高中数学理科复习 专题11解读高考试题中的数学思想
高考数学题解法思想指引
高考数学题解法思想指引数学思想是人们对数学事实与理论经过高度提炼概括后产生的本质认识，是数学知识和方法产生的根本源泉，是解决数学问题过程中的指路明灯. 一道好的试题，不在于华丽的“包装”，而在于本身所蕴涵的思想方法.下面就是小编给大家带来的高考数学题解法思想指引，希望大家喜欢！高考数学题解法思想指引在数学的知识和技能中，蕴涵着具有普遍性的数学思想，它是数学的精髓和灵魂，是知识转化为能力的桥梁，是人们对数学事实与理论，经过高度提炼概括后产生的本质认识，是数学知识和方法产生的根本源泉，是解决数学问题的指路明灯. 对数学思想的应用，是数学学习走向更深层次的一个标志. 高考试题中也蕴涵了丰富的数学思想，只有挖掘其中的思想，才能深入认识试题，透彻分析试题，顺利解答试题.试题呈现：已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是_______. （2014年浙江省数学高考文科试卷第16题）点评：此题虽小，却是亮点.看似平常，却是丰富多彩.入口宽，方法多，蕴涵着丰富的数学思想.探究视角1 构造思想方法的应用构造法是一种极其重要的数学思想方法，其本质特征是构造，通过观察、分析已知条件和需要解决的问题，联系已有的知识，构造出适当的数学式子或数学模型，来解决问题.1. 构造重要不等式x，y∈R，x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取等.推论：x，y∈R，x2+y2≥，当且仅当x=y时取等.解法1：因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，因为（b+c）2≤2（b2+c2），所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，所以a的最大值是，当且仅当b=c时取等.解法2：因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以a2=1-（b2+c2）≤1-=1-，所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，当且仅当b=c时取等.解法3：因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，所以bc==a2-. 因为b，c∈R，b2+c2≥2bc，所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，所以a的最大值是，当且仅当b=c时取等.2. 构造柯西不等式二维柯西不等式：任取实数x1，x2，y1，y2，（x21+x22）（y21+y22）≥（x1y1+x2y2）2，当且仅当xi=kyi（i=1，2）时取等.解法4：因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2.由柯西不等式可得（b2+c2）（12+12）≥（b+c）2，所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，所以a的最大值是，当且仅当b=c时取等.探究视角2 函数与方程思想方法的应用函数与方程思想是数学本质的思想之一. 函数思想是指利用函数的概念与性质去分析问题、转化问题、解决问题.方程思想是指从问题的数量关系入手，用数学语言问题中的条件转化为数学模型，如方程、不等式、方程与不等式组等，然后通过解方程或不等式组使问题得到解决.解法5：（构造方程）因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，所以bc==a2-，所以b，c为一元二次方程x2+ax+a2-=0的两个分布在（-1，1）上的实根.所以Δ=a2-4a2-≥0，1+a+a2->0，1-a+a2->0，-1<-<1，所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.点评：此法是将已知条件转化为一元二次方程，常用判别式来探求根的情况，但要注意根的分布.解法6：（消元，减少变量）因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以c= -（a+b）.所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），所以ab+bc+ac=-.消掉c得，a2+b2+ab-=0.解法7：（增量换元，构造函数）因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2.所以令b=-+x，c=--x，x∈R，则-+x+--x=1-a2，x∈R.所以a2=（1-2x2），x∈R，所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.解法8：（三角换元）因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，b=sinθ，c=cosθ，则-a=b+c=（sinθ+cosθ）=·sinθ+.所以sinθ+= ，所以≤1.所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.