高中数学_1.3空间几何体的表面积和体积课件(免费)
高中数学必修2第一章空间几何体课件 空间几何体的三视图和直观图
口答:一个几何体某一方向的视图是圆, 则它不可能是( D )
A C
球 圆柱
B D
圆锥 长方体
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从上面看
俯视图
从左面看 左视图
从正面看
主视图
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1.2.3 空间几何体的直观图
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例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
对称轴MN 所在直线为Y 轴,两轴交于点O。画相应 的X 轴和Y 轴，两轴相交于点O,使xOy=45
1 在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X 轴，
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空间几何体的
三视图和直观图
中心投影和平行投影
空间几何体的三视图 空间几何体的直观图
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1.2.1 平行投影和中心投影
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例3．已知几何体的三视图，用斜二测画法 画出它的直观图 正视图 侧视图
Z ·
O
y
· O
· O · O
y
x
· O
·
俯视图
O
x
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例3．已知几何体的三视图，用斜二测画 法画出它的直观图 正视图 侧视图
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圆柱的三视图
正视图 侧视图
俯视图
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圆锥的三视图
高中数学第一课.ppt
高一第一学期 高一第二学期
高二第一学期
必修一
第一章 集合与函数概念 一 总体设计 二 教科书分析 1．1 集合 1．2 函数及其表示 三 自我检测题 四 拓展资源
1．3 函数的基本性质
实习作业
第二章 基本初等函数（Ⅰ） 一 总体设计 二 教科书分析 2．1 指数函数 2．2 对数函数 2．3 幂函数 三 自我检测题 四 拓展资源
第三章 函数的应用 一 总体设计 二 教科书分析 3．1 函数与方程 3．2 函数模型及其应用 三 自我检测题 四 拓展资源
必修二
第一章 空间几何体 一 总体设计 二 教科书分析 1．1 空间几何体的结构 1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积
三 自我检测题 四 拓展资源
初中数学学习特点： 背诵式 因为初中学习内容相对较少，时间相对较宽裕，一个知 识点可以反反复复地讲、慢慢地磨，直到大部分学生都 能懂，甚至重要题型直接要会背。
高中数学学习特点： 自主学习、理解、悟 高中知识点多且抽象，不可能每个可能考的题型都反复 讲、慢慢磨。更多的是需要学生在课后自己去理解这个 题型并能达到举一反三的能力，再碰到类似的题能拿下。 而这样的要求就需要学生在课后能自主的学习、思考， 但学生在初中并没有这样的学章 概率 一 总体设计 二 教科书分析 3．1 随机事件的概率 3．2 古典概型 3．3 几何概型
三 自我检测题 四 拓展资源
必修四
第一章 三角函数 一 总体设计 二 教科书分析 1．1 任意角和弧度制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象和性质 1．5 函数的图象 1．6 三角函数模型的
高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”更要讲究科学 的学习方法，提高学习效率才能变被动学习为主动学习， 才能提高学习成绩。 1. 培养良好的学习习惯。良好的 学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、 独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
人教A版高中数学必修第二册圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积精品系列PPT
四、典型例题 人教A版高中数学必修第二册第八章8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课件（共11张PPT）
例2 如右图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径， 求球与圆柱的体积之比.
O'
S
l
l
r O 2πr
rO
O' r'
l
rO
二、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系?你能用圆柱、 圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗?
S圆柱=2πr(r+l) r'O'
S圆台=π(r'O2+'r2+r'l+rl) r'
S圆锥=πSr(r+l)
v
r'=r
l
l
r'=0
三、球的表面积和体积 人教A版高中数学必修第二册第八章8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课件（共11张PPT）
1.球的表面积：S球=4πR2(R为球的半径) 4
2.球的体积：V球= 3 πR3(R为球的半径)
在小学,我们学习了圆的面积公式,你还记得是如何求得的吗? 类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗?
类比利用圆周长求圆面积方法,我们可利用球的表面积求球的
体积.如下图,把球O的表面分成n个小网格,连接球心O和每个小网
格的顶点,整个球体就被分割成n个“小锥体”.
