有理数
有理数的概念和定义
有理数的概念和定义
1、概念：有理数指整数可以看作分母为1的分数。
正整数、0、负整数、正分数、负分数都可
以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
有理数的小数部分是有限或循环小数。
不是有理数的实数遂称为无理数。
2、定义：有理数是整数(正整数、0、负整数和
分数的统称，是整数和分数的集合，即有理数的小数部分为有限或无限循环小数。
有理数与之对应的是无理数(不是有理数的实数
遂称为无理数)，其小数部分是无限不循环的数。
有理数是"数与代数”领域中的重要内容之一，
在现实生活中也有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。
第一讲 有理数的相关概念
第一讲有理数的相关概念【知识要点及巩固】一、有理数基本概念1、正数：像3、1、+0.33等的数，叫做正数。
在小学学过的数，除0外都是正数。
正数都大于0。
2、负数：像-1、-3.12、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做负数。
负数都小于0。
0既不是正数，也不是负数。
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。
注意：正数和负数是表示相反意义的量。
如：南为正方向，向南km3表示为km-。
31表示为km1+，那么向北km3、有理数：整数与分数统称为有理数。
4、无理数：无限不循环小数，如π。
5.有理数的分类：6.几个重要概念：注意：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。
例1：判断下列说法正确与否⑴一个有理数不是整数就是分数（）⑵一个有理数不是正数就是负数（）⑶一个整数不是正的，就是负的（）⑷一个分数不是正的，就是负的（）例2：1、（2016山东德州）把下列各数填入表示相应集合的大括号中：-7.2，43，-9, 1.4，0, 3.14，π，5412，-2.5， 121121112.0，36整数集合{ } 正数集合{ } 分数集合{ } 有理数集合{ } 非正数集合{ } 负分数集合{ } 想一想：a +一定是正数吗？a -一定是负数吗？例3：（2014七中嘉祥）将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： （1）在A 处的数是正数还是负数？ （2）负数排在A 、B 、C 、D 中的什么位置？（3）第2014个数是正数还是负数？排在对应于A 、B 、C 、D 中的什么位置？ 例4：（2014七中嘉祥）观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请根据你探索的规律接着写出后面的3个数，并尝试写出第100个数、第301个数。
1、6151-4131-211、、、、、-，_____,_______,_________，...；第100个数是_________，第301个数是________。
什么叫有理数,有理数的定义
有理数剖析1.什么是有理数有理数是整数和分数的统称，除了无限不循环小数以外的数都统称有理数。
它可分为整数和分数，也可分为正有理数，零，负有理数。
有理数是整数和分数的集合，但是一切有理数又都可以化成分数的形式，因为整数也可看做是分母为一的分数。
有理数的小数部分是有限或者无限循环的数。
不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
2.有理数例子以下都是有理数：(1)自然数：数0,1,2,3,……叫做自然数.(2)正整数：+1,+2,+3,……叫做正整数.(3）整数：正整数、0、负整数统称为整数.(4）分数：正分数、负分数统称为分数.(5）奇数：不能被2整除的整数叫做奇数.如-3,-1,1,5等.所有的奇数都可用2n-1或2n+1表示,n为整数.(6）偶数：能被2整除的整数叫做偶数.如-2,2,4,8等.所有的偶数都可用2n表示,n为整数.(7）质数：如果一个大于1的整数,除了1和它本身外,没有其他因数,这个数就称为质数,又称素数,如2,3,11,13等.2是最小的质数.(8）合数：如果一个大于1的整数,除了1和它本身外,还有其他因数,这个数就称为合数,如4,6,9,15等.4是最小的合数.一个合数至少有3个因数.如3,-98.11,5.72727272……,7/22都是有理数.全体有理数构成一个集合,即有理数集,用粗体字母Q表示,较现代的一些数学书则用空心字母Q表示.有理数集是实数集的子集,即Q?R.相关的内容见数系的扩张.