非线性动力学-5
11非线性药物动力学
非线性药物动力学过程特征
非线性动力学药物若低剂量给药或体内血 药浓度较低时，药物的消除为一级动力学
当浓度增大到一定程度时，消除过程达饱 和，消除速率逐渐接近常数Vm，药物的消 除为零级动力学，曲线接近于一水平线
当血药浓度介于两种情况之间时，消除为 非线性过程, 可以认为，一级过程与零级过 程是非线性过程的两个特例。
口服三种不同剂量阿司匹林的消除曲线
案例二分析
阿司匹林在体内是经酶代谢由尿排出体外的，是典型酶饱 和非线性消除动力学实例。 小剂量给药时(0.25 g)，由于酶的活性与数量充足，未出现 饱和现象，其消除为一级动力学过程；当服用剂量较大 (≥1.0g)时，初始阶段消除过程在高剂量下酶达到饱和，表 现为零级消除，随着体内药量下降，消除过程逐渐脱离饱 和状态，体内药量降低到一定程度后，又恢复一级动力学 消除。 三种不同剂量消除曲线尾端均为直线且相互平行，直线部 分的消除半衰期基本相同，但总剂量的消除半衰期不同(分 别为3.5h、7.2h、8.0h)，表明动力学参数t1/2随剂量的增加 而增加。
药物代谢物的组成、比例可因剂量改变而变化
案例二
左图为服用不同剂量阿司 匹林(0.25g、1.0g 及1.5g) 的消除曲线。直线部分消 除半衰期基本相同(t1/2分 别是3.1h、3.2h、3.2h)， 总剂量的消除半衰期分别 为3.5h、7.2h、8.0h。 问题： 1. 随给药剂量的增加半衰 期如何变化？ 2. 血药浓度、AUC是否按 剂量增加比例增加？
C中
(µmol· ml-1)
C t
0.500 1.515 1.961 2.208
1 C / t
2.000 0.660 0.510 0.453
1 / C中
控制基础-非线性系统动力学动力学
显然这时设计控 1 + e -tsGc (s )G p (s ) 制律难
有预估校正时，
Y0 (s )
2014-3-9
Gc (s )G p (s ) = R(s ) 1 + Gc (s )G p (s )
G ( s ) G (s ) p p - ts Gc (s )G p (s )[1 + e ] G p (s ) Y0 (s ) = R(s ) G p (s ) - G p (s ) - ts 1 + Gc (s )G p (s )[1 + e yhli@ 13 ] G p (s )
“机电系统非线性动力学与控制” 控制理论基础
1. 2 2. 3. 4. 5. 数学模型，模型之间的转换 系统响应 性能指标 常 控制 常规控制器设计 控制器设计的一般步骤
2014-3-9
yhli@
1
1. 数学模型，模型之间的转换
数学模型:
描述系统特性及变化规律的数学方程, 曲线或表格. 包括参数模型和非参数模型两种. 参数模型: 微分方程,状态方程,差分方程,传递函数 非参数模型: 响应, 规则, 曲线
4 1 PID控制器 4.1
4. 常规控制器设计
Gc ( s)
1 c
Kd s2 K p s KI s
,
K p s KI Kd s , N 5 10, K d K p / Td G ( s) Td s 1 s N
•PID从当前、历史和变化趋势的角度对系统输出 进行有效控制 •对 对一阶系统 阶系统,PI 就可以有效配置极点；对二阶系统,采用PI D可以 有效配置极点。 •在高阶极点，大滞后，机械共振等情况下PID往往不满意，需要 复杂控制器。 •非内作用PID:三个系数互不影响，数字PID或基于四运放构成 PID时用； )PID:三个系数互相影响，但用两个运放就能实现。 •内作用(串联)
非线性成长的动力学模型及解析方法
非线性成长的动力学模型及解析方法动力学是一种研究系统随时间演化的数学方法。
