高数B第一学期期末练习答案
大一上学期高等数学期末试题及解答
Q( x) sin x , x
y
e
1 x
dx
s
in x
x
e
1 x
dx
dx
C
eln x sin x eln x dx C
x
1 x
sin x x
x dx
C
1 cos x C .
x
把y( ) 1代入通解，得 C 1.
故特解为
y 1 ( cos x 1).
x
四、计算题（每小题9分，共36分）
则f (ln x)定义域是 [1, e] .
知识点：复合函数的定义域
分析 0 ln x 1, 1 x e
一、 填空题（每小题3分，共15分） 2. 已知y x x ,则y _______ .
知识点：对数求导法
解 ln y x ln x , y =lnx 1, y
y xx (ln x 1).
( A) p 1,q 2; (B) p 2,q 3;
(C) p 2,q 1; (D) p 3,q 2 .
解： 特征方程为：r2 pr q 0 , 把特征根 r1 1 , r2 2 1 p q 0 分别代入特征方程，得 4 2 p q 0
解得
p 3,q 2 .
4. 求曲线y e x ( x 0)与y 0, x 0围成的
右边无限伸展的图形绕轴旋转一周所得立体的体积.
知识点： 反常积分，定积分的应用，旋转体的体积，
解 V + πy2dx + πe2xdx
0
0
π e2x 2
|0+
π. 2
五、解答题（每小题10分，共20分）
1. 在抛物线y x2 (0 x 1)上找一点P，使经过P的
大一高数b1期末考试题及答案解析
大一高数b1期末考试题及答案解析一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。
A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A解析：将x=2代入函数f(x) = x^2 - 4x + 4，得到f(2) = 2^2 - 4*2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0。
2. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)。
A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B解析：根据洛必达法则，当x趋近于0时，sin(x)/x的极限等于cos(x)/1的极限，即1。
3. 计算定积分∫(0,1) x^3 dx。
A. 1/2B. 1/4D. 1/6答案：C解析：定积分∫(0,1) x^3 dx = (1/4)x^4 |(0,1) = (1/4)(1^4)- (1/4)(0^4) = 1/4 - 0 = 1/4。
4. 判断函数y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1在x=2处的凹凸性。
A. 凹B. 凸C. 不确定D. 无凹凸性答案：B解析：求导得到y' = 3x^2 + 6x - 9，再求二阶导数y'' = 6x + 6。
在x=2处，y''(2) = 6*2 + 6 = 18 > 0，所以函数在x=2处为凸。
5. 求级数∑(1,∞) (1/n^2)的和。
A. 1B. 2C. π^2/6D. e答案：C解析：级数∑(1,∞) (1/n^2)是一个p-级数，其中p=2 > 1，根据p-级数的收敛条件，该级数收敛，其和为π^2/6。
6. 求函数y = ln(x)的导数。
B. xC. e^xD. 1答案：A解析：根据自然对数的导数公式，y' = (ln(x))' = 1/x。
7. 判断函数f(x) = x^2 - 6x + 8在区间[2,4]上的单调性。
A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案：B解析：求导得到f'(x) = 2x - 6。
高数b1大一期末试题及答案
高数b1大一期末试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-∞,+∞)上是：A. 递增函数B. 递减函数C. 先递减后递增D. 先递增后递减答案：C2. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在[0,2]上是增函数，则c的取值范围是：A. c≥0B. c≤0C. c≥4D. c≤4答案：C3. 极限lim(x→0) (sinx/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：B4. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率是：A. 2B. 1C. 0D. -1答案：A5. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，若f(x)在(1,2)内有唯一的零点，则该零点是：A. 1B. 2C. 3/2D. 1/2答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-2x+3，f(1)=____。
答案：22. 函数y=ln(x)的导数是y'=____。
答案：1/x3. 设数列{an}满足a1=1，an+1=2an，则数列{an}的通项公式为an=____。
答案：2^(n-1)4. 曲线y=x^3-3x+1在x=1处的切线方程是y=____。
答案：3x-25. 设函数f(x)=x^3-3x+1，f'(x)=____。
答案：3x^2-3三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间(1,2)内的零点。
答案：令f(x)=0，解得x=3/2，所以零点为3/2。
2. 求曲线y=x^3-3x+1在点(1,1)处的切线方程。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-3，代入x=1得到f'(1)=0。
切点为(1,1)，所以切线方程为y=1。
3. 求极限lim(x→0) (e^x-1)/x。
答案：令f(x)=(e^x-1)/x，求导得到f'(x)=e^x/x-(e^x-1)/x^2。
人教B版高三上期末数学试卷1(附答案及详细解析)
2．（5 分）已知复数 z 满足 z+z•i＝2（其中 i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ ）
