空间插值方法
空间插值算法汇总
空间插值算法：1、距离倒数乘方法（Inverse Distance to a Power）距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。
方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。
对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。
计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。
当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。
当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。
换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。
这就是一个准确插值。
距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。
用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。
大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。
圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。
2、克里金法（Kriging）克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。
克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。
克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。
3、最小曲率法（Minimum Curvature）最小曲率法广泛用于地球科学。
用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。
最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。
使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。
4、多元回归法（Polynomial Regression）多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。
空间插值方法对比整理版
• 由于建立在统计学的基础上，因此不仅可 以产生预测曲面，而且可以产生误差和不 确定性曲面，用来评估预测结果的好坏
• 多种 kriging 方法
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3、精确插值和近似插值
• 精确插值：产生通过所有观测点的曲面。
• 在精确插值中，插值点落在观测点上，内插值等 于估计值。
• 近似插值：插值产生的曲面不通过所有观测 点。
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插值方法选择的原则
① 精确性：
② 参数的敏感性：许多的插值方法都涉及到一个或多个参数， 如距离反比法中距离的阶数等。有些方法对参数的选择相当 敏感，而有些方法对变量值敏感。后者对不同的数据集会有 截然不同的插值结果。希望找到对参数的波动相对稳定，其 值不过多地依赖变量值的插值方法。
③ 耗时：一般情况下，计算时间不是很重要，除非特别费时。
空间插值 Spatial Interpolation
• 空间插值的概念 • 空间插值的类型 • 空间插值的方法
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空间插值概念
空间插值——空间插值常用于将离散点的测量数据转换为连 续的数据曲面，以便与其它空间现象的分布模式进行比较， 它包括了空间内插和外推两种算法。空间内插算法：通过已 知点的数据推求同一区域未知点数据。空间外推算法：通过 已知区域的数据，推求其它区域数据。
• 典型例子是：全局趋势面分析 、Fourier Series （周期序列）
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局部内插法
➢ 局部内插法只使用邻近的数据点来估计未知点的值，步骤如 下： • 定义一个邻域或搜索范围； • 搜索落在此邻域范围的数据点； • 选择能表达这有限个点空间变化的数学函数； • 为未知的数据点赋值。
➢ 局部内插方法： • 样条函数插值法 • 距离倒数插值 • Kriging插值（空间自由协方差最佳内插）
空间插值算法汇总
