动能定理机械能守恒

动能定理 机械能守恒自然界存在着各种形式的能，各种形式的能之间又可以相互转化，而且在转化的过程中能的总量保持不变，即满足能量守恒定律，这是自然科学中最重要的定律之一。

各种形式的能在相互转化的过程中可以用功来度量。

本章要研究的是能量中最简单的一种──机械能，以及与它相伴的机械功。

解决力学问题，从能量的观点入手进行分析，往往是很方便的。

能的转化和守恒，是贯穿全部物理学的基本规律之一，学习这一章要特别注意养成运用能量观点分析和研究问题的习惯。

本章涉及的主要内容有：功和功率、动能和动能定理、势能及机械能守恒定律。

§1.功和功率一、功（W ）如图所示，物体受到力的作用，并且在力的方向上发生了一段位移，因此我们说力对物体做了功。

力、沿力的方向上的位移是功的两个不可或缺的因素。

我们可以把力F 沿位移S 的方向和垂直于位移的方向分解为 F '、F "：其中分力F '做功，而分力F "并未做功，又F '=FScos θ，所以力F 对物体所做的功可表示为W F =F 'S=FScos θ我们同样也可以试着把位移S 分解为沿力F 方向的分位移S '和垂直于力F 方向的分位移S "。

显然物体在力F 的作用下，沿力的方向 的位移为S '，同样可得力F 对物体做的功，W F =FS '=FScos θ，进而 得出功的公式：W =FScos θ该式既是功的量度式（也叫计算式），也是功的决定式。

θ<︒90时，co s θ为正，式中的W >0，为正功（我们说外力对物体做了功）； θ=︒90时，c o s θ=0，式中的W 为零（我们说外力不做功）；θ>︒90时，co s θ为负，式中的W <0，为负功（我们说外力对物体做负功，或着说物体克服外力做了功）。

当F 是合力（f ∑）时，则W 是合力功（W ∑）； 若W 是各力做功的代数和，我们说W 是总功。

功的国际制单位是J （焦耳）。

几点说明：（1）功是属于力的，说“功”必须说是哪个力的功。

如：重力的功、拉力的功、阻力的功、弹力的功等。

若是合力所做的功，就要说明是合力的功。

（2）要正确区分恒力功和变力功。

公式WF S =c o s θ只对恒力做功适用。

不对具体问题作具体分析，而是靠套用公式解题是学习物理的最大障碍。

思考：如何求某些变力所做的功？（3）公式中F 、S 都是矢量，而它们的积W 是标量，它的正与负仅由力与位移的夹角决定；它的正与负仅表示是力对物体做功还是物体克服该力做功。

（4）功是能量转换多少的量度，做功的过程就是能量转换的过程。

做了多少功就有多少能量转化成另一种形式的能，或有多少能从一个物体转移到另一个物体上。

二、功率（P ）某个力所做的功跟完成这个功所用时间的比值，叫该力做功的功率。

即P Wt=① 因为 WF s =c o s θ所以P F st=··cos θ= ②①、②两式反映的是一个力在一段时间内做功的平均快慢程度，故称做“平均功率”。

若②式中的平均速度⎺υ用即时速度υ取代，则②式变为P=F υcos θ③这就是即时功率的公式。

在国际制单位中，功率的单位是W （瓦）。

注意：（1）功率是表示做功快慢的物理量，所谓做功快慢的实质是物体（或系统）能量转化的快慢。

平均功率描述的是做功的平均快慢程度，因此说平均功率必须说明是哪段时间（或哪段位移上）的平均功率。

而即时功率描述的是做功瞬间的快慢程度，因此说即时功率必须说明是哪个时刻（或哪个位置）的即时功率。

（2）功率和功一样，它也是属于力的。

说到“功率”必须说是哪个力的功率。

如：重力的功率、拉力的功率、阻力的功率、弹力的功率等。

若是合力所做的功的功率，就要说明是合力的功率。

（3）关于功率，要正确区分“平均功率”和“即时功率”。

在保证功率不变的前提下，因为功率P=F υ，所以所需牵引力越大，则速度越小；反之所需牵引力越小，则速度越大。

这就是汽车满载时速度小，而空载时速度大的道理。

（4）计算功率的三个公式的适用条件是不一样的。

①式除适用于力学范畴外，对其它领域也适用，如平均电功率，平均热功率等；②式只适用于力学范畴，且要求力F 为恒定的力，式中的θ为恒力F 跟平均速度⎺υ的夹角；③式中力F 可以是恒力，也可以是变力，式中θ是力F 与即时速度υ的夹角。

§2.动能和动能定理一、动能在机械能范筹内，我们给能量下了个通俗的定义，能就是物体具有的做功本领。

据此可推出：物体能做功，我们就说物体具有能。

运动着的物体就具有做功的本领，流动的河水推动船只顺流而下，对船做功，飞行的子弹打穿靶心，克服靶的阻力做功等等。

因而运动的物体能做功，运动物体具有能。

定义：物体由于运动而具有的能量叫做动能。

大小（量度）：E mv k =122υ动能是标量，单位是焦耳。

一个物体的动能是物体运动状态的函数。

二、动能定理外力对物体做功的代数和等于物体动能的增量。

数学表达式：∑==-W E m v m v k ∆12122212υ22-∑==-W E m v m v k ∆12122212υ12 ①∑W ：物体受到的所有力做功的代数和。

