积分不等式的证明
微积分证明不等式
利用微积分证明不等式初探摘要：充分利用微积分中函数的单调性、中值定理、函数的凹凸性和积分的几何意义等知识，探求不等式的证明方法.关键词：函数单调性；不等式；微分；积分；中值定理 1 微分在证明不等式中的运用 1.1 利用函数的单调性证明不等式定理1 设函数)(x f y =在区间[]b a ,上可导，若0)('>x f （或0)('<x f ）时，则函数)(x f y =在区间[]b a ,上是递增（减）函数.例1 设1,,1<<-c b a ，求证2->---c b a abc .分析 首先要构造一个辅助函数)(x f ：①由欲证形式构成“形似”的函数；②由欲证形式作恒等变形为初等函数形式，再将其中的一个常数改为x ，移项使不等式一边0，另一边为辅助函数)(x f ；然后运用定理1判断.证明 设函数c b x bc x f --+-=2)1()(，则1)('-=bc x f ， 1,1<<-c b ，∴01<-bc ，∴0)('<x f 即函数)(x f 在区间[]1,1-上是减函数.因[]1,1-∈a ，所以有)1()(f a f >，而2)(+---=c b a abc a f ，0)1)(1()1(>--=c b f ，∴0)1()(>>f a f ，即得2->---c b a abc . 评注 利用函数单调性来证明不等式时，往往需要构造适当的辅助函数将不等式问题转化成比较函数值的大小，若要比较两个函数值大小，只要将不等式两边的不等式相减或相除就可以得到所需的辅助函数.例2 证明：331tan x x x ->，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈3,0πx .[1]证明 设331tan )(x x x x f +-=，⎪⎭⎫⎝⎛∈3,0πx ，有0)0(=f ，01sec )(22'>+-=x x x f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈3,0πx ，所以)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π上递增，⎪⎭⎫⎝⎛∈∀3,0πx ，有0)0()(=>f x f ，即331t a n x x x ->，⎪⎭⎫⎝⎛∈3,0πx .1.2 利用中值定理证明不等式定理2 （拉格朗日中值定理）若函数)(x f y =满足条件：①)(x f y =区间[]b a ,上连续，②)(x f y =在区间),(b a 上可导，则在区间),(b a 内至少存在一点ζ使得ab a f b f f --=)()()('ξ与其等价的表示形式可为（1）))(()()('a b f a f b f -=-ξ，)(b a <<ξ；（2）)))((()()('a b a b a f a f b f --+=-θ，)10(<<θ； （3）h h a f a f h a f )()()('⋅+=-+θ，)10(<<θ.例3 证明不等式：aab a b b a b -<<-ln ，其中)0(b a <<. 证明 设x x f ln )(=，[]b a x ,∈，则xx f 1)('=，),(b a ，函数满足定理2条件，所以存在b a <<ξ，使ξa b a b a b -=-=ln ln ln ln，由于a a b a b b a b -<-<-ξ，得aa b a b b a b -<<-ln . 例4 证明对一切1->h ，0≠h 成立不等式h h hh <+<+)1ln(1.[2]证明 设)1ln()(x x f +=，则hhh h ⋅+=-+=+θ11ln )1ln()1ln(，10<<θ，当0>h 时，由于10<<θ，可推知h h +<⋅+<111θ，h hh h h <+<+θ11；当01<<-h 时，由于10<<θ，可推知0111>+>⋅+>h h θ，h hhh h <+<+θ11，从而得到所要的结论.1.3 利用函数的极值和最值证明不等式定理3 （极值的必要条件）若函数)(x f y =在点0x 可导，且在点0x 处取得极值，则0)('=x f . 定理4（极值的第一充分条件）设函数)(x f y =在0x 连续，在区间[]b a ,内可导，（1）若当),(0x a x ∈时，0)('≥x f ；若当),(0b x x ∈时，0)('≤x f ，则)(x f 在点0x 取得极大值；（2）若当),(0x a x ∈时，0)('≤x f ；若当),(0b x x ∈时，0)('≥x f ，则)(x f 在点0x 取得极小值. 例5 设xxm cos 2sin 2--=，求374374+≤≤-m . 分析 观察不等式中的m 是一个函数介于两数间，可以把问题转化成求函数的值域.[3]证明 由于2')c o s 2()s in (c o s 21x x x mx-+-=，由定理0'=xm ，得21c o s s in =+x x ，两边平方有83c o s s in -=⋅x x ，设以x sin ，x cos 为方程083212=--t t 的两个根，所以 4711+=t ，4712-=t .（1）设x t sin 1=，x t cos 2=，则4741-=m ；（2）设x t cos 1=，x t sin 2=，则4742+=m ，可证2m 为极大值1m 为且为最大值极小极值且为最大值.评注 解此类题的关键在于证明的不等式是否满足求一个函数的值域；而后是用求该函数的极值的步骤：①求)(x f 的导数)('x f ；②利用上面的定理3解方程0)('=x f ，求出)(x f 在定义域内的所有稳定点；③找出在定义域内所有导数不存在的稳定点；④利用定理4判断极值点及所有的不稳定点的最大值和最小值.1.4 利用函数的凹凸性证明不等式函数的凹凸性是一个重要的性质，它不仅是证明不等式的重要的工具，而且也是探讨一些重要不等式的重要工具.定义 设)(x f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点1x ，2x 和任意实数)1,0(∈λ总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+，则称)(x f 为I 上的凸函数.反之，如果总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+，则称)(x f 为I 上的凹函数.定理5 设)(x f 为区间I 上的二阶可导函数，则)(x f 在I 上为凹（凸）函数的充要条件是0)("≥x f （0)("≤x f ），I x ∈.例6 对任何非负实数a ，b 有b a b a arctan arctan 2arctan 2+≤⎪⎭⎫⎝⎛+.[4] 证明 （1）若b a =，则等号成立.（2）若b a ≠，不失一般性，设0≥≥a b ，取函数x x f arctan )(=，),0(+∞∈x ，则0)1(2)(22"≤+-=x xx f ，所以)(x f 是),0(+∞上的凸函数.若记21=λ，则211=-λ，可以推出))()((21)()1()(2))1((b f a f b f a f b a f b a f +=-+≤⎪⎭⎫⎝⎛+=-+λλλλ. 即 b a b a arctan arctan 2arctan 2+≤⎪⎭⎫⎝⎛+，结论成立. 1.5 利用重要不等式证明定理6 设n a a a ,,,21⋅⋅⋅；n b b b ,,,21⋅⋅⋅为任意两组非零实数，则∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛nk k n k k n k k k b a b a 121221.例7 若+∈R b a ,且1=+b a 则对任意的+∈R b a ,有222)(by ax by ax +≥+.