M ＝kAC1，B→N ＝kB→C ，∴M→N ＝M→A ＋A→B ＋B→N ＝kC1A＋A→B
＋
→ k BC
－4)，点 E，F 分别为线段 BC，AD 的中点，则E→F 的坐标为( )
A．(2，3，3)
B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2，1)
D．(－5，2，－1)
B [因为点 E，F 分别为线段 BC，AD 的中点．设 O 为坐标原点，所以E→F
＝O→F
－O→E
1.1空间向量及其运算课件(人教版)
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
运算 减法:三角形法则
具有大小和方向的量
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
加法交换律 a b b a 加法结合律 (a b) c a (b c)
课本P106习题3.1， A组 第1题（1）、（2）
空间向量及其运算
一块均匀的正三角形的钢板所受重力为
500N，在它的顶点处罚别受力F1，F2，F3， 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹
角都是60度，且| F1|=|F2|=|F3|=200N，这块 钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三
个力至少多大时，才能提起这块钢板？
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
（1）CB BA1
（2）AC （3）AA1
CB
AC
AA1
CB
3．已知空间四边形 ABCD，连结 AC, BD，设
M ,G分别是 BC,CD 的中点，
化简下列各表达式，并标出化简结果向量：
（1）AB BC CD
（2）AB BD GC
（3）CM DG GA
B
D
M
G
C
小结
类比思想 数形结合思想
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC (2) AB AD AA1
D1 A1
C1 B1
D A
C B
1．课本P92练习1-3
2．如图，在三棱柱 ABC A1B1C中1 ，M是 BB1 的中点，化简下列各式， 并在图中标出化简得到的向量：
1.1.1空间向量及其线性运算课件(人教版)(2)
= ′
∴a+(b+c)=(a+b)+c
问题：如何证明空间向量加法结合律？
结论：一般地，对于三个不共
面的向量a，b，c，以点O为起
点，a，b，c为邻边做平行六面
体，则a，b，c的和等于以O为
起点的平行六面体的体对角线
所示的向量。
【 探 究 】 如图， 在平 行六 面体 ABCD ABCD 中 ，分 别标 出
B
b
O
A
a
• 任意两个空间向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两向量
• 空间任意两个向量都是共面的
• 由于空间任意两个向量都可以转化为同一个平面内的向量，所以凡涉及
空间两个向量的问题，平面向量中的有关结论仍适用于它们.
练习: 给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；
（2）若空间向量
教学重点：
空间向量的线性运算和运算律.
教学难点：
共线向量定理及共面向量定理.
情景引入
这是一个做滑翔伞运动
的场景.可以想象,在滑翔过
程中,飞行员会受到来自不同
方向、大小各异的力.显然这
些力不在同一个平面内.这就
是我们今天要学习的空间向
量.
新课讲授
空间向量的有关概念
空间向量是平面向量的推广，其表示
方法以及一些相关概念与平面向量一致。
= k( AB + AD )= k( OB - OA+ OD - OA )
= OF - OE +OH - OE = EF + EH .
由向量共面的充要条件可知，
EH ,EF ,EG 共面，
又 EH ,EF ,EG过同一点E，从而E,F,G,H 四点共面.
∴a+(b+c)=(a+b)+c
问题：如何证明空间向量加法结合律？
结论：一般地，对于三个不共
面的向量a，b，c，以点O为起
点，a，b，c为邻边做平行六面
体，则a，b，c的和等于以O为
起点的平行六面体的体对角线
所示的向量。
【 探 究 】 如图， 在平 行六 面体 ABCD ABCD 中 ，分 别标 出
B
b
O
A
a
• 任意两个空间向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两向量
• 空间任意两个向量都是共面的
• 由于空间任意两个向量都可以转化为同一个平面内的向量，所以凡涉及
空间两个向量的问题，平面向量中的有关结论仍适用于它们.
练习: 给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；
（2）若空间向量
教学重点：
空间向量的线性运算和运算律.
教学难点：
共线向量定理及共面向量定理.
情景引入
这是一个做滑翔伞运动
的场景.可以想象,在滑翔过
程中,飞行员会受到来自不同
方向、大小各异的力.显然这
些力不在同一个平面内.这就
是我们今天要学习的空间向
量.
