离散数学第一章

29
集合间的关系与运算的表示：文氏图(Venn Diagrams)
E
A
B
E
A B
A∩B=A
E
A B
A-B
E
A B
A∩B=
A∪B
E
A
A∩B
E
B
A
~A
E
A
E
B
AB
A
C
B
(A∩B)-C
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集合运算性质
①交换律 A∩B=B∩A, A∪B=B∪A ②结合律 (A∩B)∩C= A∩(B∩C) (A∪B)∪C= A∪(B∪C) ③分配率 A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C)= (A∪B)∩(A∪C) ④同一律 A∪Ø=A, A∩E=A ⑤互补律 A∪~A=E, A∩~A=Ø
举例：


全体中国人组成一个集合，每个人是集合中的元素 所有正整数组成一个集合，每个正整数是集合中的元素
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集合及其元素

集合中元素的3个特点：
确定性


任意对象都能确定它是或不是集合的元素 “很大的数”、“个子比较高的人”则不能构成集合（模糊集 合论） 集合中的元素均不相同 或者可以说：{a,b,b,c}和{a,b,c}都一样 集合中元素无顺序之分

19世纪后期，许多数学家又致力于分析的严格化，涉及到 对连续函数的描述，在数与连续性的定义中，再次涉及关 于无限的理论，一切问题指向一个中心——无穷概念、无 限集合。
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悖论（Paradox）

在某些公认正确的知识背景下，可以合乎逻辑地建立两个 矛盾语句相互推出的矛盾等价式。

即：K真，当且仅当，K假 认识论悖论（语义悖论）：“我正在说谎” 狭义逻辑悖论（语形悖论）：集合论
平面上的n个圆（或椭圆），使得任何可能的相交部分
都是非空的和连通的，则集合之间关系可以用圆之间 的关系表示。 说明：主要是为了用来直接说明集合之间的关系。
A=B
B⊂A
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相关定理

定理1.1 对任一集合A，必有Ø⊆A
证明：
假设Ø⊈A，则至少存在一个x，有x∈Ø而x∉A， 但是由于Ø 中无元素，故x∈Ø 和假设矛盾， 即这样的x不存在。
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集合代数（集合运算）


定义1.3 由集合A、B中所有元素合并组成的集合，称为集 合A和B的并集，记作A∪B，“∪” 称为并运算； 定义1.4 由集合A、B中所有公共元素组成的集合，记作 A∩B，“∩”称为交运算； 定义1.5 集合A、B若满足A∩B=Ø，则称A与B是分离的。 如果A∪B=E，且A与B是分离的 ，则称A与B互斥； 定义1.6 集合A的补集~A定义为~A=E-A，“~”称为补运算。

集合论是数学的基础，有力地促进了各个数学分支的发展。
创始人：


康托 Cantor 德国数学家（1845-1918）
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集合论

集合论体系：
朴素集合论 公理化集合论 模糊集合论
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集合论及其发展背景

18世纪，无穷未定义，微积分理论遇到严重的逻辑困难； 19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描述，却没有 彻底完成微积分的严密化，其思想中甚至能产生逻辑矛盾；
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常用集合


N：正整数、I：整数、Z：非负整数 Q：有理数、R：实数、P：素数 特殊集合


有限集合/无限集合 空集：元素个数为0的集合，记作Ø 全集：研究对象全体的集合，记作E
全集和研究对象所处的范围密切相关，研究内容总量限制在某个 集合之内时，这个集合就是全集。

说明：


集合的基数




低估悖论的重要性，把它们当作诡辩或者笑料，从科学 进步的角度看来是十分危险的； 我们必须找到它的原因，就是说，必须分析出悖论所依 据的前提； 然后，在这个前提中我们必须至少抛弃其中一个，而且 还必须研究这将给我们的整个探讨带来什么样的后果。 ——阿尔弗雷德·塔尔斯基（逻辑学家和数学家）
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∞的悖论——漫长的困扰

有限集合中不同元素的个数，记作|∙| A={1,2,3} |A|=3 |Ø|=0
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集合之间的关系