分析 此题运用比较法、三角代换法证明比较麻烦，若把不等式构成定理6的背景会较易证明.证明 因为1=+b a ，可得1)()(22=+b a ，所以])()[(22y b x a +222)(])()[(bx ax b a +≥+，即222)(by ax by ax +≥+.评注 重要不等式具有高度的概括性，适时的使用它们可以能使许多表面复杂的不等式得到简捷的证明，因此，这些重要不等式常有固定的模式，对于需借助它完成不等式证明变形是必要的，而“凑”、“配”是实施这一变形的技巧.2 积分在证明不等式中的运用 2.1 利用积分的性质证明不等式定理7（积分不等性） 设函数)(x f 和)(x g 为定义在],[b a 上的两个可积函数，若)()(x g x f ≤，],[b a x ∈，则⎰⎰≤bab a x g d x f )()(.例8 证明不等式abab a b -≤ln，)0(b a ≤<. 分析 积分与微分是互逆运算，积分本身具有单调性，问题的关键在于把不等式两边构造成积分的形式，便用牛顿—莱不尼茨公式)()()(a F b F dx x f ba-=⎰，再用定理7便可以证明.证明 不等式左边dx x x d a b a b b a b a ⎰⎰==-=1)(ln ln ln ln ，右边⎰=-b a dx a b ，令xx f 1)(=，1)(≡x g 在],[b a 上是可积函数，由定理7有0201222≥++⇒≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰⎰⎰b a b a b a ba dx x dx x dx dx x λλλ，因此有0)11)((4ln 444222≤---⎪⎭⎫⎝⎛=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆⎰⎰⎰b a a b a b dx x dx x dx b a b a b a 成立，即ab b a b a a b a b 22)(11)(ln -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤⎪⎭⎫ ⎝⎛，而0ln ≥a b ，b a ≤<0，于是有ab a b a b -≤ln 成立. 2.2 利用积分中值定理证明不等式定理8 若函数)(x f 在],[b a 上可积，且存在原函数，则至少存在一点],[b a ∈ξ使得))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ.例9 证明不等式11083+>+.[5]分析 此不等式用平方法证明比较简单，这里由积分中值定理来证明：把不等式作差转换成积分中值定理的形式.证明 不等式变形为81013->-，左边13131112113ξ===-⎰⎰x x d ;同理,右边21081810ξ==-⎰x d ，注意到1082<<ξ，311<<ξ，即1211ξξ<，有81013->-，因此有11083+>+.2.3 利用积分几何意义证明不等式例9 设1,≥b a 时，证明不等式b b e ab a ln 1+≤-.证明 b xdx b b b+-=⎰1ln ln 0，101+=⎰-dx e e ax a ，由图1有矩形面积b a )1(-不超过1S 和2S 的面积和，即11ln ln )1(--+-=+≤-⎰⎰a a y be b b b dy e xdx b a ， 即b b e ab a ln 1+≤-..图1 对数函数的图象3 小结证明不等式也是一门艺术，它具有自己独到丰富的技术手法.因此，我们在证明不等式时要充分运用函数的思想和数形结合的思想；充分利用微分与积分的知识来证明不等式，使一些复杂的不等式的证明得到更加简洁的证明，也使得一些不等式的证明方法多样化.因此在证明不等式时关键在于抓住不等式的特点，从而迅速有效地解决问题.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1981：36-38[2]人民教育出版社中学数学室.高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2001：96-101 [3]人民教育出版社中学数学室.数学（选修）：II[M].北京：人民教育出版社，2001：48-50 [4]华中师大数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2000：210-213. [5]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2001：153-156An Exploration on explore Inequality Using CalculusGao Jinqing,，Jiang Xueming(China Academy of Engineering Physics ，Instiute of Technology ，Mianyang Sichuan ，621900)Abstract: Presents the methods of asing the theories of monotonicity of functions, mean value theorem, the convexity of functions and the geometry significance of integral for the solution functions and the geometry significance of integral for the solution of inequality certificate.Key words: monotonicity of functions; inequality; differentiation; process integral; mean value theorem。
施瓦茨不等式积分形式证明
施瓦茨不等式积分形式证明施瓦茨不等式是一种重要的数学不等式，简称“施瓦茨”，其由意大利数学家布拉佐维奇施瓦茨（Bruno de Finetti）在1930年首先提出。
它表示了积分变量值与集合期望的关系，为我们推导更加精确的统计结论提供了重要的方法。
本文尝试通过施瓦茨不等式积分形式的方式，来证明施瓦茨不等式。
首先，我们需要假设条件：设给定函数f(x)在实数空间[a, b]上是有界的，我们将它称为一个连续函数。
其次，我们假设f(x)在当前区间[a, b]上是可积的，因此可以定义积分变量Z为Z=∫f(x)dx从积分定义可知，Z的均值可以表示为E(Z)=∫f(x)dx经过上述定义，我们可以得出施瓦茨不等式的积分形式，即E(Z)≤∫Mdx其中M=max{f(x)}, x∈[a, b]关于该不等式的一般式，可以将M改写为M(x)，表示一个具有参数x的最大值函数，而不是一个无参数的常数，这样不等式就变成了E(Z)≤∫M(x)dx要证明该不等式，我们需要使用反证法。
我们假定E(Z)>∫M(x)dx，即E(Z)大于积分≤M(x)在[a,b]上的和，那么一定存在某个点x0的f(x0)>M(x0)。
这即是证明施瓦茨不等式的积分形式的证明。
完整的施瓦茨不等式在统计学上有着广泛的应用，可以用来推导更加精确的统计结论。
它可以被应用于自变量之间的关系、统计现象的不确定性以及集合期望值等方面，从而为我们提供更大的推断空间。
总之，施瓦茨不等式积分形式是统计学中重要的一种证明方法，它为我们提供了理解统计概念的有力工具。
通过上文的分析，我们可以清楚的看出，施瓦茨不等式的积分形式具有更多的实际应用价值。
用微积分方法证明不等式
f ( n ) ( x) > 0
[ x Î (a, b)];
f ( n ) (x ) ( x - a)n > 0 n!