②∆E E E k k k =-21：末态的动能减去初态的动能，称为动能的增量。

③∑>>W E k 00，∆，动能增加； ∑<<W E k 00，∆，动能减少；∑==W E k 00，∆，动能不变（速率不变）。

应用动能定理处理力学问题的一般程序：①明确研究对象和初、末状态，明确初、末两状态的动能。

②对研究对象进行受力分析，明确各力对物体做功的情况。

③依据动能定理，列出所有力做功的代数和等于动能增量的方程。

④根据题目需要，解方程，统一单位，代入数值（题目提供的已知条件），求出答案。

动能定理由牛顿第二定律和运动学公式推导得出。

用牛顿第二定律结合运动学公式解决的力学问题，一般用动能定理也能解，且解得简便。

在应用动能定理解题时，只考虑起、止两状态的动能和过程中各力做功情况，而不涉及过程经历的时间和经历此过程时其中的每个细节。

动能定理反映了做功是能量改变的途径，同时是能量变化的量度的物理本质。

现在，我们考虑做功的多少时就有了W F S =·c o s α、W P t =·以及根据动能定理求功的思路（尤其在某些情况下，利用动能定理还可以求出变力做功的大小）。

§3.机械能守恒定律一、重力做功的特点重力做功与路径无关，只与始末位置的竖直高度差有关，当重力为mg 的物体从A 点运动到B 点，无论走过怎样的路径，只要A 、B 两点间竖直高度差为h ，重力所做的功均为 mgh W mg =二、重力势能物体由于被举高而具有的能叫重力势能，其表达式为：mgh E P =。

其中h 为物体所在处相对于所选取的零势能面的竖直高度，而零势能面的选取可以是任意的，一般是取地面为重力势能的零势能面。

由于零势能面的选取可以是任意的，所以重力势能具有相对性，一个物体在某一状态下所具有的重力势能的值将随零势能面的选取而决定，但物体经历的某一过程中重力势能的变化却与零势能面的选取无关。

重力势能是标量，但有正负之分，正负不表示方向，而表示大小，若物体在参考平面以上，则重力势能为正，0>P E ；若物体在参考平面以下，则重力势能为负，0<P E三、重力做功与重力势能变化间的关系重力做的功总等于重力势能的减少量，即W mg =1PG mb mgh mgh E W -=-=∆1-mgh W mg = 2四、弹性势能所谓弹性势能指的是物体由于发生弹性形变而具有的能，其表达式为：221kx E P =五、机械能守恒定律（1）机械能：动能和势能的总和称为机械能。

而势能中除了重力势能外还有弹性势能。

（2）机械能守恒守律：表述一：只有重力做功时，动能和重力势能间相互转换，但机械能的总量保持不变，这就是机械能守恒定律；只有弹性力做功时，动能和弹性势能间相互转换，机械能的总量也保持不变，这也叫机械能守恒定律。

表述二：如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和重力势能（或弹性势能）的相互转化时，机械能的总量保持不变 （3）机械能守恒定律的表达形式 222121v m h mg mv mgh '+'=+即k p k p E E E E '+'=+，或 （4）对机械能守恒定律的理解：①守恒的含义：机械能时时刻刻不变才叫守恒，如中间某时刻有变化，则不叫守恒，只能说前后不变。

另外，机械能时时刻刻不变，但其间并没有动能和势能的相互转化，也不能叫机械能守恒。

②机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。

通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。

另外小球的动能中所用的υ，也是相对于地面的速度。

③当研究对象（除地球以外）只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象（除地球以外）由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒。

④“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。

在该过程中，物体可以受其它力的作用，只要这些力不做功即可。

减增p k E E ∆=∆（5）一旦物体系所受的其他力也对物体系做功，物体系的机械能就不守恒了，就是说机械能与其他形式的能发生转化，但总能量是守恒的。

当其他力对物体系做正功，则其他形式能转化为系统机械能，系统机械能增加；反之系统机械能转化为其他形式能，系统机械能减小。

并且，其他力做功的代数和的数值等于机械能的变化。

即：除了重力和弹性力外，其他力（可分为动力和阻力）对物体系做的功与物体系机械能变化的数值相等。

这一规律也叫功能原理。

（6）解题步骤：① 必须准确地选择系统；② 必须由守恒条件判断系统机械能是否守恒； ③ 必须准确地选择过程，确定初、末状态； ④ 写守恒等式时应注意状态的同一性。

【巩固练习】1．如图所示，用力拉一质量为m 的物体。

使它沿水平方向匀速移动距离s ，若物体和地面间的动摩擦因数为μ，则此力对物体做的功为 （ ）A ．mgs μB ．)sin /(cos a a mgs μμ+C ．)sin /(cos a a mgs μμ-D ．)sin /(cos cos a a a mgs μμ+2．一物体质量为2kg ，以4m/s 的速度在光滑水平面上向左滑行，从某时刻起作用一向右的水平力，经过一段时间后，速度方向变为水平向右，大小为4m/s ，在这段时间内水平力做功为（ ）A ．0B ．8JC ．16JD ．32J3．质量为1kg 的物体做自由落体运动，经过2s 落地。