当n越大,每个小网格越小时,每个“小锥体”
AD
底面就越平,“小锥体”就越近似于棱锥，其高 越体近”似,其于体球积半是径VRO.-A设BCDO≈-31 ASBACBDCD是R.其则中球一的个体“积小锥
高中数学必修2《空间几何体的表面积与体积》教案
⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 ⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 1教学⺫标 1.知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积的求法. 2.能运⽤公式求解柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 2学情分析 通过学习空间⼏何体的结构特征，空间⼏何体的三视图和直观图，了解了空间⼏何体和平⾯图形之间的关系，从中反映出⼀个思想⽅法，即平⾯图形和空间⼏何体的互化，尤其是空间⼏何问题向平⾯问题的转化。
该部分内容中有些是学⽣已经熟悉的，在解决这些问题的过程中，⾸先要对学⽣已有的知识进⾏再认识，提炼出解决问题的⼀般思想——化归的思想，总结出⼀般的求解⽅法，在此基础上通过类⽐获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类⽐等思想⽅法的应⽤。
3重点难点 重点：知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积公式。
难点：会求柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 4教学过程 4.1 第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时 柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? 1.3 空间⼏何体的表⾯积与体积 课时设计课堂实录 1.3 空间⼏何体的表⾯积与体积 1第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时 柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、 ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、。
人教A版高中数学必修二课件第一章1.3.2球的体积和表面积(共41张PPT)
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
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06
排列组合与概率初步
排列组合的概念与运算
排列
从n个元素中取出m个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n 个元素中取出m个元素的一个排列。
组合
从n个元素中取出m个元素，并成一组，叫做从n个元素中取出m个 元素的一个组合。
排列与组合的计数原理
分步乘法计数原理、分类加法计数原理。
概率的初步概念与计算方法
互斥事件的概率计算
P(A∪B)=P(A)+P(B)。
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02
三角函数与解三角形
三角函数的概念与性质
总结词
基础核心概念、周期性、振幅、相位、初相、终相、正弦函数、余弦函数、正切 函数、余切函数、反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数。
详细描述
三角函数是高中数学的基础核心概念，包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余 切函数等。这些函数都具有周期性，且与振幅、相位、初相、终相等相关。通过 对这些函数的图像和性质的掌握，可以深入理解三角函数的本质和应用。
掌握空间几何体的表面积和体积的计算方法，能够正确 计算简单几何体的表面积和体积。
详细描述
本节内容主要介绍空间几何体的表面积和体积的计算方 法，包括长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等立体图形 的表面积和体积的计算方法，让学生能够掌握各种立体 图形的表面积和体积的计算方法，为后续学习打下基础 。同时，本节还介绍了立体图形的组合与分解，让学生 能够更好地理解立体几何的基本概念和性质，提高解决 实际问题的能力。
概率
表示事件发生的可能性大小的数 值，叫做该事件的概率。
概率计算方法
公式法、列举法、列表法、图示 法。
独立事件与互斥事件及其概率计算
独立事件
人教版高中数学必修二课件：1-3-1柱体和椎体的表面积与体积
锥体V 1 Sh
3
6
10
3.14
10 2
2
10
=2956mm3 2.956cm3
螺帽个数：5.8×1000÷（7.8×2.956）≈252 答：这堆螺帽大约有252个。
• 练习：三棱锥P-ABC的高为6,底面 是边长为2的等边三角形,则三棱锥 P-ABC的体积为__2___3_.
h
a
bc
S直棱拄侧＝（a b c) h ch
思考：把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到 什么图形?展开的图形与原图有什么关系？
r
l
长方形
宽＝ l
长＝2r
S圆柱侧 S长方形＝Cl＝2 rl
把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h' h'
S正棱锥侧＝
1 2
高中数学课件
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学习目标
1.了解柱体、锥体、台体的表面积的计算公 式.提高学生的空间想象能力和几何直观能力 ,培养学生的应用意识,增加学生学习数学的 兴趣.