[ x Î (a, b)];
内 !则对-%&’. 内任意几个点
若 -%&’. 在 f " ( x) ³ 0
x1 , x2 , L, xn , 有不等式 %
x1 + x2 + L + xn 1 ) £ ( f ( x1 ) + f ( x2 ) + L + f ( xn )) n n x + x2 + L + xn 证明 " 将 !"#) 在 x0 = 1 展开 n 1 f ( x) = f ( x0 ) + f ’( x0 )( x - x0 ) + f "(x )( x - x0 ) 2 2 f( x ¡¢x£x0 ¤¥ Q f "( x) ³ 0 \ f ( x) ³ f ( x0 ) + f ’( x0 )( x - x0 ) (*)
0 £ x £ 1, p > 1 !证明不等式 2
令
1
p -1
£ x p + (1 - x ) p £ 1
f ( x) = x p + (1 - x) p
f ’( x) = px p -1 + p(1 - x) p -1 (-1) = p[ x p -1 - (1 - x) p -1 ],
f ¢¢( x ) = p ( p - 1) x p - 2 + p ( p - 1)(1 - x) p - 2 1 1 p-2 1 p-2 1 + ( ) ] > 0, (Q p > 1); 令 f ’( x) = 0 ! 得 x = !则 f ¢¢( ) = p ( p - 1)[( ) 2 2 2 2
积分不等式的证明方法及其应用
积分不等式的证明方法及其应用
【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个积分不等式的方法，并给出了相应的例题，从而更好的掌握其积分不等式的证明方法。
然后再给出重要不等式及其证明方法，最后详细举例说明积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式上的应用及其两个重要积分不等式的应用。
【关键词】积分不等式、Schwarz 不等式、Holder 不等式、Gronwa11不等式、Yong 不等式 1 引言
在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数的有限形式来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz 公式求出（如2
1
x e e dx -⎰），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，后近似计算，另一种情况是，被积函数是没有明确给出只知道它的某些结构或性（例如设函数y 在（0，1）上连续可微，且（(1)(0)1,f f -=求1
20()f x dx -⎰），应此我们希望对积分值给出某种估计，为此我们来研究积分不等式。
我们把含有定积分的不等式称为积分不等式。
2
2211ln ,(()cos )(()sin )1b b a a xdx x xdx f x xdx f x xdx ≤+≤⎰⎰⎰⎰都是积分不等式。
柯西不等式积分形式的证明
柯西不等式积分形式的证明首先，我们先回顾一下柯西不等式的表述：对于任意两个函数f(x) 和 g(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，且 g(x) 不为零，则有以下不等式成立：∫[a,b] f(x)g(x) dx ≤ √(∫[a,b] f(x)² dx) √(∫[a,b] g(x)² dx)。
证明柯西不等式的积分形式，我们可以按照以下步骤进行：步骤一，假设存在一个常数λ，使得∫[a,b] (λf(x)g(x))² dx = 0。
步骤二，根据积分的非负性，我们可以得出(λf(x) g(x))²= 0 在 [a, b] 上恒成立。
步骤三，根据函数的连续性，我们可以得到λf(x) g(x) = 0 在 [a, b] 上恒成立。
步骤四，由于 g(x) 不为零，所以我们可以得到λ =f(x)/g(x) 在 [a, b] 上恒成立。
步骤五，将λ = f(x)/g(x) 代入步骤三的方程中，我们可以得到 f(x)/g(x) f(x) g(x) = 0 在 [a, b] 上恒成立。
步骤六，整理上述方程，我们可以得到∫[a,b] f(x)g(x) dx∫[a,b] g(x)² dx = 0。
步骤七，根据步骤六的结果，我们可以得到∫[a,b] f(x)g(x) dx = ∫[a,b] g(x)² dx。
步骤八，由于∫[a,b] f(x)² dx 和∫[a,b] g(x)² dx 都是非负数，所以我们可以得到∫[a,b] f(x)g(x) dx ≤ √(∫[a,b] f(x)² dx) √(∫[a,b] g(x)² dx)。
综上所述，我们通过积分形式的证明，得到了柯西不等式的结论。
需要注意的是，上述证明过程中使用了一些基本的数学推理和性质，如积分的非负性、函数的连续性等。
这个证明只是柯西不等式的一种证明方法，还有其他的证明方法，比如基于向量空间的证明等。
柯西不等式积分形式的证明
柯西不等式积分形式的证明1. 引言柯西不等式是数学分析中的一个重要不等式，它在积分学、泛函分析、概率论等领域有广泛应用。
柯西不等式有多种形式，其中积分形式是一种常见的表达方式。
本文将详细介绍柯西不等式积分形式的证明过程。
2. 柯西不等式的表述首先，我们来给出柯西不等式的积分形式的表述：定理：对于任意两个函数f(x)和g(x)，它们在区间[a,b]上连续，并且g(x)≠0，则有以下不等式成立：(∫fba (x)g(x)dx)2≤∫fba(x)2dx⋅∫gba(x)2dx3. 证明过程为了证明柯西不等式的积分形式，我们可以利用积分的性质和一些基本的不等式关系。
下面是证明的详细过程：步骤 1：假设f(x)和g(x)是两个满足条件的函数。
步骤 2：考虑函数ℎ(t)，定义为：ℎ(t)=∫fta(x)g(x)dx步骤 3：利用ℎ(t)的定义，我们可以得到：ℎ′(t)=f(t)g(t)步骤 4：根据ℎ(t)的定义，我们可以将柯西不等式的左边表示为：(∫fba (x)g(x)dx)2=[ℎ(b)−ℎ(a)]2步骤 5：将ℎ(t)的导数ℎ′(t)代入上式，得到：[ℎ(b)−ℎ(a)]2=[∫fba (x)g(x)dx]2=[∫ℎba′(t)dt]2步骤 6：利用积分的线性性质，将上式展开为：[∫ℎb a ′(t)dt]2=[∫fba(t)g(t)dt]2步骤 7：根据积分的定义，我们可以得到：[∫fba (t)g(t)dt]2=[∫fba(t)2dt⋅∫gba(t)2dt]步骤 8：将步骤 7 中的等式代入步骤 6 中的表达式，得到：[∫ℎb a ′(t)dt]2=[∫fba(t)2dt⋅∫gba(t)2dt]步骤 9：根据步骤 5 中的等式，我们可以得到柯西不等式的积分形式：(∫fba (x)g(x)dx)2=[∫fba(t)2dt⋅∫gba(t)2dt]步骤 10：由于f(x)和g(x)是满足条件的函数，根据积分的非负性质，我们可以得到：∫fba(t)2dt≥0∫gba(t)2dt≥0步骤 11：根据步骤 10 中的不等式，我们可以得到柯西不等式的积分形式：(∫fba (x)g(x)dx)2≤∫fba(t)2dt⋅∫gba(t)2dt4. 总结柯西不等式积分形式的证明过程如上所述。
考研数学知识：柯西积分不等式及其分析证明
考研数学知识：柯西积分不等式及其分析证明在考研数学中，不等式的证明是一个常考点，它包括函数不等式和积分不等式的证明。
在积分不等式的证明中，有一些问题需要用到柯西积分不等式，大家可能对这个不等式不太熟悉，为了使大家了解和学会运用这个不等式，提高自己分析问题和证明问题的能力，下面中公考研老师对柯西积分不等式作些介绍说明，并运用它来证明一些例题，供各位考生参考。
考研数学复习需掌握的四大技能考研是比较煎熬但也是至关重要的时期。
