第01课时不等式的性质(1)
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第1讲1第1课时不等式的基本性质课件人教新课标
即 cd ＞0， 所以acdd＞－0bc＞0， 或acdd＜－0b，c＜0， 即ad＞bc且cd＞0或ad＜bc且cd＜0.
解答
(4)设 a，b 为正实数，若 a－1a＜b－1b，则 a＜b. 解 正确. 因为 a－1a＜b－1b，且 a＞0，b＞0， 所以a2b－b＜ab2－a⇒a2b－ab2－b＋a＜0⇒ab(a－b)＋(a－b)＜0⇒(a－ b)(ab＋1)＜0， 所以a－b＜0，即a＜b.
本课结束
a－b 所以bb＋1＞0， 所以ab＞ab＋＋11.
解答
(2)已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小.
解 x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1)x－122＋34， 因为x＞1，所以x－1＞0. 又因为x－122＋34＞0， 所以(x－1)x－122＋34＞0， 所以x3－1＞2x2－2x.
证明
反思与感悟 进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等 式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需 要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的 充分条件.
跟踪训练 3 已知 a＞0，b＞0，求证：ba2＋ab2≥a＋b. 证明 ba2＋ab2－(a＋b)＝ba2－a＋ab2－b
_a_b_≠_1_或__a_≠_－__2____.
解析 ∵x＞y， ∴x－y＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a) ＝a2b2－2ab＋a2＋4a＋5 ＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0， ∴ab≠1或a≠－2.
12345
解析 答案
规律与方法
1.不等式的基本性质是不等式变形的根据，每一步变形都要做到有根有据， 严格按照不等式的性质进行. 2.作差法比较大小的基本步骤：作差——变形——与0比较——总结.其关 键是将“差”式变成“积”式，方便与0比较. 3.不等式的证明实质就是根据性质把不等式进行恰当变形，在变形过程中 一定要注意不等式成立的条件.
解答
(4)设 a，b 为正实数，若 a－1a＜b－1b，则 a＜b. 解 正确. 因为 a－1a＜b－1b，且 a＞0，b＞0， 所以a2b－b＜ab2－a⇒a2b－ab2－b＋a＜0⇒ab(a－b)＋(a－b)＜0⇒(a－ b)(ab＋1)＜0， 所以a－b＜0，即a＜b.
本课结束
a－b 所以bb＋1＞0， 所以ab＞ab＋＋11.
解答
(2)已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小.
解 x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1)x－122＋34， 因为x＞1，所以x－1＞0. 又因为x－122＋34＞0， 所以(x－1)x－122＋34＞0， 所以x3－1＞2x2－2x.
证明
反思与感悟 进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等 式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需 要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的 充分条件.
跟踪训练 3 已知 a＞0，b＞0，求证：ba2＋ab2≥a＋b. 证明 ba2＋ab2－(a＋b)＝ba2－a＋ab2－b
_a_b_≠_1_或__a_≠_－__2____.
解析 ∵x＞y， ∴x－y＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a) ＝a2b2－2ab＋a2＋4a＋5 ＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0， ∴ab≠1或a≠－2.
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解析 答案
规律与方法
1.不等式的基本性质是不等式变形的根据，每一步变形都要做到有根有据， 严格按照不等式的性质进行. 2.作差法比较大小的基本步骤：作差——变形——与0比较——总结.其关 键是将“差”式变成“积”式，方便与0比较. 3.不等式的证明实质就是根据性质把不等式进行恰当变形，在变形过程中 一定要注意不等式成立的条件.
3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)
思考？
从上述事实出发，你认为可以用什么方法
比较两个实数的大小？
要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比
较它们的差a - b 与0的大小。在这里，0为实数
比较大小提供了“标杆”。
例1、试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小 2 4 3 4
• 解： (2x +1) - (2x +x ) = 2x +1 - 2x3 _ x2 • = (2x4 - 2x3 )- (x2 -1) • = 2x3 (x -1) - (x -1) (x +1) • = (x－1) [2x3 - (x +1) ] • = (x－1)[(2x3－2x2) + (2x2－2x) + (x－1)] • = (x -1)2 (2x2 + 2x + 1) • = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • 技能： • 分组组合；添项、拆项；配方法。
练习
比较x2+y2与xy+x+y-1的大小．
【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤 是：作差——变形——判断符号．常见的变形 手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果 是常数、若干个因式的积或完全平方式等.