A．﹣1
B．1
C．﹣i
D．i
3．（5 分）已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn，若 a2+a3＝8，S5＝25，则该数列的公差为（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣3
D．3
4．（5 分）已知实数 x，y 满足约束条件
人教 B 版高三（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分．共 60 分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合
题目要求的．
1．（5 分）已知集合 A＝{x|x＞﹣1}，B＝{﹣1≤x≤1}，则 A∩B＝（ ）
A．{0，1}
B．{x|x＞﹣1}
C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1≤x≤1}
19．（12 分）某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了 100 位客户试用该产品，每人一台．试用一个 月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让客户决定是否购买该 试用产品（不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价）．经统计，决定退货的客户人数占总人数的
一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户多 10 人，“对性能不满意”的客户中恰有 选
体积是（ ）
A．18π
B．21π
C．27π
D．36π
11． （5 分 ） 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 的 a，b，c 依 次 为
，则输出的 x 为（ ）
A．（cosα）cosα
B．（sinα）sinα
C．（sinα）cosα
D．（cosα）sinα
12．（5 分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的 与 的夹角为 ，则| ﹣ |＝
高等数学上学期期末考试试卷及答案四份
高等数学试卷（B 卷）答案及评分标准2004-2005年度第一学期科目: 高等数学I 班级: 姓名: 学号: 成绩:一、填空题（5153'=⨯'）1、()3)2ln(--=x x x f 的定义域是_2、 2 )1sin 2sin (lim 0x =⋅+→xx x x 3、 e )31(lim 3=+∞→xx x e )31(lim 3=+∞→x x x4、如果函数x x a x f 3sin 31sin )(+=，在3π=x 处有极值，则2=a5、34d )1(sin cos 223=+⋅⎰-x x x ππ二、单项选择题（5153'=⨯'）1、当0→x 时，下列变量中与2x 等价的无穷小量是（ ）A . x cos 1-B .2x x + C . 1-x e D . x x sin )ln(1+2、)A ()(' ,)(的是则下列极限中等于处可导在设a f a x x f =。
A ．h h a f a f h )()(lim0--→ B ．hh a f h a f h )()(lim 0--+→C ．h a f h a f h )()2(lim 0-+→ D ． hh a f h a f h 3)()2(lim 0--+→3、设在[]b a ,上函数)(x f 满足条件()0)(,0<''>'x f x f 则曲线()x f y =在该区间上（ ） A. 上升且凹的 B. 上升且凸的 C. 下降且凹的 D. 下降且凸的4、设函数()x f 具有连续的导数，则以下等式中错误的是（ ）A.)(d )(d d x f x x f xb a =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ B. x x f t t f x a d )(d )(d =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ C. ()x x f x x f d )(d )(d=⎰ D. C t f t t f +='⎰)(d )(5、反常积分⎰∞+- 0d 2x xex （ ）A. 发散B. 收敛于1C. 收敛于21D. 收敛于21-三、算题（'488'6=⨯）1、求极限xxx x 30sin sin tan lim -→2、求22)2()ln(sin lim x x x -→ππ3、求曲线⎩⎨⎧==ty tx 2cos sin 在当4π=t 处的切线方程和法线方程4、已知函数0,sin >=x x y x ，计算xy d d5、求积分⎰x e x d6、求积分x x e ed ln 1⎰7、计算曲线π≤≤=x x y 0,sin 与x 轴围成的图形面积，并求该图形绕y 轴所产生的旋转体体积。
高等数学b1期末试题及答案
高等数学b1期末试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx 的值。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A3. 以下哪个选项是洛必达法则的应用？A. 计算极限lim(x→0) (sin x)/xB. 计算定积分∫(0,π) sin x dxC. 计算导数 d/dx (x^3)D. 计算不定积分∫e^x dx答案：A4. 以下哪个选项是二阶导数？A. d^2y/dx^2B. dy/dxC. d^2y/dy^2D. d^2y/dxdy答案：A5. 以下哪个选项是泰勒公式的展开式？A. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)B. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2!C. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2D. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^3/3!答案：B6. 以下哪个选项是傅里叶级数的组成部分？A. 正弦函数B. 余弦函数C. 指数函数D. 所有选项答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 f(x) = x^3 - 6x 在 x = 2 处的导数是 _______。