点评：换元法又称辅助元素法、变量代换法，即通过引进新的变量，可以将分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者将条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，从而将复杂的计算和证明简化.探究视角3 数学结合思想华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞. 数缺形时少直观，形少数时难入微.” 数形结合是一种重要的数学思想，运用时关键在于数形相互转化，即用代数方法处理几何问题，或通过构图解决代数问题，数形结合在解题中的应用不仅能整合学生相关的数学知识，而且能培养学生的创新思维.解法9：（坐标思想，直线与圆的位置关系）因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，所以点（b，c）在以原点为圆心，为半径的圆上，同时又在直线b+c+a=0上，则由直线与圆的位置关系可得：圆心距d=≤.所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.解法10：（构造三角形，利用正余弦定理来解三角形）因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以c= -（a+b），所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），所以ab+bc+ac=-消掉c得，a2+b2+ab-=0？圯a2+b2-=-ab. 以a，b，为边构造三角形，令其所对角分别为A，B，D，则由余弦定理可得，cosD==.（1）若ab>0，则cosD===-，则D=，在△ABD中由正弦定理可得，=，则a=sinA，A∈0，，0（2）若ab<0，则cosD===，则D=，A+B=，在△ABD中由正弦定理可得，=，则a=sinA，A∈0，，0由（1）（2）可得a的最大值是.探究视角4 特殊化思想的应用根据矛盾论的基本原理，我们在认识事物和解决问题的过程中，必须坚持具体问题具体分析. 也就是在矛盾普遍性原理的指导下，具体分析矛盾的特殊性.数学问题，特别是高考试题变化无穷、深浅莫测、精彩纷呈. 在解题中，若能充分挖掘隐藏于问题之中或与之相关的特殊值、特殊点、特殊图形、特殊位置和特殊结构，则可避免烦琐的运算、作图和推理，得到意想不到的、新颖独特的最佳解法. 这种利用特殊因素，采取特殊方法，解决特殊问题的思维方法，我们称之为特殊化思想方法. 每年的高考题中（尤其是选择题和填充题）都有几道题可直接运用特殊化思想方法获解.解法11：特殊值法因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，令b=c，则a=-2b，a2=1-2b2.所以消掉b得a2=1-2，所以a2=，所以a=±，所以a的最大值是.数学思想方法不是操作程序，没有具体的步骤，需要感悟、理解，但是，没有数学思想方法就找不到解题方向. 在上述解法探究中，要感悟试题中所蕴涵的数学思想，在上述四个视角中体现了构造思想、函数思想、方程思想、换元思想、数形结合思想、特殊化思想. 近年的高考越来越重视对数学思想方法的考查. 随着试题难度的上升，数学思想方法的作用会越来越重要.高考数学题解法思想指引相关文章：1.高中数学大题的解题技巧及解题思想2.高中数学解题思维能力是如何炼成的3.冲刺高考数学——答题思想4.高考数学解题方法5.2020高考数学压轴题常用解题形式和解题策略分享6.高中数学7大学习方法,高考数学命题点及答题技巧7.高考数学大题与错题集的做题思路8.高中数学思想与逻辑:11种数学思想方法总结与例题讲解9.高考数学最易混淆知识点及大题解题方法10.2020高考数学逆袭的指导方法。
高考解题中的数学思想专题
①
⇒(1+2m2)x2+4mnx+2(n2-1)=0. 又由题意得(4mn)2-4(1+2m2)· 2-1)=0⇒n2=2m2+1, 2(n ②
2 , m 2 由①、②得 或 n 2
2 2
2 , m 2 n 2.
2 故直线l的方程为y= x+ 或y=- x- . 2
2 2
【归纳拓展】本题利用方程的曲线将曲线有切点的几何问题转化
为方程有实解的代数问题.一般地,当给出方程的解的情况求参数的 范围时可以考虑应用“判别式法”,其中特别要注意解的范围. 总结:
(1)函数和方程是密切相关的,对于函数y=f(x),当y=0时,就转化为方程 f(x)=0,也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0; (2)函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f(x),当y>0时,就转化为 不等式f(x)>0,借助于函数图象与性质解决有关问题,而研究函数的 性质,也离不开解不等式; (3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点 处理数列问题十分重要; (4)函数f(x)=(1+x)n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的,利用这个函 数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题;
热点一:构造函数性质解题 在解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等 问题时,常通过构造函数,借助有关初等函数的性质求解.
