计算方法 课后习题答案
),n 的Lagrange
),n 的Lagrange 插值基函数。关于节点(),i x i n =的插值多项式为11
)()n n i j j j i x x l x x ++==∑
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)7,2和)8,2。
,)n互异，求)
x。
,
p （见王能超《教程》P149－题
,)n，则
可知，
),2,,n ，证明,2
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Newton 插值多项式。
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1
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计算方法的课后答案解析
《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、
实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差 （简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e *，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称* x ε η= 为近似值x 的相对误差限η≤r e ，由于真值* x 是未知的，所以常常用 x e x x x e r =-=*来表示相对误差，于是相对误差可以从绝对误差求出。 7．近似值的规格化表示形式如何？ 答：一般地，对于一个精确值* x ，其近似值x 的规格化形式为m p x x x x 10.021?±= ，其中{}),2,1(9,2,1,0,01p i x x i =∈≠，p 为正整数，m 为整数。 8．有效数字的概念是什么？掌握有效数字与误差的关系。
计算方法课后习题集规范标准答案
习 题 一 3. 已知函数y =4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函 解：0120124, 6.25,9;2, 2.5,3y x x x y y y =======由题意 （1） 采用Lagrange 插值多项式2 20 ()()j j j y L x l x y ==≈=∑ 27 020112012 010*********()|()()()()()() ()()()()()()(7 6.25)(79)(74)(79)(74)(7 6.25)2 2.53 2.255 2.25 2.75 2.7552.6484848x y L x x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x ==≈------= ++------------=?+?+??-??= 其误差为 (3)25(3) 2 5(3)2[4,9]2() (7)(74)(7 6.25)(79) 3!3()83max |()|40.011728 1 |(7)|(4.5)(0.01172)0.00879 6 f R f x x f x R ξ-- =---==<∴<=又则 （2）采用Newton 插值多项式2()y N x =≈ 根据题意作差商表：
224(7)2(74)()(74)(7 6.25) 2.64848489495 N =+?-+-?-?-≈ 4. 设()()0,1,...,k f x x k n ==，试列出()f x 关于互异节点()0,1,...,i x i n =的 Lagrange 插值多项式。 注意到：若1n +个节点()0,1,...,i x i n =互异，则对任意次数n ≤的多项式()f x ，它关于节点()0,1,...,i x i n =满足条件(),0,1,...,i i P x y i n ==的插值多项式()P x 就是它本身。可见，当k n ≤时幂函数()(0,1,...,)k f x x k n ==关于1n +个节点()0,1,...,i x i n =的插 值多项式就是它本身，故依Lagrange 公式有 ()0 0(),0,1,...,n n n k k k i j j j j j i j i i j x x x l x x x k n x x ===≠-=≡=-∑∑∏ 特别地，当0k =时，有 ()0 00 1n n n i j j j i j i i j x x l x x x ===≠-=≡-∑∑∏ 而当1k =时有 ()000n n n i j j j j j i j i i j x x x l x x x x x ===≠?? - ?=≡ ?- ??? ∑∑∏ 5.依据下列函数表分别建立次数不超过3的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。
计算方法课后习题答案 之习题一