各位考生如果能充分利用好这段时间，成绩是会有所提升的。
下面凯程教育对该期间的复习提供一些建议，以帮助广大考生学会这四大技能。
一、梳理基本知识点，理顺知识点间的联系经历了大量题型的练习，同学们在做题方法和技巧上都有所提高，但是却忽略一些基本概念、定义、公式等，在这些基本题目上丢分。
这期间同学们一定把基本知识点掌握牢固，并且梳理好知识点，理顺知识点间的联系。
这样做基本题和综合题目时，才能立马想到用到的知识点和方法，做起题来才能得心应手。
二、按时按计划完成真题，总结常考题型的方法和技巧真题是最有价值的练习题。
同学们做每套题时，尽量按照考试的要求，在规定的时间内完成题目，然后核对答案，估算分数。
务必把不会做的题目单独拿出来弄懂，并把没掌握好的一类题目重点复习一下，对应地再做几道题目加深记忆。
做完每套题，一定要总结常考题型的方法和技巧，这样才能在遇到类似题目时泰然自若。
三、巩固重点题型，做好最后的查缺补漏工作数学三天不做题，就会没有手感。
后期，同学们每天一定要定量做一些题目保持手感，可以把之前没有掌握牢固的重点题型拿出来巩固，一旦发现薄弱环节，马上弥补，不要因为觉得困难而放弃。
保持稳定的情绪和良好的心态，做好最后的查缺补漏工作。
四、注意饮食，合理休息，将生物钟调整到考试的状态考研这段时间身体和心理上都会忍受极大的折磨，同学们一定要注意饮食，合理休息，不要搞疲劳战，尤其是考前几天熬夜突击，这样往往会适得其反。
积分不等式的证明及应用
衡阳师范学院毕业论文（设计）题目：积分不等式的证明及应用所在系：数学与计算科学系专业：数学与应用数学学号： ******** 作者姓名：盛军宇指导教师：肖娟2012年 4 月 27 日积分不等式的证明及应用数学与计算科学系 数学与应用数学专业 学号:08090233 姓名:盛军宇 指导老师:肖娟摘要 本文主要研究了如何利用积分中值定理、辅助函数、以及一些特殊积分不等式等方法证明积分不等式,并通过若干实例总结有关积分不等式的证明方法及规律,讨论了一些特殊积分不等式的应用.关键词 积分不等式；中值定理；函数0. 引言积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.对积分不等式证明方法的介绍,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.目前国内外对该课题的研究比较普遍,主要研究了如何利用微积分相关知识来解决一些比较复杂的积分不等式的证明.积分不等式的常用证法有: 定积分的定义、定积分的性质、泰勒公式、分部积分法、线性变换等.本文主要从以下几个方面讨论和归纳了一系列积分不等式的证明方法:利用积分中值定理来证积分不等式、利用Schwarz 不等式来证积分不等式、利用微分中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式等.1. 积分不等式的证明方法1.1 利用积分第一中值定理证明积分不等式积分第一中值定理(定理1) 若()x f 在][b a ,上连续, 则至少存在一点ζ∈][b a ,,使得()()()a b f dx x f ba-=⎰ζ.积分第一中值定理在证明积分不等式中有着举足轻重的作用. 例1 设()x f 在][1,0上可微,而且对于任意)(1,0∈x ,有()M x f ≤'||, 求证:对任意正整数n 有()nMn i f n dx x f n i ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑⎰=111,其中M 是一个与x 无关的常数. 分析 由于目标式中一个式子为∑=⎪⎭⎫⎝⎛n i n i f n 11,另一个式子为()dx x f ⎰10,故把()dx x f ⎰10按区间可加性写成一些定积分的和,并应用积分第一中值定理加以证明.证 由定积分的性质及积分中值定理,有()()⎰∑⎰=-=111ni n i ni dx x f dx x f ()∑==ni i n f 11ζ,⎢⎣⎡⎥⎦⎤-∈n i n i i ,1ζ,.,,2,1n i =又因为()x f 在][1,0上可微,所以由微分中值定理可知,存在 ⎝⎛⎪⎭⎫∈n i i i ,ζη,使得,()()⎪⎭⎫⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛i i i n i f f n i f ζηζ,.,,2,1n i = 因此()()∑∑⎰∑===⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n i n i i n i n i f n f n n i f n dx x f 1111111ζ()()()nM n M n n i f n f n i f n f n i f n n i i ni i n i i n i i =≤⎪⎭⎫⎝⎛-'=-⎪⎭⎫⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑∑∑====111111111ζηζζ.在抽象函数()x f 的积分不等式中,若出现和号∑、幂函数、对数函数等,一般可以利用定积分的定义或区间可加性,将区间][b a ,n 等分,点i ζ也可采用特殊的取法. 1.2 利用拉格朗日中值定理证明积分不等式拉格朗日中值定理(定理2) 若函数f 满足如下条件:()i f 在][b a ,上连续；()ii f 在)(b a ,内可导, 则在)(b a ,内至少存在一点ζ,使得()()()ab a f b f f --='ζ. 利用拉格朗日中值定理的关键是根据题意选取适当的函数()f x 和区间[],a b ,使它们满足拉格朗日定理条件,然后运用拉格朗日公式或等价形式来运算得出所要的结论.例2 设()x f '在][b a ,上连续.证明:若()a f =()b f 0=,则()⎰badx x f ≤()M a b 42-,][()x f Max Mb a x '=∈,.分析 由条件()a f =()b f 0=,及()x f '与()x f ,故想到利用拉格朗日中值定理.证 由拉格朗日中值定理得: 对任意的∈x ⎢⎣⎡⎥⎦⎤+2,b a a , ()()()a f x f x f -=()()x a a x f <<-=11,ζζ.对任意的∈x ⎢⎣⎡⎥⎦⎤+b b a ,2,()()()b f x f x f -=()()b x b x f <<-=22,ζζ.()()()()⎢⎣⎡⎥⎦⎤+∈-≤⎢⎣⎡⎥⎦⎤+∈-≤⇒b b a x x b M x f b a a x a x M x f ,2,,2,,, 故()()()⎰⎰⎰+++=bb a b a abadx x f dx x f dx x f 22()()⎰⎰+++≤bb a b a adx x f dx x f 22()()⎰⎰++-+-≤bb a b a adxx b M dx a x M 22()M a b 42-=.注意到M 是()x f '在][b a ,上的最大值,所以解题的关键是如何使()x f 与()x f '联系起来,因而不难想到拉格朗日中值定理来证明. 1.3 构造变上限函数证明积分不等式作辅助函数,将结论的积分上限或下限换成x ,式中相同的字母也换成x ,移项,使得不等式的一端为零,则另一端为所作的辅助函数,这种方法在证明一些特定类型积分不等式时有重要作用.例3 设函数()x f 在][1,0上连续,证明不等式()()⎰⎰≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡102210dx x fdx x f .分析 此例若令()()()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xx dt t f dt t f x F 0220,则()x F '的正负不易判断,需进一步的改进.