最新高等数学+线性代数+习题答案第三章优秀名师资料

第三章

习题3-1

1．设s=gt２，求．

解：

2．设f(x)= ，求(x0) (x0≠0)．

解：

3．试求过点（3，8）且与曲线相切的直线方程。

解：设切点为，则切线的斜率为，切线方程为

。由已知直线过点(3,8),得

(1)

又点在曲线上，故

(2)

由(1),(2)式可解得或，故所求直线方程为或。也即或。4．下列各题中均假定f′(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：

(1) =A;

(2) f(x0)=0, ＝A；

(3) =A．

解：(1)

(2)

(3)

5．求下列函数的导数：

(1) y=；(2) y=；(3) y=．

解：(1)

(2)

(3)

6．讨论函数y=在x=0点处的连续性和可导性．

解：

函数在点处连续但不可导。

7．如果f(x)为偶函数，且f′(0)存在，证明f′(0)=0．

证：为偶函数

，即

故

8．求下列函数在x0处的左、右导数，从而证明函数在x0处不可导：

(1) y＝； (2) y=；

(3) y=．

解：(1)

函数在处不可导。

(2)

函数在处不可导。

(3)

函数在处不可导。

9．已知f(x)＝求f′(x)．

解：当时，，

当时，

综上所述

10．设函数

f(x)=

为了使函数f(x)在x=1点处连续且可导，a，b应取什么值?

解：为使在处连续，必须，

，

(1)

为了使在处可导，必须

，代入（1）式得

当，时在处连续且可导。11．讨论下列函数在指定点的连续性与可导性：

(1) y=｜sin x｜，x=0;

(2) y=点；

(3) y=点．

解：(1)

在处连续。

又

所以不存在，即在处不可导。

(2)

在处连续。

在处可导。

(3)

而

故在处连续。

故在处不可导。

12．证明：双曲线xy＝a２上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2．

证：设是双曲线上任一点，则，该双曲线

在处切线的斜率该双曲线在

处切线的方程为：

令得该切线在轴上的截距为，

令得该切线在轴上的截距为，于是，它与两坐标轴构成的三角形的面积。

13．垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t的关系式为h(t)＝10t－gt ２(m)，求：

(1) 物体从t=1(s)到t=1．2(s)的平均速度；

(2) 速度函数v(t)；

(3) 物体何时到达最高点．

解：(1)

(2)

(3)当时，物体到达最高点。

由即得

即上抛时物体到达最高点。

14．设物体绕定轴旋转，在时间间隔［0,t］内，转过角度θ，从而转角θ

是t的函数；θ＝θ(t)．如果旋转是匀速的，那么称ω＝为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t0的角速度?

解：设从时刻到间转过的角度为，则

物体在时刻的角速度为。

15．设Ｑ＝Ｑ（T）表示重1单位的金属从0℃加热到T℃所吸收的热量，当金属从T℃升温到(T+ΔT）℃时，所需的热量为ΔＱ＝Ｑ（T＋ΔT）－Ｑ（T），ΔＱ与ΔT之比称为T到T+ΔT的平均比热．试解答如下问题：

(1) 如何定义在T℃时，金属的比热；

(2) 当Ｑ（T）=aT＋bT２(其中a，b均为常数)时，求比热．

解：(1)应以定义金属的比热；

(2)当时，比热为。

16．已知f(x)在x=x０点可导，证明：

=(＋β)f′(x0)．

证：当，时，

习题3-2

1．求下列函数的导数：

(1) s=3ln t+sin； (2) y=ln x;

(3) y=(1-x２)·sin x·(1-sin x);

(4) y=； (5) y=tan x+eπ；

(6) y=-3sec x; (7) y=ln x-2lg x+3log2x;

(8) y=．

解：(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

2．求下列函数在给定点处的导数：

(1) y=x sin x+cos x，求；

(2) f(x)= +,求f′(0)和f′(2);

(3) f(x)= 求f′(1)．

解：(1)

(2)

(3)

3．设p(x)=f1(x)f2(x)…fn(x)≠0,且所有的函数都可导，证明

．

证：

.

4．求下列函数的导数：

(1) y=; (2) y=arctan x2；

(3) y= (4) y=(1+x2)·ln(x+);

(5) y=x2·sin; (6) y=cos2ax3(a为常数)；

(7) y=arccos; (8) y=(arcsin)2; (9) y=; (10) y=sin nx·cos nx;

(11) y=； (12) y=arcsin；

(13) y=lncosarctan(sh x);

(14) y=＋arcsin（a＞0为常数）．

解：(1);

(2);

(3)

;

(4)

;

(5)