(2012年· 上海)在平行四边形ABCD中,∠A= ,边AB
3
、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足
AM AN = ,则 · 的取值范围是
【解析】(1)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)
高考数学常用的数学思想
因为 d < 0, 故[ n S n 最大. 由6<
24 < d < - 3得 7 1 24 ( 5) < 6. 5, 2 d
p 为何值时, 以 A 为焦点、 l 为准线的抛物线与 椭圆有四个交点, 再联立 方程组转 化成代 数问 题( 研究方程组解的情况) . 解 由已知得 a = 2, b = 1, A ( p , 0) . 设 2
# 2 #
理科考试研究 # 数学版
2012 年 5 月 1 日
上, 且直线与圆 x 2 + y 2 = 144 有公共点, 所以圆心到直线距离 d = | 3 n + 15 | n2 + 1 n + 1+
李庆社
出抛物线和椭圆方程并联立有 y2 = 2 px , [ x - ( 2+ 4 p 2 )] 2 + y 2 = 1, p2 ) = 0. 4
消 y 得: x 2 - ( 4- 7p ) x + ( 2 p +
由四个交点关于 x 轴对称, 知一元二次方 程在 范围 ( p p , 4+ ) 内有两 个不 等实 根. 记 2 2 p2 ) , 结合其 4
( x + 4 a ) ( x - 6 a ) < 0, 解得 6 a < x < - 4a . 综上所述, 当 a > 0 时, 解为 x < - 4 a 或 x > 6 a ; 当 a = 0 时, 解为 x X 0; 当1 < a < 0 时, 2
解为 x < 6 a 或 x > - 4 a ; 1 当a<时, 解为 6 a < x < - 4 a . 2 三、 函数与方程的思想方法 函数 思想, 是指 用函数的概 念和性质 去分 析问题、 转化问题和解 决问题. 方 程思想, 是从 问题的数量关系入 手, 运 用数学语 言将问 题中 的条件转 化为数学模 型( 方程、 不等式、 或 方程 与不等式的 混合 组) , 然 后通 过解方 程( 组) 或 不等式( 组) 来使问 题获 解. 有时, 还实 现函 数 与方 程 的 互 相 转 化、接 轨, 达 到 解 决 问 题 的 目的. 例 3 设不等式 2 x - 1 > m ( x 2 - 1) 对满 足 | m | [ 2 的实数 m 的取值都成立, 求 x 的取 值范围. 分析 此问题由于常见的思维定势, 易把
高中数学思想与逻辑11种数学思想方法总结与例题讲解.doc
高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，如果从下面入手思维受阻，不妨从它的正面出发，逆向思维，往往会另有捷径.例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.A、150B、147C、144D、141分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简单多了.10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选(D).策略二：局部向整体的转化从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗.例2：一个四面体所有棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为( )A、B、C、D、分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选(A).策略三：未知向已知转化又称类比转化，它是一种培养知识迁移能力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相似性，巧妙进行类比转换，答案就会应运而生.例3：在等差数列中，若，则有等式( 成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立.分析：等差数列中，，必有，故有类比等比数列，因为，故成立.二、逻辑划分思想例题1、已知集合A= ，B= ，若B A，求实数a 取值的集合.解A= ：分两种情况讨论(1)B=￠，此时a=0;(2)B为一元集合，B= ，此时又分两种情况讨论：(i) B={-1}，则=-1，a=-1(ii)B={1}，则=1，a=1.(二级分类)综合上述所求集合为.例题2、设函数f(x)=ax -2x+2，对于满足1 x 4的一切x值都有f(x) 0，求实数a的取值范围.例题3、已知，试比较的大小.【分析】于是可以知道解本题必须分类讨论，其划分点为.小结：分类讨论的一般步骤：(1)明确讨论对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行讨论);(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级讨论.;(3)逐类讨论，获取阶段性结果.(化整为零，各个击破);(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).十一种数学思想方法总结与详解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