新课讲授
空间向量的有关概念
空间向量是平面向量的推广，其表示
方法以及一些相关概念与平面向量一致。
= k( AB + AD )= k( OB - OA+ OD - OA )
= OF - OE +OH - OE = EF + EH .
由向量共面的充要条件可知，
EH ,EF ,EG 共面，
又 EH ,EF ,EG过同一点E，从而E,F,G,H 四点共面.
数学人教A版选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算共20张ppt
ab
c
一.空间向量的概念
相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量， 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过 平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不 共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空问向量都可以平移到同一个 平面内，成为同一平面内的两个向量。
一.空间向量的概念
空间中具有大小和方向的量叫做空间向量， 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向线段表示， 有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B， 则a也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.
A
a B A
C
O
B
一.空间向量的概念
特殊向量
A 零向量：规定长度为0的向量叫零向量，
A1A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An 1
An A2
A3
A4
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终 点的向量．
二.空间向量的线性运算
在空间中，任意两个向量都可以平 移到同一个平面内，所以空间向量的 加法和减法运算与平面向量相同.
（2）空间向量的减法运算： AB OB OA
注：起点相同，差向量为减向量终点指向被减向量的终点
二.空间向量的线性运算
数乘运算
实数与向量a的积是一个向量，这种 运算叫向量的数乘 . 记作 a，它的长度和方向规定 如下： (1) a a ; (2)当 0时， a的方向与a的方向相同；
当 0时， a的方向与a的方向相反； 当 0时， a 0.
向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算.
空间向量及其运算(共22张PPT)
向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
空间向量及其运算 PPT课件
b
③ (a b) c a (b c)
典例
例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
已知:如图, PO, PA 分别是平面 的垂线、斜 线，AO 是 PA在平面 内的射影，l ，且 l OA.
求证： l PA.
P
OO A a
l
典例
例2 已知直线m, n是平面内的两条相交直线, 如果 l m, l n,求证 : l .
a b | a || b | cos a,b
注：①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积都等于零.
特别地，a a a a cos a, a a 2 . 即：a a2 a b ab 0
ab a b
思考
a b 类似平面向量，你能说出 的几何意义吗？
数量积 a b 等于a 的长度 a 与b 在a
结论：空间任意两个向量都是共面的， 所以它们可用同一平面内的两条有向 线段表示
向量的加法和减法运算
C
B
a b
b
ab
O
a
A
OB OA AB a b,
CA OA OC a b.
空间向量的加法运算律
（1）交换律
a b b a,
（2）结合律
(a b) c a (b c).
练习
例.如图，已知平行四边 ABCD，过平面AC外一点O 作射线OA、OB、OC、OD， 在四条射线上分别取点E、F、 G、H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
求证：四点E、F、G、H
共面。
E
O
DC
A
B
H
G
F
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A1B1C1D1中，设AA 1 =aA，B =bA，D =c，
M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点， 试用a，b，c表示以下各向量： （1）AP ；（2） A1 N ；（3）MP NC1. 思维启迪 根据空间向量加减法及数乘运算的法
则和运算律即可.
人教版-空间向量及其运算ppt完美课 件完美 版2
解 (1)ABADAC, A1O12AB12ADA1O12(ABAD) A1O12ACA1OAOA1A.
论 在l上取 ＝a，则①可化为
＝
或
＝ (1 t ) OA t OB ,
定理
内容
定 如果两个向量a、b不共线 ，则向量p与向量a、b共 理 面的充要条件是存在实数对x、y，使 p＝x a＋y b． 共面
向量 空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序 定理 推 实数对x、y，使
论 或对空间任一点O，有
人教版-空间向量及其运算ppt完美课 件完美 版2
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探究提高 用已知向量来表示未知向量，一定要结 合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解 向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接 的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末 尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向 量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三 角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍 然成立.
或 OP x OM y OA z OB , 其中x+y+z=1.
