计算方法 课后习题答案

其中,
，
正规方程组化为:
得 =2.43689 =0.291211
=2.43689所以 =11.45 = =0.291211
=2.43689所以 =11.45 1= =0.291211
12.求函数 在给定区间上对于 的最佳平方逼近多项式：
解：设
（1）
(2)
。
。
13. 上求关于 的最佳平方逼近多项式。
解：Legendre是[-1，1]上的正交多项式
解：1）用梯形公式有：
事实上，
2）Simpson公式
事实上，
3）由Cotes公式有：
事实上，
2．证明Simpson公式 具有三次代数精度。
证明：
而当 时
左侧：
右侧：
左侧不等于右侧。所以Simpson具有三次代数精度.
3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson计算下列积分.
(1) ，（3） ，（4）
注意到这里 是三重零点， 是单零点，故插值余项为
20．求作次数 的多项式 ，使满足条件
并列出插值余项。
解法1：由于在 处有直到一阶导数值的插值条件，所以它是“二重节点”；而在 处有直到二阶导数值的插值条件所以 是“三重节点”。因此利用重节点的差商公式：
可以作出差商表
一阶
二阶
三阶
四阶
0
0
1
1
1
－1
－1
利用 的第1式，可将第2式化为
同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得
由 式消去 得
进一步整理
由此解出
解得：
因此所求的两点Gauss求积公式：
或依下面的思想：
解（2）：令原式对于 准确成立，于是有
利用 的第1式，可将第2式化为
同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得
由 式消去 得
解：(1)
= ,
当误差 时， 25.6,所以取 =26。
（2）
6．用Romberg求积方法计算下列积分，使误差不超过 。
（1） ；（2） ；（3） ;(4)
解（1）：
计算可以停止。
解（2）：
（3）解:
解（4）:
7．推导下列三种矩形求积公式：
证明： 将 在 处Taylor展开，得
两边在 上积分，得
将 在 处Taylor展开，得
-2
故：
16.求作满足条件 的插值多项式 。
解法1：根据三次Hermite插值多项式：
并依条件 ，得
解法2：由于 ，故可直接由书中（3.9）式，得
17．设 充分光滑， ，求证
证明：显然，满足条件 的插值多项式
由于
故
18．求作满足条件 的插值多项式 ，并估计其误差。
解法1：由已
9
3
用基函数方法构造 。令
根据题意作差商表：
一阶差商
二阶差商
0
4
2
1
6.25
2.5
2
9
3
4.设 ，试列出 关于互异节点 的 插值多项式。
注意到：若 个节点 互异，则对任意次数 的多项式 ，它关于节点 满足条件 的插值多项式 就是它本身。可见，当 时幂函数 关于 个节点 的插值多项式就是它本身，故依 公式有
特别地，当 时，有
而当 时有
证明：据题4可知，
令 ，则有 。注意到
（证明见王能超数值简明教程145页题6）
令 即有 。
9.已知 ，求差商 和 。
解：根据差商与微商的关系，有
10.已知 互异，求 。其中 。（此题有误。）（见王能超《教程》P149－题2）
解：因为 ，则
由差商性质 可知，
11.设首项系数为1的n次式 有n个互异的零点 ，证明
0
0
0
－2
1
10
10
3
9
20
6
11
5
根据Newton插值多项式，有
且插值余项为
21．设分段多项式
是以 为节点的三次样条函数，试确定系数 的值。
解：由 可得
即 解得
22．根据给定的数据表
1
2
3
2
4
12
1
-1
建立一个三次样条插值函数 。
解：
由已知作差商表
0
1
2
1
2
4
2
2
3
12
8
3
节点等距
第二章习题答案
1.计算下列函数 关于 的 ：
5.依据下列函数表分别建立次数不超过3的 插值多项式和 插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。
0
1
2
4
1
9
23
3
解：
（1）Lagrange插值多项式
=
=
=
=