高考试题数学思想方法的考查分析与教学反思
高考试题数学思想方法的考查分析与教学反思对于数学这门学科而言，高考试题既是考察学生对知识点的掌握程度，也是考察学生数学思想方法和解决问题的能力。
本文将对高考试题数学思想方法的考查进行分析，并对相应的教学策略进行反思和探讨。
1. 数学思想方法的考查高考试题在考查数学思想方法时，主要体现在以下几个方面：1.1 建模与抽象思维高考试题往往涉及到实际问题的建模与抽象思维，学生需要将实际问题转化为数学问题，并利用数学方法进行求解。
例如，一个与时间有关的问题可以通过建立函数模型进行求解，这就需要学生具备良好的抽象思维能力。
1.2 推理与证明能力推理与证明是数学思想方法的重要组成部分。
高考试题中的几何证明、逻辑推理等题目要求学生能够运用所学的数学理论和定理进行论证和推演。
只有具备较强的推理与证明能力，学生才能解决这类问题。
1.3 运算与计算数学思想方法还包括运算与计算能力。
高考试题中的计算题目，要求学生掌握基本的运算规则和运算技巧，并能够迅速准确地计算出结果。
同时，还有一些需要学生进行变量替换、整理方程等复杂计算的问题，学生需要在较短的时间内完成。
2. 高考试题数学思想方法的教学反思针对高考试题数学思想方法的考查，我们需要从教学的角度进行反思，以提高学生的数学思维能力和解题能力。
2.1 强化问题解决能力的培养培养学生解决实际问题的能力是提高他们数学思想方法的关键。
我们可以通过实例分析、案例学习等活动，引导学生从实际问题中找出数学规律，并能够将问题进行抽象和转化。
同时，鼓励学生主动思考和提问，激发他们的求知欲望和解决问题的积极性。
2.2 注重推理与证明的教学推理与证明是数学思想方法中重要的一环，但在实际教学中，往往容易被忽略。
我们应该通过引入一些具有挑战性的证明题目，激发学生的兴趣，培养他们运用已学知识进行推理与证明的能力。
同时，借助历史数学事件和数学家的例子，让学生了解到数学推理对人类社会的重大意义。
2.3 多样化的教学方法和评价手段高考试题的数学思想方法考查不仅需要学生具备掌握的知识，还需要学生具备良好的解题思路和方法。
高考题中的数学思想
高考题中的数学思想
1. 函数：函数是一种对关系的抽象描述，它不仅可以用来描述和解决问题，而且可以用来表达具有一定规律的数量变化。
2. 图形：图形是用线条、点或面表示一定数量之间的关系的一种表示方式。
它可以帮助我们理解复杂的问题，并利用图形分析得出相应的答案。
3. 排列和组合：排列和组合是对一定量物体中所有可能排列方式进行数学上的研究。
它常常用于计算不同情况下出现特定概念有多少中不同选择方式。
4. 概率：概率是对事件出现的可能性进行测量和估计的数学理论。
它既可用于评估偶然事件出现的可能性，也可用于优化决。
SXB121高考数学必修_立体几何中的数学思想
立体几何中的数学思想立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，如割补思想、降维转化思想即化空间问题到平面图形中去解决，又如证线面间的位置关系常需经过多次转换才能获得解决，又如可把空间位置关系及空间量的求解转化为空间向量的运算，这些无不体现着化归转化的思想.因此自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果. 在学习和复习中要加强数学思想方法的总结与提炼，一、参数思想参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。
直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。
换元法也是引入参数的典型例子。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。
例1．已知正四棱锥S —ABCD 的侧面与底面的夹角为β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cos α=-cos 2β。
【分析】要证明cos α=-cos 2β，考虑求出α、β的余弦，则在α和β所在的三角形中利用有关定理求解。
【解】连AC 、BD 交于O ，连SO ；取BC 中点F ，连SF 、OF ；作BE ⊥SC 于E ，连DE 。
则∠SFO ＝β，∠DEB ＝α。
设BC ＝a (为参数)， 则SF ＝OF cos β＝a2cos β,SC ＝SF FC 22+＝(cos )()a a2222β+＝a2cos β12+cos β又 ∵BE ＝SF BC SC·＝a 22cos β⨯1212acos cos ββ+＝a 12+cos β在△DEB 中，由余弦定理有：cos α＝22222BE BD BE -＝2122122222⨯+-⨯+a a acos cos ββ＝－cos 2β。