有理数集是一个域,即在其中可进行四则运算（0作除数除外）,而且对于这些运算,以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：①加法的交换律 a+b=b+a；②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；③存在数0,使 0+a=a+0=a；④乘法的交换律 ab=ba；⑤乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；⑥乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac.0a=0 一个数乘0还等于0.此外,有理数是一个序域,即在其上存在一个次序关系≤.0的绝对值还是0.有理数还是一个阿基米德域,即对有理数a和b,a≥0,b>0,必可找到一个自然数n,使nb>a.由此不难推知,不存在最大的有理数.值得一提的是有理数的名称.“有理数”这一名称不免叫人费解,有理数并不比别的数更“有道理”.事实上,这似乎是一个翻译上的失误.有理数一词是从西方传来,在英语中是（rational number）,而（rational）通常的意义是“理性的”.中国在近代翻译西方科学著作,依据日语中的翻译方法,以讹传讹,把它译成了“有理数”.但是,这个词来源于古希腊,其英文词根为（ratio）,就是比率的意思（这里的词根是英语中的,希腊语意义与之相同）.所以这个词的意义也很显豁,就是整数的“比”.与之相对,而“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数,而并非没有道理（无理数就是无限不循环小数,π也是其中一个无理数）.。
初中数学 什么是有理数
初中数学什么是有理数有理数是指可以表示为两个整数的比例的数，包括整数、分数和小数。
下面我将为你详细解释有理数的定义、性质和运算规则。
一、有理数的定义：有理数是指可以表示为两个整数的比例的数。
它们可以用分数形式表示，其中分子和分母都是整数，且分母不等于零。
二、有理数的性质：1. 有理数的加法和乘法封闭性：两个有理数的和或积仍然是有理数。
2. 有理数的加法和乘法结合律：对于任意三个有理数a、b和c，满足(a + b) + c = a + (b + c)和(a × b) × c = a × (b × c)。
3. 有理数的加法和乘法交换律：对于任意两个有理数a和b，满足a + b = b + a和a × b = b × a。
4. 有理数的加法和乘法的零元素：对于任意有理数a，满足a + 0 = a和a × 1 = a。
5. 有理数的加法的逆元素：对于任意有理数a，存在一个有理数-b，使得a + (-b) = 0。
6. 有理数的乘法的逆元素：对于任意非零有理数a，存在一个有理数1/a，使得a × (1/a) = 1。
三、有理数的运算规则：1. 有理数的加法：对于任意两个有理数a/b和c/d，其中a、b、c、d都是整数且b和d不等于零，它们的和可以通过分数的通分和分子相加得到：(a/b) + (c/d) = (ad + bc)/(bd)。
2. 有理数的减法：有理数的减法可以转化为加法，即(a/b) - (c/d) = (a/b) + (-c/d)。
3. 有理数的乘法：对于任意两个有理数a/b和c/d，它们的乘积可以通过分数的分子相乘和分母相乘得到：(a/b) × (c/d) = (ac)/(bd)。
4. 有理数的除法：有理数的除法可以转化为乘法，即(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c)。
有理数ppt课件
03
有理数的混合运算
顺序法则
总结词
在进行有理数的混合运算时，应遵循运算的顺序法则，即先进行乘除运算，再进 行加减运算。
详细描述
在数学中，有理数的混合运算需要遵循一定的顺序，即先进行乘除运算，再进行 加减运算。这是由于乘除运算是全域性的，而加减运算不是。因此，在进行混合 运算时，必须先完成乘除运算，然后再进行加减运算。
有理数的性质
总结词
有理数具有封闭性、有序性、可数性等性质。
详细描述
有理数具有封闭性，即有理数的四则运算结果仍为有理数。有理数具有有序性 ，可以比较大小和排列。有理数还具有可数性，即有理数集与自然数集之间存 在一一对应关系。
有理数在数学中的地位
总结词
有理数是数学中基本且重要的概念之一，是解决实际问题的重要 工具。
04
有理数的应用
在日常生活中的应用
80%
购物时找零钱
在购物时，我们经常使用到有理 数，如找零钱，计算折扣等。
100%
测量和计算
在日常生活中，我们经常需要进 行测量和计算，如长度、重量、 时间等，这些都需要用到有理数 。
80%
金融计算
在金融领域，如股票交易、保险 计算等，都需要用到有理数进行 计算。
有理数可以用于描述几何图形的长度、面积和体 积等属性。
有理数在数学中的未来发展
数学教育改革
01
随着数学教育的发展，有理数作为基础数学知识，将在数学教
育中得到更加广泛的重视和应用。