答案：-62. 微分方程 y'' - 2y' + y = 0 的通解是 _______。
答案：y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)3. 计算极限lim(x→0) (e^x - 1)/x 的值是 _______。
答案：14. 函数 y = sin x 的不定积分是 _______。
第一学期《高等数学B》期末考试试题及答案
武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题（180学时）一、（87'⨯）试解下列各题：1、计算n →∞2、计算0ln(1)lim cos 1x x xx →+--3、计算arctan d x x x ⎰4、 计算4x ⎰5、计算d x xe x +∞-⎰6、设曲线方程为sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩，求此曲线在点4t π=处的切线方程。
7、已知2200d cos d y x te t t t =⎰⎰，求x y d d8、设11x y x-=+，求()n y二、（15分）已知函数32(1)x y x =-求： 1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。
三、（10分）设()g x 是[1,2]上的连续函数，0()()d x f x g t t =⎰1、用定义证明()f x 在(1,2)内可导；2、证明()f x 在1x =处右连续；四、（10分）1、设平面图形A 由抛物线2y x = ，直线8x =及x 轴所围成，求平面图形A 绕x轴旋转一周所形成的立体体积； 2、在抛物线2(08)y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴所围图形面积最大。
五、（9分）当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0,)f b f f bb ξξ'-=∈对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b bξ→武汉大学数学与统计学院 B 卷2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题一、（86'⨯）试解下列各题：1、计算30arctan lim ln(12)x x x x →-+2、计算120ln(1)d (2)x x x +-⎰ 3、计算积分：21arctanxd x x +∞⎰ 4、已知两曲线()y f x =与1x yxy e++=所确定，在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞5、设，2221cos cos t x t udu y t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，试求：d d y x，22d |d t y x 的值。
高数B（上）试题及答案1
高数B（上）试题及答案1第一篇：高数B(上)试题及答案1高等数学B（上）试题1答案一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”）（×）1.两个无穷大量之和必定是无穷大量.（×）2.闭区间上的间断函数必无界.（√）3.若f(x)在某点处连续，则f(x)在该点处必有极限.（×）4.单调函数的导函数也是单调函数.（√）5.无穷小量与有界变量之积为无穷小量.（×）6.y=f(x)在点x0连续，则y=f(x)在点x0必定可导.（×）7.若x0点为y=f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0.（×）8.若f'(x)≡g'(x)，则f(x)≡g(x).二、填空题（每题3分，共24分）1.设f(x-1)=x，则f(3)=16.2．limxsinx→∞21＝x1。
x⎡11⎛2+x⎫⎤3.lim⎢xsin+sinx+⎪⎥=x→∞xx⎝x⎭⎦⎢⎥⎣1+e2.4.曲线x=6y-y在(-2,2)点切线的斜率为2323.5．设f'(x0)=A，则limh→0f(x0+2h)-f(x0-3h)＝h05A.6.设f(x)=sinxcos31,(x≠0)，当f(0)=x-1处有极大值.时，f(x)在x=0点连续.7.函数y=x-3x在x=8.设f(x)为可导函数,f'(1)=1，F(x)=f三、计算题（每题6分，共42分）⎛1⎫2+f(x)，则F'(1)=⎪⎝x⎭1.(n+2)(n+3)(n+4).3n→+∞5n(n+2)(n+3)(n+4)解： lim n→+∞5n31．求极限 lim⎛2⎫⎛3⎫⎛4⎫=lim 1+⎪1+⎪1+⎪（3分）n→+∞⎝n⎭⎝n⎭⎝n⎭=1（3分）x-xcosx2.求极限 lim.x→0x-sinxx-xcosx解：limx→0x-sinx1-cosx+xsinx（2分）=limx→01-cosx2sinx+xcosx（2分）=limx→0sinx=33.求y=(x+1)(x+2)2(x+3)3在(0,+∞)内的导数.解：lny=ln(x+1)+2ln(x+2)+3ln(x+3)，y'123y=x+1+x+2+x+3，故y'=(x+1)(x+2)2(x+3)3 ⎛123⎫⎝x+1+x+2+x+3⎪⎭4.求不定积分⎰2x+11+x2dx.解：⎰2x+11+x2dx=⎰11+x2d(1+x2)+⎰11+x2dx=ln(1+x2)+arctanx+C5.求不定积分⎰xsinx2dx.解：⎰xsinx2dx=12⎰sinx2d(x2)=-12cosx2+C6．求不定积分⎰xsin2xdx.解：⎰xsin2xdx=12⎰xsin2xd(2x)=-12⎰xdcos2x=-12(xcos2x-⎰cos2xdx)2分）（2分）（2分）（2分）（3分）（3分）（3分）（3分）（2分）（2分）（11=-xcos2x+sin2x+C（2分）247.求函数y=(sinx)cosx的导数.解：lny=cosxlnsinx（3分）y'=(sinx)cosx+1(cot2x-lnsinx)（3分）四、解答题（共9分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.解：设垂直于墙壁的边为x，所以平行于墙壁的边为20-2x，所以，面积为S=x(20-2x)=-2x+20x，（3分）由S'=-4x+20=0，知（3分）当宽x=5时，长y=20-2x=10，（3分）面积最大S=5⨯10=50（平方米）。