集合相等
定义1.1
如果集合A与集合B的元素相同（不考虑顺 序），则称这两个集合相等，记作A=B，否则称这两个 集合不相等，记作A≠B；

两个集合不相等就是有不相同的元素（至少有一个）；
证明集合相等或不相等，常会用到如下方法：

狄德金放弃了划时代著作《什么是数和数的应用》的出版 弗雷格：我的著作要出版时，发现建筑物的基础塌了 拓扑学权威劳威尔宣布自己过去的工作全在说废话 。。。。。。
第一次数学危机：无理数 第二次数学危机：微积分（无穷小量）
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集合论
产生矛盾 （罗素悖论） 第三次 数学危机 公理化 集合论
说明：19世纪末物理学危机，引发相对论、量子力学
互异性

无序性

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集合的记法和表示方法

集合的记法
大写字母（带或不带标号）表示集合：A,B,X 小写字母（带或不带标号）表示元素：a,b,x1 若元素a是集合A的元素，记作a∈A，否则a∉A

集合的表示方法
列举法/穷举法/枚举法 特征法/描述法
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集合的记法和表示方法

⑥零一律 A∪E=E, A∩Ø=Ø ⑦吸收律 A∪(A∩B)=A, A∩(A∪B)=A ⑧双补律（双重否定律） ~(~A)=A ⑨德∙摩根律 ~(A∩B)= ~A∪~B ~(A∪B)= ~A∩~B ⑩等幂律（幂等律） A∪A=A, A∩A=A

数理逻辑

命题与联结词、命题公式、真值表、命题公式的运算、析取范式与合取范式、演 绎推理、谓词公式及其运算、谓词推理简介，数理逻辑的应用。

拓展内容

复杂网络、网络流理论、网络编码、…
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教师简介

谭小彬

信息学院自动化系 中国科学技术大学未来网络实验室（http://lfn.ustc.edu.cn/） xbtan@ustc.edu.cn 科技实验楼西楼806 研究方向：

60课时，每周两次课

成绩：

随堂作业（30%） 考试（70%）：开卷

上课要求

按时上下课 不影响其他同学
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第一部分：集合论

研究集合的数学理论，包含集合和元素、关系等最基本的 数学概念

大多数现代数学的公式化都是建立在集合论的概念基础上； 集合论、命题逻辑与谓词逻辑共同构成了数学的公理化基础，以 集合论术语来形式化地建构数学对象； 集合论是数学的一个基本分支，在数学中占据着独特的地位，其 基本概念已渗透到数学的所有领域；

存在一个元素x，x∈A，且x∉B，或者x∈B，且x ∉A，即A≠B 对任意元素x，x∈A 能推出x ∈B，并且对任意元素x，x∈B能 推出x ∈A，即A=B
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集合之间的关系

包含关系
定义1.2


集合A、B，如果元素a∈A，必有a∈B，则称B包含A，或称A 是B的子集，记作B⊇A或A⊆B； 如果B⊇A，并且存在b使得b∈B但b∉A，则称A是B的真子集， 记作B⊃A或A⊂B；
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定义1.7 由集合A、B中所有属于集合A而不属于集合B的 元素组成的集合，称为集合A对集合B的差集，记作A-B， “-”称为差运算。

A-B= A∩~B

定义1.8 集合A、B的对称差（或称布尔和）A+B定义为： A+B=(A-B)∪(B-A)


A、B所有非公共元素组成ห้องสมุดไป่ตู้集合； “+”称为对称差运算，也用“⊕”表示。

即：集合B除过包含A的所有元素外，还有集合A中没有的元素；

如果集合A、B之间不满足A⊆B，则称B不包含A，记作：A⊈B
对于每个非空集合A至少有两个子集A和Ø；

说明：

根据定义，A和Ø都是A的子集，称为A的平凡子集；

对于空集，则只有一个平凡子集。
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文氏图

Venn Diagram，John Venn（1834-1923）

列举法/穷举法/枚举法
按任意顺序逐一列举集合中的元素（元素间用
逗号隔开）

和顺序无关
例：

A={a,b,1,2} 如较多可用省略号，如：

B={1,2,……,100} C={1,2,…………}
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集合的记法和表示方法

特征法/描述法
通过特征描述：集合就是满足某个特征的元素的全体； 给定一个条件p(x)，当且仅当个体a使p(a)满足时，

未来网络体系架构和网络优化 信息安全
课件：邮件服务器共享（共享用户：xbtan，密码：ustc）
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参考书目