数学与其他学科的交叉
02
有理数作为数学的基础概念，将进一步与其他学科进行交叉融
合，促进跨学科的发展。
数学研究的新领域
03
随着数学研究的不断深入，有理数理论将进一步发展，并应用
有理数的定义
有理数的定义有理数是数学中的一个概念，包括整数和分数。
在数轴上，有理数是可以用有限或无限循环小数表示的数。
有理数可以表示为一个分子与一个非零分母之比。
下面将详细介绍有理数的定义及其性质。
有理数的表示有理数可以用分数的形式表示，分子是一个整数，而分母是一个非零整数。
例如，1/2、-3/4、5/1都是有理数。
有理数也可以用小数的形式表示，比如1.5、-0.75等。
有理数也可以用无限循环小数的形式表示，循环小数是指小数部分的某些数字循环出现。
例如，1/3可以表示为0.333…，其中3不断地循环出现。
同样地，1/7可以表示为0.142857142857…，其中142857不断地循环出现。
有理数的性质1. 有理数的加法和减法有理数的加法和减法遵循以下性质：•加法交换律：对于任意的有理数a和b，a + b = b + a。
•加法结合律：对于任意的有理数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。
•加法单位元：存在一个数0，使得对于任意的有理数a，a + 0 = a。
•加法逆元：对于任意的有理数a，存在一个数-b，使得a + b = 0。
2. 有理数的乘法和除法有理数的乘法和除法遵循以下性质：•乘法交换律：对于任意的有理数a和b，a * b = b * a。
•乘法结合律：对于任意的有理数a、b和c，(a * b) * c = a * (b * c)。
•乘法单位元：存在一个数1，使得对于任意的有理数a，a * 1 = a。
•乘法逆元：对于任意的有理数a（a ≠ 0），存在一个数1/a，使得a * (1/a) = 1。
3. 有理数的比较有理数的比较遵循以下性质：•反对称性：对于任意的有理数a和b，如果a > b，则b < a；如果a < b，则b > a；如果a = b，则b = a。
•传递性：对于任意的有理数a、b和c，如果a > b且b > c，则a > c。
什么是有理数
什么是有理数如果你曾经学过数学，你可能已经听说过有理数。
有理数是数学中的一个重要概念，它们贯穿于代数、几何和数论等多个数学分支中。
在本文中，我们将深入探讨什么是有理数，它们的性质以及它们在数学中的应用。
有理数可以简单地定义为可以表示为两个整数之比的数。
这里的整数包括正整数、负整数和零。
有理数可以用分数的形式表示，其中分子和分母都是整数。
例如，1/2、-3/4、7/1都是有理数。
需要注意的是，有理数的分母不能为零，因为在数学中除以零是没有定义的。
有理数具有一些特殊的性质。
首先，有理数的和、差、乘积和商仍然是有理数。
也就是说，对于任意两个有理数a和b，a+b、a-b、a*b和a/b仍然是有理数。
这一点可以通过分数的运算来直观地理解。
例如，如果我们将1/2和3/4相加，我们得到4/4，它可以简化为1，显然是一个有理数。
其次，有理数之间可以进行大小的比较。
两个有理数a和b可以通过比较它们的大小来确定它们的大小关系。
数线上有理数的大小是由它们在数轴上的位置决定的。
例如，对于两个有理数-1/2和1/2，我们可以看到它们分别位于-1和1之间的两个分区。
因此，我们可以说-1/2小于1/2。
这一点在数学中是非常有用的，可以用于比较和排序数值。
有理数还具有一个重要的性质，即可以通过有限或无限循环的小数表示。
我们可以将一个有理数表示为一个小数，这个小数要么是有限的，要么是无限循环的。
例如，1/3可以表示为0.3333...，其中小数部分无限循环。
同样地，2/5可以表示为0.4，这是一个有限循环。
这种表示法在实际应用中非常常见，例如在金融领域中的利率计算中。
有理数在数学中有广泛的应用。
首先，在代数中，有理数是解方程的基础。
大多数方程的解都可以用有理数表示，这种表示方式更加直观和简洁。
其次，在几何中，有理数可以用来表示长度、角度和面积等物理量。
这种表示方式在计算和测量中非常实用。
此外，在数论中，有理数是研究整数性质的基础，例如素数、质因数分解和最大公约数等。
有理数的概念
有理数的概念有理数是数学中的一个重要概念，指的是可以用两个整数的比例来表示的数。
在数学中，有理数包括整数、分数和小数。
有理数的概念对我们在日常生活中的计算和理解数字有着重要的意义。
本文将介绍有理数的定义及其性质。
一、有理数的定义有理数是指可以由两个整数的比例来表示的数。
它们可以用分数的形式表示，形如a/b，其中a和b都是整数，且b不等于0。
例如，2/3、-4/5、7/2都是有理数。
有理数可以是正数、负数或零。
二、有理数的性质1. 有理数的四则运算有理数的加法、减法、乘法和除法都能够应用于有理数。
例如，当我们对两个有理数进行加法运算时，只需将它们的分子相加，分母保持不变。