高等数学b1期末考试试题及答案
高等数学b1期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 极限的定义是：A. 函数在某点的函数值B. 函数在某点的导数C. 函数在某点的左、右极限存在且相等D. 函数在某点的连续性答案：C2. 以下哪项是连续函数的性质？A. 可导性B. 可积性C. 可微性D. 以上都是答案：D3. 函数f(x) = x^2在x=0处的导数是：A. 0B. 2C. 1D. 不存在答案：C4. 以下哪个选项不是定积分的性质？A. 可加性B. 可乘性C. 可微性D. 可减性答案：C5. 微分方程dy/dx + y = x的通解是：A. y = e^(-x) + xB. y = e^x + xC. y = e^(-x) - xD. y = e^x - x答案：A6. 以下哪个选项是二阶可导函数的性质？A. 可积性B. 可微性C. 可导性D. 以上都是答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x) = ln(x)的导数是________。
答案：1/x2. 函数f(x) = e^x的二阶导数是________。
答案：e^x3. 定积分∫<0,1> x^2 dx的值是________。
答案：1/34. 函数f(x) = sin(x)的泰勒展开式在x=0处的前三项是________。
答案：x - x^3/6三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点。
答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 11/3。
然后计算二阶导数f''(x) = 6x - 12。
对于x = 1，f''(1) = -6 < 0，所以x = 1是极大值点；对于x = 11/3，f''(11/3) = 2 > 0，所以x = 11/3是极小值点。
大一高数b期末考试试题及答案
大一高数b期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = x^2 - 1 \)D. \( f(x) = \sin(x) \)答案：D2. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \infty \)答案：B3. 以下哪个选项是函数 \( y = e^x \) 的导数？A. \( y' = e^x \)B. \( y' = x \cdot e^x \)C. \( y' = \ln(e^x) \)D. \( y' = \frac{1}{e^x} \)答案：A4. 求不定积分 \( \int x^2 dx \) 的结果。
A. \( \frac{x^3}{3} + C \)B. \( x^3 + C \)C. \( \frac{x^3}{3} \)D. \( 3x^2 + C \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 的导数是 \( f'(x) =_______ \)。
答案：\( 6x - 2 \)2. 计算定积分 \( \int_{0}^{1} (2x + 1) dx \) 的值。
答案：\( \frac{5}{2} \)3. 求函数 \( y = \ln(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率。
答案：04. 函数 \( y = \sin(x) \) 在区间 \( [0, 2\pi] \) 上的最大值是_______。
答案：1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数 \( y = x^3 - 3x \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
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1
北京林业大学2010--2011学年第 一 学期期末练习
课程名称： 高等数学B 课程所在学院： 理学院
考试班级 学号 姓名 成绩
试卷说明：
1. 本次考试为闭卷考试。
本试卷共计 4 页，共 三 大部分，请勿漏答；
2. 考试时间为 120 分钟，请掌握好答题时间；
3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚；
4. 本试卷所有答案均写在试卷上；
5. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向上交回，不得带出考场；
6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！
一、填空题（每空3分，共 30 分）
1、设2211
()1f x x x x +=+-，则()f x = 23x - 。
2、函数1
3
-=
x y 的间断点1=x 是无穷间断点。
3、当a 取值为 0 时，函数1sin 0()0
x x f x x
a x x ⎧<⎪
=⎨⎪+≥⎩处处连续。
4、220sin 1cos x d t dt dx t =+⎰ 2
222sin 1cos x x x
+ 。
5、设0()2f x '=-，则=+--→h
h x f h x f h )
()(lim
000
4 。
6、函数曲线x y =在1=x 处的切线方程为012=+-y x 。
7、曲线5352y x x x =+--的拐点坐标为 （0，-2） 。
8、函数3()34f x x x =-在闭区间 [-2/3，2/3] 单调减少。
9、222(sin )1x
x dx x π
π-
++⎰= 2 。
10、反常积分)0(12>⎰+∞
a dx x
a
p
当p 21
> 时收敛.
