离散数学左孝陵版第一章答案

（2）使用合适的命题联结词，把原子命题逐个联结起 来，组成复合命题的符号化表示。
例12 用符号形式表示下列命题。
（1） 如果明天早上下雨或下雪，那么我不去学校 （2） 如果明天早上不下雨且不下雪，那么我去学校。 （3） 如果明天早上不是雨夹雪，那么我去学校。 （4） 只有当明天早上不下雨且不下雪时，我才去学校。
解 令P：明天早上下雨； Q：明天早上下雪；
R：我去学校。 （1）（P∨Q）→ ¬R；（2）（¬P ∧¬Q）→R； （3）¬(P∧Q）→R； （4）R→（¬P ∧¬ Q）
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例12．将下列命题符号化
（1） 派小王或小李出差； （2） 我们不能既划船又跑步； （3） 如果你来了，那么他唱不唱歌将看你是否伴奏而定； （4） 如果李明是体育爱好者，但不是文艺爱好者，那么
（1） P→(Q∧PR）；
解 （1） 不是命题公式。
（2）（P∨Q）→（¬（Q∧R））（2） 是命题公式。21
二、真值指派
命题公式代表一个命题，但只有当公式中的每一 个命题变元都用一个确定的命题代入时，命题公式才 有确定的真值，成为命题。
定义7—7 设F为含有命题变元P1，P2，…,Pn
的命题公式，对P1，P2，…,Pn分别指定一个真值,称 为对公式F的一组真值指派。
定义7-6 （命题公式的递归定义。）
（1） 0，1是命题公式；
（2） 命题变元是命题公式；
（3） 如果A是命题公式，则¬A是命题公式；
（4） 如果A和B是命题公式，则（A∨B），
（A∧B）,(A→B）,(A↔ B）也是命题公式；
有限次地利用上述（1）—（4）而产生的符号串是命题公式。
例1 下列符号串是否为命题公式。
是所有出现于A和B中的命题变元，如果对于P1, P2, …, Pn 的任一组真值指派，A和B的真值都相同,则称公式A和B等 值，记为A B,称 AB为等值式。
1
课程说明
一、离散数学课程的地位和作用
离散数学是计算机专业的一门核心基础课程。 1 离散数学为计算机专业的后继课程如数据结构、操作系统、数 据库、编译原理、网络和算法设计等课程提供必要的数学基础。
2 为学生今后从事计算机科学和技术各方面的工作提供有力的 工具。 3 离散数学是现代数学的一个重要分支，通过该课程的学习可 以提高学生的抽象思维、严格推理以及综合归纳分析能力，培养 出高素质的人才。
数理逻辑是用数学方法研究思维规律的一门学科。
所谓数学方法是指:用一套数学的符号系统来描述和 处 理思维的形式与规律。因此, 数理逻辑又称为符号逻辑。 本章介绍数理逻辑中最基本的内容命题逻辑。首先引入
命题、命题公式等概念。然后,在此基础上研究命题公式 间的等值关系和蕴含关系,并给出推理规则,进行命题演 绎。
(P∨Q)→ (Q∧R)
1 1 0 1 0 0 0 1
P∧¬R
0 0 0 0 1 0 1 0
F
0 0 1 0 1 1 1 0
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三、公式类型
定义7-8 如果对于命题公式F所包含的命题变元的任
何一组真值指派，F的真值恒为真，则称公式F为重言式 （或永真公式），常用“1”表示。相反地，若对于F所包含 的命题变元的任何一组真值指派，F的真值恒为假，则称公 式F为矛盾式（或永假公式），常用“0”表示。如果至少有 一组真值指派使公式F的真值为真，则称F为可满足公式 。
( 不是 )
（1） 我看见的既不是小张也不是老李。
解 令P：我看见的是小张；Q：我看见的是老李。
则该命题可表示为¬P∧¬Q （2） 如果晚上做完了作业并且没有其它的事，他就会 看电视或听音乐。
解 令 P：他晚上做完了作业；Q：他晚上有其它的事；
R：他看电视；
S：他听音乐。
则该命题可表示为（P∧¬Q）→（R∨S）
（5） 令P：上午下雨；Q：我去看电影；R：我在家读书。
则命题可表示为（¬P → Q）∧（P→R）。
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练习7-1
1. 判断下列语句哪些是命题，若是命题，则指出其真值。
（1） 只有小孩才爱哭。
(是 假)
（2） X+6=Y
( 不是 )
（3） 银是白的。
(是 真)
（4） 起来吧，我的朋友。 2． 将下列命题符号化
例3 构造下列命题公式的真值表，并判断它们是何
种类型的公式
（1）（¬P↔Q）↔ ¬（P↔Q）； （2）（Q→P）∧（¬P∧Q）； （3）（（P∨Q）→（Q∧R））→（P∧¬R）。
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解 令F1=（¬P↔Q）↔¬（P ↔ Q），F2=（Q→P）∧（¬ P∧Q）
F1和F2的真值表如下：
P Q ¬P
¬P↔Q
Q：他可能是400米赛跑冠军。
则命题可表示为P∨Q。
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设P、Q是两个命题，P异或Q是一个复合命题，记作P∨Q。
P
Q
P∨ Q
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
例7
今天晚上我在家看电视或去剧场看戏。
令P：今天晚上我在家看电视。
Q：今天晚上我去剧场看戏
