宋倩倩老师~二次函数中考题型归类

《二次函数》考点复习精讲

【专题综述】

二次函数2

(,,y ax bx c a b c =++为常数，0a ≠)的定义和性质是中考中重点考查的内容.一般来说，对不同函数图象和性质的综合考查，多以中低难度客观题的形式呈现;用待定系数法求函数的解析式仍是解答题的“主角”;一次函数、反比例函数与二次函数的综合题，多是稍有难度的实际问题，需要特别注意自变量的取值范围;以函数为载体，或给出新概念，将三角形、四边形以及图形变换等知识融入的题目，具有较强的综合性和开放性，多位居压轴题的位置.2018年的中考将会延续这种基本走向.【方法解读】考点1二次函数的图象和性质

例1

(2017•连云港)已知抛物线2

(0)y ax a =>过12(2,),(1,)A y B y -两点，则下列关系式一

定正确的是()

A.12

0y y >> B.21

0y y >> C.120

y y >> D.210

y y >>解:依题意，易知抛物线开口向上，对称轴为y 轴，且顶点为坐标原点，又结合图象的对称性可知12y y >.故选C.

评注:比较函数值的大小，可依据图象的开口方向以及相关点与对称轴的距离远近作出判断.例2

以x 为自变量的二次函数2

2

2(2)1y x b x b =--+-的图象不经过第三象限，则实数

b 的取值范围是(

)

A.54

b ≥

B.1b ≥或1b ≤-

C.2

b ≥ D.12

b ≤≤解:Q 二次函数2

22(2)1y x b x b =--+-的图象不经过第三象限，

∴抛物线在x 轴的上方(顶点在x 轴的上方或者在x 轴上)或在x 轴的下方经过第一、第二、

第四象限这两种情况.

①抛物线在x 轴的上方(顶点在x 轴的上方或者在x 轴上)时，

Q 二次项系数1a =，

∴抛物线开口方向向上.

22[2(2)]4(1)0b b ∴=----≤V .

解得54

b ≥

.②当抛物线在x 轴的下方经过第一、第二、第四象限时，设抛物线与x 轴交点的横坐标分别为12,x x ,

2221212[2(2)]4(1)0,2(2)0,10b b x x b x x b ∴=---->+=->⋅=-≥V .

解这3个不等式，易知无公共解，也即此种情况不存在.综上所述，5

4

b ≥

.故选A.评注:解题的关键是正确分析图象的位置，并列出关于b 的不等式组求解.考点2二次函数的图象与各项系数之间的关系

例3(2017•杭州)设直线1x =是函数2

(,,y ax bx c a b c =++是实数，且0a <)的图象的对

称轴(

)

A.若1m >，则(1)0m a b -+>

B.若1m >，则(1)0m a b -+<

C.若1m <，则(1)0m a b -+>

D.若1m <，则(1)0m a b -+<解:由抛物线的对称轴是直线1x =,

12b

x a

∴=-

=.2b a ∴=-.

(1)(3)m a b m a ∴-+=-.

又0a <，

当1m <时，(3)0m a ->.故选C.

评注:对称轴是直线1x =，得2b a =-是解决本题的关键.例4

已知二次函数2

2(0)y ax bx a =--≠图象的顶点在第四象限，且过点(-1,0)，当a b

-

为整数时，ab 的值为()

A.

34

或1 B.

14

或1 C.

34或12

D.

14或34

解:由题意，知0,0,202b

a a

b a

->-

>+-=，故0b >，且2,(2)22b a a b a a a =--=--=-，于是02a <<,

2222a ∴-<-<，又a b -为整数.

221,0,1a ∴-=-.∴1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,11a b =⎧⎨=⎩,3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.3

4

ab ∴=

或1.故选A.评注:二次函数的系数与其图象特征之间存在本质联系.据此，将已知条件都用,a b 表示出来，就可使二者之间的数量关系逐步明晰.例5

(2017•日照)已知抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线2x =，与x 轴的一个

交点坐标为(4,0)，其部分图象如图1所示.下列结论:①抛物线过原点;②40a b c ++=;③

0a b c -+<;④抛物线的顶点坐标为(2,)b ;⑤当2x <时，y 随x 的增大而增大.其中正确的

结论是(

)

A.①②③

B.③④⑤

C.①②④

D.①④⑤

解:依题意，易知抛物线过原点.①正确.

Q 抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线2x =，与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，0c ∴=.

22b

a

-

=Q ,40a b ∴+=.

40a b c ∴++=.②正确.

1x =-Q 时,y a b c =-+，又由图象知，此时0y >.③错误.

222444ac b b b b a a b ---===-Q .

∴抛物线的顶点坐标为(2,)b .④正确.

当2x <时，y 随x 增大而减小.⑤错误.综上所述，①②④正确.故选C

评注:对于一些比较复杂的涉及二次函数字母系数的结论的辨析，可依题意作适当的代换变形，导出式子，如对②的判断;先给x 赋值，代入函数关系式中，得到所要判定的式子，再结合图形，观察x 取该值时，y 的取值，得出结论，如对③的判断等.考点3二次函数与一元二次方程的关系

例6抛物线22221y x x =-+与坐标轴的交点个数是(

)A.0

B.1

C.2

D.3

解:在22221y x x =-+中，令0x =，得1y =，即抛物线与y 轴的交点坐标为(0,1);令

0y =，得222210x x -+=.

解得1222x x ==

，即抛物线与x 轴的交点坐标为2

,0)2

.所以抛物线与坐标轴的交点个数是2.故选C.

评注:抛物线2

y ax bx c =++与x 轴的位置关系，与一元二次方程2

0ax bx c ++=的根的情

形有着密切的联系.我们时常需要在参透系数,,a b c 几何意义的基础上，数形结合解决问题.例7

图2是二次函数2

0(0)y ax bx c a =++=≠和正比例函数2

3

y x =

的图象，则方程22

(0(0)3

ax b x c a +-+=≠的两根之和(

)