2.掌握简单几何体的表面积的求法,提高学生 的运算能力,培养学生转化、化归以及类比的 能力.
重点 了解柱体锥体的表面积计算公式.
结果精 确 到1毫升，可用计算器）？
解:花盆外壁的表面积： S (r'2 r 2 r'l rl )
S [(15)2 15 15 20 15] (1.5)2
20cm
22
2
2
1000(cm2 ) 0.1(m2 )
涂100个花盆需油漆： 0.1100100 1000 (毫升)
高中数学教材全解课件 新课标 人教版 必修2(A)
3.分散难点
立体几何教学的两个主要任务： 培养空间观念，培养逻辑推理能力
按照“点线面——体”组织的结构体系， 逻辑严谨，但“两个任务”交织在一起， 特别是对逻辑推理能力要求高，而且“判 定定理”的证明要培养空间观念（合情推理），再推进到 逻辑推理能力的培养，适当分散难点。
证明非常漂亮、经典，渗透了许多数学思想， 重心是逻辑推理能力。
依据“标准”的要求，实验教
材对这个定理不进行演绎证明， 而让学生通过一个探究实验发现 结论，进行合情推理。
上述过程经历的步骤：
具体 观 实 发现 提 出 问题 察 验 规律 猜想
把握立体几何教学的变化：
几何教育功能的全面性，即从单 纯强调几何的逻辑推理转变为合 情推理与逻辑推理并重。
1.3 空间几何体的表面积与体积
教学目标： 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积 的计算公式（不要求记忆公式）；根据柱、 锥、台、球体的几何特征并结合它们的展 开图，推导出它们的表面积的计算公式， 并通过对各种几何体体积计算公式之间联 系的分析，帮助学生从计算的角度去认识 空间几何体，更加准确地把握空间几何体 的结构特征。
在立体几何学习中，经历合情推理——演绎 推理过程。通过对事物、模型、图片等的操 作和感知，引导学生归纳、概括几何图形的 结构特征，认识空间点、线、面的位置关系， 用数学语言表达平行、垂直的性质与判定， 并能进行证明。
不是不要证明，而是完善过程。
既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理 能力。
直线与平面垂直的判定定理
能根据三视图描述基本几何体或实物原 型。
高中：
能识别三视图所表示的立体模型，会使 用材料（如纸板）制作模型；用斜二测 画直观图等（初中没有）。
加强实物、三视图、直观图的相互转化 你能画出它们的三视图吗？
2023年高中数学基础知识梳理及基础题型归纳-立体几何模块-第五节空间几何体的表面积和体积
第五节 空间几何体的表面积和体积【知识点20】空间几何体的表面积一般地，我们可以把多面体展开成平面图形，求出展开图中各个小多边形的面积，然后相加即为多面体的表面积． 1.直棱柱和正棱锥的表面积(1)直棱柱的侧面积①侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．②直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c ，宽等于直棱柱的高h ，因此，直棱柱的侧面积是S 直棱柱侧＝ch . ③底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (2)正棱锥的侧面积①如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等．②棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积．如果正棱锥的底面周长为c ，斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)为h ′，它的侧面积是S 正棱锥侧＝12ch ′.2.正棱台的表面积正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．与正棱锥的侧面积公式类似，若设正棱台的上、下底面的周长分别为c ′，c ，斜高为h ′，则其侧面积是S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′. 3.圆柱、圆锥、圆台的表面积【推导圆柱侧面积及表面积】S 侧＝2πrl ，S 表＝2πr (r ＋l )．【推导圆锥侧面积及表面积】底面周长是2πr ，利用扇形面积公式得 S 侧＝12×2πrl ＝πrl ，S 表＝πr 2＋πrl ＝πr (r ＋l )．【推导圆台侧面积及表面积】由题图知，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，则x x ＋l ＝r R ，解得x ＝r R －rl . S 扇环＝S 大扇形－S 小扇形＝12(x ＋l )×2πR －12x ×2πr ＝π[(R －r )x ＋Rl ]＝π(r ＋R )l ，所以S 圆台侧＝π(r ＋R )l ，S 圆台表＝π(r 2＋rl ＋Rl ＋R 2)．【类型一】 求多面体的侧面积和表面积 【例1】正四棱台两底面边长分别为a 和b (a <b )．(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．【变式1】已知正四棱台的高是12 cm，两底面边长之差为10 cm，表面积为512 cm2，求底面的边长．【反思】(1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应用．(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数．(3)棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积也可由大小棱锥侧面积作差得到．【变式2】已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积．【变式3】如图，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，三棱锥D1—AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________．【思考1】如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．【类型二】与三视图结合综合问题【例2】某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的表面积为 .【变式1】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A. 2+B. 1C. 1+D.