所以cos α＝－cos 2β。
【注】 设参数a 而不求参数a ，只是利用其作为中间变量辅助计算，这也是在参数法中参数可以起的一个作用，即设参数辅助解决有关问题。
巧用数学思想解高考题
巧用数学思想解高考题新课程标准提出：高中数学教学应使学生掌握数学思想，能运用数学思想解决数学问题。
数学思想在解决高中数学问题中起到关键作用。
所谓数学思想是指人们在学习数学和运用数学解决问题过程中，不断地经历直观、观察发现、归纳对比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思构建得出的解决数学问题的思维方式。
数学思想可以帮助学生理清数学问题的思路，帮助学生快速地解决数学问题。
数学思维能力在形成性思维中发挥着独特的作用。
而数学思想正是数学思维能力的一种反应。
数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。
基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且不断地发展。
教师通过数学思想的培养，可以使学生的数学能力有一个大幅度的提高。
掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。
数学思想是高考命题的重要依据。
因此，把握住数学思想，就把握住了高考数学。
一、函数与方程思想函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼。
函数思想在研究方程、不等式、数列、解析几何等内容时，起着重要作用。
方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
高考数学把函数与方程思想作为七种重要思想方法中的重点来考查。
例1.设a>0，b>0，e是自然对数的底数则（）a. 若ea+2a=eb+3b，则a>bb. 若ea+2a=eb+3b，则abd. 若ea-2a=eb-3b，则aeb+2b.构造函数：f（x），则f′（x）=ea+2>0恒成立，故存在函数f（x）=ea+2x在x>0上单调递增，即a>b成立。
其余选项用同样方法排除。
例2.已知函数f（x）=axsinx-■（a∈r），且在[0，■]上的最大值为■，（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明。
高考数学题涉及的数学思想、方法、能力
高考数学题涉及的数学思想，方法，能力梁关化，2015，5，25A 、 数学思想 A1、函数思想现实中存在许多变量，而变量与变量之间存在着直接或间接的关系。
如果一个或几个变量的变动，引起另一个变量的变动,如果变量之间存在函数关系, 我们就可以建立函数模型,决它们的问题。
在数学中, 我们常常遇到很多含参数的问题, 如含参数的方程、含参数的不等式等，这时, 我们可以用函数思想去处理。
例1． 若不等式a x x ≤---56对一切x R ∈实数恒成立，求a.。
（a ≥1） 。
A2、方程思想求未知数，使之满足一定条件，这是数学中出现最多的问题。
这类问题，我们可以通过设未知数，建立方程或不等式进行求解。
一般步骤为：设，列，解。
例1． 曲线f(x)=x 4-x 在点P 处的切线平行于直线3x-y=0，求P 的坐标。
（（1，0）） 。
A3、和A4、转化和化归思想生活中，为了认识某一个人，我们可以通过他的朋友或认识他的人来认识他。
平时我们在研究问题时，也常常用转化的方法进行，如把陌生的问题转化为熟悉的问题，把A 问题归结B 问题来解决。
在数学中，同样也有很多问题需要用转化和化归思想来解决。
例1．如图所示，已知抛物线y 2=2px(p>0)。
过动点M(a,0)，且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A 、B ，|AB|≤2p 。
1． 求a 的取值范围；（-p/2<a ≤-p/4）一些几何变换转化为代数变换，可以省去空间想象的麻烦，这就是所谓的数形结合思想。
例1．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 离心率为e ，过右焦点F 且斜率为k 的直线与（e2>1+2k）m1或x>1;m=0,x>1;0<m<1,1<x<m1;m=1,P（A）+P（)A=1。
当直接求解某一量的值比较困难时，我们可以用这种补集思想。
如在概率计算中，直接求某一事件的概率困难时，可转为求它的对立事件的概率。
高考数学十一种思想方法总结与详解!(二)
~4、方程思想当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。
例如证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。
5、整体思想从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。
整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。