（2）Newton插值多项式
一阶差商
二阶差商
三阶差商
0
0
1
1
1
9
8
2
2
23
14
3
3
4
3
-10
由求解结果可知：
说明插值问题的解存在且唯一。
6.已知由数据 构造出的 插值多项式 的最高次项系数是6，试确定 。
解： =
=
=
=
中最高次项系数为：
7.设 ，试利用 余项定理给出 以 为节点的插值多项式 。
解：由Lagrange余项定理
可知：当 时，
8.求作 关于节点 的 插值多项式，并利用插值余项定理证明
式中 为关于节点 的 插值基函数。
解：注意到 关于节点 的插值多项式为
其插值余项为
据此令 即得 。
附加题：设 为关于节点 的 插值基函数，证明
5。对下列给定的矩阵A作LU分解，并利用分解结果计算A-1。
解：
L= U=
由
6。用Doolittle分解法解方程组
解：A= =
其中L= U=
由Ly= 解得y=
由Ux=y，解得x=
7。用Crout分解法接方程组。
解：
由Ly=b= 得y=
由Ux=y= 得x=
8。用平方根法求解方程组
解：易知 是对称矩阵，可求得
19
25
31
38
44
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
解：
将 =19,25,31,38,44分别代入 ，得
所以误差
11.求形如 的经验公式，使它能和下表给出的数据相拟合。
1
2
3
4
5
6
7
8
15．3
20．5
27．4
36．6
49．1
65．6
87．8
117．6
解：
设 ，两边取对数得 令 ，则有
设 ，于是得到正规方程组:
由Ly=b得y=
由 解得x=
9。用改进的平方根法求解下列方程组
取
，
=
14.求 在 上的三次最佳平方逼近多项式。
解：
15.已知勒让德多项式 ，试在二次多项式类 中求一多项式 ，使其成为 上的最佳平方逼近函数。
解： ,设
由题意可知
即：
即：
解得：
16.求 上的二次最佳平方逼近多项式，并估计平方误差。
解：设
第三章习题答案
1.分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分 计误差。
容易验证当 时， 而
可见，它对于 不准确成立，故该求积公式的代数精度是3。
解(3)：令原式对于 准确成立，于是有
解得:
于是有求积公式
容易验证，当 时， 而
可见，它对于 不准确成立，故该求积公式的代数精度是2。
12.利用代数精度方法构造下列两点Gauss求积公式：
解（1）：令原式对于 准确成立，于是有
解：因为第一列中10最大,因此把10作为列主元素
得到方程组
3。举例说明一个非奇异矩阵不一定存在LU分解。
例如：设
与题设相矛盾，所以一个非奇异矩阵不一定存在LU分解。
4。下列矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵）？若能分解，那么分解是否唯一？
解：
设 B可以进行LU分解，则B=
计算得
两边在 上积分，得
将 在 处Taylor展开，得
两边在 上积分，得
8．如果 证明用复化梯形公式计算积分 所得结果比准确值大，并说明其几何意义。
证明：复化梯形公式为
若 在 上连续，则复化梯形公式的余项为
由于 且
所以 使
则(1)式成为：
又因为 所以
即用复化梯形公式计算积分 所得结果比准确值大。
其几何意义：曲线 在定义域内是向下凹的，即曲线在曲线上任两点连线的下方。
此时，
由余项可估计误差为
14．用三点 求积公式计算积分 ，并估计误差。
解：作变换 则得
由三点Gauss-Legendre公式：
其估计误差为：
,（ ）。其准确值
其准确误差等于：
\第四章习题答案
1。用Gauss消去法解方程组
解:方程组写成矩阵形式为
对其进行Gauss消去得
得方程组
2。用Gauss列主元素消去法解方程组
注： ，
解：（1）
（2）
（3）
（4）
2.令 ，试证 是在 上带权
的正交多项式，并求 。
解：
是在 上带权 的正交多项式。
3. 是区间 上带权 的最高次项系数为1的正交多项式族，其中 ，求 。
解法一：
解法二：设 ，则由
4.求 ，使积分 取得最小值。
解：题意即为在 中求 的最佳平方逼近多项式 ，故 满足法方程