【变式2】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是A. 2B. 3C. 4D. 5【变式3】已知一个几何体的三视图如图所示（单位:m），其中俯视图为正三角形,则该几m何体的体积为_______3【思考2】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为.【思考3】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A. 60B. 30C. 20D. 10【变式1】如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（）A. 8B. 4C.D.【类型三】求旋转体的表面积【例3】圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________ cm2.(结果中保留π)【变式1】圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，求圆台较小底面的半径．【反思】(1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积，只需求出上、下底半径和母线长即可，求半径和母线长时常借助轴截面．(2)解答旋转体的侧面积与表面积问题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积．(3)旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系．在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用．【变式2】若圆锥的母线长为2 cm，底面圆的周长为2π cm，则圆锥的表面积为________ cm2.【变式3】以圆柱的上底中心为顶点，下底为底作圆锥，假设圆柱的侧面积为6，圆锥的侧面积为5，求圆柱的底面半径．【变式4】若一个圆台的轴截面如图所示，则其侧面积等于______．【变式5】．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．【类型四】与三视图结合的综合问题【例4】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为的直角三角形，俯视图是半径为，圆心角为的扇形，则该几何体的表面积是（ ）A. B. C. D.【变式1】如图是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 27cm π B. 28cm π C. 29cm π D. 211cm π【类型五】 简单组合体的表面积【例5】牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示(单位：m)，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？(精确到0.01 m 2)【反思】 (1)组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成，然后再根据条件求各个简单组合体的基本量，注意方程思想的应用．(2)在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等，在求解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种几何体，哪些面计算在内，哪些面实际没有． 【变式1】有两个相同的直棱柱，高为2a ，底面三角形的边长分别为3a,4a,5a (a >0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求a 的取值范围．【变式2】如图所示，△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，作CD ⊥AB ，垂足为点D .以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积．【方法小结】1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积．2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．3．S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．【思考1】如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积为________．【思考2】一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其中有一个高为x cm的内接圆柱．(1)求圆锥的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．【变式1】已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为________．【知识点21】空间几何体的体积【类型一】柱体、锥体、台体的体积【例1】(1)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为____________．(2)现有一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降________ cm.【反思】(1)常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．一、柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)．2．锥体的体积公式V＝13Sh(S为底面面积，h为高)．3．台体的体积公式V＝13(S′＋S′S＋S)h(S′，S为上、下底面面积，h为高)．4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V＝Sh V＝13(S′＋S′S＋S)h V＝13Sh.二、球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)．2．球的体积公式V＝43πR3.三、球体的截面的特点1．球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆．2．利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．(2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．【变式1】如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．【变式2】已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．