重庆市高考模拟试题数学文(含答案)
重庆市(新版)2024高考数学人教版模拟(综合卷)完整试卷
重庆市（新版）2024高考数学人教版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，若有两个零点，，下列选项中不正确的是（）A．B．C．D．第(2)题下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．第(3)题已知数列满足：，，则下列关于的判断正确的是A．使得B．使得C．总有D．总有第(4)题设等差数列的前项和为，且，则（）A．18B．24C．48D．36第(5)题若，则（）A．B．C．1D．2第(6)题已知在直三棱柱中，E，F分别为，的中点，，，，，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为（）A．B．C．D．第(7)题复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（）A．B．C．D．第(8)题设全集，集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，过点和的直线为.过点和的直线为，与在轴上的截距相等，设函数.则（）A．在上单调递增B．若，则C．若，则D．均不为（为自然对数的底数）设复数（且），则下列结论正确的是（）A．可能是实数B．恒成立C ．若，则D．若，则第(3)题双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点.则（）A．的渐近线方程为B．点的坐标为C．过点作，垂足为，则D．四边形面积的最小值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知正实数x，y满足，则的最小值是_________．第(2)题若复数，则__________．第(3)题的内角，，的对边分别为，，，满足.若为锐角三角形，且，则当面积最大时，其内切圆面积为________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题设平面内一圆，圆上有个点，将这个点两两连线，已知任意三条连线都不共点，设所有连线将圆分为了个区域．(1)在答题卡提供的圆上画出的情形，并直接写出．(2)现希望求圆内所有弦交点的个数，数学小组位同学发表了以下观点．小明：由于两条弦会交于一点，因此我用计算；小红：我觉得不对，时显然不成立．小红这么说的理由除了举反例，还可以怎么说明？从交点的形成方式的角度请给出你的计算方法．(3)数学小组同学发现，对于平面内任意无相交线的节点图，若其有个顶点，条连线并切割出了个区域，则一定有，如当平面内仅有一个点时，，，显然满足公式．利用本题给出的所有信息，求．你能解释为什么取到某些值时，是的次幂吗？第(2)题如图，正方形对角线的交点为，四边形为矩形，平面平面为的中点，为的中点．(1)证明：平面．(2)若，求二面角的余弦值．第(3)题已知函数，．(1)当时，求的单调区间；(2)若在定义域内恒成立，求实数的取值范围．第(4)题甲、乙两人进行投球练习，两人各投球一次命中的概率分别为、，投中得分，投不中得分．两人的每次投球均相互独(1)甲、乙两人各投球一次，求两人得分之和为0分的概率；(2)甲、乙两人各投球两次，求两人得分之和的分布列及其数学期望．第(5)题已知椭圆中心在原点，左焦点为，其四个顶点的连线围成的四边形面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的左焦点作斜率存在的两直线、分别交椭圆于、、、，且，线段、的中点分别为、.求四边形面积的最小值.。
2013年重庆高考数学(文科)模拟试题(含答案)
2013年重庆高三数学(文)模拟考试卷一．选择题:（本大题共10小题，每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1。
设全集U R =，集合{}21A x x x =><-或，{}0B x x =>，则()UA B =（ ） （A ）(]0,2 (B ） ()2,+∞ (C ）(0,2) （D ）(,1)-∞-2．“0x y =”是“220x y +="的（ ）(A)充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件 (C ） 充要条件 (D)既不充分也不必要条件3。
若复数1112iz i -=+-+，化简后z = ( )（A ）1 （B ）1- （C ）i (D ）i -4．下列函数中，周期为π且图像关于直线3x π=对称的函数是（ )(A ） ()2sin()23x f x π=+(B)()2sin(2)3f x x π=+(C)()2sin()26x f x π=-（D ）()2sin(2)6f x x π=-5．已知,m n 是两条异面直线，点P 是直线,m n 外的任一点，有下面四个结论:① 过点P 一定存在一个与直线,m n 都平行的平面。
② 过点P 一定存在一条与直线,m n 都相交的直线. ③ 过点P 一定存在一条与直线,m n 都垂直的直线。
④ 过点P 一定存在一个与直线,m n 都垂直的平面.则四个结论中正确的个数为（ ）（A) 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4 6．若函数21m y xx n n =-+的图象在点1(0,)M n处的切线l 与圆22:1C x y +=相交，则点(,)P m n 与圆C 的位置关系是（ ）（A)圆内 （B ） 圆外 (C) 圆上 （D ） 圆内或圆外7．已知数列{}na 是等差数列，其前n 项和为nS ,若12315a a a=，且133551315535S S S S S S ++=,则2a =( )（A ）2 (B ） 12（C ） 3 （D ）138.如果执行右面的程序框图,（A) 3S = （B) 43S = (C)12S =（D)2S =-9．已知12,F F 分别是双曲线2222:1xyC a b -=(0,0)a b >>的左，右焦点。
重庆市高考数学模拟试卷