《离散数学导论（第3版）》
徐洁磐 高等教育出版社，2006年 超星图书馆可以下载电子版

《离散数学简明教程》
邵学才、张纪勇 科学出版社，1995年
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上课及考试

课程安排


3
课程内容

集合论

集合基本概念、有限集与无限集、包含排斥原理、映射和函数、单射与满射、二 元关系、等价关系、相容关系、偏序关系、集合论的应用；

代数结构

代数运算、代数系统、同态与同构、群、循环群、陪集与商群、环与域、格与布 尔代数简介，代数结构的应用；

图论

图论的基本概念、图的邻接矩阵和关联矩阵、关系图、树、欧拉图、哈密顿图、 二分图、平面图，权图中的最短路径，有向图，图论的应用；

理发师悖论：


罗素悖论另一种表示方式； 某村庄只有一个人会理发， 该村的人都需要理发，理发 师规定给且只给村中不自己 理发的人理发； 问题：理发师给不给自己理 发？
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罗素悖论的影响 —第三次数学危机

集合论的悖论，尤其是罗素和策梅罗所发现的一个矛盾， 直接在数学界产生灾难性的作用。 ——希尔伯特
University of Science and Technology of China
离散数学
Discrete mathematics
信息学院自动化系
课程介绍

现代数学的一个重要分支

以研究离散量的结构和相互间的关系为 主要目标；

研究对象一般是有限个或可数个元素；
充分描述了计算机科学离散性的特点， 是信息相关专业的核心课程；

两个同心圆点可以一一对应，它 们的周长相等吗？ 线段的整体等于部分吗？


N={ 0，1，2，3，...} A={ 0，1，4，9，...} F(x)=x•x A是N的子集吗？
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罗素悖论

1902年罗素提出了“罗素悖论”

构造一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R， R={A｜A∉A}，请问R是否属于R？

定理1.2 对任一集合A，必有A⊆E 定理1.3 对任一集合A，必有Ø ⊆A⊆E

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相关定理

定理1.4 对于任意两个集合A、B，则A=B的充分必要条件 是B⊆A且A⊆B

充分性：


设B⊆A且A⊆B ，并且假设A≠B，则一定存在至少一个元素x使得x∉A 且x∈B（否则A=B），这与B⊆A矛盾； 同理，也应至少存在一个元素y，使得 y∉B且y∈A，这与A⊆B矛盾； 综上所述，充分性得证； 设A=B，且假设B ⊆A且A⊆B中至少有一个不成立； 若A⊆B不成立，则至少存在一个x，x ∈ A但x ∉ B这与A=B矛盾； 同理，当B⊆A不成立时也不会推出矛盾，则必要性得证；

公理化集合论
1908年策梅罗提出 后改进为无矛盾的集合论公理，简称ZF公理系统（第
一个常用的公理系统）
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集合论初步

集合的基本概念
集合及其元素



一些不同的、确定的对象的全体称为集合 这些对象可以是具体的，也可以是抽象的 这些对象当然也可以是集合
组成集合的对象称为集合的元素


应用广泛

数字逻辑理论、逻辑电路设计、程序正 确性证明、信息编码理论以及大量的图 的实际应用模型…
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课程目标

掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课 程的学习创造条件； 提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参 与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础； 相关领域的应用，希望大家能提供应用实例。

必要性：


综上所述，可证明定理1.4
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说明

①空集是唯一的

设Ø1、Ø2都是空集，由空集的性质可知：Ø1⊆Ø2 且Ø2⊆Ø1 由定理1.4可知Ø1=Ø2

②全集E也是唯一的（对于同样的研究背景来讲）

③证明集合相等的方法

恒等式 设集合A中任意（不能只是某个）元素x∈A，如果能证明x∈B， 即A ⊆B，然后再证明B ⊆A （用同样的方法），则由定理1.4可得 A=B
a∈A ，则表示方法为： A={a|p(a)} 例：

A={小于等于2的正整数} B={1,2} C={x2-3x+2=0的根} D={n|n为自然数，且xn+yn=zn有xyz≠0的整数解}
说明：这4个集合的元素都完全相同，只是表示方法 不同，即A=B=C=D，即：集合与其表示方式无关