习题一 1. 在3位十进制计算机上分别从左到右及从右到左计算： 34.53+0.035 24+0.046 219+0.048 9+0.032 7，说明那个结果较为准确。 解：（1）从左到右计算： 34.53+0.035 24+0.046 219+0.048 9+0.032 7 =0.345×102+0.35 2×10-1+0.46 2×10-1+0.48 9×10-1+0.32 7×10-1 =0.345×102+0.000×102+0.46 2×10-1+0.48 9×10-1+0.32 7×10-1 =0.345×102+0.46 2×10-1+0.48 9×10-1+0.32 7×10-1 =0.345×102+0.000×102+0.48 9×10-1+0.32 7×10-1 =0.345×102+0.48 9×10-1+0.32 7×10-1 …… =0.345×102 =34.5 （2）从右到左计算： 34.53+0.035 24+0.046 219+0.048 9+0.032 7 =0.345×102+0.35 2×10-1+0.46 2×10-1+0.48 9×10-1+0.32 7×10-1 =0.345×102+0.000×102+0.46 2×10-1+0.81 6×10-1 =0.345×102+0.46 2×10-1+1.27 8×10-1 =0.345×102+0.46 2×10-1+0.127 8×100 =0.345×102+0.46 2×10-1+0.128×100 =0.345×102+0.046 ×100+0.128×100 =0.345×102+0.174 ×100 =0.345×102+0.00174 ×102 =0.345×102+0.002 ×102 =0.347×102 =34.7 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. 用秦九韶算法计算 4532)(23-+-=x x x x p 在x =2处的值。并计算所需要乘法的次数。 解：普通算法需要乘法次数：6次 用秦九韶算法需要乘法次数：3次 用秦九韶算法可以减少乘法的次数。 4532)(23-+-=x x x x p = ()()4532-+-x x x 把X=2代入： =10 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3、设u,v,x 都是n 维向量，I 是单位矩阵，试分析用下面两种算法Y 的乘法计算量： （1） ()()T T y I uu I vv x =-- 假设u ，v, x 为列向量，
计算方法课后习题答案第四章作业
（五）课后习题 4.1 对于积分? -a a dx x f )(，以a x x a x ==-=210,0,为节点，构造形如 ? -++≈a a x f A x f A x f A dx x f )()()()(221100 的插值型求积公式，并讨论所得公式的代数精度。 解答：??--=------=----= a a a a a dx a a a a x x dx x x x x x x x x A 31))(0())(0())(())((2010210 ? ?--=-+-+=----=a a a a a dx a a a x a x dx x x x x x x x x A 34)0)(0())(())(())((2101201 ? ?--=-+-+=----=a a a a a dx a a a x a x dx x x x x x x x x A 31 )0)(()0)(())(())((1202102 易知为Simpson 公式,因此代数精度为3 4.2 确定 下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精度。 （1）? ++≈2 210)2()1()0()(f A f A f A dx x f （2） ? -?++≈h h f f h h f f h dx x f 0 ''2)]()0([)]()0([2 )(α 解答：（1）令2 ,,1)(x x x f =，假定求积公式均准确成立，从而有： ?++==2 02102A A A dx 21022102 ?+?+?==? A A A xdx 2 221202 221003 8?+?+??== ?A A A dx x 解以上三元线性方程组从得：3 4 ,31120===A A A ，显然仍为Simpson 公式,因此代数精度为3 （2）求积公式中只含一个待定参数α，当x x f ,1)(=时，有 ? ++=h h dx 0 0]11[2，?-++=h h h h xdx 02)11(]0[2 α 故令2 )(x x f =时求积公式准确成立，即 ? -?++=h h h h h dx x 0 222]202[]0[2α，解得12 1 =α 将3 )(x x f =代入上述确定的求积公式，有：
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* * ***1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 ***%2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5?=x 。 [解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4 *3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。 （1）*4 *2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2*1x x x ；
(完整word版)计算方法-刘师少版课后习题答案