年重庆市高考数学（理科）模拟试卷第I 卷（选择题共分）一、选择题： 本大题共小题，每小题分，共分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.若复数满足 (—)=+ ，则的虚部为()、 — ()—() ().等比数列{}的前项和为.已知=+ ,=,则=( )•1 1 1 1 3 3 9 9•某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两为优良的概率是，已知某天的 空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）•设向量满足10 , 、.6，则•（）.执行下图的程序框图，若输入的a,b,k 分别为，则输出的 MA 2016 7 15 A ——B . —C .—D . 一 3528.位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 A .1B . 3C . 58 8 8•某D.Z8 ).已知圆：（一）+ （—）=，圆：（一）+ （—）=,，分别是圆，上的动点，为轴71俯视图几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为、n已知点（—），（），（），直线=+ （ ＞）将△分割为面积相等的两部分，则的取值范围是 （）.AB 1 丄 A B2, OB ； = O B2= , AP = AB ； +A B 2.若 OP v 1 ,则 OA 的取值范围是(2第口卷（非选择题 共分）、填空题 本大题共小题，考生作答小题，每小题分，共分，把答案填在答题卡相应位置上（x-y ）（x ，y ）8的展开式中x 2y 2的系数为•（用数字填写答案）函数f x =sin x 2：「：;-2sin cos x 亠门］的最大值为若函数（）（—）（++ ）的图像关于直线—对称，则 （）的最大值是考生注意：、、三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分 .如图，在△中，/ = °,/ = °,=，过作△的外接圆的切线，丄，与外接圆交于点,x = 2 +t一.已知直线I 的参数方程为丿（t 为参数），以坐标原点为极点， x 正半轴为y =3+t极轴线l 与曲线C 的公共点的极经 r 二..若关于实数的不等式- + + ＜无解，则实数的取值范围是.三、解答题：本大题共小题，共分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算过程 （本小题满分分）已知函数f （x ）=』3si ＞0,—》＜工i 的图像关于直线x＜ 2 2丿两个最高点的距离为 -：.（）求•，和::的值；5^2-4417 -1 6-2^2 41•（） 在平面上,_323对称，且图像上相邻()若f.（本小题满分分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有个红球与个白球的袋中任意<a摸出个球，再从装有个蓝球与个白球的袋中任意摸出个球. 三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.（）求一次摸奖恰好摸到个红球的概率；（）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额的分布列与期望根据摸出个球中红球与蓝球的个数，设一、.（本小题满分分）如图，三棱柱中，，，/（I ）证明丄；（n ）若平面丄平面，，求直线 与平面所成角的正弦值。
2022年重庆市高考数学模拟试卷及答案解析
2022年重庆市高考数学模拟试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）|3−2i 1+i|＝（ ）A ．5√22 B ．√262C ．√5D ．√132．（5分）已知集合M ＝{x |2x 2﹣x ﹣3＜0}，N ＝{x |ln （2x ﹣1）＞0}，则M ∩N ＝（ ） A ．（1，32）B ．（12，32）C ．（﹣1，32）D ．（﹣1，12）3．（5分）若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为（ ） A ．√22B ．1C ．√2D ．24．（5分）交通锥，又称雪糕筒，是一种交通隔离警戒设施．如图，某圆锥体交通锥的高为12，侧面积为65π，则该圆锥体交通锥的体积为（ ）A ．25πB ．75πC ．100πD ．300π5．（5分）函数f(x)=√3sin(x +π3)−cosx 的单调递减区间为（ ） A ．{x|π3+kπ≤x ≤4π3+kπ，k ∈Z} B ．{x|π6+kπ≤2π3+kπ，k ∈Z} C ．{x|π3+2kπ≤x ≤4π3+2kπ，k ∈Z} D ．{x|π6+2kπ≤2π3+2kπ，k ∈Z}6．（5分）已知y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝x 3+2x 2﹣a +3，且f （3）＝8，则2f （1）+f （﹣2）＝（ ） A ．3B ．1C ．﹣1D ．﹣37．（5分）已知x ＝0是函数f （x ）＝e ax ﹣ln （x +a ）的极值点，则a ＝（ ） A ．1B ．2C ．eD ．±18．（5分）已知AB →⊥AC →，2|AB →|＝3|AC →|＝6m （m ＞0），若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且AM →=AB →|AB →|−mAC →|AC →|，则MB →⋅MC →的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．34D ．56二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年重庆市2023届高三模拟调研(六)数学试题+答案解析