• 例2、比较
练习题
• 1. 已知 x≠0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4的大小.
2.
0
基本理论
Ｘ
• 1.实数在数轴上的性质:
• 研究不等式的出发点是实数的大小关系。数 轴上的点与实数1-1对应，因此可以利用数 轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
Ａ a a<b
不等式的性质优秀课件
旧知回顾
等式的性质：
性质1：在等式两边都加上（或减去）同一个数或（式子），结果仍相等。
符号表示 如果a=b，那么a±c=b±c
性质2：在等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0），结果仍相等。
ab
符号表示 如果a=b,那么ac=bc或 =
（c≠0）
cc
（1）x+3＞6 （2）2x＜8 （3）x-2＞0
练习：设x＞y，用“＞”或“＜”填空 （1）2x+1＿2y+1 （2）-3x-1＿-3y-1
讨论：利用不等式的性质把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式.
x-3＞5
x - 3 + 3＞5 + 3
x＞8
练习：（1） 2x＜6
2x ÷2＜6 ÷2
x＜3
（2）-4x＞3 -4x÷-4＜3÷-4 x＜-¾
课堂小结： 本节课你的收获是什么？
不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的
方向改变.
ab
符号表示 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或 c ＜ c ）.
思考：比较上面的性质2和性质3，指出它们有什么
区别.
例1、如果a＞b，用“＞”或“＜”填空 （1）a-3＿b-3（不等式性质＿） （2）2+a＿2+b（不等式性质＿） （3）-3a＿-3b（不等式性质＿） （4）6a＿6b（不等式性质＿） （5）a÷3＿b÷3（不等式性质＿） （6）1-a＿1-b（不等式性质＿＿）
9.1.2不等式的性质学源自目标：1. 理解不等式的性质 2.能正确地运用不等式的基本性质来解题。
1、用“＞”或“＜”填空，并总结其中的规律 （1）5＞3，5+2 ＞＿ 3+2，5-2 ＞＿ 3-2；
等式的性质：
性质1：在等式两边都加上（或减去）同一个数或（式子），结果仍相等。
符号表示 如果a=b，那么a±c=b±c
性质2：在等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0），结果仍相等。
ab
符号表示 如果a=b,那么ac=bc或 =
（c≠0）
cc
（1）x+3＞6 （2）2x＜8 （3）x-2＞0
练习：设x＞y，用“＞”或“＜”填空 （1）2x+1＿2y+1 （2）-3x-1＿-3y-1
讨论：利用不等式的性质把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式.
x-3＞5
x - 3 + 3＞5 + 3
x＞8
练习：（1） 2x＜6
2x ÷2＜6 ÷2
x＜3
（2）-4x＞3 -4x÷-4＜3÷-4 x＜-¾
课堂小结： 本节课你的收获是什么？
不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的
方向改变.
ab
符号表示 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或 c ＜ c ）.
思考：比较上面的性质2和性质3，指出它们有什么
区别.