1。1 设3.14， 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数 解 近似值x =3.14＝0.314×101，即 m =1，它的绝对误差是 －0。001 592 6…，有 31105.06592001.0-*⨯≤=- x x . 即n =3，故x =3.14有3位有效数字. x =3。14准确到小数点后第2位。 又近似值x =3。1416，它的绝对误差是0。0000074…，有 5 -1* 10⨯50≤00000740=-.. x x 即m =1，n ＝5,x =3。1416有5位有效数字。 而近似值x =3.1415,它的绝对误差是0。0000926…，有 4-1*10⨯50≤00009260=-.. x x 即m =1,n ＝4，x =3。1415有4位有效数字。 这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字 1.2 指出下列各数具有几位有效数字,及其绝对误差限和相对误差限： 2.0004 －0。00200 9000 9000.00 解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1 绝对误差限:4105.0000049.020004.0-*⨯≤≤-=-x x x m —n =-4，m =1则n =5，故x =2。0004有5位有效数字 1x =2,相对误差限000025.0102 21102151)1(1=⨯⨯=⨯⨯=---n r x ε （2）∵ －0.00200= —0.2×10—2， m =—2 5105.00000049.0)00200.0(-*⨯≤≤--=-x x x m —n =-5， m =—2则n =3,故x =-0.00200有3位有效数字 1x =2，相对误差限31102 21 -⨯⨯= r ε=0.0025 (3) ∵ 9000=0.9000×104， m =4， 0105.049.09000⨯<≤-=-*x x x m —n =0， m =4则n =4,故x =9000有4位有效数字 41109 21-⨯⨯=r ε＝0。000056 （4） ∵9000.00=0。900000×104, m =4， 2105.00049.000.9000-*⨯<≤-=-x x x m -n =-2， m =4则n =6,故x =9000.00有6位有效数字 相对误差限为61109 21 -⨯⨯=r ε＝0。000 00056 由(3)与(4)可以看到小数点之后的0,不是可有可无的，它是有实际意义的. 1.3 ln2=0.69314718…，精确到3 10-的近似值是多少？ 解 精确到3 10-＝0.001,即绝对误差限是 ＝0.0005， 故至少要保留小数点后三位才可以。ln20.693 2。1 用二分法求方程013 =--x x 在 1, 2 的近似根,要求误差不超过 3102 1 -⨯至少要二分多少？ 解：给定误差限 ＝0。5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(21 1 *a b x x k k -≤ -+ 只要取k 满足ε<-+)(2 11 a b k 即可，亦即 96678.912 lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10。 2。3 证明方程1 —x –sin x ＝0 在区间[0， 1］内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10—4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x , ∵ f (0)=1〉0，f (1）=－sin1〈0 ∴ f （x ）=1－x －sin x =0在［0，1]有根.又 f （x ）=-1－c os x<0 （x ［0。1］),故f (x ) 在［0，1]单调减少，所以f （x ） 在区间 ［0，1］内有唯一实根. 给定误差限 ＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(2 11 *a b x x k k -≤ -+ 只要取k 满足 ε<-+)(2 11 a b k 即可,亦即
计算方法答案王能超
计算方法答案王能超 【篇一：计算方法习题集及实验指导书】 s=txt>计算机科学与技术系 檀明 2008-02-10 课程性质及目的要求 （一）课程性质 自计算机问世以来，科学计算一直是计算机应用的一个重要领域， 数值计算方法是解决各种复杂的科学计算问题的理论与技术的基础。《计算方法》课程讨论用于科学计算中的一些最基本、最常用的算法，不但具有数学的抽象性与严密的科学性的特点，而且具有应用 的高度技术性的特点。它对于培养从事计算机应用的科技人才有着 重要的作用，是计算机应用专业（本科段）的一门重要的技术基础 课程。 （二）目的要求 通过本课程的学习和上机实验，了解用计算机解决科学计算问题的 方法特点，掌握计算方法中的一些基本概念、基本公式和相应的算 法流程，提高根据算法描述设计高级语言程序并进行验证的技能。 在学习过程中，应注重理解和应用，在搞清基本原理和基本概念的 基础上，通过习题、编程和上机等环节，巩固和加深已学的内容， 掌握重要的算法及其应用。注重理论与算法的学习和应用相结合， 强调编程及上机计算的技能培养，是本课程不同于一般数学课程的 重要特点。（三）学习方法指导 1．循序渐进逐章学习本课程从第二章开始，每章都讨论一个大类 的算法。虽然各算法是相对独立的，但是也存在相互联系与前后继 承的关系。前面的概念和算法学好了，后面的内容也就容易学，越 学越感到容易。前面的内容没有学好，后面就会感到难学，甚至会 出现越来越感到困难、失去学习信心的情况。 2．稳扎稳打融会贯通学习要扎实、要讲求实效。每一个重要的概 念和公式，都会搞清楚，做到融会贯通。只有这样，才能取得学习 的学习效果。 3．多学练勤做习题教材及本习题集中的每一章都附有适量的习题，可以帮助考生巩固和加深理解所学的知识，提高解题能力。因此，