空间插值算法：1、距离倒数乘方法（Inverse Distance to a Power）距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。
方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。
对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。
计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。
当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。
当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。
换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。
这就是一个准确插值。
距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。
用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。
大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。
圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。
2、克里金法（Kriging）克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。
克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。
克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。
3、最小曲率法（Minimum Curvature）最小曲率法广泛用于地球科学。
用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。
最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。
使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。
4、多元回归法（Polynomial Regression）多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。
地理信息系统课程GIS空间插值
• 对每种插值方法重复下面的步骤，实现对不 同插值方法的比较： • 从数据集中除去一个已知点的测量值； • 用剩余的点估计除去点的值； • 比较原始值和估计值，计算出估计值的预测 误差。 • 针对每个已知点，进行上述步骤，然后评价 不同插值方法的精确度。常用的评价指标是 均方根（RMS）：
1 n 2 RMS ( Z Z ) i , act i ,est n i 1
公式
其数学表达式为：
v e vi vi 表示 i 点的变量值。 其中ve 表示待估点变量值，
i 点必须满足如下条件：
d ei min( d e1 , d e 2 , d en )
d ij xi x j y i y j
2
其中
2
表示点 i(xi, yi)与点 j(xj, yj)间的欧几里德距离。
2、确定性方法和地统计方法 确定性方法
– 确定性插值法是使用数学函数进行插值，以研究 区域内部的相似性（如反距离加权插值法），或 者以平滑度为基础（如径向基函数插值法）由已 知样点来创建预测表面的插值方法。 – 全局多项式插值、反距离权插值、局部多项式插 值
地统计学插值
• 基于自相关性 (测量点的统计关系)，根据 测量数据的统计特征产生曲面；
RSS=
ˆt ) ( yt y
t 1 T 2
=
ˆ x )2 ˆ ( y t t
t 1
T
• 根据最小化的一阶条件，将式分别对x,y求 偏导，并令其为零，即可求得α, β
• 一阶线性平面可模拟具有单一坡度的斜 坡地形表面； • 二次曲面方程可表达山头、洼地区域； • 三次曲面则能描述较为复杂的地形曲面。
例如：在一个没有数据记录的地点，其降 水量可通过对附近气象站已知降水量记 录的插值来估算出来。
空间插值方法
数据拟合问题就是根据若干参考点上的已知值求出待定点 上（未知点）的研究值。数据拟合问题通常可分为插值问 题和光顺逼近问题。 插值问题的解要求严格经过已知量测点，而光顺逼近问题 的解虽不要求严格经过已知点，但它要求在某种约束条件 下（比如最上 乘意义下 最小曲面能或最小粗糙度意义 下（比如最上二乘意义下、最小曲面能或最小粗糙度意义 下）达到整体逼近效果。
6/21/2010
空间插值方法
第6讲 空间插值方法及 TIN/TEN构建算法
6.1 问题的提出 6.2 空间数据插值方法概述 6.3 几种空间数据插值方法原理
6.1 空间插值问题的提出
6.2 空间数据插值方法概述
