《量子力学》课程11

量子力学
量子力学的一种表象。当我们选取一组可对 ˆ 易的力学量算符 F 的完全的正交的本征函数 系作为基矢来表示态矢量，我们就称这种表 象为 F 表象。例如，若选坐标算符的一组 完备本征函数（称为本征矢）为基矢，则称 为坐标表象，若选动量算符的一组完备本征 矢为基矢，则称为动量表象。同一态矢量由 一种表象到另一表象可以通过一个幺正变换 来实现，这就是表象变换。
2
2

2
量子力学
例2：设粒子在势阱宽度为 a 的一维无限深势 阱中运动，如果粒子的状态由波函数
( x)
4 a
sin
x
a
cos
2
x
a
描述，求粒子的能量的可能值和相应的几率。
解：E n
n
2 2
2
2ma
2
n ( x)
2 a
sin
n x a
量子力学
( x)
2 a sin
量子力学

2

2
c3
2

1 2 1
c1
2
2
量子力学
第四章 态和力学量的表象
在量子力学中，把体系的状态和力 学量算符的具体表示方式，称为表象。本 节讨论量子力学的表象理论，将介绍量子 态和算符在某一任意表象中的矩阵表示， 以及从一表象到另一表象的变换。
主要内容：
1、态的表象 2、算符的矩阵表示 3、量子力学公式的矩阵表述 4、幺正变换
2 2
2）测量
2 的可能值。 l
量子力学
解： c1Y11 c2 Y20 ,(c12 c2 2 1) ˆ Y mY , l 2Y l (l 1) 2Y ˆ l z lm lm lm lm 1）
ˆ ˆ l zY11 Y11, l zY20 0
测量 l z 的可能值为： , 0 2 2 相应的几率为： c1 , c2
ˆ c 2 lz 1
量子力学
2）
ˆ 2Y 2 2Y , l 2Y 6 2Y ˆ l 11 11 20 20
2 的可能值为： 2 2 , 6 2 测量 l
相应的几率为：c1 ,
2 2 2
2
c2
2
ˆ c 2 c 6 2 l 1 2
2
2 c1 6 c2

0 0 a j 第 j行 1 0
量子力学
3）对连续谱，求和变为积分，相应表示为
a d
d
*
( )
a d
*
ˆ 波函数在 F 中用相应的连续的列矩 阵表示。
a1 a 2 an


( a1 a 2 a n ) ，归一化条件为
* * *


a
n
* n
an 1
量子力学
讨论：1）与普通矢量空间不同，态矢量一般
是复量，空间的维数可以为无限维，有时甚 至不可数。 2）若 刚好是 F 的本征态，即 j 则 a n n j dx nj 所以 在自身表象中的矩阵形式为：
量子力学
5、狄喇克符号 6、线性谐振子与占有数表象
重点
1、量子力学公式的矩阵形式 2、幺正变换 3、狄喇克符号 4、占有数表象
难点
1、量子力学公式的矩阵形式 2、幺正变换
量子力学
第四章 态和力学量的表象
§4.1 态的表象 一、表象及表象变换的概念
量子力学中表象的概念和解析几何中个 坐标系的概念十分类似。在量子力学中， 任何一个量子态都可以看成是线性空间 （希尔伯空间）中的一个矢量（量子态称 为态矢量），可以选取不同的基矢，以此 矢量在基矢上的投影（分量）来表示，这 样，同一向量可以有不同的表示，每一种 表示就称为
量子力学
二、态矢量的矩阵表示
在量子力学中，任何一个量子态 （已归一化）可以看成抽象的希尔伯空间中 的一个矢量，我们称为态矢量。为了表达态 矢量，需要在希尔伯空间中选取一组基矢， 这组基矢应该是正交、归一、完全的。前面 讲了厄密算符的本征函数系具有正交、归一、 完全性，因此可以用厄密算符的本征函数作 为基矢，将任何态矢量在这组基矢中展开。 一般地，体系的任何一组力学量完全集 F 的共同本征态 n （ n 代表一组量子数，
2
都是归一化的
1 | ( x , t ) | dx
a m (t ) a n (t ) m ( x ) n ( x )
* * nm * n
a m (t ) a n (t ) mn a n (t ) a n (t )
n
量子力学
假设是分离谱）可以用来构成此态空间的一 组正交、归一、完全的基矢，体系的任何一 个态 ( x , t ) 可以用它们展开
( x, t )
a
n
n
( t ) n ( x )
*
( x, t )

*
a n ( t ) ( x , t ) n ( x ) dx
和 n
n
量子力学
展开系数 a n ( a1 , a 2 , ) 就是态矢量 ( x , t ) 在 F 表象中的表示。数组 { n } 与 一一对应，因此可用 { n } 代替 描述 该状态，将数列 a1 , a 2 , a n , 写成一个 列矩阵，则 在 F 表象的表示为
4 a
sin
x
a cos
cos
2
x
a
2 x a
x
a
1 3 x x sin sin a a a 1 2 1 2 2 a 1 2 sin 3 x a 2 a sin
x
a
3
1
量子力学
E3
( ) , 2m a 2 2 E1 ( ) , 2m a
量子力学
量子力学
课程十一
主讲教师:冉扬强
量子力学
第三章 量子力学中的力学量
例题 第四章 态和力学量的表象
§4.1 态的表象 一、表象及表象变换的概念 二、态矢量的矩阵表示
量子力学
例1：设体系处于归一化态
c1Y11 c2Y20 ,(c1 c2 1) 中，求： 1）测量 lˆz 的可能值及平均值；