计算方法第二版课后练习题含答案
计算方法第二版课后练习题含答案 前言 本文将为大家提供计算方法第二版课后练习题的答案，旨在帮助读者更好地学 习和掌握计算方法的知识。本文全部内容均为作者整理，尽可能保证每一题的答案正确性。读者可以借助本文的答案，检验自己的练习成果，加强对计算方法知识的理解和掌握程度。同时，读者也应该注意切勿直接复制答案，本文的答案仅供参考，希望读者能够通过自己的思考和探索，获得更深层次的学习感悟。 第一章引论 1.1 计算方法的基本概念和思想 练习题 1 写出计算方法的三要素，并分别简要解释。 答案 计算方法的三要素为：模型、算法、误差分析。 •模型：计算方法所涉及的实际问题所对应的数学模型，是解决问题的基础； •算法：根据模型，构造相应的计算程序，即算法； •误差分析：计算结果与实际应用中所需的精度之间的差异，称为误差。 误差分析是对计算结果质量的保障。 1.2 算法的误差 练习题 2 写出二分法算法，并解释其误差。
答案 算法： function binarySearch(a, target) { let low = 0; let high = a.length - 1; while (low <= high) { let midIndex = Math.floor((low + high) / 2); let midValue = a[midIndex]; if (midValue === target) { return midIndex; } else if (midValue < target) { low = midIndex + 1; } else { high = midIndex - 1; } } return -1; } 误差: 二分法算法的误差上界为O(2−k)，其中k为迭代次数。在二分法被成功应用时，k取决于与目标值x的距离，即 $k=\\log _{2}(\\frac{b- a}{\\epsilon})$，其中[a,b]是区间，$\\epsilon$ 是目标值的精度。
计算方法引论徐萃薇课后题答案
计算方法引论徐萃薇课后题答案徐萃薇(Xu Cuiwei)教授向学生们提出了一个有关计算方法的练习题，这里是课后习题的答案： 题目一：定义“计算方法” 计算方法是一种数值解决问题的方法，用计算机或者类比设备来完成一系列计算过程，以解决由某一特定问题及其变体而产生的一系列更复杂问题。它是一种能用有限的资源（如时间、空间、技术等）产生正确结果的计算机程序，他可以安排合理的步骤，使用易于操作的方法来解决指定的问题。 题目二：分析计算方法的优缺点 优点： 1. 计算方法基于数理模型的明确理论，可以更好地解决问题； 2. 相较于其他方法，它使用更简单的计算机程序来实现更复杂的功能；
3. 它可以把不容易解决的问题转变为容易解决的形式，这将有助于系统更好地管理和管理空间。 缺点： 1. 计算方法有一定的局限性，不一定适用于所有的情景； 2. 数学建模常常非常耗时，而且可能有很多假设和过程； 3. 数学建模的结果可能有很多偏差，可能不切实际。 题目三：对于复杂问题，需要用到哪些计算方法 对于复杂问题，可以用到多种方法来解决，如： 1. 动态规划法(DP)：动态规划法可以用来解决最优化问题，如旅行商问题、背包问题等。
2. 概率法：概率法可以跨越归纳和演绎，在可预期结果和把握风 险方面有很大的优势。 3. 机器学习：机器学习可以帮助系统自动从数据中获取规律，从 而有效地解决规模复杂的问题。 4. 启发式搜索：启发式搜索可以有效地模拟人类的求解思考方法，通过把问题分解为子问题，再变换为其他问题求解的方法，可以有效 解决复杂的问题。 5. 分支定界法：分支定界法是一种能获得全局最优解的解决复杂 问题的方法，它被广泛应用于思维密集型最优化问题。 总而言之，复杂问题可以用多种计算方法来解决。正确使用和选 择合适的方法是关键，从而能够获得更好的结果。
计算方法课后习题答案第五章
5.1 为求方程0123=--x x 在区间] 6.1,3.1[内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，判断各迭代公式的收敛性，给出理由。 (1) 1-1=1-1=1+2k k x x x x :,迭代公式 （2）21+21+1=1+1=k k x x x x :,迭代公式 (3) 3121+23+1=+1=/)(:,k k x x x x 迭代公式 (4) 1+++1==1-221+2 3k k k k x x x x x x :,迭代公式 解答：在(1)中,.).()()(,)(,//0758281=1-6121>1-21-='1 -1=1-1=23232x x x x x x ϕϕ 故迭代不收敛（由补充推论）。 (2)中1901.03.112)],6.1,3.1[,11)(,113 322<=<-='∈∀+=+=x x x x x x x ϕϕ（压缩性），]6.1,3.1[]3 .111,6.111[)(22⊂++∈x ϕ（映内性）故迭代收敛。 (3)中，15515.0) 3.11(36.12)1(32)],6.1,3.1[,1)(3/223/2232<≈+⨯<+='∈∀+=x x x x x x ϕϕ（压缩性），]6.1,3.1[]6.11,3.11[)(3232⊂++∈x ϕ（映内性）故迭代收敛。 在(4)中，类似证明，迭代收敛。 5.2 考虑求方程0123cos 2=+-x x 根的迭代公式 ,2,01,cos 3241=+ =+k x x k k 试证：对R x ∈∀0，该方法收敛，且收敛阶为１。 证明： 收敛性：x x cos 324)(+=ϕ，R x ∈∀0，]324,313[1∈x ，易知 ,2,1],3 24,313[=∈k x k ， ],324,313[∈∀x 1sin 3 2)('<=x x ϕ，据全局收敛知必收敛（注意考察序列为 ,2,1=k ）；又], 324,313[*∈x 0sin 3 2)(**'≠=x x ϕ，由定理知必线性收敛。