2
二、计算题（每题5分，共50分）
1、220301(sin )2lim x t x e t dt x x x
→---⎰ 2、)111(lim 0--→x x e x 22
0202220sin 1lim 32cos 1
lim 62cos 4sin lim 6
16
x x x x x x e x x
x e x x x e x x x →→→---=--=--=-= 0022011lim()11lim (1)112lim 2x x x x x x x e e x x e x x →→→----=-== 3、dx )
x (x ⎰
+11
4、⎰
+dx x x x
ln 1ln =C x +arctan 2
232ln 2(1)2
(1ln )3
t
x
t dt
x C =-=+-⎰
⎰
5、1ln e e
x dx ⎰ 6、⎰
+∞1
2d ln x x
x
111
111ln ln (ln 1)(ln 1)22e
e
e
e
xdx xdx
x x x x e
=-+=--+-=-
⎰⎰ 1
1
2
1
1
l i m (-l n
)d ()l n 1
l i m [d ]b b b b b x x
x
x x x →+∞
→+∞==-+⎰
⎰
111
lim ln lim
=+--=+∞→+∞→b
b b b b
7
、已知arctan y x x =-dy 。
解 x d x dy arctan =
3
8、已知0cos 0
=+⎰
⎰x
y
t
tdt dt e ，求2
2,
dx y
d dx dy x
e x e x e x dx dy e dx
y d x e dx
dy x dx dy e y
y y y y y
sin cos .sin cos cos 0cos 222
2-----+-=+=-=⇒=+解：
9、已知2
2
(sin )(cos )y f x f x =+，求2
2,dx y
d dx dy
).(cos 2sin )(cos 2cos 2)(sin 2sin )(sin 2cos 2),
(cos 2sin )(sin 2sin )(cos cos sin 2)(sin cos sin 22
222222
22222x f x x f x x f x x f x dx
y d x f x x f x x f x x x f x x dx
dy
''+'-''+'='-'='-'=解：
10、求函数ln(1)y x x =-+的单调区间和极值。
.
0)0(.),,0(;
),0,1(1111，无极大值极小值单调增加单调减少解：=+∞∈-∈+=
+-
='y x x x
x x y
三（10分）、设有曲线24y x x =-（1）在该曲线上求一点，使曲线在该点的切线L 平行于x 轴。
（2）求该曲线与切线L 及y 轴所围成平面图形的面积。
（3）求上述平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
解：
(1). 24x x y -=，x y 24-='，由0='y 得 2=x ，当 2=x 时4=y ，故曲线在点 (2, 4) 处的切线平行x 轴； （3分） (2). 切线的方程：4=y
曲线、切线与y 轴围成的平面图形的面积为：
3
8
3
)2()]4(4[2
32
02
=-=
--=⎰x dx x x S ；
4
（3分）
(3). 旋转体的体积：
πππ15
224
)4(322
022=
--=⎰dx x x V . （4分）
四、证明题（每题5分，共10分）
1、证明当0x →时，tan x x -是关于x 的3阶无穷小。
.3tan 31
3tan lim 31sec lim tan lim 2202
2030阶无穷小的是关于证明：x x x x x x x x x x x x ∴=
=-=-→→→ 2、设)(x f 有三阶导数,且0)1(,0)
(lim
2
==→f x
x f x ,证明在)1,0(内存在一点ξ,使0)(='''ξf 证明： 因为 0)
(lim
2
0=→x x f x ，所以0)0(,0)0(,0)0(=''='=f f f ．
由麦克劳林公式得：3
32!
3)(!3)(!2)0()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ'''='''+''+'+= （ξ介于0与x 之间）
，因此 !
3)
()1(ξf f '''=，由于0)1(=f ，故0)(='''ξf ．。