[高考文科数学复习]方法3.5 分离(常数)参数法(讲)

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高考数学考前三个月解题方法篇专题三解题策略第6讲分离参数法在解题中的应用文新人教版

高考数学考前三个月解题方法篇专题三解题策略第6讲分离参数法在解题中的应用文新人教版[方法精要] 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围，这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决．分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到，解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域的问题．题型一用分离参数法解决函数有零点问题例1 已知函数g (x )＝x 2－ax ＋4在[2,4]上有零点，求a 的取值范围．破题切入点函数g (x )＝x 2－ax ＋4在[2,4]上有零点，等价于方程x 2－ax ＋4＝0在[2,4]上有实根，把方程x 2－ax ＋4＝0中的变量a 分离，转化为求函数的值域问题即可求出a 的取值范围．解 ∵函数g (x )＝x 2－ax ＋4在[2,4]上有零点，∴方程x 2－ax ＋4＝0在[2,4]上有实根，即方程a ＝x ＋4x在[2,4]上有实根．令f (x )＝x ＋4x，则a 的取值范围等于函数f (x )在[2,4]上的值域．又f ′(x )＝1－4x 2＝(x ＋2)(x －2)x 2≥0在x ∈[2,4]上恒成立， ∴f (x )在[2,4]上是增函数，∴f (2)≤f (x )≤f (4)，即4≤f (x )≤5.∴4≤a ≤5.题型二用分离参数法解决不等式恒成立问题例2 已知函数f (x )＝ln x －a x ，(1)当a >0时，判断f (x )在定义域上的单调性；(2)若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．破题切入点 (1)通过判断导数的符号解决．(2)由于参数a 是“孤立”的，可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决．解 (1)由题意：f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋a x 2.∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)∵f (x )<x 2，∴ln x －a x <x 2. 又x >0，∴a >x ln x －x 3令g (x )＝x ln x －x 3，h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2，h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x，当x ≥1时，h ′(x )<0，∴h (x )在[1，＋∞)上是减函数，∴h (x )<h (1)＝－2，即g ′(x )<0，∴g (x )在[1，＋∞)上也是减函数，∴g (x )<g (1)＝－1.令a ≥－1得a >g (x )，∴当f (x )<x 2在(1，＋∞)恒成立时，a ≥－1.题型三用分离参数法解决方程中的参数问题例3 若关于x 的方程22x ＋2x ·a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．破题切入点解决方程中的参数问题，需要把方程等价变形，称为一个含参数的函数，将其转化为函数的最值问题．解原方程变形为a ＝－22x ＋12x ＋1＝－(2x ＋1)2－2(2x＋1)＋22x ＋1＝－(2x ＋1＋22x ＋1－2)，因为2x ＋1>1，所以2x ＋1＋22x ＋1-2≥2(2x ＋1)·22x ＋1－2＝22－2， (当且仅当x ＝log 2(2－1)时取等号)，所以a ≤2－2 2.总结提高分离参数法常用于求参数的取值范围，这是目前新课标高考中常涉及的问题，主要涉及函数、方程、不等式等部分的内容，最终都是转化为函数在给定区间上的最值问题，求一个函数在一个指定的闭区间上的最值的主要思考方向就是考虑这个函数的极值点是不是在这个区间内，结合函数的单调性即可求参数取值范围．1．已知直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0，m ∈R ，则直线l 恒过定点( )A ．(3,0)B ．(1,3)C ．(1,1)D ．(3,1)答案 D解析直线l 的方程可化为x ＋y －4＋m (2x ＋y －7)＝0.设直线l 恒过定点M (x ，y )．由m ∈R ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，2x ＋y －7＝0⇒M (3,1)．所以直线l 恒过定点(3,1)．2．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在(12，＋∞)是增函数，则a 的取值范围是() A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞)C ．[0,3]D ．[3，＋∞)答案 D解析由题意知f ′(x )≥0对任意的x ∈(12，＋∞)恒成立，又f ′(x )＝2x ＋a －1x 2，所以2x ＋a －1x 2≥0对任意的x ∈(12，＋∞)恒成立，分离参数得a ≥1x 2－2x ，若满足题意，须a ≥(1x 2－2x )max ，令h (x )＝1x 2－2x ，x ∈(12，＋∞)，因为h ′(x )＝－2x 3－2，所以当x ∈(12，＋∞)时，h ′(x )<0，即h (x )在x ∈(12，＋∞)上单调递减，所以h (x )<h (12)＝3，故a ≥3.3．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]成立，则a 的最小值是() A ．0 B ．－2 C ．－52 D ．－3答案 C解析由x 2＋ax ＋1≥0，x ∈(0，12]，所以ax ≥－1－x 2，所以a ≥－1x－x ，又因为－1x －x ＝－(1x ＋x )≤－52，所以a ≥－52. 4．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1) 答案 B解析由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1. 5．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 [－83，＋∞) 解析对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173. ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)． 6．已知函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．答案 [12，＋∞) 解析 f ′(x )＝2mx ＋1x－2≥0对一切x >0恒成立， 2m ≥－(1x )2＋2x，令g (x )＝－(1x )2＋2x，则当1x＝1时，函数g (x )取最大值1，故2m ≥1，即m ≥12. 7．已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围是________________．答案 (－1＋72，1＋32) 解析原不等式可化为(x 2－1)m －2x ＋1<0，此不等式对－2≤m ≤2恒成立．构造函数f (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，－2≤m ≤2，其图象是一条线段．根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)＝－2(x 2－1)－2x ＋1<0，f (2)＝2(x 2－1)－2x ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2＋2x －3>0，2x 2－2x －1<0. 解得－1＋72<x <1＋32. 8．已知f (x )＝2x 2＋ax －2a 2x在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的取值范围是________．答案 [－1，＋∞)解析 ∵f (x )＝x －a x ＋a 2，∴f ′(x )＝1＋a x2. 又f (x )在[1，＋∞)上是单调递增函数，∴f ′(x )≥0.于是可得不等式a ≥－x 2对于x ≥1恒成立．∴a ≥(－x 2)max .由x ≥1，得－x 2≤－1.∴a ≥－1.9．设f (x )＝lg 1＋2x ＋4x ·a 3，其中a ∈R ，如果x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，求a 的取值范围．解根据题意1＋2x ＋4x ·a >0在x ∈(－∞，1]上恒成立，设t ＝2x ，则有at 2＋t ＋1>0在t ∈(0,2]上恒成立，分离参数可得a >－1t 2－1t，即a >(－1t 2－1t)max ，令μ＝1t ，则μ∈[12，＋∞)，易得二次函数f (μ)＝－μ2－μ在μ∈[12，＋∞)上的最大值是f (12)＝－34，所以a 的取值范围是a >－34.10．设0≤θ≤π2，不等式cos 2θ＋2m sin θ－2m －2<0恒成立，求m 的取值范围．解将已知不等式化为(1－sin θ)2＋2(m －1)(1－sin θ)＋2>0，①当θ＝π2时，不等式显然成立；②当0≤θ<π2，即1－sin θ>0有2(1－m )<1－sin θ＋21－sin θ，设t ＝1－sin θ，则f (t )＝t ＋2t ，其中0<t ≤1，则f (t )＝t ＋2t 在0<t ≤1上是减函数，所以f (t )≥f (1)＝3，即f (t )的最小值是3，所以2(1－m )<3，解得m >－12.综上知，m 的取值范围是m >－12.11．已知函数f (x )＝e x －x 22－ax －1，其中a 为实数．(1)若a ＝－12时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当x ≥12时，若关于x 的不等式f (x )≥0恒成立，试求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－12时，f (x )＝e x －x 22＋12x －1，f ′(x )＝e x －x ＋12，从而得f (1)＝e －1，f ′(1)＝e －12，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＋1＝(e －12)(x －1)，即(e －12)x －y －12＝0.(2)由f (x )≥0，得ax ≤e x －12x 2－1， ∵x ≥12，∴a ≤e x －12x 2－1x ，令g (x )＝e x －12x 2－1x，则g ′(x )＝e x (x －1)－12x 2＋1x 2，令φ(x )＝e x (x －1)－12x 2＋1，则φ′(x )＝x (e x －1)，∵x ≥12，∴φ′(x )>0，即φ(x )在[12，＋∞)上单调递增．所以φ(x )≥φ(12)＝78－e 2>0，因此g ′(x )>0，故g (x )在[12，＋∞)单调递增．则g (x )≥g (12)＝e 12－12×(12)2－112＝2e －94，因此a 的取值范围是a ≤2e －94. 12．已知函数f (x )＝a (x 2＋1)＋ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若对任意a ∈(－4，－2)及x ∈[1,3]，恒有ma －f (x )>a 2成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由已知，得f ′(x )＝2ax ＋1x ＝2ax 2＋1x(x >0)． ①当a ≥0时，恒有f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数．②当a <0时，若0<x < －12a，则f ′(x )>0，故f (x )在(0，－12a ]上是增函数；若x > －12a，则f ′(x )<0，故f (x )在[－12a ，＋∞)上是减函数．综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数；当a<0时，f(x)在(0, －12a]上是增函数，在[ －12a，＋∞)上是减函数．(2)由题意，知对任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，恒有ma－f(x)>a2成立，等价于ma－a2>f(x)max.因为a∈(－4，－2)，所以24< －12a<12<1.由(1)，知当a∈(－4，－2)时，f(x)在[1,3]上是减函数，所以f(x)max＝f(1)＝2a，所以ma－a2>2a，即m<a＋2.因为a∈(－4，－2)，所以－2<a＋2<0.所以实数m的取值范围为m≤－2.。