非线性成长动力学模型是一种描述生物、经济、社会以及其他复杂系统中非线性增长的数学模型。
在实际生活和科学研究中，这种模型对理解系统的行为和预测未来趋势具有重要意义。
本文将讨论非线性成长的动力学模型及其解析方法。
非线性成长动力学模型旨在探索系统中非线性增长的原因和机制。
与线性增长模型不同，非线性动力学模型能够更好地描述复杂系统的行为。
这些模型通常基于一些基本假设，例如，系统的增长受到内在变量、外部环境、相互作用等因素的影响。
通过建立非线性差分方程或微分方程，可以描述系统中各个变量之间的相互作用和演化规律。
对于非线性成长动力学模型的解析方法，我们可以采用多种技术和工具。
其中一种常用的方法是通过分析稳定点和平衡状态来研究系统行为。
稳定点是系统在一定条件下达到的平衡状态，通过线性化非线性方程，可以找到稳定点的解析解，进而分析系统的稳定性和演化趋势。
另一种解析方法是采用数学和统计的技巧来推导模型的解析解。
例如，可以使用变换和简化方法来处理复杂的非线性方程，将其转化为更简单的形式，从而得到解析解。
此外，还可以利用数值分析方法，例如级数展开和近似推导，来逼近模型的解析解。
非线性成长动力学模型的解析方法还可以通过仿真和数值模拟来实现。
这种方法通过引入数值计算和计算机模拟技术，可以模拟系统的演化行为，并探索不同参数和初始条件对系统行为的影响。
通过比较模拟结果和实际观测数据，可以验证模型的准确性和适用性。
除了解析方法，还可以采用实验和观测的方法来验证非线性成长动力学模型的有效性。
通过实际数据的收集和分析，可以对模型进行参数估计和模型选择。
在实验和观测基础上得到的模型结果和推导得到的解析解可以相互印证，从而提高模型的可靠性和预测能力。
总之，非线性成长的动力学模型及解析方法是研究复杂系统行为和预测未来趋势的重要工具。
通过建立非线性差分方程或微分方程，采用稳定点分析、数学推导、数值模拟和实验验证等方法，可以更好地理解非线性增长的原因和机制。
非线性动力学导论讲义(分岔理论)
非线性动力学导论之四：分岔基本理论简介北京理工大学宇航学院力学系岳宝增第三章非线性动力学系统分岔基本理论一.一般系统平衡解的稳定性(1)二.平衡解的稳定流形与不稳定流形于平面摆的例子可以用来很清楚地解释全局稳定（不稳定）流形的概念；平面摆作为二阶动力学系统和谐振子极为相似。
其动力学方程为：l其中M代表质量，表示摆长，g为重力加速度，c为阻尼系数。
对时间进行尺度变换d可以得到系统的简化方程：d因为是从铅锤位置开始的角度位移，因此该变量具有周期2π;由此可知该系统的相空间为圆柱面。
我们也可以假设，从而从相图上可以观测到系统关于X的周期特性。
为了分析系统的动力学特性，首先确定系统的平衡点并研究其稳定性。
可求出系统的平衡点为：及求出系统的雅可比矩阵为：对应于平衡点有：其特征值为：如果d=0则得到特征值±i；对于较小的d值系统有共轭复根。
对应于平衡点（2kπ+π,0）系统的雅可比矩阵为：其特征值一对符号相反的实数：根据以上讨论可知：平衡点（2kπ+π,0）为鞍点，当d=0时，其对应的特征向量为：及对于较小的的d>0,平衡点（2kπ,0）为吸引子-螺旋旋线）；d=0时该类平衡点所对应的是非双曲点。
由于此时系统不受摩擦（阻尼）影响，单摆将做周期运动。
因此，在平衡点附近，系统的动力学特性为：无阻尼d=0 阻尼d>0d=0时,所对应的一类周期运动是单摆做上下摆动；另一类周期运动是单摆由稳定及不稳定流形通过倒立位置位置的运动。
如果单摆几乎刚好处于倒立位置时（不稳定），它将倒回并再次回摆到几乎刚好倒立的位置。
这意味着稳定流形与不稳定流形将有如下图所示的联接：单摆沿逆时针方向穿越倒立位置。
单摆没有穿越倒立位置。