例7中的命题可表示为P ∨ Q，或者表示为 （P∧¬Q∨(¬P∧Q)。
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7.2 命题公式
一 、 命题公式的概念 1. 命题常元
一个表示确定命题的大写字母。
2．命题变元 一个没有指定具体内容的命题符号。
一个命题变元当没有对其赋予内容时，它 的真值不能确定，一旦用一个具体的命题代入， 它的真值就确定了。
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3. 命题公式
命题公式（或简称公式）是由0、1和命题变元以及 命题联结词按一定的规则产生的符号串。
3
三、如何学好离散数学
要学好这门课程，首先必须充分认识到这门课程的上述特 点，需要做到以下几点：
1 熟读教材。准确理解各个概念和定理的含义（结合多个例子 来理解），必要的推理过程要看懂、理解（它可以帮助你熟悉 和深刻理解定理的含义）。
2 独立思考，大量练习。仅靠熟读教材并不能将书本上的知识 变成你自己的知识，在熟读教材的基础上，必须通过大量练
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2．合取“∧”
定义7-2 设P和Q是两个命题，由P、Q利用“∧”
组成的复合命题，称为合取式复合命题，记作“P ∧ Q” （读作“P且Q”）。
当且仅当命题P和Q均取值为真时，P ∧ Q才取值为真。
P
Q
P∧Q
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
例5 设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
2
二、离散数学课程的特点
离散数学课程是应计算机科学和技术发展的 需要，综合了高等数学的多个分支而形成的。其 特点是以离散量为研究对象，内容丰富，涉及面 较宽。因此概念多、定理多、推理多并且内容较 为抽象。但由于它是为学生后继专业知识的学习 做必要的数学准备，因此它研究的内容均比较基 础，难度不大。
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3. 析取“∨”
定义7-3 由命题P和Q利用“∨”组成的复合命题，
称为析取式复合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。 当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
P
Q
P∨Q
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
例6 将命题“他可能是100米或400米赛跑的冠军。”符号
化。 解 令 P：他可能是100米赛跑冠军；
习，独立思考来真正获取知识。
3 注重抽象思维能力的培养。数学与其他学科相比较具有 较高的抽象性，而离散数学的抽象性特点更为显著，它有着大 量抽象的概念和抽象的推理，要学好这门课程必须具有较好的 抽象思维能力，才能深入地掌握课程内容。
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四、 离散数学课程的主要内容
离散数学课程的主要内容可以分为四个部分： 第一部分 集合论。包括集合、关系和函数。（教材的第一、 二、三章） 第二部分 代数系统。包括代数系统的一般概念，几类典型 的代数系统。（教材的第四、五、六、七章）
公式与其命题变元之间的真值关系，可以用真值 表的方法表示出来。
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例2 给出公式 F=(（P∨Q）（Q∧R）) (P∧¬R）的真
值表。
解
公式F的真值表如下：
P QR
¬R
000
1
001
0
010
1
011
0
100
1
101
0
110
1
111
0
P∨Q
0 0 1 1 1 1 1 1
Q∧R
0 0 0 1 0 0 0 1
1. 否定“¬” 定义7-1 设P是一个命题，利用“¬”和P组成的
复合命题称为P的否命题，记作“¬P” (读作“非P”)。
命题P取值为真时，命题¬P取值为假；命题P取值为假 时，命题¬P取值为真。
P
¬P
1
0
0
1
例4 设P：上海是一个城市；Q：每个自然数都是偶数。
则有¬ P：上海不是一个城市;
¬Q：并非每个自然数都是偶数。
就读完它。”符号化。
解 令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
于是上述命题可表示为P→Q。
例9 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起；
R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真的.14
5．等值“↔”
定义7-5 由命题P和Q，利用“↔”组成的复合 命题，称为等值式复合命题，记作“P↔Q” （读作“P 当且仅当Q”）。
由于“ ∨”可用“∨”，“ ∧”和“ ¬ ”表示，
故我们不把它当作基本联结词。
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4. 蕴含“→”