分式分离常数法

分式分离常数法分式分离常数法是数学中一种常用的求解分式的方法。

它适用于分式中含有常数项的情况下，通过将常数项拆分出来，将分式化简为更简单的形式，从而方便进行进一步的计算或研究。

在使用分式分离常数法时，我们需要注意以下几点：1. 观察分式的形式，判断是否适用于分离常数法。

一般来说，如果分式中含有常数项且分子和分母都是多项式，那么我们可以考虑使用分离常数法。

2. 将分式拆分为常数项和多项式的和。

我们可以通过将分式的分子部分拆分为常数项和多项式的和，即A + Bx，其中A是常数项，Bx是多项式。

3. 提取公因式。

在得到A + Bx的形式后，我们可以提取公因式，将A + Bx化简为C(A' + B'x)，其中C是A和B的最大公因式，A'是A除以C的商，B'是B除以C的商。

4. 分离常数项和多项式。

经过提取公因式后，我们可以将分式分离为常数项和多项式的和，即C(A' + B'x) = C + B'x。

通过以上步骤，我们可以将原始的分式化简为常数项和多项式的和的形式，从而更方便进行进一步的计算或研究。

这种分离常数法的使用，可以使我们对分式的性质有更深入的了解，有助于解决实际问题中的分式运算。

例如，我们考虑以下分式：(3x^2 + 2x + 1) / (x + 2)。

通过观察可以发现，分式中含有常数项1，且分子是一个二次多项式，分母是一个一次多项式。

因此，我们可以尝试使用分离常数法进行化简。

我们将分子拆分为常数项和多项式的和，即1 + (3x^2 + 2x)。

然后，我们可以提取公因式，将1 + (3x^2 + 2x)化简为1(1 + (3/1)x^2 + (2/1)x)。

接着，我们可以将分式分离为常数项和多项式的和，即1 + (3/1)x^2 + (2/1)x。

通过这样的化简过程，我们将原始的分式化简为了常数项和多项式的和的形式，即1 + (3/1)x^2 + (2/1)x。

专题12 分离参数法求解参数问题- 2021年高考数学二轮经典专题深度解读(解析版)