【变式3】已知正三棱锥S—ABC，D，E分别为底面边AB，AC的中点，则四棱锥S—BCED 与三棱锥S—ABC的体积之比为________．【变式4】圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是________ cm.【变式5】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为____ cm3.【类型二】球的表面积与体积【例2】（外接球）(1)设长方体的长，宽，高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．(2)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．【变式1】一倒置圆锥体的母线长为10 cm，底面半径为6 cm.(1)求圆锥体的高；(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．【反思】(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 【练习1】长方体共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为________．【练习2】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为________．【练习3】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．【练习4】三棱锥P ABC -中， ,,PA PB PC 互相垂直， 1PA PB ==， M 是线段BC上一动点，若直线AM 与平面PBC 所成角的正切的最大值是2，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ）A. 2πB. 4πC. 8πD. 16π【例3】在正三棱锥S −ABC 中，SA =2√7，AB =6，则该三棱锥外接球的直径为( )A. 7B. 8C. 9D. 10【反思】在一个多面体的面找外接圆的圆心，过该圆的圆心，作垂直于该面的垂线，球心O 在垂线上，构造三角形，解三角形。
高考数学立体几何专题1空间立体几何的三视图、表面积和体积
专题1空间立体几何的三视图、表面积和体积【考点点击】1．以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适中；2．以熟悉的几何体为背景，考查多面体或旋转体的侧面积、表面积和体积计算，间接考查空间位置关系的判断及转化思想等，常以三视图形式给出几何体，辅以考查识图、用图能力及空间想象能力，难度中等．3.几何体的三视图与表（侧）面积、体积计算结合；【重点知识】一、空间几何体1．柱体、锥体、台体、球的结构特征名称几何特征棱柱①有两个面互相平行(底面可以是任意多边形)；②其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行棱锥①有一个面是多边形(底面)；②其余各面是有公共顶点的三角形．棱台①底面互相平行；②所有侧棱延长后交于一点(即原棱锥的顶点)圆柱①有两个互相平行的圆面(底面)；②有一个侧面是曲面(母线绕轴旋转一周形成的)，且母线与底面垂直圆台①底面互相平行；②有一个侧面是曲面，可以看成母线绕轴旋转一周形成的球①有一个曲面是球面；②有一个球心和一条半径长R，球是一个几何体(包括内部)，可以看成半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的2.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积名称体积表面积棱柱V棱柱＝Sh(S为底面积，h为高)S棱柱＝2S底面＋S侧面棱锥V棱锥＝13Sh(S为底面积，h为高)S棱锥＝S底面＋S侧面棱台V棱台＝13h(S＋SS′＋S′)S棱台＝S上底＋S下底＋S侧面圆柱V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h为高)S圆柱＝2πrl＋2πr2(r为底面半径，l为母线长)圆锥V圆锥＝13πr2h(r为底面半径，h为高)S圆锥＝πrl＋πr2(r为底面半径，l为母线长)圆台V圆台＝13πh(r2＋rr′＋r′2)S圆台＝π(r＋r′)l＋πr2＋πr′2球V球＝43πR3(R为球的半径)S球＝4πR2(R为球的半径)3.空间几何体的三视图和直观图(1)空间几何体的三视图三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”．(2)空间几何体的直观图空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45°(或135°)，平行长不变，垂直长减半”．4．几何体沿表面某两点的最短距离问题一般用展开图解决；不规则几何体求体积一般用割补法和等积法求解；三视图问题要特别留意各种视图与观察者的相对位置关系.【考点分析】考点一空间几何体的结构【例1】已知正三棱锥PABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．【答案】33【解析】正三棱锥PABC 可看作由正方体PADCBEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥PABC 的外接球的直径，且PF ⊥平面ABC.设正方体棱长为a ，则22,2,1232=====BC AC AB a a ，3223222221=⨯⨯⨯=∆ABC S ，由,PAC B ABC P V V --=得222213131⨯⨯⨯⨯=⋅∆ABC S h ，所以332=h 因此球心到平面ABC 得距离为33考点二三视图、直观图【例2】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为12π2416πS =⋅⋅=，圆锥的侧面积为2π248πS =⋅⋅=，圆柱的底面面积为23π24πS =⋅=，故该几何体的表面积为12328πS S S S =++=，故选C.【例3】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A ．2＋5B ．4＋5C ．2＋25D ．5【答案】C【解析】该三棱锥的直观图如图所示：过D 作DE ⊥BC ，交BC 于E ，连接AE ，则BC ＝2，EC ＝1，AD ＝1，ED ＝2，ABCABD ACD BCD S S S S S ∆∆∆∆+++=表5225221152115212221+=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=考点三几何体的表面积【例4】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为【答案】14π.