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等) 绪论（12） 1、设x 0，x的相对误差为，求lnx的误差。 [解]设x* 0为x的近似值，则有相对误差为r*(x) ，绝对误差为*(x) x*，从而lnx的误差为*(lnx) (lnx*) (x*) 相对误差为(lnx) * r 1* x ，x* *(lnx) lnx* lnx* 。 2、设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。 [解]设x*为x的近似值，则有相对误差为r*(x) 2%，绝对误差为*(x) 2%x*，从而x的误差为(lnx) (x) 相对误差为(lnx) * r n *n
x x* (x) n(x) **n 1 2%x 2n% x * *n ， *(lnx) (x) *n 2n%。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： *****x1 1.1021，x2 0.031，x3 56.430，x5 385.6，x4 7 1.0。 ***[解]x1 1.1021有5位有效数字；x2 0.0031有2位有效数字；x3 385.6有4**位有效数字；x4 56.430有5位有效数字；x5 7 1.0有2位有效数字。 ****4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中x1均为第3题所给,x2,x3,x4 的数。 ***（1）x1；x2 x4 f *******
e*(x1 x2 x4) (x) (x) (x) (xk124) x k 1 k [解]； 111 10 4 10 3 10 3 1.05 10 3 222 n * *** （2）x1x2x3； f*** e*(x1x2x3) k 1 xk n ********** (x) (xx) (x) (xx) (x) (xx) (x)k***-*****3 * 1[解] (0.031 385.6)1 10 4 (1.1021 385.6)1 10 3 (1.1021 0.031) 10 3；222 0.***** 10 3 212.***** 10 3 0.***-***** 10 3 213.***-***** 10 3 0.***-*****255 ** （3）x2。/x4 *
数值计算方法第三版课后习题答案
习 题 一 解 答 1．取3.14，3.15， 227，355113 作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。 分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式 计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。 解：（1）绝对误差: e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差： 3()0.0016 ()0.51103.14 r e x e x x -==≈⨯ 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159… 所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311 101022 --⨯=⨯ 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。 （2）绝对误差: e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差： 2()0.0085 ()0.27103.15 r e x e x x --==≈-⨯ 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407… 所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211 101022 --⨯=⨯ 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.001264493 0.00137 e x π=-=-=-≈- 相对误差： 3()0.0013 ()0.4110227r e x e x x --==≈-⨯ 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 22 3.1428571430.3142857143107 ==⨯，m=1。 而22 3.14159265 3.1428571430.0012644937 π-=-=-