2022-2023学年重庆市2023届高三模拟调研(六)数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则()A. B.C. D.2.已知复数z与在复平面内对应的点关于实轴对称，则()A. B. C. D.3.命题，的否定是()A.，B.，C.，D.，4.某同学经过研究发现实际是一条双曲线，则该双曲线的焦距为()A. B.2 C. D.45.在正方形ABCD中，动点E从点B出发，经过C，D，到达A，，则的取值范围是()A. B. C. D.6.式子化简的结果为()A. B.1 C. D.27.函数的部分图象是()A. B.C. D.8.设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l与双曲线交右支于A，B 两点，满足，，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.2二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在展开式中()A.展开式中不存在含的项B.展开式所有项系数和为243C.展开式中含项的系数为30D.展开式共21项10.已知数列是等差数列，p，q，s，t是互不相同的正整数，且，若在平面直角坐标系中有点，，，，则下列选项成立的有()A. B.C.直线AB与直线CD的斜率相等D.直线AC与直线BD的斜率不相等11.已知某正方体的体积为64，它的内切球的球面上有四个不同点A，B，C，D，且，则下列说法正确的是()A.若，则直线AB与CD可能异面B.若，则直线AB与CD可能平行C.若，则平行直线AC与BD间距离的取值范围是D.若直线AC与BD相交，则四边形ABCD面积的取值范围是12.已知函数，，则()A.与的定义域不同，与的值域只有1个公共元素B.在与的公共定义域内，的单调性与的单调性完全相反C.的极小值点恰好是的极大值点，的极大值点恰好是的极小值点D.函数既无最小值也无最大值，函数既有最小值也有最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆市(新版)2024高考数学统编版模拟(综合卷)完整试卷
重庆市（新版）2024高考数学统编版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若复数（是虚数单位）的共轭复数是，则的虚部是（）A．B．C．D．第(2)题用分层抽样的方法从某社区的500名男居民和700名女居民中选取12人参与社区服务满意度调研，则女居民比男居民多选取（）A．8人B．6人C．4人D．2人第(3)题已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为A．B．C．D．第(4)题已知复数满足，则（）A．B．C．2D．1第(5)题在R上定义运算，若关于x的不等式的解集是集合的子集，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．第(6)题已知，为不重合的两个平面，直线，，那么“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第(7)题定义在上的函数满足，当时，，当时，，则（）A．336B．338C．337D．339第(8)题如图，在中，，则（）A．9B．18C．6D．12二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数为的导函数，则下列结论中正确的是（）A．函数的图象不可能关于轴对称B ．若且在上恰有4个零点，则C．若，则的最小值为D．若，且在上的值域为，则的取值范围是第(2)题已知函数，把的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，以下说法正确的是（）A ．是图象的一条对称轴B．的单调递减区间为C．的图象关于原点对称D．的最大值为第(3)题某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为，成绩位于内的同学成绩方差为.则（）参考公式：样本划分为层，各层的容量､平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，.A．B．估计该年级学生成绩的中位数约为C．估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为D．估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，且，则______.第(2)题在正方形中，为线段的中点，若，则_______．第(3)题设，若，则__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知三条直线（）分别与抛物线交于点、，为轴上一定点，且，记点到直线的距离为，△的面积为．(1)若直线的倾斜角为，且过抛物线的焦点，求直线的方程；(2)若，且，证明：直线过定点；(3)当时，是否存在点，使得，，成等比数列，，，也成等比数列？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．第(2)题设函数，其中.(1)若，讨论在上的单调性；(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.第(3)题已知，椭圆的面积为（其中，为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）.若椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，直线与的另一交点为（，，均不与顶点重合），的周长为8，的面积为.(1)求的标准方程；(2)为原点，记直线，的斜率分别为，，求的值.第(4)题在某网络平台组织的禁毒知识挑战赛中，挑战赛规则如下：每局回答3道题，若回答正确的次数不低于2次，该局得3分，否则得1分，每次回答的结果相互独立．已知甲、乙两人参加挑战赛，两人答对每道题的概率均为．(1)若甲参加了3局禁毒知识挑战赛，设甲得分为随机变量，求的分布列与期望；(2)若甲参加了局禁毒知识挑战赛，乙参加了局禁毒知识挑战赛，记甲在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，乙在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，证明：．第(5)题已知等差数列的前n项和为．(1)求的通项公式；(2)数列满足为数列的前n项和，求的值.。
重庆市(新版)2024高考数学人教版模拟(强化卷)完整试卷