【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以222232114,4π14π.R S R =++===【例5】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是328π,则它的表面积是（）（A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π【答案】A【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的81,设球的半径为R ,则32834873ππ=⨯=R V ,解得R 2=,所以它的表面积是87的球面面积和三个扇形面积之和πππ172413248722=⨯⨯+⨯⨯=S 故选A ．考点四几何体的体积【例6．】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2AC AB ==，结合勾股定理，底面半径2213122r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是2233ππ1π24V r h ⎛==⨯⨯= ⎝⎭，故选B.考点五与球的组合体问题纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.【例7】棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（）A ．22B ．1C ．212+D ．2解：由题意可知，球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径12,22AD R ==11EF AA DD ⊂ 面，∴直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径22R =.【例8】正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.【例9】在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且AM MN ⊥,若侧棱23SA =,则正三棱锥S ABC -外接球的表面积是.解：如图，正三棱锥对棱相互垂直，即,AC SB ⊥又,,,.SB MN MN AC MN AM MN SAC ∴⊥⊥∴⊥∥又平面于是,,,SB SAC SB SA SB SC ⊥∴⊥⊥平面从而.SA SC ⊥此时正三棱锥S ABC -的三条侧棱互相垂直并且相等，故将正三棱锥补形为正方体.球的半径23,3,436.2R SA R S R ππ=∴=∴==【例10】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A ．12πB ．C ．3πD ．【答案】C【解析】把原来的几何体补成以DA DC DP 、、为长、宽、高的长方体，原几何体四棱锥与长方体是同一个外接球，2=R l ，=2R ，234434S R πππ==⨯=球.【例11】在三棱锥P －ABC 中，PA ＝,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）A ．πB.3π C.4πD.43π解：如图所示，过P 点作底面ABC 的垂线，垂足为O ，设H 为外接球的球心，连接,,AH AO 因60,PAO PA ∠== 故2AO =,32PO =又△AHO 为直角三角形，222,,AH PH r AH AO OH ==∴=+22233344(),1,1.2233r r r V ππ∴=+-∴=∴=⨯=【例12】矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --,则四面体ABCD 的外接球的体积是()A.π12125 B.π9125C.π6125D.π3125解：由题意分析可知，四面体ABCD 的外接球的球心落在AC 的中点，此时满足,OA OD OB OC ===522AC R ∴==,343V R π=1256π=.【总结归纳】1个特征——三视图的长度特征“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽。
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作业
P28 练习1，2，3 P29-30 习题 B组 1,2,3
1 3 S侧 4 a a 3a 2 2 2 所以这个四棱锥的 表面积为
S a 2 3a 2 (1 3)a 2
旋转体的表面积
一般地，对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，其 底面是平面图形（圆形），其侧面多是曲面，需要 按一定规则展开成平面图形进行面积的计算，最终 得到这些几何体的表面积. 圆柱 底面是圆形 圆柱的侧面展 开图是一个矩 形
小结
常见平面图形的面积 多面体的表面积和体积 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 旋转体的表面积和体积 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
作业
P27 练习1，2 P28-29 习题1.3 A组 1，2，3，4，5，6
1.3.2
球的体积和表面积
球
球的表面积
球的体积 球面距离
球的体积和表面积
C
r
S r2
1 n 1 S l r r 2 r 2 360 2 2
B
b A a
S a ha b hb
ab sin A
l
r
圆心角为n0
特殊平面图形的面积
正三角形的面积
1 3 s aa 2 2
a
正方形的面积
正六边形的面积
sa
2
a
a
1 3 3 3 2 S 6 aa a 2 2 2
S下底 r
2
S侧 (r r )l
2 2 S表 (r r r l rl )
旋转体的表面积
例2.一个圆台形花盆盆口直径为 20cm，盆底直 径为 15cm ，底部渗水圆孔直径为 1.5cm ，盆壁长 15cm，为了美化花盆的外观，需要涂油漆. 已知每 平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多 少 油 漆 （ 精 确 到 1 毫 升 ） ？
多面体的表面积
正方体和长方体的表面积源自h b a长方体的表面展开图是六个矩形组成的 平面图形，其表面是这六个矩形面积的和. 设长方体的长宽高分别为a、b、h，则 S=2（ab+ah+bh) 其表面积为
特别地，正方体的表面积为S=6a2
多面体的表面积
一般地，由于多面体是由多个平面围成的空间 几何体，其表面积就是各个平面多边形的面积之和.