单摆沿顺时针方向穿越倒立位置。
在有阻尼的情形下，实际上所有的初始条件所确定的运动将趋于下垂平衡位置。
例外情形是稳定流形所对应的运动，由趋于倒立位置的所有点组成。
所有初始条件将终止于平衡点三.分岔的基本概念对于一个非线性方程，由于其中参量取值不同，解的形式可能完全不同，即参量取值在某一临界值两侧，解的性质发生本质变化(例如平衡状态或周期运动的数目和稳定性等发生突然变化)。
非线性系统的动力学分析及控制研究
非线性系统的动力学分析及控制研究随着科学技术的快速发展，对于动力学分析和控制研究的需求和重视也逐渐增加。
其中一种非常重要的研究对象就是非线性系统。
1.非线性系统概述非线性系统，简单来说就是不能被描述为线性关系的系统。
由于其比线性系统更复杂，因此难以进行精确的分析和控制，但非线性系统却可以描述许多自然界中的现象以及工程技术实践中的问题。
我们知道，线性系统的特性是“比例性”和“叠加性”，其输入和输出之间存在着数量上的线性关系。
但是，非线性系统在不同的输入下会产生系统响应的非线性变化。
其系统行为可能表现出变化多样、复杂、不可预知等特征。
这些性质决定了非线性系统的动力学不规则和不稳定性，对动力学的分析和控制构成了巨大的困难。
2.非线性系统的控制在非线性系统的控制领域中，最基本的方法就是通过反馈控制的方式，尽量减少系统的误差和稳态误差。
但对于非线性系统来说，它需要一些更为高级和复杂的控制策略，如模糊控制、神经网络控制、自适应控制等。
以自适应控制为例。
自适应控制方法是通过不断对过程进行监控，并改变控制器或控制算法的参数来实现快速、准确和自适应的控制。
这种方法的基本思想是根据系统的现实状况，进行实时修正和调整，使系统能更加灵活和稳定地运行。
但是，由于非线性系统的动力学特性，自适应控制系统设计也会面临很大的挑战。
这主要包括控制算法的设计、系统模型的定位和优化等一系列困难。
3.非线性系统的动力学分析非线性系统的动力学分析是非线性控制领域研究的核心问题之一。
涉及到非线性系统的稳定性、运动轨迹、系统响应等多个方面。
这里简单介绍一些非线性动力学分析方法。
首先是Lyapunov方法。
Lyapunov方法是通过构造Lyapunov函数，来判断非线性系统的稳定性。
主要思想就是找到一个函数，使得对于给定的初值，系统的状态必定会趋近于稳定。
通过求出Lyapunov函数的导数，然后判断其正负性，就能得出系统的稳定性。
另外还有基于相平面分析的方法。
12 第七章 非线性药物动力学
非线性动力学的原因?
药物在吸收、分布、生物转化过程中， 有些过程与酶或载体传递系统有关
吸收过程主动转运系统的饱和 分布过程中药物与血浆蛋白结合部位
的饱和 排泄过程中肾小管重吸收的饱和 病理变化而呈现出非线性动力学，如
氨基糖甙类药物
药物呈现剂量依赖动力学的吸收原因举例
原因 肠壁的可饱和转运
药物浓度，单位为浓度。
dC dt
1 2
Vm
1 2 Vm
VmC km C
km =C
当C<<km时， dC VmC dt km
令 Vm =k km
dC kC dt
在低浓度或小剂量时，由米氏方程可用一级动力学过程来描述
当C>>km时，
dC dt
Vm
消除速度与药物浓度无关，即属零级过程
药浓度对消除速度和速度常数的影响
原因 主动分泌 主动重吸收 尿pH的变化 可饱和的血浆蛋白结合 较高剂量时的肾中毒 利尿作用
药物 青霉素G 抗坏血酸 水杨酸 水杨酸 氨基糖甙类 茶碱，乙醇
药物呈现剂量依赖动力学的肾外消除原因举例
原因 容量—限制代谢，酶 饱和或协同因素的限制 可饱和的胆汁排泄
酶诱导 较高剂量时的肝中毒 可饱和的血浆蛋白结合
的影响。
100
血
浆
A
水
平
10
B