证 由待证的积分不等式构造变上限定积分的辅助函数,令()()()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xx dt t fx dt t f x F 0220显然,()00=F ,且()x F 可导,有()()x f x F 2='()dt t f x⎰0()()t xf dt t fx202--⎰()()[]⎰≤--=xdt t f x f 020,则()x F 在0≥x 时单调减小,即有()()0,00≥=≤x F x F ,特别地,(),01≤F 即证得不等式()()⎰⎰≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡102210dx x f dx x f .例4 设函数()x f 在][1,0上可微,且当)(1,0∈x 时,()10<'<x f ,()00=f ,试证 ()()⎰⎰>⎥⎦⎤⎢⎣⎡103210dx x f dx x f . 证 问题在于证明()()0103210>-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰dx x f dx x f ,令()()()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xx dt t f dt t f x F 0320,因为()00=F ,()()()()()()(){}x fdt t f x f x f dt t f x f x F xx23022-=='⎰-⎰,已知()00=f ,()10<'<x f ,故当)(1,0∈x 时,()0>x f , 记()=x g ()()x f dt t f x22-⎰,则()00=g ,()()()()x f x f x f x g '-='22=()()[]012>'-x f x f ,)(1,0∈x , 于是()=x g ()()>-⎰x fdt t f x202()00=g ,)(1,0∈x ,故(),0>'x F )(1,0∈x ,所以()()001=>F F ,即()()⎰⎰>⎥⎦⎤⎢⎣⎡103210dx x f dx x f . 通过上述两例,我们知道了构造变上限函数证明积分不等式,遇到特殊情况,不能按常规直接作辅助函数需要稍微变化一下,有时甚至要在一个题中构造两个辅助函数,以便判断所作函数的单调性. 1.4 利用二重积分证明积分不等式在积分不等式的证明中利用定积分与积分变量形式无关的这一性质,将定积分的平方项或者定积分之间的乘积转化为积分变量形式不同的定积分之积,把定积分化为二重积分,可以达到有效的作用.例5 若函数()x f ,()x p ,()x g 在][b a ,上连续,()x p 是正值函数,()x f ,()x g 是单调增加函数,则()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰≤babababadx x g x f x p dx x p dx x g x p dx x f x p .该不等式称为切贝谢夫不等式.分析 只要证()()()()()()()()0≥-=∆⎰⎰⎰⎰babababadx x g x p dx x f x p dx x g x f x p dx x p即可,而上述式子又可视为累次积分,从而化为二重积分.证 因定积分的值与积分变量无关,故()()⎰⎰=babady y p dx x p ,()()()()⎰⎰=baba dy y g y p dx x g x p .()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰-=∆babababady y g y p dx x f x p dx x g x f x p dy y p()()()()()()()()[]dxdy y g x f y p x p x g x f x p y p D⎰⎰-=()()()()()[]dxdy y g x g x f y p x p D⎰⎰-= ()1其中,积分区域()b y a b x a D ≤≤≤≤;.因为定积分与积分变量的形式无关, 所以交换x 与y 的位置,得到()()()()()[]dxdy x g y g y f x p y p D⎰⎰-=∆ ()2将()1式与()2式相加,得()()()()[]()()[]dxdy y g x g y f x f y p x p D--=∆⎰⎰21,由已知, 可知()x p 是正值函数,()x f ,()x g 是单调增加函数,从而()()[]y f x f -与()()[]y g x g -同号,于是在D 上()()y p x p ()()[]y f x f -()()[]y g x g -0≥,从而,0≥∆. 即()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰≤babababadx x g x f x p dx x p dx x g x p dx x f x p .例6 若函数()x f 在][1,0上不恒为零且连续增加,则()()()()⎰⎰⎰⎰≤1210312103dxx xf dxx xf dxx fdx x f . 证 由于在][1,0上,结论式中的分母均为正值,所以结论等价于()()⎰⎰-=∆101032dx x xf dx x f()()0102103≥⎰⎰dx x xf dx x f ,而 ()()⎰⎰-=∆11032dx x xf dx x f()()⎰⎰102103dx x xf dx x f()()()()dxdy y xf x f dxdy y yf x f DD⎰⎰⎰⎰-=3232()()()dxdy x y y f x f D⎰⎰-=32 ()3其中,积分区域()10;10≤≤≤≤y x D 因定积分的值与积分变量的形式无关,故又有()()()dxdy y x x f y f D⎰⎰-=∆32 ()4将()3式与()4式相加,得()()()()()[]dxdy y f x f x f y f y x D--=∆⎰⎰2221,由已知,函数()x f 在][1,0上连续增加,从而对任意的][1,0,∈y x ,有()()()()()[]022≥--y f x f x f y f y x ,故()()()()⎰⎰⎰⎰≤1213102103dx x xf dx x xf dx x f dx x f. 从以上的积分不等式证明中,可知把定积分化为重积分能巧妙地解决一些积分不等式的证明问题.1.5 借助于判别式来证明积分不等式引入适当的参数,构造合适的函数,讨论参数的判别式,以便证明所求证的积分不等式.例7 设()0>x f ,且在][b a ,上连续,试证()()()2a b x f dx dx x f b aba -≥⎰⎰. 分析 可构造多项式,利用多项式的性质来证明积分不等式.证 由题设对任意的λ,考察函数()()x f x f λ+,因为()()02≥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+x f x f λ,有 ()()022≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎰dx x f x f ba λλ,即()()022≥++⎰⎰⎰dx x f dx x f dx b a b a b a λλ, 不等式的左端可以看成λ的二次三项式,且对任意的λ上述不等式均成立, 故判别式()()()0422≤-⎰=∆⎰⎰b a baba dx x f x f dx dx ,即()()()2a b x f dx dx x f b a b a -≥⎰⎰. 