例1、如果a＞b，用“＞”或“＜”填空 （1）a-3＿b-3（不等式性质＿） （2）2+a＿2+b（不等式性质＿） （3）-3a＿-3b（不等式性质＿） （4）6a＿6b（不等式性质＿） （5）a÷3＿b÷3（不等式性质＿） （6）1-a＿1-b（不等式性质＿＿）
9.1.2不等式的性质学源自目标：1. 理解不等式的性质 2.能正确地运用不等式的基本性质来解题。
1、用“＞”或“＜”填空，并总结其中的规律 （1）5＞3，5+2 ＞＿ 3+2，5-2 ＞＿ 3-2；
八年级数学-9.1.2_第1课时_不等式的性质
一、要点探究探究点1：不等式的性质1 问题1：比较-3与-5的大小.问题2：-3+2 -5+2；-3-2 -5-2. 问题3：由问题2，你能得到什么结论？问题4：3 5；3+a 5+a ；3-a 5-a. 问题5：由问题4，你能得到什么结论？问题6：根据以上探究，你能得出不等式有什么性质？(1)若x ＋3＞6，则x______3，根据______________； (2)若a －2＜3，则a______5，根据____________．探究点2：不等式的性质2、3 问题1：比较-4与6的大小.问题2：-4×2______6×2；-4÷2______6÷2 问题3：由问题2，你能得到什么结论？问题4：4 -8；4×（-4） -8×（-4）；4×（-4） -8×（-4）.】问题5：由问题4，你能得到什么结论？问题6：如何用符号语言表示问题3和问题5下的结论？”或“<”填空：（1）已知 a>b ，则3a 3b ； （2）已知 a>b ，则-a -b . （3）已知 a<b ，则2_____ 2.33a b-+-+ .（1） a - 7____b - 7；（2） a ÷6____b ÷6； （3） 0.1a____0.1b;（4） -4a____-4b ； （5） 2a+3____2b+3;（6）(m 2+1)a____ (m 2+1)b(m 为常数) 2.已知a ＜0，用“＜”“＞”填空： (1)a+2 ____2； (2)a-1 _____-1； (3)3a______0； (4)4a______0;(5)a 2_____0; (6)a 3______0; (7)a-1_____0； (8)|a|______0．（1）a +12 b +12 ； （2）b-10 a -10 .2. 把下列不等式化为x>a 或x<a 的形式： （1）5＞3+x ； （2）2x ＜x+6.3.利用不等式的性质解下列不等式,并在数轴上表示其解集． (1)x-5 > -1； (2)-2x > 3； (3)7x < 6x-6.“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！/。
不等式的性质(第1课时)优课教学课件
(3) 4a < 4b；
(4) a > b ；
2
2
(5) 1.5a 1 < 1.5b 1；
学生活动;（1）-（4）学生独立完成，（5）小组讨论
第三步：分层提高
2.用“>,<”填空，并说明依据不等式的哪条性质
< (1) 若a 3 9，则 a 12；
> (2) 若 1 a 1，则 a
4；
4
3+2 ；
5-2
3-2 .
-1-3
3-3 .
第二步：互助探究：
用“＜”或“＞”填空，猜想其中的规律。
（1）5 > 3 ；
（2）-1 < 3 ；
5+2 > 3+2 ； 5-2 > 3-2 .
-1+2 < 3+2 ； -1-3 < 3-3 .
不等式的性质1: 不等式两边加(或减)同一个数 （式子），不等号的方向不变。
9.1.1 不等式的性质 （第1课时）
学习目标
经历通过类比，猜想，验证，归纳发现 不等式性质的探索过程，掌握不等式的性 质。
第一步：回顾旧知
➢问题1：请直接说出下列不等式的解集
x 3 6 2x 8 x 2 0
➢问题2：你还能直接说出下面不等式的解集吗？
2x x 1 32
第一步：回顾旧知
“<”
(1)若a>b,则2a+1 > 2b+1; (2)若-1.25y<10,则y > -8; (3)若a<b,且c>0,则ac+c < bc+c; (4)若a>0,b<0,c<0,则(a-b)c < 0.