重庆市（新版）2024高考数学人教版模拟(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题的展开式中常数项是（）A．15B．160C．D．第(2)题古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为（）（参考公式：）A．1450B．1490C．1540D．1580第(3)题某班会课上，班主任拟从甲、乙，丙、丁、戊五名同学选3人以新冠疫情为主题分享体会，则甲没被选中的概率为（）A．B．C．D．第(4)题“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（）A．B．C．D．第(5)题2022年卡塔尔世界杯是第二十二届国际足联世界杯足球赛，这是世界杯第一次在阿拉伯地区举办，由于夏季炎热，2022年卡塔尔世界杯放在冬季进行，如图是卡塔尔2022年天气情况（其中曲线图表示气温，条形图表示降雨量），下列对月份说法错误的是（）A．有5个月平均气温在30以上B．有4个月平均降水量为0C．7月份平均气温最高D．3月份平均降水量最高第(6)题在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing比赛半决赛中，来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了（）A．54B．C．D．第(7)题抛物线的准线方程是，则实数a的值为（）A．B．C．8D．第(8)题若集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，设有两个极值点，若过两点，的直线与轴的交点在曲线上，则的值是（）A．0B．C．D．1第(2)题设函数，则（）A．是的极小值点B．当时，C．当时，D．当时，第(3)题已知函数．若曲线经过点，且关于直线对称，则（）A．的最小正周期为B．C ．的最大值为2D．在区间上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题圆心为直线与直线的交点，且过原点的圆的标准方程是________．第(2)题已知直线与圆交于A，B两点，则线段的垂直平分线的方程为_____________.第(3)题若对任意的、，且，，则的最小值是_______________________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱锥中，，，，.(1)证明：平面平面；(2)已知，，.若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.第(2)题如图，菱形的边长为，，将沿向上翻折，得到如图所示得三棱锥.(1)证明：；(2)若，在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出；若不存在，请说明理由.第(3)题如图，正三棱柱中，，点为线段上一点（含端点）.(1)当为的中点时，求证：平面；(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为.若存在，求出的位置：若不存在，说明理由.第(4)题如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)若，求二面角的余弦值.第(5)题某教育教研机构为了研究学生理科思维和文科思维的差异情况，对某班级35名同学的数学成绩和语文成绩进行了统计并整理成如下2×2列联表(单位：人)：数学成绩良好数学成绩不够良好语文成绩良好1210语文成绩不够良好85(1)能否有95%的把握认为该班数学成绩与语文成绩有关？(计算结果精确到0.001)(2)从该班的学生中任选一人，A表示事件“选到的学生数学成绩良好”，B表示事件“选到的学生语文成绩良好”，与的比值是文、理科思维差异化的一项度量指标，记该指标为R．(i)证明：；(ii)利用该表中数据，给出，的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值．附：，0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828。
2020年重庆市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(有答案解析)
解析：【分析】 本题考查利用导数分析切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题． 设切线的斜率为 k，其倾斜角是 θ，求出函数 f（x）的导数，利用导数的几何意义可得 k=f′（1）， 即 tanθ，结合 θ 的范围，分析可得答案． 【解答】
解：根据题意，函数 f（x）= x3-2x，设切线的斜率为 k，其倾斜角是 θ，
9.答案：B
解析：解：∵等腰梯形 ABCD 中， =2 ，E，F 分别为 AD，BC 的中点，G 为 EF 的中点，
∴
=
=
=
=
，
∵ =， =，
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∴
=
，
故选 B． 利用向量的共线定理、平行四边形法则即可得出． 本题考查了平面向量加减混合运算，熟练掌握向量的共线定理、平行四边形法则是解题的关键，属 基础题．
函数 f（x）= x3-2x，则 f′（x）=x2-2，
则有 k=f′（1）=-1， 则 tanθ=-1，
又由 0≤θ＜π，则 θ= ，
故选：D．
4.答案：B
解析：【分析】 本题考查充分条件、必要条件是一
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种简单有效的方法，属于基础题． 根据 a＜1，不一定能得到 （如 a=-1 时）；但当 【解答】 解：由 a＜1，不一定能得到 （如 a =-1 时）；
解得 y=4+x， 甲组同学的中位数为：80+x，乙同学的中位数为 70+y ∴甲乙两组同学成绩的中位数之差为|（80+x）-（70+y）|=|10+x-y|=|10+x-4-x|=6． 故选：C． 甲乙两组同学成绩的平均数相同，得 y=4+x，甲组同学的中位数为：80+x，乙同学的中位数为 70+y， 由此能求出甲乙两组同学成绩的中位数之差． 本题考查平均数、方差、中位数的求法，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题．
2020年重庆市直属校高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(附答案详解)