专题11 分离参数法求解含参数问题分离参数法是高考数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.一、分离参数，绕开分类讨论 1．已知函数()()221f x 2ax x lnx ax x =--+. （a ∈R ）．（1）当a ＝0时，求曲线y ＝f （x ）在（e ，f （e ）处的切线方程（e ＝2.718…）（2）已知x ＝e 为函数f （x ）的极值点，求函数f （x ）的单调区间．【答案】（1）x +y ﹣e ＝0．（2）单调递增区间为（0，1）和（e ，+∞），单调递减区间为（1，e ）．【解析】（1）∵a ＝0，∴f （x ）＝﹣xlnx +x ，f ′（x ）＝﹣lnx ，则直线的斜率k ＝f ′（e ）＝﹣lne ＝﹣1， f （e ）＝﹣elne +e ＝﹣e +e ＝0，故所求切线方程为x +y ﹣e ＝0．（2）函数的导数f ′（x ）＝（2ax ﹣1）lnx ﹣ax ﹣1+ax +1＝（2ax ﹣1）lnx ， ∵x ＝e 为函数f （x ）的极值点，∴f ′（e ）＝2ae ﹣1＝0，解得a 12e=（经检验符合题意）考点剖析例题赏析则f ′（x ）＝（1x e -）lnx x ee-=lnx ，由f ′（x ）＝0得x ＝1或x ＝e ，列表得2．已知函数()1x f x e-=，()ln g x x =.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y kx b =+，且存在实数t 使得()y k x t b =++与曲线()y g x =相切，求t 的值；（2）设函数()()()()111x af x g x g a ϕ=+-++-. ①若()0x ϕ>恒成立，求a 的取值范围；②若函数()x ϕ仅有两个不同的零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）1t =-；（2）①1a >；②01a <<. 【解析】（1）由题意知()1x f x e -'=，()11f '=，()11f =，因而曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y x =，故1k =，0b =，则()y k x t b x t =++=+.曲线()y g x =在点()00,x y 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，即001ln 1y x x x =+-.令011x =，0ln 1x t -=，得01x =，1t =-. （2）①由已知得()()ln 1ln 1xx ae x a ϕ=-++-，()1,x ∈-+∞，0a >.()0x ϕ>恒成立，即()()()ln ln 110x x ae ae x x +-+-+>恒成立，即()()()ln ln 11xxae aex x +>+++恒成立.设()ln h t t t =+，则()110h t t'=+>，()h t 单调递增，因而()11xae x x >+>-恒成立，即()11x x a x e+>>-恒成立. 令()()11x x s x x e +=≥-，则()xxs x e '=-，当()1,0x ∈-时，()0s x '>，()s x 单调递增，当()0,x ∈+∞时，()0s x '<，()s x 单调递减，所以()()01s x s ≤=，从而1a >.②函数()x ϕ仅有两个不同的零点，即()0x ϕ=有两个不同的解，即()()()ln ln 11xxae aex x +=+++有两个不同的解，根据①可知即()11xae x x =+>-有两个不同的解，即()11xx a x e +=>-有两个不同的解. 因为当()1,0x ∈-时，()s x 单调递增，当()0,x ∈+∞时，()s x 单调递减，()10s -=，当0x >时()0s x >，(0)1s =，x →+∞时，()0s x →，所以01a <<.3．已知函数ln 1()2x f x ax b x =--，2()g x ax bx =+.（1）当2a =，3b =-时，求函数()f x 在1x =处的切线方程，并求函数()f x 的最大值；（2）若函数()y f x =的两个零点分别为1x ，2x ，且12x x ≠，求证：12()12x x g +>. 【答案】（1）max ()(1)2f x f ==；（2）见解析【解析】（1）解：当2a =，3b =-时，()ln 3(0)x f x x x x =-+>，()221ln 'x x f x x--=，则()'1f e =-，切点为1,3e e e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故函数()f x 在1x =处的切线方程为130x y e+--=. 令()21ln h x x x =--，则()21ln h x x x =--在()0,+∞是减函数，又()10h =，∴()0,1x ∈，()0h x >，()'0f x >，()1,x ∈+∞，()0h x <，()'0f x <，()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞是减函数，()()max 12f x f ==.（2）证明：∵1x ，2x 是()f x 的两个零点，不妨设12x x <， ∴()()120f x f x ==，111ln 102x ax b x --=，222ln 102x ax b x --=，∴21111ln 02x ax bx --=，22221ln 02x ax bx --=，相减得：()()221212121ln ln 02x x a x x b x x -----=()121212ln 102x x a x x b x x ⇒-+-=- ()()()11222121212ln102x x x x a x x b x x x x +⇒-+-+=-，()()12122121212ln0222x x x x x x x x a b x x +++⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， ∴()()1122121212ln 222x x x x x x x x g g x x +++⎛⎫⎛⎫=⇒ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ()()1111222212121ln ln 221x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，令12x t x =，即证01t <<，()()1ln 121t t t +>-， ()()()()1ln 21211ln ln 02111t t t t t t t t t +-->⇔<⇔-<-++，令()()21ln 1t m t t t -=-+，()0,1t ∈，()()()()222114'011t m t t t t t -=-=>++，()()21ln 1t m t t t -=-+在()0,1上是增函数，又∵()10m =，∴()0,1t ∈，()0m t <，命题得证. 二、分离参数与函数单调性综合考查 4．已知函数()34ln f x x x a x=+---1在区间()0,2上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．[)1,+∞ B ．[)2,4ln32-C ．12,4ln22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．[)2,+∞ 【答案】A 【解析】()34ln f x x x a x =+---1则314ln a x x x +=+-，令()34ln g x x x x=+- ()()()22223134431x x x x g x x x x x ----+-='=-+-= 可得()g x 在（0,1）递减，在（1,2）递增，0x →时，()g x ∞→+，()1g =2,所以函数()34ln f x x x ax =+---1在区间()0,2上至少有一个零点转化为y=a+1与()34ln g x x xx =+-在区间()0,2上有交点，即a+1≥2, a ≥1.故选A. 5．