GIS在实际应用过程中，很多情况下，比如采样密度不够、 曲线与曲面光滑处理、空间趋势预测、采样结果的可视化 等，必须对空间数据进行插值和拟合，因此空间数据插值 是GIS数据处理的一项重要任务。其主要目的是根据一组 已知的离散数据，按照某种数学关系推求其他未知点和未 知区域的数据的过程。
Delauny三角化方法自提出后并未引起足够多 的重视，到了20世纪80年代才开始研究这个算 法，目前比较有效的算法有：
分治算法 逐点加入法 生长算法 凸壳法
分治算法
分治算法的基本思想是一个递归思想，把点集划分到足够小， 使其易于生成三角网，然后把子集中的三角网合并生成最终 的三角网。 逐点加入法有两个基本步：1.定位，找到包含新加点的三角 形；2.更新，形成新的三角形。 生长法从第一个DT开始，而后由三角形边逐步形成新的DT。 如果二维上的任意一点对应到三维点，可以计算出提升点的 凸壳，除去朝上的凸壳面，剩下的朝下的面就是原始点的DT （这个关系适合于任意n维）。
关节空间轨迹的插值计算
关节空间轨迹的插值计算关节空间轨迹的插值计算是机器人学中的一个重要问题，它可以用于机器人的路径规划和轨迹生成。
在机器人的运动控制中，关节空间轨迹插值的目的是通过一系列关节坐标点的插值来实现机器人的平滑运动。
插值计算的基本原理是通过已知的关节坐标点来计算中间位置的关节坐标，从而实现整个轨迹的平滑插值。
下面将介绍几种常用的关节空间轨迹插值方法。
1. 线性插值（Linear Interpolation）线性插值是最简单和最直接的插值方法之一。
假设已知起始坐标点q1和结束坐标点q2，线性插值可以通过以下公式计算中间位置的关节坐标点：q(t) = (1-t)q1 + tq2其中，t为取值范围为[0,1]的系数，表示插值在两个坐标点间的位置。
2. 二次插值（Quadratic Interpolation）二次插值是在线性插值的基础上引入二次多项式的插值方法。
它可以通过以下公式计算中间位置的关节坐标点：q(t) = (1-t)^2q1 + 2t(1-t)q + t^2q2其中，q为参数，通常取0.5。
3. Bezier曲线插值Bezier曲线是一种常用的平滑曲线插值方法，它可以通过控制点来定义一条曲线。
对于三个控制点q1、q2和q3，Bezier曲线可以通过以下公式计算中间位置的关节坐标点：q(t) = (1-t)^2q1 + 2(1-t)tq2 + t^2q3其中，t为参数，取值范围为[0,1]。
4. 样条曲线插值样条曲线是一种通过多个控制点相连而成的平滑曲线。
它可以通过公式计算中间位置的关节坐标点，其中每段曲线由四个控制点定义：q(t) = [t^3, t^2, t, 1] * M * Q其中，M为样条曲线的矩阵，Q为控制点矩阵。
除了上述插值方法，还可以使用其他高阶插值方法如样条插值、B样条插值等来实现关节空间轨迹的插值计算。
这些方法可以根据具体的应用场景和要求选择合适的插值方法。
总结起来，关节空间轨迹的插值计算是机器人运动控制中的一个重要问题，通过使用线性插值、二次插值、Bezier曲线插值和样条曲线插值等方法，可以实现机器人的平滑运动和轨迹生成。
关节空间轨迹的插值计算
关节空间轨迹的插值计算关节空间轨迹的插值计算是指根据给定的关节空间点集，通过插值算法计算出连续的关节空间轨迹。
这在机器人运动学和路径规划中是一个重要问题。
下面将介绍几种常用的插值方法。
1. 线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一。
假设有两个关节空间点A和B，我们可以通过线性插值来计算它们之间的关节空间轨迹。
具体做法是将关节空间轨迹分为若干段，每段之间的关节空间点根据时间进行线性插值。
线性插值的优点是简单易理解，计算速度快。
但是由于插值结果是一条直线，无法满足复杂的路径要求。
2. 二次插值：二次插值是一种更加平滑的插值方法。
它假设关节空间轨迹是一个二次曲线，可以通过三个相邻的关节空间点来确定。
具体做法是根据给定的三个点，使用二次函数来表示路径，然后再根据路径的参数化形式计算出关节角度。
二次插值的优点是插值结果光滑，相比线性插值更适合实际机器人运动。
3. 样条插值：样条插值是一种更加灵活的插值方法。
它假设关节空间轨迹是由多段特定形状的曲线拼接而成。
具体做法是将关节空间轨迹划分为若干小段，每段之间拼接成一条曲线。
在每个小段内，通常使用三次多项式函数来表示。
样条插值的优点是可以通过控制拼接点的位置和曲线形状来满足不同的路径要求。
但是由于样条插值需要计算大量的参数来确定曲线形状，在计算量上较大。
4. 逆运动学插值：逆运动学插值是一种特殊的插值方法，适用于已知起点和终点的运动轨迹，而不是在关节空间定义的轨迹。
逆运动学插值的目的是根据起点和终点在笛卡尔坐标系中的坐标，计算出机器人每个关节的角度，从而使得机器人能够从起点运动到终点。
逆运动学插值的难点在于需要解决逆运动学问题，即通过关节角度计算末端执行器在笛卡尔坐标系中的位置。
综上所述，关节空间轨迹的插值计算可以使用线性插值、二次插值、样条插值和逆运动学插值等方法。