1 时间
显示非线性过程（静脉注射）血药浓度-时间曲线 A：高剂量呈非线性过程 B：低剂量呈线性过程
三、非线性药物动力学方程（米氏方程）
米氏方程（Michaelis-Menten）
dC VmC dt km C
式中Vm为该过程的最大速度，单位为浓度时间-1; km为米氏常数，相当于该过程最大速度一半时的
第十一章 非线性药物动力学
第一节 概述 第二节 非线性药物动力学方程 第三节 函数方程及Vm和Km的计算 第四节 动力学参数的计算
1
第一节 概述
一、非线性药物动力学定义：
药物的体内过程不服从一级速度过程，为遵循米 氏方程的动力学过程，称为非线性动力学，也称 剂量依赖药物动力学、饱和动力学或容量限制动 力学
4）从药－时曲线中求算动力学参数，从药动学参数的
改变中评价非线性
9
第二节 非线性药物动力学方程
Michealis-Menten方程及意义
dc vm c dt km c
dc ：药物在t 时间的下降速率 dt
vm ：酶促过程理论最大速率
k m ：米氏常数，即达最大速率一半时的血药浓度
10
vm 越大，酶活性越强，难以达到饱和
cdt km c dc vm
取从0─∞积分：
cdt
0 ( vm c )dt
0
c0
vm
则有：
AUC
c02 2vm
c0 vm
km
即AUC与剂量的平方成正比，剂量增大使AUC超比例增大。
27
本章要求
1、掌握非线性药物动力学的定义，特点与识别方法 2、熟悉非线性动力学的参数Vm与Km的估算方法 3、熟悉非线性药物动力学与线性药物动力学的清除
km 越小，剂量对酶饱和影响越大，剂量对非线
性形成有显著作用
vm km
也称药物固有的清除率（Cl int ）
11
当Ｃ很小时，km c
则有：
dc vm c k c dt km
（线性过程）
当Ｃ很大时， c km
则有：
dc dt
vm c c
vm
第十一章 非线性药物动力学
程，反之，则按非线性药动学处理
作C/X-t图，若所得各曲线明显不重叠，则可预计存在非线性 求各剂量下的AUC/X值，若明显不同，则为非线性 各数据按线性模型处理，计算药动学参数，若各剂量组的药
动学参数明显不同，则为非线性
二、非线性药动学方程
Michaelis—Menten方程
Vm C dC dt Km C
Vm为该过程的最大速率；Km为Michelis常数，相当于该过程 速率为最大消除速率一半时的血药浓度
当药物浓度很低时，Km>>C
dC Vm C dt Km
•当药物浓度很高时，C>>Km，
dC Vm dt
Km和Vm的估算
Vm C dC dt Km C
将瞬时消除速率度以间隔内的血药浓度平均变化速率 表示，C以平均血药浓度Cm（即Δt时间内开始血药浓 度与末尾血药浓度的平均值）
Km 1 1 C / t VmC中 Vm
以ΔC/Δt的倒数值对Cm的倒数作图得一直线，根据其 截距求得Vm，并根据斜率可求得Km。
AUC
AUC
0
C0 C0 C0 1 0 Cdt tdC (C0 C K m ln )dC ( K m ) C0 Vm C0 C Vm 2 X0 X0 AUC ( Km ) Vm V 2V
0
当剂量低到X0/2V<<Km时，上式可化为
X0 AUC Km Vm V
以 对C中作图可得一直线，根据直线的斜率求得Vm，同时 根据截距可求得Km
C中 C / t
两边同时乘以 (C / t )Vm ，则可得
非线性系统动力学的理论与应用
非线性系统动力学的理论与应用一、引言非线性系统广泛存在于自然界、社会生活以及科技领域。
其动力学特征复杂，因此非线性系统动力学理论的研究具有重要的意义。
本文将从理论和应用两个方面对非线性系统动力学进行阐述和探究。