若函数f(x)＝ax ＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】由题意知，f(－1)·f(1)<0，即(1－a)(1＋a)<0，解得a<－1或a>1. 6．设是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，．若函数在区间恰有3个不同的零点，则的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：因为函数是对任意，，都有，所以函数的周期T=4，函数是定义在上的偶函数，且当时，．若函数在区间恰有3个不同的零点，即函数与函数在区间的图象恰有3个不同交点，如下图所示，因为，由题意当时函数的值小于3，当，的值大于3，即且解得.三、分离参数证明不等式恒成立问题7．当x>3时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(] ,3-∞B ．[) 3,+∞ C ．7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7 ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】11x 1111x x x +=-++--,记t x 12=-> 1y t 1t=++在()2，∞+上单调递增， ∴117y t 12122t =++>++= ∴7a 2≤故选D8．已知f (x )＝3ax 2＋6x －1，a ∈R ．（1）当a ＝－3时，求证：对任意x ∈R ，都有f (x )≤0；（2）如果对任意x ∈R ，不等式f (x )≤4x 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）13a ≤-【解析】（1）证明：当a ＝－3时，f(x)＝－9x 2＋6x －1， ∵Δ＝36－36＝0，且函数f(x)图象的开口方向向下， ∴对任意x ∈R 都有f(x)≤0.（2）解：由f(x)≤4x 对任意x ∈R 恒成立，得3ax 2＋6x －1≤4x 对任意x ∈R 恒成立，即3ax 2＋2x －1≤0对任意x ∈R 恒成立．①当0a =时，不等式为210x -≤，故对任意x ∈R 不恒成立；②当0a ≠时，由题意得304120a a <⎧⎨=+≤⎩，解得13a ≤-.综上可得13a ≤-．∴实数a 的取值范围为1,3∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.9．已知函数f （x ）=log a11mx x +-（a ＞0且a ≠1）是奇函数，（1）求实数m 的值；（2）若a =12，并且对区间[3，4]上的每一个x 的值，不等式f （x ）＞（12）x +t 恒成立，求实数t 的取值范围．（3）当x ∈（r ，a -2）时，函数f （x ）的值域是（1，+∞），求实数a 与r 的值．【答案】（1）1；（2）98t <-；（3）21a r =+=. 【解析】（1）由f （x ）=log a11mx x +-（a ＞0且a ≠1）是奇函数，得f （-x ）+f （x ）=log a11mx x ---+log a 11mx x +-=22211a m x log x --=0对于定义域内的任意x 恒成立，即222111m x x-=-，得m 2=1，即m =±1．当m =-1时，原函数化为f （x ）=11a xlog x--，定义域为{x |x ≠1}（舍去）， ∴m =1；（2）a =12时，f （x ）＞（12）x +t 等价于f （x ）-（12）x ＞t ，令g （x ）=f （x ）-（12）x，则g （x ）在区间[3，4]上递增，()9()38min g x g ==-，故t ＜98-；（3）设u =1+21x -，则y =log a u ， ①当a ＞1时，∵函数f （x ）的值域是（1，+∞），即y ＞1，∴u =1+21x -（r ＜x ＜a -2）的值域为（a ，+∞），作出函数u =1+21x -（r ＜x ＜a -2）的图象，得r =1，且a =1+23a -，解得：a②当0＜a ＜1时，∵函数f （x ）的值域是（1，+∞），即y ＞1，∴u =1+21x -（r ＜x ＜a -2）的值域为（0，a ），作出函数u =1+21x -（r ＜x ＜a -2）的图象，得a -2=-1，解得：a =1，矛盾．综上，r =1，a10．已知函数11()2f x mx nx =++(,m n 是常数)，且(1)2f =，11(2)4f =. （1）求m,n 的值；（2）当)1,x ⎡∈+∞⎣ 时，判断()f x 的单调性并证明；（3）若不等式()()221246f xf xx +>-+成立，求实数x 的取值范围.【答案】（1）12m n =⎧⎨=⎩；（2）增函数，见详解；（3）5x <-或1x >.【解析】（1）111111(1)2,(2)22224=++==++=f m f m n n 12m n =⎧∴⎨=⎩ （2）证明：设121x x ≤<，则12121212121212121111()()()22221()(1)221()()2-=++-++=---=-f x f x x x x x x x x x x x x x x x121212121,0,1,21x x x x x x x x ≤<∴-<>∴>12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <∴()f x 在[1∞,+）上单调递增.（3）222121,46(2)22+≥-+=-+≥x x x x∴只需221+246>-+x x x2450∴+->x x ，5∴<-x 或1x >.课堂练习1．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(－∞，0) B ．(－∞，－2] C ．613[,)-+∞ D ．[－2，＋∞)【答案】C【解析】因为不等式210x ax ++≥对一切2(0,]3x ∈等价于2112(0)3x a x x x x +-≤=+<≤恒成立，设12()(0)3f x x x x =+<≤ ，易得()f x 在2(0,]3x ∈为减函数，所以min 213()()36f x f ==，即136a -≤，即136a ≥-，即a 的取值范围是613[,)-+∞. 故选：C.2．若不等式()()2a 2x 2a 2x 40++++>对一切实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是______. 【答案】[)2,2-【解析】①当20a +=,即2a =-时,40>恒成立;②当200a +>⎧⎨<⎩时, 不等式()()222240a x a x ++++>对一切实数x 恒成立,由()()220421620a a a +>⎧⎪⎨+-+<⎪⎩解得:22a -<<, 综合①②得,22a -≤<,所以填[)2,2- 3．已知函数()11x a f x a ⎛⎫=-⎪+⎝⎭（0a >且1a ≠）是定义在(),-∞+∞上的奇函数. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的值域；（Ⅲ）当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，()22x t f x ⋅-≥恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2a =；（Ⅱ）(1,1)-；（Ⅲ）2t ≥【解析】解：（Ⅰ）()f x 是定义在(),-∞+∞奇函数，()00f ∴=即()00101a f a ⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭解得2a =．经检验，函数为奇函数（Ⅱ）()2121x f x =-+ 又20x >，211x ∴+> ∴20221x <<+，211121x -<-<+ ∴函数()f x 的值域(1,1)-．（Ⅲ）1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()22x t f x ⋅-≥恒成立，当[]1,2x ∈时，()22x t f x ⋅≥- 即2(1)2221x x t -≥-+ 即212221x x x t -≥-+在[]1,2x ∈恒成立， 1x ，22x ∴，∴(22)(21)21x x x t -+≥-在[]1,2x ∈恒成立，设(22)(21)2()22121x x x x x u x -+==---，[]1,2x ∈ 下证()u x 在当[]1,2x ∈时是增函数．