选择哪种方法要根据实际需求来确定。
在实际应用中，通常需要综合考虑插值结果的光滑度、计算复杂度和路径要求等因素。
克里格空间插值法ppt课件
4．高斯模型（Gaussian model） 变程为 。
1.9 理论变异函数模型
图是球状模型、指数模型和高斯模型的比较，可以看出，球状模型的变程最小，指数的模型变程最大，高斯模型的变程介于二者之间。球状模型和指数模型过原点存在切线，高斯模型则没有。
1.9 理论变异函数模型
3．指数模型(Exponential model) 其中，d是控制方程空间范围的距离参数。这里，仅在无穷远处相关性完全消失。变程为3d。指数模型在统计理论中地位重要，它表示了空间随机性的要素，是一阶自回归和马尔可夫过程的半方差函数。作为自相关函数，它们是采样设计有效性的理论基础。
1.4邻域函数的统计函数及其意义
摄影测量得到的正射航片或卫星影象； 卫星或航天飞机的扫描影象； 野外测量采样数据，采样点随机分布或有规律的线性分布（沿剖面线或沿等高线； 数字化的多边形图、等值线图；
1.5 空间插值的数据源
图1 各种不同的采样布置方式
1.6 采样布置方式
1.8 方差变异函数
2）曲线从较低的方差值升高，到一定的间隔值时到达基台值，这一间隔称为变程（range）。在理论函数模型中，变程用a表示。 变程是半方差函数中最重要的参数，它描述了该间隔内样点的空间相关特征。在变程内，样点越接近，两点之间相似性、即空间上的相关性越强。很明显，如果某点与已知点距离大于变程，那么该点数据不能用于数据内插（或外推），因为空间上的自相关性不复存在。 变程的高低取决于观测的尺度，说明了相互作用所影响的范围。不同的属性，其变程值可以变化很大。
1.2.2局部插值方法 分类
1.4邻域函数的统计函数及其意义
众数（majority)：邻域中出现频率最高的数值 最大值(max)：邻域中最大的数值 最小值(min)：邻域中最小的数值 中位数(median)：邻域中数值从小到大排列后位于中间的数 平均值(mean)：邻域中数值的算术平均 频率最小数(minority)：邻域中出现频率最小的数值 范围(range)：邻域中数值的范围，最大值与最小值之差 标准差(std)：邻域中数值的标准差 和(sum)：邻域中数值的和 变异度(varity)：邻域中不同数值的个数
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空间插值方法
1.反距离权重插值：通过与样本点距离大小赋予权重，距离近的样本点被赋予较大的权重，
受该样本点的影响越大，同时可以限制插值点的个数、范围，通过幂值来决定样本点对插值点的影响程度，灵活性大，准确性高，但不太适用规则排列的插值点
2.克里金插值：克里金插值与IDW插值的区别在于权重的选择，IDW仅仅将距离的倒数
作为权重，而克里金考虑到了空间相关性的问题。
它首先将每两个点进行配对，这样就能产生一个自变量为两点之间距离的函数。
使用克里金插值需确定半变异函数的类型、步长、步数。
对于这种方法，原始的输入点可能会发生变化。
在数据点多时，结果更加可靠。
该插值方法对规则排列、较密集的点插值较适用，而离散的插值点则需进行多次调试才可达到较为理想的效果
3.自然邻域插值:原理是构建voronoi多边形，也就是泰森多边形。
首先将所有的空间点
构建成voronoi多边形，然后将待求点也构建一个voronoi多边形，这样就与圆多边形有很多相交的地方，根据每一块的面积按比例设置权重，这样就能够求得待求点的值了。
该方法不是通过数据模型来进行插值，不需要设置多于的参数，简便但不灵活，不适合离散点进行插值，因为会形成不规则插值边界，但插值结果相对符合实际数值、准确，适合规则排列、较密集的点插值。
4.样条函数插值：这种方法使用样条函数来对空间点进行插值，它有两个基本条件：1.表
面必须完全通过样本点2.表面的二阶曲率是最小的。
插值主要受插值类型（Regularized 或Tension）和weight值的影响，一般Regularize 插值结果比Tension插值结果光滑，在Regularized Spline 插值中，weight 值越高生成的表面越光滑，Tension Spline 插值则相反；适合那些空间连续变化且光滑的表面的生成。
该方法虽可生成平滑的插值结果，但其结果会在原有样点值进行数值延伸，产生于实际不符的结果，不建议一般插值使用。
5.径向基函数：包括：薄板样条函数、张力样条函数、规则样条函数、高次曲面函数、反
高次曲面函数。
作为精确插值器，RBF方法不同于全局和局部多项式插值器，它们都不是精确插值器（不要求表面穿过测量点）。
比较RBF和IDW（也是精确插值器）来看，IDW 从不预测大于最大测量值或小于最小测量值的值，RB用于根据大量数据点生成平滑表面。
这些函数可为平缓变化的表面（如高程）生成很好的结果。
但在表面值在短距离内出现剧烈变化和/或怀疑样本值很可能有测量误差或不确定性时，这些方法不适用，且该方法插值过程需要一定时间，不能快速得到插值结果。