不等式的性质PPT教学课件
例题解析
【解析】氢氧化钠（NaOH），俗称烧碱、火碱、 苛性钠，常温下是一种白色晶体，具有强腐蚀 性．易吸收空气中的水分易潮解可用作干燥剂和易 与空气中二氧化碳反应生成碳酸钠故密封干燥保 存．易溶于水，其水溶液呈强碱性，能使酚酞变红； 使紫色石蕊试液变蓝．由以上所知道的内容可判断 选项A、C、D错误。 故选B。
知识回顾
知识点2 稀酸的化学性质 1.酸与指示剂的反应
稀盐酸 稀硫酸
紫色石蕊溶液 变红色 变红色
2.酸与较活泼金属的反应
无色酚酞溶液 不变色 不变色
实验内容
现象
将镁、锌、 有气泡产生， 铁铝分别与 反应速率：镁 稀盐酸反应 ＞铝＞锌＞铁
化学方程式 ①Zn + 2HCl === ZnCl2 + H2↑ ②Mg + 2HCl === MgCl2 + H2↑ ③2Al + 6HCl === 2AlCl3 + 3H2↑ ④Fe + 2HCl === FeCl2 + H2↑
常见 的酸 和碱
稀酸的化 学性质
常见的碱
酸与较活泼金属反应 酸与金属氧化物的反应 酸与盐的反应
常见碱的物理性质及用途
碱溶液的 碱与非金属氧化物的反应 化学性质 碱与盐的反应
知识网络
知识回顾
知识点1 常见的酸 硫酸、盐酸、硝酸的物理性质及用途
酸 化学式
物理性质
主要用途
硫 酸 H2SO4 盐 酸 HCl 硝 酸 HNO3
【变式题】盐酸或稀硫酸常用作金属表面的清洁剂是 利用了它们化学性质中的（ C ）
A 、能与碱反应 B 、能与金属反应 C 、能与某些金属氧化物反应 D 、能与紫色石蕊试液反应
例题解析
【解析】氢氧化钠（NaOH），俗称烧碱、火碱、 苛性钠，常温下是一种白色晶体，具有强腐蚀 性．易吸收空气中的水分易潮解可用作干燥剂和易 与空气中二氧化碳反应生成碳酸钠故密封干燥保 存．易溶于水，其水溶液呈强碱性，能使酚酞变红； 使紫色石蕊试液变蓝．由以上所知道的内容可判断 选项A、C、D错误。 故选B。
知识回顾
知识点2 稀酸的化学性质 1.酸与指示剂的反应
稀盐酸 稀硫酸
紫色石蕊溶液 变红色 变红色
2.酸与较活泼金属的反应
无色酚酞溶液 不变色 不变色
实验内容
现象
将镁、锌、 有气泡产生， 铁铝分别与 反应速率：镁 稀盐酸反应 ＞铝＞锌＞铁
化学方程式 ①Zn + 2HCl === ZnCl2 + H2↑ ②Mg + 2HCl === MgCl2 + H2↑ ③2Al + 6HCl === 2AlCl3 + 3H2↑ ④Fe + 2HCl === FeCl2 + H2↑
常见 的酸 和碱
稀酸的化 学性质
常见的碱
酸与较活泼金属反应 酸与金属氧化物的反应 酸与盐的反应
常见碱的物理性质及用途
碱溶液的 碱与非金属氧化物的反应 化学性质 碱与盐的反应
知识网络
知识回顾
知识点1 常见的酸 硫酸、盐酸、硝酸的物理性质及用途
酸 化学式
物理性质
主要用途
硫 酸 H2SO4 盐 酸 HCl 硝 酸 HNO3
【变式题】盐酸或稀硫酸常用作金属表面的清洁剂是 利用了它们化学性质中的（ C ）
A 、能与碱反应 B 、能与金属反应 C 、能与某些金属氧化物反应 D 、能与紫色石蕊试液反应
例题解析
9.1.2 不等式的性质 第1课时
1 5， √
x
√ x 2 y 8， x 4， 3 0，√
2 x≠y2 1.√
1.掌握不等式的三个性质. 2.能够利用不等式的性质解不等式.
【知识探索】
用“﹥”或“﹤”填空，并总结其中的规律： (1)5>3, 5+2_﹥__3+2 , 5－2_﹥__3－2 . (2)-1<3, -1+2_﹤__3+2 , -1－3_﹤__3－3 . 根据发现的规律填空:当不等式两边加或减同一个数(正 数或负数）时,不等号的方向_不__变___.
向_改__变___，得
x﹤－ 3 4
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
－
3 4
0
【跟踪训练】
利用不等式的性质解下列不等式． (1)x-5 ＞ -1 (2)-2x ＞ 3 (3)7x ＜ 6x-6
【解析】(1)x-5 ＞ -1 根据不等式的性质___1___，
两边都___加_上__5____，得 x＞-1+5 即 x＞4.
(1)x-７＞26. (2)3x<2x+1.
(3) 2 x﹥50.
3
(4)-4x﹥3.