任取211x x >，则2121211221222()()22(22)(1)02121(21)(21)x x x x x x x x u x u x -=--+=-+>---- ∴当[]1,2x ∈时，()u x 是增函数，()max 10()23u x u ∴== max 10()3t u x ∴≥= ∴实数t 的取值范围为103t ≥．当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()22x t f x ⋅-≥恒成立，即()22xt f x ⋅≥- 即()22x t f x ⋅≥-在1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭恒成立，112x ≤<，22x <， ∴(22)(21)21x x x t -+≥-在1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭恒成立，设(22)(21)2()22121x x x x x h x -+==-+--，1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭可知函数在所给区间上单调递减，max 1()22h x h ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭max ()2t h x ∴≥=∴实数t 的取值范围为2t ≥．综上可得2t ≥4．已知函数()22x x f x -=+．（1）求证：函数()f x 是偶函数；（2）设a ∈R ，求关于x 的函数22222()x x y af x -=+-在[0,)x ∈+∞时的值域()g a 的表达式；（3）若关于x 的不等式()21x mf x m -≤+-在(0,)x ∈+∞时恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）2[24,),2,()[2,), 2.a a g a a a -+∞≤⎧=⎨--+∞>⎩（3）1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ，对任意x R ∈，()()22x x f x f x --=+=，所以，函数()f x 是偶函数．（2）()()()22222222222222x x x x x x x x y a a ----=+-+=+-+-，令22x x t -+=，因为0x ≥，所以21x ≥，故2t ≥，原函数可化为222y t at =--，[)2,t ∈+∞，()222222y t at t a a =--=---图像的对称轴为直线t a =，当2a ≤时，函数222y t at =--在[)2,t ∈+∞时是增函数，值域为[)24,a -+∞；当2a >时，函数222y t at =--在[]2,t a ∈时是减函数，在[),t a ∈+∞时是增函数，值域为)22,a ⎡--+∞⎣．综上，()[))224,,2,2,, 2.a a g a a a ⎧-+∞≤⎪=⎨⎡--+∞>⎪⎣⎩ （3）由()21x mf x m -≤+-，得()121x m f x -⎡⎤-≤-⎣⎦，当0x >时，21x >，所以()222x x f x -=+>，所以()110f x ->>，所以，()22121121221212x x xx x x xm f x ------≤==-+-+-恒成立．令12x t =-，则0t <，()2221211212111x x x t t t t t t t t-===+--+-++-，由0t <，得12t t +≤-，所以113t t +-≤-，110131t t-≤<+-．所以，13m ≤-，即m 的取值范围为1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 5．设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数()()2x f x g x +=，且其中x ∈R .（1）求()f x 和()g x 的表达式，并求函数()()y f x g x =÷的值域（2）若关于x 的方程()()23f x g x λ+⎡⎤⎣⎦=⋅在区间()1,1-内恰有两个不等实根，求常数λ的取值范围【答案】（1）()()2222,,22x x x x f x g x x R ---+==∈值域为()1,1.-（2）15,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）由已知()()2,xf xg x x R +=∈①，以x -代x ，得()()2xf xg x --+-=，因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()2xf xg x --+=②，联立①②可得()()2222,,22x x x xf xg x x R ---+==∈， ()()222222*********x x x x x x x f x y g x ----∴====-+++，又220x >，2211x ∴+>，220221x <<+，于是2211121x -<-<+， ∴函数()()f x yg x =的值域为()1,1-；（2）题意即方程222222322x xx x λ--⎛⎫-+⋅+= ⎪⎝⎭在区间()1,1-内恰有两个不等实根. 显然0x =不是该方程的根，所以令()22012x xt x --=<< 由2222224x x t -=+-得22222212x x t -+=+，则原方程可变形为()2213t t λ++= 易知函数()t x 为偶函数，且在区间0,1内单调递增，所以30,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且题意转化为方程2321t t λ=--在区间30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭内有唯一实根(因为每一个30,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在区间()1,1-内恰有两个x 值与之对应).易知()2321h t t t =--在区间30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，又0t →时，()h t →+∞，所以24315321348λ⎛⎫>⨯-⨯-= ⎪⎝⎭（此时每一个15 8λ>，在区间30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一个t 值与之对应). 综上所述，所求常数λ的取值范围是15,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 6．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且525S =，2a 是1a 和5a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭＋的前n 项和为n T ，若不等式4n k T <对任意的n *∈N 都成立，求整数k 的最小值. 【答案】（1）21n a n =-（2）最小值为2.【解析】因为53525S a ==，所以35a =；因为2a 是1a 和5a 的等比中项，所以2215a a a =，设公差为()0d d ≠，由题()()12111254a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得11a =，2d =.所以21n a n =-.（2）证明：()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，11111111111233521212212n T n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋯+-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭. 所以142k ≥，2k ≥，故整数k 的最小值为2.。