用判别式解题的关键是要有一个函数值恒定（大于或小于零、大于或等于零、小于或等于零）的一元二次方程()x g ,而()02≥x g ,于是我们构造()02≥⎰dx x g ba 这样一个方程,再结合这种情况下的判别式也是一个不等式,便可证明此题. 1.6 利用对称性证明积分不等式命题1 当积分区域关于直线x y =对称时,被积函数的两个变量交换位置后,二重积分的值不变.这一条规律有助于解决一些特定类型的积分不等式的证明.例8 函数()x f 在][b a ,上取正值且()x f 在][b a ,上连续试证:()()()2a b dxdy y f x f h-≥⎰⎰,][b a b a h ,;,=. 证 因为][b a b a h ,;,=关于直线x y =对称,从而()()()()dxdy x f y f dxdy y f x f I hh⎰⎰⎰⎰==, 所以()()dxdy y f x f I h⎰⎰=()()()()dxdy x f y f y f x f h ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=21()21a b dxdy h-=≥⎰⎰. 由上例可知,在积分不等式的证明过程中,我们可以应用基本不等式,它可能起到重要作用.1.7 利用积分第二中值定理的推论证明积分不等式积分第二中值定理的推论:设函数f 在][b a ,上可积.若g 为单调函数,则存在][b a ,∈ζ,使得()()()()()()dx x f b g dx x f a g dx x g x f ba b a ⎰⎰⎰+=ζζ.应用这个推论可以较容易地解决某些恒等式与某些不等式的证明.例9 设函数()x f 在][b a ,上单调递增连续,则()()dx x f b a dx x xf ba b a⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥2. 证 假设函数()2ba x x g +-=,显然()x g 在][b a ,上可积,又函数()x f 在][b a ,上递增连续,根据积分第二中值定理的推论知存在][b a ,∈ζ,使得()()()()()()dx x g b f dx x g a f dx x g x f baba⎰⎰⎰+=ζζ ()*且()*式又可变为()()()()[]()()dx x g b f dx x g a f dx x g x f bab a⎰⎰⎰+--=ζζ.由定积分的几何意义知()()[]dx x g dx x g ba⎰⎰-=ζζ,][b a ,∈ζ,同时,()()b f a f ≤,于是,()()()()[]()0≥-=⎰⎰dx x g a f b f dx x g x f bbaζ,即()02≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎰dx x f b a x b a ,故()()dx x f b a dx x xf ba b a ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥2. 2. 一些特殊积分不等式的应用2.1 Chebyshew 不等式及其应用Chebyshew 不等式 设()()x g x f ,同为单调递减或当调递增函数,则有()()()()()⎰⎰⎰-≤⋅bab ab adx x g x f a b dx x g dx x f .若()()x g x f ,中一个是增函数,另一个为减函数,则不等式变为()()()()()⎰⎰⎰-≥⋅bab abadx x g x f a b dx x g dx x f .Chebyshew 不等式有广泛应用,特别在证明一类积分不等式中发挥重要作用.例10 设()x g 是][1,1-上的下凸函数,()x f 为][1,1-上的偶函数且在][1,0上递增,则,()()()()⎰⎰⎰---≤1111112dx x g x f dx x g dx x f .分析 从所证的不等式看,它有点类似于Chebyshew 不等式,如果能够构造出一个单调函数满足Chebyshew 不等式的条件,问题就容易解决了,为此构造辅助函数,令()()()x g x g x -+=ϕ.证 令()()()x g x g x -+=ϕ,显然()x ϕ也为][1,1-上的偶函数,由于()x g 是][1,1-上的下凸函数,故当1021≤≤≤x x ,()()()()()21212121x x x g x g x x x g x g --≤------, 即()()()()1221x g x g x g x g -≤---,即()()21x x ϕϕ≤,所以()x f ,()x ϕ在][1,0上为增函数, 由Chebyshew 不等式知,()()()()dx x x f dx x dx x f ⎰⎰⎰≤1101ϕϕ()()()()dx x x f dx x dx x f ⎰⎰⎰---≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔11111122121ϕϕ,可得()()()()⎰⎰⎰---≤1111112dx x g x f dx x g dx x f .2.2 利用Schwarz 不等式证明积分不等式Schwarz 不等式 若()()x g x f ,在][b a ,上可积,则()()()()()dx x g x fdxx g x f bab a222⎰≤⎰.Schwarz 不等式是一个形式简单,使用方便的积分不等式,在证明某些含有乘积及平方项的积分不等式时颇为有效.例11 已知()0≥x f ,在][b a ,上连续,()1=⎰ba dx x f , k 为任意实数,求证:()()()()1sin cos 22≤⎰+⎰dx kx x f dx kx x f ba b a ()5证 ()5式左端第一项应用Schwarz 不等式得()()()()()[]22cos cos dx kx x f x f dx kx x f baba⎰=⎰()()dx kx x f dx x f baba⎰⎰⋅≤2cos ()dx kx x f ba⎰=2cos ()6同理()()()dx kx x f dx kx x f baba ⎰≤⎰22sin sin ()7()()()式即得576+.此题证明的关键在将()x f 写成()()x f x f ⋅的形式,以便应用Schwarz 不等式.2.3 Jensen 不等式定理3 设()x f 在][b a ,上连续,且()M x f m ≤≤,又()t ϕ是][M m ,上的连续凸函数（指下凸函数）,则有积分不等式()()()⎰⎰-≤⎪⎭⎫⎝⎛-b a b a dx x f a b dx x f a b ϕϕ11 ()8 注 若()t ϕ是][M m ,上的连续凹函数,则()8式中的不等式号反向.定理4 设()()x p x f ,在][b a ,上连续,且()M x f m ≤≤,()()b x a x p ≤≤>0,()t ϕ是][M m ,上的连续凸函数,则有()()()()()()()⎰⎰⎰⎰≤⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛b ababa b adxx p dx x f x p dx x p dx x f x p ϕϕ ()9注 当()t ϕ是][M m ,上的连续凹函数时,()9式中的不等号反向. 例12 设()x f 在][b a ,上连续,且()0>x f ,则对任意的自然数n ,有()()⎰⎰-≥⎪⎭⎫⎝⎛-b a b a dx x f n a b dx x f a b n ln 11ln . 证 令()t n t ln =ϕ,那么()t n t 1='ϕ,()012<-=''tn t ϕ,故()t ϕ为凹函数,显然()x f 在()t ϕ的定义域内有意义,故由定理3知,结论成立.