例如，1/2 + 1/3 = (1+1) / 2 = 2/3。
同样地，减法、乘法和除法也可按照相应的规则进行。
2. 有理数的比较我们可以利用有理数的大小来进行比较。
如果两个有理数的分数形式的分子和分母满足一定的大小关系，那么这两个有理数的大小关系也相同。
例如，2/3 > 1/2，因为2乘以2大于1乘以3。
3. 有理数的绝对值有理数的绝对值是该数到0的距离，总是非负的。
对于正数，它的绝对值等于这个数本身；对于负数，它的绝对值等于这个数去掉负号。
例如，|-5| = 5，|3| = 3。
4. 有理数的相反数有理数的相反数是指与其绝对值相等但符号相反的数。
例如，3的相反数是-3，-5的相反数是5。
有理数的相反数与原有理数相加等于0。
三、有理数在实际生活中的应用有理数在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在商业交易中，我们需要计算利润和亏损，这时就需要用到有理数的加法和减法运算。
在日常生活中，我们也常常使用有理数来表示时间、温度、海拔高度等。
有理数的概念帮助我们理解和处理这些实际问题。
总结：有理数是可以用两个整数的比例来表示的数，包括整数、分数和小数。
有理数的四则运算、比较、绝对值和相反数都有着相应的规则。
有理数在实际生活中有着广泛的应用。
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有理数
分类
1）有理数正有理数正整数正分数0
负有理数负整数负分数 2）整数
正整数0负整数分数正分数负分数 3）非负数正数0
大于0的数叫做正数，在正数前面加上负号“−”的数叫做负数，0既不是正数也不是负数。
数轴
定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。
数轴三要素：原点（0），正方向（右箭头），单位长度（统一）。
一切有理数都能用数轴上的点表示。
数轴上的点表示数，从左到右越来越大。
相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
一个数的相反数大于它本身，则这个数是负数；若一个数的相反数等于它本身，则这个数是0。
绝对值
定义：一般的数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|
一个正数的绝对值就是它本身。
一个负数的绝对值是它的相反数。
0的绝对值是0。
|a|
a （a>0）
0 （a=0）−a （a<0）
任何有理数的绝对值都是非负数。
|a|≥ 0 （a为有理数）
有理数大小比较
1）数轴比较法，右边的数大于左边的数。
2）直接比较法，正数>0，负数<0，正数>负数。
两个正数比大学，绝对值的的数大。
两个负数比大小，绝对值大的反而小。
有理数加减法
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，用大绝对值减小绝对值。
3、互为相反数的两数相加得零。
4、一个数与0相加，仍得这个数。
加法运算律
1、加法交换律：a+b=b+a
2、加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）
有理数减法
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
a−b=a+（−b）
有理数乘除法
1、乘法两数相乘，同号得证，异号得负，并把绝对值相乘。
乘积是1的两个数互为倒1）乘法交换律：ab=ba 2）乘法结合律：a（bc）=（ab）·c 3）乘法分配律：a （b+c）=ab+ac a·b+a·c=a·（b+c）
2、除法法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
a÷b=a×1
b 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
3、乘方求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
在an中，a叫做底数，n叫做指数。
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。
1 的任何次幂都是1，-1的奇次幂是-1，偶次幂是1。
对于10的n次方，n是几1后就有几个0。
对于0.1的n次方，n是几1前就有几个0。
科学计数法把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，，n是正整数），使用的是科学计数法。
近似数与实际数据还有差别，它是一个近似数。
有效数字数从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。