S底 r 2
S侧 2r l
S表 2r (r l )
旋转体的表面积
圆锥 侧面展开图是 一个扇形
底面是圆形
S底 r
2
1 S侧 2r l 2 rl
S表 r (r l )
旋转体的表面积
圆台 侧面展开图是 一个扇状环形
底面是圆形
S上底
2 r
20
解：由圆台的表面积公式得一 个花盆外壁的表面积
S表 [( 15 2 15 20 1.5 ) 15 15] ( ) 2 2 2 2 2 1000(cm) 2 0.1(m 2 )
15
所以涂100个花盆需油漆： 0.1100100=1000(毫升）.
空间几何体的体积
1.3
空间几何体的表面积 与体积
主要内容
1.3.1 柱体、椎体、台体的表面积与体积 1.3.2 球的表面积和体积
1.3.1
柱体、锥体、台体 的表面积与体积
什么是面积？
面积:平面图形所占平面的大小
a b a A c h a
S=ab
b
h
S
1 ( a b) h 2
1 1 S ah ac sin B 2 2
棱柱的表面积=2 底面积+侧面积 侧面积是各个侧面面积之和
棱锥的表面积=底面积+侧面积
棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积
多面体的表面积
例1.已知棱长为a，底面为正方形，各侧面均 为等边三角形的四棱锥S-ABCD，求它的表面积. 解：四棱锥的底面积为a2， 每个侧面都是边长为a的正三 角形，所以棱锥的侧面积为
2
4 3
3
2 所以， V球 V圆柱 3
2)因为 S球 4R ，S圆柱侧 2R 2R 4R
2
2
所以，S球 S圆柱侧
球的体积和表面积
例2. 已知正方体的八个顶点都在球O的球面上， 且正方体的棱长为a，求球O的表面积和体积. 解答：正方体的一条对 角线是球的一条直径， 所以球的半径为
3a R 2
C′
o
3a 2 ） 3a 2 2
S球 4R 4（
2
4 3 3 3 3 V球 （ a） a 3 2 2
A
正方体内切球
正 方 体 内 切 球
正方体外接球
第 一 种 截 面
正 方 体 外 接 球
第 二 种 截 面
正方体棱切球
第 一 种 截 面
正 方 体 棱 切 球
第 二 种 截 面
课堂练习
8 . 1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 这个球的体积为＿＿＿ 32 3 cm3. 3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 1: 2 2 : 3 3 个球的体积之比_________.
体积:几何体所占空间的大小
正方体的体积=棱长3
长方体的体积=长×宽×高
棱柱和圆柱的体积
高h
底面积S 柱体的体积 V=Sh
棱锥和圆锥的体积
S 高h
D
E O
底面积S
C
A
B
1 体积 V Sh 3
棱台和圆台的体积
高h
1 V ( S S S S )h 3
例3.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重 5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底 面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm， 高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？ 解答： V≈2956（mm3）=2.956 （cm3） 5.8×1000÷7.8×2.956 ≈252（个）
设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式
4 3 V R 3
A
R
O
S 4R
2
B
球的体积和表面积
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直 2 径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 3 ； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积. 解:设球的半径为R，则圆柱的底面 半径为R，高为2R.
1)因为 V球 R 3， V圆柱 R 2R 2R