例13 设()()x p x f ,是][b a ,上的正值连续函数,则对任意的自然数n ,有()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤⎰⎰⎰⎰b a b a babadx x p dx x f x p n dxx p dxx f x np ln ln .证 令()t n t ln =ϕ由上例知()t ϕ为凹函数,故由定理4知结论成立. 2.4 Young 不等式的应用Young 不等式 设()x f 是单调递增的,连续于][a ,0上,()00=f ,0,≥b a ,()x f 1-表示()x f 的反函数,则()()dy y fdx x f ab ab⎰⎰-+≤01,其中等号成立当且仅当()b a f =.Young 不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解.例14 证明:1,≥b a 时,不等式b b e ab a ln 1+≤-成立. 证 设()1-=x e x f ,则()x f 单调并连续,()()y y f +=-1ln 1,因为1,≥b a ,由Young 不等式有,()()()()⎰⎰----+--+=+≤--11111ln 11a b a b a b b e dy y fdx x f b a ,故b b e ab a ln 1+≤-. 2.5 Steffensen 不等式Steffensen 不等式 设在区间][b a ,上,()x g 1 ,()x g 2连续,()x f 一阶可导,任给][b a x ,∈,成立不等式()()dt t g dt t g x ax a⎰⎰≤21,且()()dx x g dx x g b aba⎰⎰=21.若()x f 在][b a ,上单调递减,则()()()()dx x g x f dx x g x f b aba21⎰⎰≤;若()x f 在上单调递增上述不等式变号.例15 证明dx x x dx x x ⎰⎰+≤+2022021cos 1sin ππ. 证 对任意的∈x ⎢⎣⎡⎥⎦⎤2,0π,因为x x sin 1cos ≤+-,所以有⎰⎰≤x x tdt tdt 00cos sin ;此外,显然有1cos sin 2020==⎰⎰ππxdx xdx 且函数211x +在⎢⎣⎡⎥⎦⎤2,0π上单调递减,从而根据Steffensen 不等式,知dx x x dx x x ⎰⎰+≤+2022021cos 1sin ππ. 结论总之,以上讨论的积分不等式的主要证明方法都离不开积分的性质,主要是通过函数的可微性和函数的可积性,利用二重积分、拉格朗日中值定理和积分中值定理来证积分不等式；以及巧妙的利用Schwarz 不等式和Jensen 不等式等,在实际应用中需要结合各方面灵活使用题中条件或不等式,才会使问题得以正确解决.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001:223.[2]宋海涛.几个定积分不等式的证明[J].高等数学研究,2003,6(4):34-35. [3]陈兴荣,杜家安.关于积分不等式的证明[J].工科数学,1993,9(2):77.[4]孙清华,孙昊.数学分析内容、方法与技巧（上）[M].武汉:华中科技大学出版社,2003.[5]张瑞.定积分不等式证明方法的研究[J].内江科技,2001,(5):102.[6]丰刚.几个积分不等式及其应用[J].牡丹江大学报,2010,19(7):88-89.[7]刘玉记.再谈Young’s不等式的证明[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报,2009,(4):108.[8]舒阳春.高等数学中的若干问题解析[M].北京:科学出版社,2005:108-109.[9]杨和稳.积分不等式证明技巧解析[J].高等数学研究,2009,12(6):38.[10]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.The proof and application of integral inequalityDepartment of Mathematics and Computational ScienceMathematics and Application Mathematics specialtyNumber:08090233 Name:ShengJunyu Instructor:XiaoJuanAbstract: This paper studied to use the integral mean value theorem、the auxiliary function、some special integral inequality and other methods to prove integral inequality, and summarized some examples about proof methods and rules of integral inequality, and discussed the application of some special integral inequality.Key word: integral inequality; theorem of mean; function。
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积分不等式的证明一、证明常用的性质性质1 函数的代数和的积分等于各个函数积分的代数和⎰⎰⎰+=+baba badx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121其中21,k k 都是常数。
性质2 如果在区间],[b a 上1)(=x f ,则⎰⎰-==babaa b x d x d )()(·1。
性质3 如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，则⎰<≥bab a dx x f )(0)(。
性质4 如果在区间 ],[b a 上有)()(x g x f ≥则⎰⎰<≥babab a dx x g dx x f )()()(性质5)()()(b a dx x f dx x f baba<≤⎰⎰性质6（估值定理） 如果M 和m 分别是)(x f 在区间],[b a 上的最大值和最小值，则有)(,)()()(b a a b M dx x f a b m ba <-≤≤-⎰。
性质7 如果函数)(x f 在区间上可积，c 是],[b a 内的一点)(b c a <<,则函数)(x f 在],[c a 及],[b c 上也可积，并且⎰⎰⎰+=bacacbdx x f dx x f dx x f )()()(。
性质7 的证明：对于],[b a 的任意划分，在插入一个分点c ，得到一种新的分划。
在这些心的分划中，点c 永远是一个分点，因而有i b c i c a i i i b a i x f x f x f ∆+∆=∆∑∑∑)()()(),(),(),(ξξξ令0→λ，上式两端同时取极限，就得到⎰⎰⎰+=b acabcdx x f dx x f dx x f )()()(。
积分中值公式 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则在积分区间],[b a 上至少存在点ξ，使得⎰≤≤-=ba b a a b f dx x f )(),)(()(ξξ。