6、化归思想在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。
三角函数，几何变换，因式分解，解析几何，微积分，乃至古代数学的尺规作图等数学理论无不渗透着转化的思想。
常见的转化方式有：一般特殊转化，等价转化，复杂简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等。
转化思想亦可在狭义上称为化归思想。
化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B，通过解决问题B来解决问题A的方法。
7、隐含条件思想没有明文表述出来，但是根据已有的明文表述可以推断出来的条件，或者是没有明文表述，但是该条件是一个常规或者真理。
例如一个等腰三角形，一条线段垂直于底边，那么这条线段所在的直线也平分底边和顶角。
8、类比思想把两个(或两类)不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。
9、建模思想为了更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性地描述一个实际现象，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。
使用数学语言描述的事物就称为数学模型。
有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。
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B.
本题直接以太极图(太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图 案,俗称阴阳鱼)为试题,难度不大,创设的问题情境具有浓厚的 文化底蕴,考查学生的应用与推理能力.
3.源于数学史料,渗透数学应用 3 中国古代名词‚刍童‛原来是草堆的意思,古代用 它作为长方棱台(上、下底面均为矩形的棱台)的专用术语.关于 ‚刍童‛体积计算的描述,《九章算术》注曰:‚倍上袤,下袤从 之.亦倍下袤,上袤从之.各以其广乘之,并以高若深乘之,皆六而 一.‛其计算方法是:将上底面的长乘二,与下底面的长相加,再与 上底面的宽相乘;将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下 底面的宽相乘;把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一. 依此算法,现有上、 下底面为相似矩形的棱台,相似比为2,高为 3, 且上底面的周长为 6,则该棱台的体积的最大值为( A.14 B.56
A. 8 B.
21
45 16 93 C.32 189 D. 64
【解析】 起始:m=2a-3,i=1,第一次循 环:m=2(2a-3)-3=4a-9,i=2;第二次循 环:m=2(4a-9)-3=8a-21,i=3;第三次循 环:m=2(8a-21)-3=16a-45,i=4,接着可得 m=2(16a-45)-3=32a-93, 此时跳出循环,输出 m 的值为 32a-93.令 32a-93=0,解得 选 C. 【答案】 C
5
意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题
时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,….该数列的特点是:前 两个数都是 1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和. 人们把这样的一列数组成的数列{an}称为‚斐波那契数列‛,则 2 2 2 2 (a1a3-������2 )²(a2a4-������3 )²(a3a5-������4 )²…²(a2015a2017-������2016 )=( ). A.1 B.-1 C.2017 D.-2017
【解析】 由‚斐波那契数列‛ 2 2 2 2 知,(a1a3-������2 )=1,(a2a4-������3 )=-1,(a3a5-������4 )=1,(a4a6-������5 )=-1,…,所 2 以根据计算的规律可得,当 n 为偶数时,(anan+2-������������ +1 )=-1;当 n 为 2 奇数时,(anan+2-������������ +1 )=1. 2 2 2 2 所以(a1a3-������2 )² (a2a4-������3 )² (a3a5-������4 )² …² (a2015a2017-������2016 )=-1. 故选 B. 【答案】 B
2016 年 9 月 26 日,教育部考试中心函件《关于 2017 年普通 高考考试大纲修订内容的通知》,要求‚增加中华优秀传统文化 的考核内容,积极培育和践行社会主义核心价值观,充分发挥高 考命题的育人功能和积极导向作用.比如,在数学中增加数学文 化的内容‛.因此,从中国古代数学和世界数学名题中挖掘素材, 既符合考生的认知水平,又可以引导学生关注中华优秀传统文 化.