2020年重庆市直属校高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2<9}，B ={x ∈Z|−3≤x ≤2}，则A ∩B =( )A. {0,1,2}B. {−1,0,1,2}C. {−2,−1,0,1,2}D. {−2,−1,0}2. 在复平面内，复数21+i 对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为( )A. 222石B. 224石C. 230石D. 232石4. 若实数x ，y 满足{x −y +1≥0x +y ≥0x ≤0，若z =x +2y ，则z 的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2=2ax(a ≠0)的焦点，若点A(a2,a)满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，则a 为( )A. −2B. 2C. ±2D. ±16. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5=2S 10，则2S 5+8S 15S 10−S 5=( )A. −12B. 16C. 12D. −167. 在△ABC 中，BC =√3，AC =2，则∠A 的最大值是( )A. π6B. π4C. π3D. 2π38. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )A. f(x)=sin(2x +π3) B. f(x)=−sin(x +π6) C. f(x)=sin(x +π6) D. f(x)=−sin(2x +π3)9.棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱AB，CC1，C1D1的中点，则过E，F，G三点的平面截正方体所得截面面积为()A. √34a2 B. √32a2 C. 3√34a2 D. 3√32a210.若0<x<y<π4，m=sinx+cosx，n=siny+cosy，则()A. m2>n2B. m2<n2C. mn<1D. mn>211.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右焦点为F，过原点O的直线与C交于P，Q两点，若PF⊥OF，∠OFQ=30°，则双曲线C的离心率为()A. √2B. 2C. √3D. 312.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且在(−∞,0]单调递增．设a>0，当m+n=a时，恒有f(m)+f(a)>f(n)，则m的取值范围是()A. (−a,0)B. (0,+∞)C. (−a,+∞)D. (−∞,0)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角为120°，且a⃗=(−1,3),|b⃗ |=√10，则a⃗⋅b⃗ =______．14.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系，若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相克的概率为______．15.α，β分别是关于x的方程log2x+x−5=0和2x+x−5=0的根，则α+β=______．16.已知某圆柱轴截面的周长为12，当该圆柱体积最大时其侧面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n，n∈N∗，数列{b n}满足b1=3，b4=23，且数列{b n−a n}是等差数列．(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)令c n=b n−a n，求数列{b n+1c n c n+1}的前n项和T n．18.如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE=2EB=2，且DE⊥AB.以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB=60°．(Ⅰ)求证：平面BFC⊥平面BDC；(Ⅱ)若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为√15，求点C到平面DEF的距离．519.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[100,120)内，则为合格品，否则为不合格品．现统计得到相关统计情况如下：乙套设备的样本的频数分布表质量指[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]标值频数16191851(1)根据上述所得统计数据，计算产品合格率，并对两套设备的优劣进行比较；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计附：P(K2≥k0)0.150.100.0500.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C交于M，N两点．△MNF2的周长为8，且|MN|的最小值为3．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)设椭圆C的右顶点为A，直线AM，AN分别交直线x=−4于P，Q两点，当△PQF1的面积是△AMN面积的5倍时，求直线MN的方程．21. 已知函数f(x)=alnx −xlna ．(1)当a =1时，求证：f(x)<√x ； (2)若f(x)有两个零点，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ+3sin 2θ)=12，直线l 的参数方程为{x =−2+ty =t (t 为参数)，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．(Ⅰ)若点P 的极坐标为(2,π)，求|PM|⋅|PN|的值； (Ⅱ)求曲线C 的内接矩形周长的最大值．23. 已知函数f(x)=x|x −a|，a ∈R ．(Ⅰ)当f(2)+f(−2)>4时，求a 的取值范围；(Ⅱ)若a >0，∀x ，y ∈(−∞,a]，不等式f(x)≤|y +3|+|y −a|恒成立，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|x2<9}={x|−3<x<3}，B={x∈Z|−3≤x≤2}={−3,−2,−1,0,1,2}，∴A∩B={−2,−1,0,1,2}．