分析：解未知数为x的不等式，就是要使不等式逐 步化为x﹥a或x﹤a的形式．
【解析】 (1)为了使不等式x-７＞26中不等号的一 边变为x，根据不等式的性质１，不等式两边都加 ７，不等号的方向不变，得 x-７+７﹥26+７
(3)为了使不等式 2x﹥50中不等号的一边变为x，根据不等
3
式的性质2，不等式的两边都除以 2 ,不等号的方向不变，
3
得 x﹥75
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
9.1.2不等式的性质(第一课时)
探
6＞ 2
6×( 4)＞ 2×( 4) 6÷( 4)＞ 2÷( 4) 6×( 7)＞ 2×( 7) 6÷( 7)＞ 2÷( 7)
究
过
程
-2＜ 3
-2×(5)＜__3×( 5) -2÷( 5)＜__3÷( 5) -2×(4)＜__3×( 4) -2÷( 4)＜__3÷( 4)
探究结论
不等式两边乘（或除以）同一个正数， 不等号的方向不变。
平塘县四寨中学 王时勇 2017年4月26日
复习回顾
由a+2=b+2, 能得到a=b？ 由a - 2=b- 2, 能得到a=b？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整式，
等式仍旧成立。
如果a=b,那么a±c=b±c
复习回顾
由0.5a=0.5b, 能得到a=b？
由 -2a= -2b, 能得到a=b？
（2） ∵ a a ∴ a是 正 数
23 （3） ∵ a x < a 且x > 1 ∴ a是
负数
3.如果a＞b，请用“＞”或“＜”填空：
（1） a-3 ＞ b-3
（2） 2a ＞ 2b
（3）
2a 3
_＜___
2b 3
（4） 2a+3__＞__2b+3
a＞b -3.52aa＜＞-23b.5b 1-32.a5+a3＜＞12-b3+.35b
过
程
-1＜3
-1+( -1+(
5)＜__3+( 0)＜__3+(
5) -1-( 0) -1-(
5)＜__3-( 0)＜__3-(
5) 0)
-1+(-2)＜__3+(-2) -1-(-2)＜__3-(-2)
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第01课时不等式的性质(1)
知识要点
1.实数的运算性质与大小顺序之间的关系：
a-b>0a>b a-b=0a=ba-b<0a<b
2.比较大小的步骤：①作差，②变形，③判别差的符号。
典型例题：
1.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小。
2.已知a>b，比较a3与b3的大小。
3.已知x>y，且y≠0,比较 与1的大小。
4.已知 ,比较1+cosα与sinα的大小。
随堂练习：
1.已知M=x2+y2-4x+2y, N=-5,若x≠2或y≠-1，则
A、M>N B、M<N C、M=N D、不能确定
2.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy，其中恒成立的不等式的个数为：
A、1 B、2 C、3 D、4
7.设x≥1,比较x3与x2-x+1的大小。
8.比较 的大小。
3.若a,b∈R,且a>b，则
A、>b2B、 <1 C、lg(a-b)>0 D、( )a<( )b
4.若a<b<0，则下列不等式中不成立的是
A、 > B、 > C、|a|>|b| D、a2>b2
5.如果x>0,比较( -1)2与( +1)2的大小。
6.已知a≠0,比较(a2+ a+1)(a2- a+1)与(a2+a+1)(a2-a+1)的大小。
知识要点
1.实数的运算性质与大小顺序之间的关系：
a-b>0a>b a-b=0a=ba-b<0a<b
2.比较大小的步骤：①作差，②变形，③判别差的符号。
典型例题：
1.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小。
2.已知a>b，比较a3与b3的大小。
3.已知x>y，且y≠0,比较 与1的大小。
4.已知 ,比较1+cosα与sinα的大小。
随堂练习：
1.已知M=x2+y2-4x+2y, N=-5,若x≠2或y≠-1，则
A、M>N B、M<N C、M=N D、不能确定
2.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy，其中恒成立的不等式的个数为：
A、1 B、2 C、3 D、4
7.设x≥1,比较x3与x2-x+1的大小。
8.比较 的大小。
3.若a,b∈R,且a>b，则
A、>b2B、 <1 C、lg(a-b)>0 D、( )a<( )b
4.若a<b<0，则下列不等式中不成立的是
A、 > B、 > C、|a|>|b| D、a2>b2
5.如果x>0,比较( -1)2与( +1)2的大小。
6.已知a≠0,比较(a2+ a+1)(a2- a+1)与(a2+a+1)(a2-a+1)的大小。