1
C.
【答案】 C
立体几何是 中国古代数学的一个重要研究内容,从中国古代数学中挖掘素材, 考查立体几何的有关知识,既符合考生的认知水平,又可以引导 学生关注中华优秀传统文化.
4.源于古今名题,渗透数学思想 4 《孙子算经》是中国古代重要的数学专著,其中记
载了一道有趣的数学问题:‚今有出门,望见九堤,堤有九木,木有 九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色.‛则这 个数学问题中动物有 只.(数字作答)
63 C. 4 D.63 1
).
【解析】 依算法,设棱台的上底面的长、宽分别为 x、 y(x>0,y>0),则下底面的长、宽分别为 2x、2y,所以棱台的体积
V=6[(2x+2x)³y+(4x+x)³2y]³3=7xy.又因为 x+y=3,由基本不
等式得
������ +������ 2 63 7xy≤7³( ) = ,当且仅当 2 4 3 x=y=2时取得最大值,选
【解析】 由题意知‚堤、木、枝、巢、禽、雏、毛‛的数 n-1 n 量构成首项为 9,公比为 9 的等比数列,其通项公式为 an=9³9 =9 , 5 6 则动物的数量为 a5+a6=9 +9 =590490(只). 【答案】 590490
《孙子算经》是中国古代重要的数学著作.成书大约在 4、5 世纪,也就是大约一千五百年前.具有重大意义的是卷下第 26 题: ‚今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二, 问物几何?答曰:‘二十三’‛.《孙子算经》不但提供了答案,而 且还给出了解法.,推广‚物不知数‛的问题.德国数学家高斯 于公元 1801 年出版的《算术探索》中明确地写出了上述定理,在 西方的数学史里将这一个定理称为‚中国的剩余定理‛.
一、数学文化融入高考试题 2015-2017 年全国卷都成功地命制了以古代数学优秀成果为 背景的相关问题,并达到了考查的目的.综合这几年的高考试题 和模拟试题,主要分为以下四种类型:
1.源于数学名著,渗透基础知识 1 《算法统宗》是中国古代数学名著,
由明代数学家程大位所著,该著作完善了珠算口诀, 确立了算盘用法,完成了由筹算到珠算的彻底转变, 对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用. 如图所示的程序框图 的算法思路源于该著作中的 ‚李白沽酒‛ 问题,执行 该程序框图,若输出的 m 的值为 0,则输入的 a 的值 为( ).
1 4
B.
π 8
C.
1 2
D.
π 4
【解析】 设正方形的边长为 a,则圆的半径为 ,正方形的面 积为 a
2
������ 2
������ 2 π ,圆的面积为 .由图形的对称性可知,太极图中黑白部 4
1 ������ 2 π × 2 4 2 ������
分面积相等,即各占圆面积的一半.由几何概型的概率计算公式 得,此点取自黑色部分的概率是 【答案】 B
93 a=32,故
本题直接指出了问题源于《算法统宗》及该书的重要性,试题 背景新颖,要求学生用学过的知识解决问题,了解数学的价值,让 学生在解题的过程中感受传承优秀数学文化的意义,是基础题.
2.源于数学文化,渗透推理论证 2 (2017 年全国Ⅰ卷)如图,正方形 ABCD 内的图形来自 中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白 色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随 机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( ). A.