故选：C．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：在复平面内，复数21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i对应的点(1,−1)位于第四象限．故选：D．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，设这批米内夹谷约为x石，则x2016=30270，解得x=224(石)．故选：B．设这批米内夹谷约为x石，利用等可能事件概率计算公式能求出结果．本题考查这批米内夹谷的数量的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，由z =x +2y ，得y =−12x +z2，平移直线y =−12x +z2，由图象可知当直线经过点A(0,1)时，直线y =−12x +z2的截距最大，此时z 最大， 代入目标函数得z =2． 故选：B ．作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．5.【答案】C【解析】解：因为O 为坐标原点，F 为抛物线y 2=2ax(a ≠0)的焦点，点A(a2,a)； ∴F(±a2,0)；∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(±a2,a)，AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−a)； ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4=−a 2； ∴a =±2． 故选：C ．先求出焦点坐标，进而求得向量的坐标，代入数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．6.【答案】D【解析】解：由S 5=2S 10，可知q ≠1，则a 11−q (1−q 5)=2×a11−q (1−q 10)，∴1+q 5=12， ∴q 5=−12，故选：D．由已知，结合等比数列的求和公式即可求出．本题主要考查了等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题．7.【答案】C【解析】解：由余弦定理可得，cosA=c2+4−34c =14(c+1c)≥14×2=12，当且仅当c=1c即c=1时，取等号，此时cosA最小，又因为y=cosx在(0,π)单调递减，所以此时A取得最大值13π．故选：C．要求A的最大值，只要求cosA的最小值，结合余弦定理及基本不等式即可求解．本题主要考查了余弦定理及基本不等式在求解三角形最值中的应用，属于基础试题．8.【答案】D【解析】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象，根据周期性可得14⋅2πω=π3−π12，ω=2．可再根据函数的最值得A=±1．若A=1，由五点法作图可得2×π12+φ=3π2，∴φ=4π3，不满足条件，故A=−1，由五点法作图可得2×π12+φ=π2，∴φ=π3，∴f(x)=−sin(2x+π3)，故选：D．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：取AA 1中点M ，连结MG 、ME ，则ME//GF ，且ME =GF =√a 24+a 24=√2a2， ∴四边形EFGM 是平行四边形， ∴过E ，F ，G 三点的平面截正方体所得截面为四边形EFGM ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则M(a,0,a2)，E(a,a2,0)，G(0,a2,a)，F(0,a,a2)，ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a 2,−a 2)，MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a 2,−a2)，∵ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴ME ⊥MG ，∴四边形EFGM 是矩形， MG =√(−a)2+(a2)2+(−a2)2=√6a2， ∴过E ，F ，G 三点的平面截正方体所得截面面积为：√2a 2×√6a 2=√32a 2． 故选：B ．取AA 1中点M ，连结MG 、ME ，推导出四边形EFGM 是平行四边形，从而过E ，F ，G 三点的平面截正方体所得截面为四边形EFGM ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出过E ，F ，G 三点的平面截正方体所得截面面积．本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】B【解析】解：m 2=(sinx +cosx)2=1+sin2x ，n 2=(siny +cosy)2=1+sin2y ， ∵0<x <y <π4，∴0<siin2x<sin2y<1，∴m2<n2．故选：B．将m，n平方，利用同角三角函数的关系可得m2=1+sin2x，n2=1+sin2y，结合x，y的范围及正弦函数在[0,π2]的单调性，即可得出结论．本题考查同角三角函数的基本关系以及三角函数的图象及性质，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右焦点为F，过原点O的直线与C交于P，Q两点，若PF⊥OF，∠OFQ=30°，可得P(c,b2a)，F(0,c)，取左焦点F′(−c,0)，连接QF′，可得：b2a2c=√33，即e2−12e =√33，解得e=√3．故选：C．利用已知条件，求出P的坐标，结合PF⊥OF，∠OFQ=30°，转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是中档题．12.【答案】B【解析】解：根据题意，函数y=f(x)为定义在R上的奇函数，则有f(0)=0，又由f(x)在在(−∞,0]单调递增，则在[0,+∞)单调递增，则f(x)在R上为增函数，则f(a)>0，当m<0时，n=a−m>a，即f(n)>f(a)>f(m)，f(m)+f(a)>f(n)不恒成立，当m=0时，n=a，此时f(m)+f(a)=f(a)=f(n)，f(m)+f(a)>f(n)不成立，当m>0时，n=a−x<a，此时不能满足f(m)+f(a)>f(n)恒成立，故x的取值范围为(0,+∞)；故选：B．