2019年高考数学(理)精品资料：3.4 分离(常数)参数法(讲)含解析

2019年高考数学（理）精品资料：3.4 分离（常数）参数法（讲）分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.1 分离常数法分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围.1.1 用分离常数法求分式函数的最值（值域）分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d+=+，，，等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 例1. 已知函数（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,2x ∈时，恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(Ⅰ) 2a =；(Ⅱ) ()1,1-；(Ⅲ) 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（Ⅰ）∵()f x 是R 上的奇函数，∴，即.整理可得2a =．（注：本题也可由()00f =解得2a =，但要进行验证）（Ⅲ）当[]1,2x ∈时，．由题意得在[]1,2x ∈时恒成立， ∴在[]1,2x ∈时恒成立．令，则有， ∵当13t ≤≤时函数21y t t=-+为增函数， ∴. ∴103m ≥. 故实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．例2.一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处。

巧用分离常(参)数法进行等价转化——高中数学解题基本方法系列讲座(8)

前 n 项和为 Sn，且 S1+a1， S３+a３， S２+a２成等差数列.
20 广东教育·高中 2018 年第 2 期
（1）求{an}的通项公式；
（2）
若数列{bn}满足an+1＝（
１２
）anbn，
Tn 为数列{bn}前 n 项和，
若 Tn ＞m 恒成立，求 m 的最大值.
【解析】（1）由题意可知： 2（S３+a３）＝（S1+a1）+（S２+a２），∴S３-
2
３
上是增函数，则实数 a 的取值范围 ______.
【解析】 ∵ｆ′（ｘ）＝ｘ+２a- 1 ≥0 在[ 1 ，２]恒成立，即２a≥-ｘ+
ｘ
３
1 ｘ
在[
1 ３
，２]恒成立，
∵（-ｘ+
1 ｘ
）max=
8 ３
，
∴2a≥
8 ３
，
即 a≥
4 ３
.
二、分离参数法
分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过
，
y＝
aｘ2+bx+c mｘ2+nx+p
，
y＝
m·ax+n p·ax+q
，
y＝
m·sinx+n p·sinx+q
等，
解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离
出常数.
例 2. 函数 y＝ｘ2+2 （x＞1）的最小值是（）ｘ-1
A． 2 姨３＋2 B． 2 姨３－2 C． 2 姨３ D． 2
(
)((2x-２， x≥３

分离参数法

分离参数法
分离参数法是一种重要的数学方法，它用于求解具有很强的数学结构的复杂问题。

本篇文章旨在探讨分离参数法的基本概念、特点和应用，从而让读者对该方法有更深入的了解。

首先，对分离参数法进行定义。

它是一种采用了分离变量法的数学方法，用于求解拥有一组非线性方程组的问题。

方法的基本步骤是将多元复杂函数中的三个主要参数：变量、参数和时间，分别称为函数的独立参数。

一旦分离了这三个参数，就可以确定函数的特征，以及每个参数的特征。

这样，整个复杂问题就可以被解析为一系列更加容易处理的独立问题，从而节省了计算的时间和空间。

其次，要介绍分离参数法的特点。

一般来说，它具有一些独特的属性：一是可分解性，可将复杂的函数结构分解为相对简单的独立参数；二是可重用性，所得到的独立参数可以在多种变量应用中使用；三是高效率，其运行速度可以比传统的函数求解方法更快；四是降低成本，is降低了计算机环境的成本；五是可维护性，独立参数可以很方便地被维护和修改。

最后，介绍分离参数法在实际应用中的情况。

分离参数法被广泛应用于各种科学领域。

例如，在经济学中，它可以用来分析投资回报率问题、价格学习问题以及消费行为问题等；在动力学中，它可以用来求解运动学问题；在天文中，它用来模拟太阳系中的行星运行轨迹；在社会系统中，它可以用来模拟社会变迁的过程。

总之，分离参数法是一种重要的数学方法，具有可分解性、可重
用性、高效率、降低成本和可维护性等特点，并且在经济学、动力学、天文学和社会系统等实际领域有着广泛的应用。

因此，分离参数法不仅有助于求解复杂的问题，而且还可以大大提高计算效率和降低成本。

2020年方法3.4 分离(常数)参数法(练)-高考数学(文)二轮复习讲练测 Word版含解析

2019届高三二轮精品第三篇方法应用篇方法四分离（常数）参数法1.练高考1.【2018年天津卷文】已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．【答案】［，2］2.【2016高考北京文数】函数的最大值为_________.【答案】2【解析】，即最大值为2.3.【2016高考山东理数】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）证明：a+b=2c;（Ⅱ）求cos C的最小值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）1 2【解析】()I由题意知，化简得，即.因为,所以.从而.由正弦定理得2a b c +=.()∏由()I 知2a b c +=, 所以，当且仅当a b =时，等号成立.故 cos C 的最小值为12. 4.【2016高考天津理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.(Ⅰ)设，求证：{}n c 是等差数列；(Ⅱ)设，求证：【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】（I ）证明：由题意得21n n n b a a +=，有，因此，所以{}n c 是等差数列. （II ）证明：所以. 5.【2016高考江苏卷】【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）已知函数.设12,2a b ==. （1）求方程()2f x =的根;（2）若对任意x R ∈,不等式恒成立，求实数m 的最大值；（3）若，函数有且只有1个零点，求ab 的值。