证明: 因为)(x f 在闭区间],[b a 上连续，故在],[b a 上可积，且有最大值M 及最小值m ，即)()(b a M x f m ≤≤≤≤ξ于是，由定积分的估值定理，有⎰<-≤≤-ba b a a b M dx x f a b m )(),()()(注意a b ≠,将上面各式除以a b -,得⎰≤-≤baM dx x f a b m )(1可见确定的数值⎰-=badx x f a b )(1μ介于连续函数)(x f 在闭区间],[b a 上最大值M 与最小值m 之间。
根据闭区间上连续函数的介值定理，在],[b a 上至少存在一点ξ，使得μξ=)(f ，即⎰≤≤-=ba b a dx x f ab f )(,)(1)(ξξ 亦即 ⎰≤≤-=b ab a a b f x f )(),)(()(ξξ这个公式叫做积分中值公式（积分第一中值定理），)(ξf 叫做函数)(x f 在区间],[b a 上积分平均值。
性质8 若g f ,都在],[b a 上可积，则g f ⋅在],[b a 上也可积。
性质9 ⎰⎰-=baabdx x f dx x f )()(特别的⎰=adx x f a0)（。
性质10 （积分第二中值定理）：若)(x f 是],[b a 上单调函数，)(x g 为可积函数，则],[b a ∈∃ξ，使得⎰⎰⎰+=baabdx x g b f dx x g a f dx x g x f ξξ)()()()()()(。
性质11 (柯西不等式)⎰⎰⎰≤bababadx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222牛顿—莱布尼兹公式（重要公式）若函数)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 为)(x f 的一个原函数， 即],[),()(b a x x f x F ∈=',且 ⎰-=ba a Fb F dx x f )()()(变限积分 设)(x f 在],[b a 上可积，对于任给],[b a x ∈,)(x f 在],[x a 和],[b x 上均可积，分别称⎰xadt t f )(和⎰bxdt t f )(为变上限的积分和变下限的积分，统称为变限积分。
若f 在],[b a 上连续，则其变限积分作为关于x 的函数，在],[b a 上处处可导，且)())(()())((x f dt t f dxd x f dt t f dxd bxx a-==⎰⎰，更一般的有)()]([)()]([)()()(x h x h f x g x g f dt t f dxd x g x h '-'=⎰ 二、积分不等式的证明例1．设)(x f 在],[b a 上有一阶连续导数，且0)(=a f ，证明： (1)|)(|max 2)(|)(|],[2x f a b dx x f b a x ba'-≤∈⎰(2) dx x f a b dx x f baba222])([2)()(⎰⎰'-≤分析：(1)该不等式实际上给出了左边积分的一个界。
若令|)(|max ],[x f M b a x '=∈，则有M x f ≤'|)(|，即给出了导数的界，再加条件0)(=a f ，估计出],[),(|)(|b a x a x M x f ∈-≤，进而估计出积分的界。
(2)不等式两边分别有)(x f 和)(x f '，而等式)()()(00x f dx x f x f xx +'=⎰可将两者联系起来，这里0x 要根据具体问题具体选择，本题中容易想到a x =0。
证明：(1)令|)(|max ],[x f M b a x '=∈，由积分中值定理知))(()()()(a x f a f x f x f -'=-=ξ从而 ],[),(|))((||)(|b a x a x M a x f x f ∈-≤-'=ξ 所以 M a b dx a x M dx x f dx x f bababa2)()(|)(||)(|2-=-≤≤⎰⎰⎰(2) ⎰⎰'=+'=xaxadt t f a f dt t f x f )()()()(，则⎰⎰⎰'≤'=xa xa xadt t f dt dt t f x f 222)]([1])([)(dx x f a b ba22])([2)(⎰'-≤故⎰⎰⎰-'≤ba ba badx a x dt t f dx x f )()]([)(22dx x f a b b a22])([2)(⎰'-≤例2．比较定积分⎰10dx e x 与⎰+1)1(dx x 的大小。
解：(用性质3)设x e x f x --=1)(,我们只需判别)(x f 在]1,0[的正负号， 因 01)(≥-='x e x f ，0)0(=f ,故0)(≥x f 。
所以⎰10dx e x >⎰+1)1(dx x 。
例3.设函数)(x f y =定义在区间],[b a 上，且对于区间],[b a 上任意二点1x ，2x ，有2121)()(x x x f x f -≤-。
证明，（1） 对于),(b a 内每一点，)(x f 是连续函数；（2） 如果)(x f 在],[b a 上可积，则2)(21)()()(a b x f a b dx x f ba-≤--⎰。
证明：（1）任给),(b a x ∈,由题设知.)()(x x f x x f y ∆≤-∆+=∆于是当0→∆x 时，0→∆y ，故)(x f 连续。
(2)当a x ≥时，有a x a x a f x f -=-≤-)()(，即)()()()()(a x a f x f a x a f -+≤≤--。
两边积分，可得⎰⎰⎰-+≤≤--b ababadx a x a f dx x f dx a x a f )]()([)()]()([即⎰-≤--≤--b a a b a f a b dx x f a b 2)()()()(2)(22 故有2)()()()(2a b a f a b x f ba-≤--⎰。
例4．设)(x f 在],[b a 上有二阶连续导数，|)(|max ],[x f M b a x ''=∈，证明：3)(24|)2()()(|a b Mb a f a b dx x f ba-≤+--⎰ 方法1：由泰勒公式有2)2)((21)2)(2()2()(b a x f b a x b a f b a f x f +-''++-+'++=ξ两边在],[b a 上积分并注意到⎰=+-b a dx ba x 0)2(得⎰⎰+-''++-=b a b a dx b a x f b a f a b dx x f 2)2)((21)2()()(ξ， 从而得24)()2(2|)2)((|21|)2()()(|322a b M dx b a x Mdx b a x f b a f a b dx x f ba b a b a-=+-≤+-''=+--⎰⎰⎰ξ方法2：令⎰=x adt t f x F )()(，则)()(),()(),()(x f x F x f x F x f x F ''=''''=''='且 )()()(a F b F dt t f ba-=⎰（牛顿-莱布尼兹公式），由泰勒公式有：312)2(6)()2)(2(212)2()2()(a b F a b b a F a b b a F b a F b F -'''+-+''+-+'++=ξ （1）322)2(6)()2)(2(212)2()2()(b a F b a b a F b a b a F b a F a F -'''+-+''+-+'++=ξ （2）由（1）-（2）得))()((48)())(2()()(213ξξF F a b a b b a F a F b F '''-'''-+-+'=-所以 3213)(24|)()(|48)(|))(2()(|a b Mf f a b a b b a f dx x f ba-≤''-''-=-+'-⎰ξξ例5.设)(x f 为]1,0[上的非负单调非增连续函数（即当y x <时，)()(y f x f >） 证明:对于10<<<βα,有下面的不等式成立⎰⎰≥αβαβα)()(dx x f dx x f 。