根据题意，由奇函数的性质可得f(x)在R上为增函数且f(0)=0，据此对m进行分情况讨论，分析f(m)+f(a)>f(n)是否成立，综合即可得答案．本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题．13.【答案】−5【解析】解：因为向量a⃗与b⃗ 的夹角为120°，且a⃗=(−1,3),|b⃗ |=√10，所以：|a⃗|=√(−1)2+32=√10；则a⃗⋅b⃗ =√10×√10×cos120°=10×(−12)=−5；故答案为：−5．由题意可得向量a⃗的模长，再直接代入数量积可得．本题考查平面向量的数量积和夹角，属基础题．14.【答案】12【解析】解：如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系，从5类元素中任选2类元素，基本事件总数n=C52=10，其中2类元素相克包含的基本事件个数m=C51=5，则2类元素相克的概率为P=mn =510=12．故答案为：12．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数n=C52=10，其中2类元素相克包含的基本事件个数m=C51=5，由此能求出2类元素相克的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】5【解析】【分析】本题考查了同底的指数函数与对数函数互为反函数的性质，属于难题．分别作出函数y=log2x，y=2x，y=5−x的图象，利用log2α=5−α，2β=5−β，再借助于互为反函数的两个函数之间的关系以及对称性即可得出结论．【解答】解：分别作出函数y=log2x，y=2x，y=5−x的图象，函数y=log2x与y=5−x相交于点Q，函数y=2x与y=5−x相交于点P，∵log2α=5−α，2β=5−β．而y=log2x(x>0)与y=2x互为反函数，函数y=5−x关于直线y=x对称，∴点P与Q关于直线y=x对称．∴α=2β=5−β．∴α+β=5．故答案为：5．16.【答案】8π【解析】解：设圆柱的底面半径为r，高为ℎ．∴4r+2ℎ=12，得ℎ=6−2r．∴圆柱体积V=πr2×ℎ=πr2×(6−2r)=π×r×r×(6−2r)≤π×(r+r+6−=8π．2r)3×127当且仅当r=6−2r，即r=2时取等号．此时ℎ=2，则圆柱的侧面积S=2πrℎ=8π．故答案为：8π．设圆柱的底面半径为r，高为ℎ.可得4r+2ℎ=12，可得ℎ=6−2r.圆柱体积V=πr2×ℎ，再利用基本不等式的性质求解r，得到ℎ，再由圆柱的侧面积公式求解．本题考查了圆柱的轴截面性质、体积与侧面积的计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由a1=2，a n+1=2a n，n∈N∗，可知：数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2⋅2n−1=2n，n∈N∗．由题意，设等差数列{b n−a n}的公差为d，∵b1−a1=3−2=1，b4−a4=23−24=7，∴3d=(b4−a4)−(b1−a1)=7−1=6，解得d=2，∴b n−a n=1+2(n−1)=2n−1，∴b n=a n+2n−1=2n+2n−1，n∈N∗．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，c n=b n−a n=2n−1．b n+1c n c n+1=2n+2n−1+1(2n−1)(2n+1)=2n+2n−1+2(12n−1−12n+1)，T n=(b1+1c1c2)+(b2+1c2c3)+⋯+(b n+1c n c n+1)=[21+1+2(1−13)]+[22+3+2(13−15)]+⋯+[2n+2n−1+2(12n−1−12n+1)]=(21+22+⋯+2n)+[1+3+⋯+(2n−1)]+2⋅[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=2−2n+11−2+n(1+2n−1)2+2⋅(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=2n+1−2+n2+2⋅(1−12n+1)=2n+1+n2−22n+1．【解析】本题第(Ⅰ)题先根据等比数列的定义计算出数列{a n}的通项公式，然后设等差数列{b n−a n}的公差为d，通过计算出b1−a1，b4−a4的值即可得到公差d的值，即可得到等差数列{b n−a n}的通项公式，进一步可计算出数列{b n}的通项公式；第(Ⅱ)题先根据第(Ⅰ)题的结果计算出数列{c n}的通项公式，进一步计算出数列{b n+1c n c n+1}的通项公式，根据通项公式的特点采用分组求和法和裂项相消法计算出前n项和T n．本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的应用，以及运用分组求和法和裂项相消法求前n项和．考查了转化与化归思想，整体思想，方程思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题有一定的综合性，属中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵DE ⊥AB ，∴DE ⊥EB ，DE ⊥EF ， ∵EB ∩EF =E ，∴DE ⊥平面BEF ，∵BF ⊂平面BEF ，∴DE ⊥BF ， ∵AE =2EB =2，∴EF =2，EB =1，∵∠FEB =60°，∴BF =√EF 2+EB 2−2EF ×EB ×cos∠FEB =√3， ∴EF 2=EB 2+BF 2，∴FB ⊥EB ， ∵DE ∩BE =E ，∴BF ⊥平面BCDE ， ∵BF ⊂平面BFC ，∴平面BFC ⊥平面BDC ．