2018年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数1第5讲指数与指数函数!

- 1 - 第5讲 指数与指数函数 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题

1.(2017·衡水中学模拟)若a＝23x，b＝x2，c＝log23x，则当x>1时，a，b，c的大小关系是( ) A.cC.a

解析 当x>1时，01，c＝log23x<0，所以c答案 A 2.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( ) A.a>1，b<0 B.a>1，b>0 C.00 D.0解析 由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0. 答案 D

3.(2017·德州一模)已知a＝3525，b＝2535，c＝2525，则( ) A.aC.c

解析 ∵y＝25x在R上为减函数，35>25，∴b又∵y＝x25在(0，＋∞)上为增函数，35>25， ∴a>c，∴b答案 D 4.(2017·安阳模拟)已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于( ) A.1 B.a C.2 D.a2 解析 ∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，∴x1＋x2＝0. 又∵f(x)＝ax， - 2 -

∴f(x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1. 答案 A

5.(2017·西安调研)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]

解析 由f(1)＝19，得a2＝19，解得a＝13或a＝－13(舍去)，即f(x)＝13|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减. 答案 B 二、填空题

6.32－13×－760＋814×42－－2323＝________. 解析 原式＝2313×1＋234×214－2313＝2. 答案 2

7.(2017·温州调研)已知函数f(x)＝x，x≤1，12x－1，x>1，则f(f(2))＝________，不等式f(x－3)解析 f(2)＝122－1＝12，f12＝12， ∴f(f(2))＝12， 当x－3>1时，即x>4时，12x－3－1<12，解得x>5， 当x－3≤1时，即x≤4时，x－3<12，解得x<72， 综上所述不等式f(x－3)5. 答案 12 x|x<72或x>5 8.(2017·安徽江淮十校联考)已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值.若f(x)＝max{e|x|，- 3 -

e|x－2|}，则f(x)的最小值为________. 解析 f(x)＝ex，x≥1，e|x－2|，x<1. 当x≥1时，f(x)＝ex≥e(x＝1时，取等号)， 当x<1时，f(x)＝e|x－2|＝e2－x>e， 因此x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝e. 答案 e 三、解答题

9.已知f(x)＝1ax－1＋12x3(a>0，且a≠1). (1)讨论f(x)的奇偶性； (2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立. 解 (1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0， 所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}. 对于定义域内任意x，有

f(－x)＝1a－x－1＋12(－x)3

＝ax1－ax＋12(－x)3 ＝－1－1ax－1＋12(－x)3 ＝1ax－1＋12x3＝f(x). ∴f(x)是偶函数. (2)由(1)知f(x)为偶函数，

∴只需讨论x>0时的情况，当x>0时，要使f(x)>0，即1ax－1＋12x3>0，

即1ax－1＋12>0，即ax＋12（ax－1）>0，则ax>1. 又∵x>0，∴a>1. 因此a>1时，f(x)>0.

10.已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数. (1)求a，b的值； (2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0. 解 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数， - 4 -

所以f(0)＝0， 即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1，

所以f(x)＝－2x＋12x＋1＋a.

又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2. (2)由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1. 由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数). 又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1).

因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋1，

即3t2－2t－1>0，解不等式可得t＞1或t＜－13，

故原不等式的解集为t|t>1或t<－13. 能力提升题组 (建议用时：25分钟) 11.若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞)

解析 因为2x>0，所以由2x(x－a)<1得a>x－12x，

令f(x)＝x－12x， 则函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数， 所以f(x)>f(0)＝0－120＝－1，所以a>－1. 答案 D 12.已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( ) A.a<0，b<0，c<0 B.a<0，b≥0，c>0 C.2－a<2c D.2a＋2c<2 解析 作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图中实线所示， - 5 -

∵af(c)>f(b)，结合图象知a<0，0∴0<2a<1，1<2c<2， ∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1， ∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1， 又f(a)>f(c)，即1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2. 答案 D

13.(2017·北京丰台一模)已知奇函数y＝f（x），x>0，g（x），x<0.如果f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对应的图象如图所示，那么g(x)＝________.

解析 依题意，f(1)＝12，∴a＝12， ∴f(x)＝12x，x>0.当x<0时，－x>0. ∴g(x)＝－f(－x)＝－12－x＝－2x. 答案 －2x(x<0) 14.已知函数f(x)＝m·6x－4x，m∈R.

(1)当m＝415时，求满足f(x＋1)>f(x)的实数x的范围； (2)若f(x)≤9x对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围. 解 (1)当m＝415时，f(x＋1)>f(x)，

则415·6x＋1－4x＋1>415·6x－4x，整理得43·6x>3·4x， 即32x>322，解得x>2，即实数x的取值范围是(2，＋∞). (2)因为对任意的x∈R，f(x)≤9x恒成立，则m·6x－4x≤9x， 整理得m≤4x＋9x6x＝23x＋123x.

对任意的x∈R，23x>0， - 6 -

所以23x＋123x≥2，则m≤2，即实数x的取值范围是(－∞，2]. 15.(2017·天津期末)已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数). (1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性； (2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由.

解 (1)∵f(x)＝ex－1ex，

∴f′(x)＝ex＋1ex， ∴f′(x)>0对任意x∈R都成立， ∴f(x)在R上是增函数. 又∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数. (2)存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立， ⇔f(x2－t2

)≥f(t－x)对一切x∈R都成立，

⇔x2－t2

≥t－x对一切x∈R都成立，

⇔t2＋t≤x2

＋x＝x＋122－14对一切x∈R都成立，

⇔t2＋t≤(x2＋x)min＝－14⇔t2

＋t＋14＝t＋122≤0，

又t＋122≥0，∴t＋122＝0，∴t＝－12. ∴存在t＝－12，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立.