二、非线性系统动力学基础理论1.基本概念非线性系统指的是与线性系统相对应的系统，其特点是当输入信号增大到一定程度时，输出信号与输入信号之间的关系不再呈线性关系。
非线性系统由于其本身的非线性特性，具有一般系统所不具备的一些特殊性质。
其中比较重要的几个方面包括稳定性、混沌现象和自相似性等。
2.非线性系统的常用数学方法研究非线性系统动力学问题主要采用的数学方法有：微分方程、差分方程、随机微分方程、控制理论、拓扑理论等。
其中微分方程方法是最为经典和常用的方法之一。
三、非线性系统动力学应用举例1.生物学应用在生物学领域中，非线性系统动力学被广泛应用于生命科学中诸如神经生物学、癌症研究与发展、生态学及进化生物学等多个领域。
研究非线性系统可以帮助我们更好地了解生命本身。
2.化学及化工应用在化学及化工领域中，非线性系统的应用已经开始崭露头角。
如对复杂的化学反应及过程进行数学建模，探究其动力学规律，分析反应中可能产生的稳定性、震荡与混沌现象，以快速解决复杂问题。
3.机械工程应用机械工程中，非线性系统动力学广泛应用于振动控制、结构优化、控制系统设计、牢固性设计等方面。
非线性系统动力学分析可以帮助工程师更好地理解和控制机械系统的动力学行为，从而做出更准确的决策和更好的机器设计。
四、展望非线性系统动力学的研究具有重要意义和广阔前景。
未来，我们可以继续寻找新的非线性现象，完善非线性系统动力学理论的各种方法，拓宽应用领域并形成新的研究方向。
同时，非线性系统动力学的分析也需要与多个领域的交叉，随着计算机、数值模拟技术的发展，非线性系统动力学的研究空间将更加广阔。
五、结论综上所述，非线性系统动力学理论研究具有重要的理论和应用价值。
非线性系统的动力学行为研究
非线性系统的动力学行为研究在自然界中，我们可以观察到许多过程都是由非线性系统控制的。
这些系统的特征在于它们的响应不是线性的。
因此，研究非线性系统的动力学行为对于理解自然现象、工程问题、以及社会现象的演化和变化具有非常重要的意义。
非线性系统的动力学行为非线性系统的动力学行为是指系统在时间中发展的行为。
这些行为可能包括正常振荡、稳定状态、不稳定状态、混沌、周期性等等。
在非线性系统中，动力学行为包括：1）稳定状态和不稳定状态稳定状态是指系统在一段时间内会保持不变的状态。
例如，一个摆锤实验中，摆锤在平衡位置处是一个稳定状态。
不稳定状态是指系统在某些条件下，会受到微小扰动后离开原来的状态。
例如，在摆锤实验中，如果扰动摆锤，它将离开平衡位置。
2）周期性与非周期性周期性状态是指系统在某些特定条件下，它的状态会重复出现。
例如，心脏跳动是周期性状态。
非周期性状态是指系统的状态不具有重复性。
例如，在天气预报中，温度和湿度的变化不具有周期性。
3）混沌混沌是指系统具有随机性和确定性的特征，其状态是无序的，不可预测的。
在混沌系统中，微小扰动可能会导致系统的发展方向完全改变。
例如，物理学中著名的洛伦兹吸引子模型就是一个混沌系统。
4）正常振荡正常振荡是指系统在受到一定的扰动后，它的运动会有一个周期性的规律。
例如，在钟摆实验中，钟摆的来回摆动就是一个正常振荡。
非线性系统的动力学行为研究是一个重要领域，它可以帮助我们理解复杂的自然现象和工程问题。
在研究非线性系统的动力学行为方面，目前涌现出了许多新的方法和技术，例如，分岔理论和分形分析等等。
1）分岔理论分岔理论可以帮助我们研究非线性系统在参数变化下的运动状态。
它的基本思想是，当系统的参数发生变化时，系统的运动状态也会发生变化。
这种变化可能会导致系统从一个稳定状态转换到另一个稳定状态或者不稳定状态。
例如，在材料科学中，分岔理论可以帮助我们研究材料的失稳过程。
2）分形分析分形分析是一种用来研究自相似系统的方法。