【答案】（1）①0 ②4（2）1【解析】（1）因为12,2a b ==，所以. ①方程()2f x =，即222x x -+=，亦即，所以2(21)0x -=，于是21x =，解得0x =.②由条件知. 因为对于x R ∈恒成立，且()0f x >，所以对于x R ∈恒成立. 而，且，所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.（2）因为函数只有1个零点，而，所以0是函数()g x 的唯一零点.因为，又由知，所以'()0g x =有唯一解.令，则，从而对任意x R ∈，'()0h x >，所以是(,)-∞+∞上的单调增函数，于是当0(,)x x ∈-∞，；当0(,)x x ∈+∞时，.因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数，在0(,)x +∞上是单调增函数.下证00x =.若00x <，则0002x x <<，于是，又，且函数()g x 在以02x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x . 因为01a <<，所以log 20a <，又002x <，所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾.若00x >，同理可得，在02x 和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾. 因此，00x =.于是ln 1ln a b-=，故，所以1ab =. 6. 【2016高考新课标3理数】设函数，其中0a >，记|()|f x 的最大值为A ．（Ⅰ）求()f x '；（Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析．【解析】（Ⅰ）．（ⅰ）当105a <≤时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，，，所以23A a =-．（2）设，求使对任意n N +∈恒成立的实数k 的取值范围．【答案】（1）；（2）10k ≤-.（2）由对任意*n N ∈恒成立，即使对*n N ∈恒成立设，则当3n =或4时，n c 取得最小值为10-，所以10k ≤-.。

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总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______（一）选择题（12*5=60分）1.【甘肃省兰州第一中学2016届高三期中考试】若函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(,0]-∞ B. [0,)+∞ C ．(,0)-∞ D.(0,)+∞ 【答案】A【解析】由题意得：求函数2log (1)m x x =-≥的值域，由21log 00x x m ≥⇒≥⇒≤，所以选A.2.【浙江省温州市十校联合体2016届高三联考】当3x >时，则实数a 的取值范围是（） A ．(－∞,3] B ．【答案】D3.【河北省唐山一中等五校2016届高三联考】函数2()log (2)a f x ax =-在(0,1)上为减函数，则实数a 的取值范围是（）B.(1,2)C.(1,2]【答案】C【解析】设22u ax =-，由题设知，0a > 且1a ≠ ，所以22u ax =-在(0,1)上为减函数，且0u >在区间(0,1)上恒成立，所以有11220a a a >⎧⇒<≤⎨-≥⎩ ，故选C.4.若不等式223xlnx x ax ≥－＋－恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ． D ．(-12,15] 【答案】C11.【2016河北衡水二调】定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，）A 【答案】D12.现有两个命题：（1）若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ；（2），()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；则以下集合关系正确的是（）A ．P Q Ü B.Q P Ü C.P Q = D.P Q =∅【答案】C【解析】对（1）：由lg lg lg()x y x y +=+得xy x y =+即不等式2y x t >-+恒成立，等价于2t x y <+恒成立.这只需min (2)t x y <+即可.（当.t 的取值范围是（二）填空题（4*5=20分）13.【山西省孝义市2017届高三上学期二轮】1111111111111n ++++个之和是____________.14.【江苏省扬州中学2016届高三考试】设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是．【解析】∵)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =， ∴当0x <，有0x ->，2)()(x x f -=-，∴2)(x x f =-，即2)(x x f -=，∴⎩⎨⎧<-≥=)0(,)0(,)(22x x x x x f ，∴)(x f 在R 上是单调递增函数，且满∵不等[,2]t t +恒成立，[,2]t t +恒成立，解[,2]t t +恒成立，解得则实数t 的取值范围15.【2016在区间()33-，上恒成立，则实数a 的取值范围为．【答案】[)+∞,7.在区间()3,3-在区间()3,3-恒成立，只需当31<≤x ，()12--=x x y ，当3=x ，7max =y ，当13<<-x 时，()1122-+=--=x x x x y ，当3-=x 时，5max =y ，因此7，但是取不到.16.【2016届高三江苏教育学院附属高中期中】当)1,2(--∈x 时，不等式0124<++mx x 恒成立，则实数m 的取值范围是 .，2(1,4)x ∈，而解答题（6*12=72分）17.【2016对任意的x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围？【答案】)4,(-∞.18.【2016江西师大附中、鹰潭一中一联】已知抛物线C 的标准方程为)0(22>=p px y ，M 为抛物线C 上一动点，)0)(0,(≠a a A 为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N ．当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，△MON 的面积为18．（1）求抛物线C 的标准方程；（2t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．【答案】（Ⅰ）212y x =．（Ⅱ）（ⅰ）0a <时，不论a 取何值，t 均与m 有关，即0a <时，A 不是“稳定点”；（ⅱ）0a >时，仅当【解析】 6p =∴，抛物线C 的标准方程为212y x =．（Ⅱ）设1122()()M x y N x y ，，，，19.【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测】已知函数()log a f x x =，()2log (22)a g x x t =+-，其中0a >且1a ≠，t R ∈．（I 2,求实数a 的值；（II 恒成立，求实数t 的取值范围. 【解析】（I ）∵4t =，2分20.【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研】已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >,其前n 项和为n S ,且113322,,S a S a S a +++,成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足为数列{}n b 前n 项和，若n T m ≥恒成立，求m 的最大值.【答案】（1（2）1.【解析】（1）由题意可知:()()()331122313212322S a S a S a S S S S a a a +=+++∴-+-=+-,即314a a =,11,0,,1,2n q q a a ⎛>∴==∴= ⎝（2）11111,,2222n nn na b na b n n n a b n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴=∴= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,21112232...2n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++, ① 232122232...2n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++ ,②∴①- ②得()12221212nnn n n n n -=-=---,()112n n T n ∴=+-,n T m ≥恒成立，只需()()()11min 212120n n n n n n T m T T n n n ++≥-=--=+>,{}n T ∴为递增数列，∴当1n =时，()min 1,1,n T m m =∴≤∴的最大值为1.21.【河南省天一大联考2016-2017学年高中毕业班阶段性测试（二）】已知函数()ln f x b x =．（1）当1b =时，求函数2()()G x x x f x =--在区间（2）若在[]1,e 上存在0x ，使得成立，求b 的取值范围．【答案】（1）21e e --，0；（2212)(,1e e ++∞-②当11b +≤，即0b ≤时，()h x 在[]1,e 上单调递增，故()h x 在[]1,e 上的最小值为(1)h ，由(1)110h b =++<，可得2b <-（满足0b ≤）．③当11b e <+<，即01b e <<-时，()h x 在(1,1)b +上单调递减，在(1,)b e +上单调递增，故()h x 在[]1,e 上的最小值为(1)2ln(1)h b b b b +=+-+．因为0ln(1)1b <+<，所以0ln(1)b b b <+<，所以2ln(1)2b b b +-+>，即(1)2h b +>，不满足题意，舍去．综上可得2b <-或所以实数b 的取值范围为212)(,1e e ++∞-22.【江西省抚州市七校2017届高三上学期联考】记{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，如．已知函数{}2()max 1,2ln f x x x =-，21)22x a +（121)-，求函数()h x 在(0,1]上零点的个数；（2）试探讨是否存在实数(2,)a ∈-+∞，使得对(2,)x a ∈++∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）2个；（2ln 21,2]4-.。