定理
内容
空间
如果向量 e1，e2，e3 是空间三个不共面的向量，a
向量 定 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数 λ1，λ2，
基本 理 λ3 使得 a＝ λ1e1＋λ2e2＋λ3e3 ，其中 e1，e2，e3 叫
定理 作空间的一个基底．
(3)
M
是
AA
的中点
1
,
MP
MA
AP
1 2
A1 A
AP
1 a (a c 1 b) 1 a 1 b c,
2
2 22
又 NC 1 NC
CC
1
1 2
BC
AA 1
1 AD 2
AA
1
1c 2
a,
MP
NC
1
(1 2
a
1 2
b
c)
(a
1 c) 2
3 a 1 b 3 c. 222
人教版-空间向量及其运算ppt完美课 件完美 版2
三、向量的线性运算 1．空间向量的加法和减法 类似于平面向量，我们可以定义空间C
D
CO AO
人教版-空间向量及其运算ppt完美课 件完美 版2
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2．空间向量的数乘
若 OP xOA yOB zO（C其中x、y、z∈R）,则P、 A、B、C四点共面.其中不正确命题的个数是
A.1
B.2
C.3
(C ) D.4
人教版-空间向量及其运算ppt完美课 件完美 版2
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题型分类
深度剖析
题型一 空间向量的线性运算
【例1】如图所示，在平行六面体ABCD-
❖ 贵溪市实验中学 鲁珺
要点梳理
一、空间向量的有关概念
名称
定义
在空间中，具有 和
的量叫做空
空间向量 间向量，其大小叫做向量的 长度或 模
大小 方向
单位向量
长度或模为 的向量
零向量 相等向量 相反向量
的向量 1
方向 且模模为0 的向量
方向 相相反同且 模 相相等等的向量
名称
定义
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行
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变式1 如图，在长方体ABCD—A1B1 C1D1中，O为AC的中点.
((2 1))设 化E 简是 ：A1D O棱 1 上 12D AB12的 ,且 AD D; 点 E 3 2D1,D
、、 若 E O x A B y A D zA 1 ,试 Ax求 y z 的 .
人教版-空间向量及其运算ppt完美课 件完美 版2
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2.下列命题：
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有ABBC
CDDA0;
②|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件；
③若a、b共线，则a与b所在直线平行；
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，
1.下列命题中是真命题的是( D ) A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是 异面直线，则这两个向量不是共面向量 B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等且方向相同或 相反 C.若向量 AB ，CD 满足 | AB||CD|, 且 AB 与 CD 同向，则 AB > CD D.若两个非零向量 AB 与 CD 满足 AB + CD =0， 则 AB ∥ CD
实数λ与空间向量a的乘积 λa 仍然是一个向量，
称为
数乘 ．
当λ＞0时，λa与a方向 相同
；当λ＜0时，
λa与a方向
相反 ；λa的长度是a的长度的|λ|
倍．
人教版-空间向量及其运算ppt完美课 件完美 版2
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3．线性运算的运算律
(1)加法交换律： a＋b＝b＋a
共线
或重合 ，则称这些向量叫做共线向量或平行向量 ，
向量
a平行于b记作
a∥b
共面 向量
平行于同一 平面 的向量叫做共面向量
二、空间向量中的有关定理
定理
内容
定 理
对于空间任意两个向量a，b，a∥b的充
要条件是存在实数λ，使 a=λb (b≠0).
如图所示，点P在l上的充要条
共线 向量
件是：
①其中
定理 推 a叫做直线l的方向向量，t∈R，
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解 （1）∵P是C1D1的中点，
1 APAA 1A1D1D1PaAD2D1C1
ac1ABac1b
2
2
(2)N是BC的中点 ,
A1N
A1A
AB
BN
a
b
1 2
BC
ab1 ADab1c.
2
2
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；
(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
(3)数乘分配律： λ(a＋b)＝λa＋λb ；
(4)向量对实数加法的分配律：
a(λ＋μ)＝λa＋μa
；
(5)数乘向量的结合律： λ(μa)＝(λμ)a .
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基础自测 人教版-空间向量及其运算ppt完美课件完美版2
M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点， 试用a，b，c表示以下各向量： （1）AP ；（2） A1 N ；（3）MP NC1. 思维启迪 根据空间向量加减法及数乘运算的法
则和运算律即可.
人教版-空间向量及其运算ppt完美课 件完美 版2
解 (1)ABADAC, A1O12AB12ADA1O12(ABAD) A1O12ACA1OAOA1A.
论 在l上取 ＝a，则①可化为
＝
或
＝ (1 t ) OA t OB ,
定理
内容
定 如果两个向量a、b不共线 ，则向量p与向量a、b共 理 面的充要条件是存在实数对x、y，使 p＝x a＋y b． 共面
向量 空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序 定理 推 实数对x、y，使
论 或对空间任一点O，有
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探究提高 用已知向量来表示未知向量，一定要结 合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解 向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接 的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末 尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向 量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三 角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍 然成立.
或 OP x OM y OA z OB , 其中x+y+z=1.
定理
内容
空间
如果向量 e1，e2，e3 是空间三个不共面的向量，a
向量 定 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数 λ1，λ2，
基本 理 λ3 使得 a＝ λ1e1＋λ2e2＋λ3e3 ，其中 e1，e2，e3 叫
定理 作空间的一个基底．
(3)
M
是
AA
的中点
1
,
MP
MA
AP
1 2
A1 A
AP
1 a (a c 1 b) 1 a 1 b c,
2
2 22
又 NC 1 NC
CC
1
1 2
BC
AA 1
1 AD 2
AA
1
1c 2
a,
MP
NC
1
(1 2
a
1 2
b
c)
(a
1 c) 2
3 a 1 b 3 c. 222
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三、向量的线性运算 1．空间向量的加法和减法 类似于平面向量，我们可以定义空间C
D
CO AO
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2．空间向量的数乘
若 OP xOA yOB zO（C其中x、y、z∈R）,则P、 A、B、C四点共面.其中不正确命题的个数是
A.1
B.2
C.3
(C ) D.4
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题型分类
深度剖析
题型一 空间向量的线性运算
【例1】如图所示，在平行六面体ABCD-
❖ 贵溪市实验中学 鲁珺
要点梳理
一、空间向量的有关概念
名称
定义
在空间中，具有 和
的量叫做空
空间向量 间向量，其大小叫做向量的 长度或 模
大小 方向
单位向量
长度或模为 的向量
零向量 相等向量 相反向量
的向量 1
方向 且模模为0 的向量
方向 相相反同且 模 相相等等的向量
名称
定义
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行
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变式1 如图，在长方体ABCD—A1B1 C1D1中，O为AC的中点.
((2 1))设 化E 简是 ：A1D O棱 1 上 12D AB12的 ,且 AD D; 点 E 3 2D1,D
、、 若 E O x A B y A D zA 1 ,试 Ax求 y z 的 .
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2.下列命题：
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有ABBC
CDDA0;
②|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件；
③若a、b共线，则a与b所在直线平行；
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，
1.下列命题中是真命题的是( D ) A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是 异面直线，则这两个向量不是共面向量 B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等且方向相同或 相反 C.若向量 AB ，CD 满足 | AB||CD|, 且 AB 与 CD 同向，则 AB > CD D.若两个非零向量 AB 与 CD 满足 AB + CD =0， 则 AB ∥ CD
实数λ与空间向量a的乘积 λa 仍然是一个向量，
称为
数乘 ．
当λ＞0时，λa与a方向 相同
；当λ＜0时，
λa与a方向
相反 ；λa的长度是a的长度的|λ|
倍．
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3．线性运算的运算律
(1)加法交换律： a＋b＝b＋a
共线
或重合 ，则称这些向量叫做共线向量或平行向量 ，
向量
a平行于b记作
a∥b
共面 向量
平行于同一 平面 的向量叫做共面向量
二、空间向量中的有关定理
定理
内容
定 理
对于空间任意两个向量a，b，a∥b的充
要条件是存在实数λ，使 a=λb (b≠0).
如图所示，点P在l上的充要条
共线 向量
件是：
①其中
定理 推 a叫做直线l的方向向量，t∈R，
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解 （1）∵P是C1D1的中点，
1 APAA 1A1D1D1PaAD2D1C1
ac1ABac1b
2
2
(2)N是BC的中点 ,
A1N
A1A
AB
BN
a
b
1 2
BC
ab1 ADab1c.
2
2
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；
(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
(3)数乘分配律： λ(a＋b)＝λa＋λb ；
(4)向量对实数加法的分配律：
a(λ＋μ)＝λa＋μa
；
(5)数乘向量的结合律： λ(μa)＝(λμ)a .
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基础自测 人教版-空间向量及其运算ppt完美课件完美版2