分离常数法三个公式

分离常数法三个公式
分离常数法是对于求分式型的函数，常采用拆项使分式的分子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式。

a/c+(b-da/c)/(cx+d)可以称作分式一般式分离常数公式。

一、分离常数法公式
从分子到分母，每一项前系数依次设为 a，b，c ，d，将形如Y=（cx+d）/（ax+b)（a≠0）的函数，分离常数，变形过程为（ax+b）/（cx+d)=[a/c(cx+d)+b-da/c]/(cx+d)=a/c+(b-da/c)/(cx+d) 。

a/c+(b-da/c)/(cx+d)可以称作分式一般式分离常数公式。

二、分离常数法概念
对于求分式型的函数，常采用拆项使分式的分子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式，这种方法叫分离常数法。

分离常数法常用于求函数最值或值域等，在数列求和中也常用到，可参考例题理解。

还有一种分离常数法的应用方式是在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端）。

三、分离常数法用法
1.分离常数法适用于解析式为分式形式的函数。

2.在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。

专题01 分离变换法(解析版)

备战2022高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第一篇专题一分离变换法一、分离变换法：分离变换是解决方程、不等式有解，不等式恒成立最常用的方法，根据分离对象的不同可分为分离常数法、分离整式法、分离参数法及分离函数法。

二、方法详解（一）分离常数法分离常数法是研究分式形式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d+=+，22ax bx cy mx nx p ++=++，x x m a ny p a q⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 【例】已知a >0，设函数f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( ) A ．2 016B ．2 018C ．4 032D ．4 034【解析】由题意得f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1＝201820182018220181x x⨯+-+=2 018－22 018x ＋1。

因为y ＝2 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，所以f (x )＝2 018－22 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，所以M ＝f (a )，N ＝f (－a )，所以M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 036－22 018a ＋1－22 018－a ＋1＝4 034。

故选D 。

【例】若对任意实数x 恒有222231x a a x +<<+，求实数a 的取值范围.【分析】从22231x x ++中分离出2，使分子为常数，便于求范围。

【解析】因为222231211x x x +=+++，由2221100122311x x x ≥⇒<≤⇒<+≤++，所以223a a ≤⎧⎨>⎩，2a a <<≤。

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分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.
1 分离常数法
分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围.
1.1 用分离常数法求分式函数的最值
例1. 【2016高考北京文数】函数()(2)1
x f x x x =
≥-的最大值为_________. 【答案】
2
例2.【2015高考湖北，理21】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：OQP ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）22
1164
x y +=；（Ⅱ）存在最小值
8. （2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2
l y kx m k =+≠±，由22,416,
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，
所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ①
又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩
可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++. 由原点O 到直线PQ
的距离为d =
和|||P Q PQ x x -，可得
22
111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441
OPQ k m S k k ∆+==--. 当2
14k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；第21题图1 第21题图2
当2
104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--. 因2104k ≤<
，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k
∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号. 所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.
综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8.
1.2 用分离常数法求函数的值域分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d
+=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q
⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+ 等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.
例3. 函数y ＝x 2＋2x －1
(x ＞1)的最小值是( ) A．23＋2 B．23－2 C．2 3
D．2
【答案】A
1.3 用分离常数法判断分式函数的单调性
例4.已知函数()()x a f x a b x b
+=≠+，判断函数()f x 的单调性. 【答案】当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.
【解析】由已知有()1x b a b a b y x b x b
++--==+++，x b ≠-，∴当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.
例5.已知函数21()=2ln 2f x x ax x +-，若()f x 在区间1[2]3
，
上是增函数，则实数a 的取值范围______.
【答案】43
a ≥
. 【解析】 ∵120f x x a x '()=+-≥在1[2]3，恒成立，即12a x x
≥-+在1[2]3，恒成立， ∵max 18()3
x x -+=，∴823a ≥，即43a ≥. 2 分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.
2.1 用分离参数法解决不等式恒成立问题
例6.【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断】已知数列{}n a 是以t 为首项，以2为公差的等差数列，数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+．若对*n ∈N 都有4n b b ≥成立，则实数t 的取值范围是___________．
【答案】[18,14]--
例7.【广西梧州市2017届高三上学期摸底联考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S +=-．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设21222l o g
l o g l o g n n b a a a =+++ ，求使()8n n b nk -≥对任意n N +∈恒成立的实
数k 的取值范
围．【答案】（1）()
*2n n a n N =∈；（2）10k ≤-. 【解析】
（1）因为122n n S +=-，所以()122,2n
n S n -=-≥ 所以当2n ≥时，()
1122222n n n n n n a S S +-=-=---=，又211222a S ==-=，满足上式，
2.2 求定点的坐标
例8. 已知直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=，m R ∈，求证：直线l 恒过定点.
【答案】(3,1).
【解析】
直线l 的方程可化为4(27)0x y m x y +-++-=，设直线l 恒过定点(,)M x y ，由m R ∈，得40270
x y x y +-=⎧⎨+-=⎩(3,1)M ⇒，∴直线l 恒过定点(3,1). 【反思提升】综合上面的例题，我们可以看到，分离参（常）数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知，解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.。