(Ⅱ)解：以B 为原点，BA 为x 轴，在平面ABCD 中过B 作AB 的垂线为y 轴，BP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设DE =a ，则D(1,a,0)，E(1,0,0)，F(0,0,√3)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−a,√3)， ∵直线DF 与平面BCDE 所成角的正切值为√155，∴直线DF 与平面BCDE 所成角的正弦值为√64，平面BCDE 的法向量n⃗ =(0,0,1)， ∵直线DF 与平面BCDE 所成角的正切值为√155，∴|cos <n ⃗ ,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅DF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|DF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3√4+a 2=√64，解得a =2，∴D(1,2,0)，C(−2,2,0)，∴ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,√3)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0,0)， 设平面EDF 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0m ⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −2y +√3z =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(√3,0,1)，∴点C 到平面DEF 的距离d =|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=3√32．【解析】(Ⅰ)由DE ⊥AB ，得DE ⊥EB ，DE ⊥EF ，从而DE ⊥平面BEF ，进而DE ⊥BF ，推导出FB ⊥EB ，从而BF ⊥平面BCDE ，由此能证明平面BFC ⊥平面BDC ．(Ⅱ)以B 为原点，BA 为x 轴，在平面ABCD 中过B 作AB 的垂线为y 轴，BP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C 到平面DEF 的距离．本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)根据频率直方图知，甲套设备产品合格品为(0.036+0.044+0.056+0.036)×5×50=43，计算甲套设备产品的合格率为4350=0.86；根据频率分布表知，乙套设备产品合格品为6+19+18+5=48，计算乙套产品的合格率为4850=0.96；且0.96>0.86，所以乙套设备产品的合格率大，设备更优秀；(2)由此填写列联表如下；将列联表中的数据代入公式计算得K2=100×(43×2−48×7)291×9×50×50≈3.053；且3.053<3.841，所以没有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．【解析】(1)根据频率直方图计算甲套设备产品合格品和产品合格率；根据频率分布表计算乙套设备产品合格品与产品合格率，比较即可；(2)根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论．本题考查了频率与独立性检验的应用问题，也考查了数据处理能力，是基础题．20.【答案】解：(1)根据椭圆的定义可得：MF1+MF2=2a，NF1+NF2=2a，则△MNF2的周长=MN+MF2+NF2=MF1+NF1+MF2+MF2=4a=8，解得a=2，又因为|MN|的最小值为3，所以2b2a=3，解得b2=3，所以椭圆的标准方程为x24+y23=1，(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，P(−4,y3)，Q(−4,y4)设直线MN 的方程为x =my −1，联立{x =my −1x 24+y 23=1，整理得(3m 2+4)y 2−6my −9=0，则y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=93m 2+4，因为A ，M ，P 三点共线，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2,y 1)，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,y 3)， 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ //AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即有y 3(x 1−2)=−6y 1，解得y 3=−6y1x 1−2，同理，根据A ，N ，Q 三点共线可得y 4=−6y 2x2−2，S △PQF 1=12×(4−1)×|PQ|=32|y 3−y 4|，S △AMN =12×(2+1)×|y 1−y 2|=32|y 1−y 2|， 则由△PQF 1的面积是△AMN 面积的5倍，可得|y 3−y 4|=5|y 1−y 2|， 即6|y 1x1−2−y 2x 2−2|=6|y 1my 1−3−y 2my 2−3|=6|−3y 1+3y 2m 2y 1y 2−3m(y 1+y 2)+9|=5|y 1−y 2|，代入y 1+y 2=6m3m 2+4，y 1y 2=93m 2+4， 得18|m 2×−93m 2+4−3m×6m3m 2+4+9|=5，化简得3m 2=6，解得m =±√2，所以直线MN 的方程为x =±√2y −1，即y =±√22(x +1)．【解析】(1)利用椭圆定义可得MF 1+MF 2=2a ，NF 1+NF 2=2a ，可将△MNF 2的周长表示为4a =8，解出a =2，又|MN|最小值为2b 2a=3，可解出b ，即可表示椭圆方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(−4,y 3)，Q(−4,y 4)，设直线MN 的方程为x =my −1，联立{x =my −1x 24+y 23=1，分别表示出△PQF 1的面积，△AMN 面积，利用根于系数关系代入化简可得m 的值，进而表示出直线方程．本题考查椭圆标准方程的求，考查椭圆中三角形面积表示，直线与椭圆的综合，属于中档偏难题．21.【答案】(1)证明：当a =1时f(x)=lnx ，定义域(0,+∞)，令g(x)=lnx −√x ，则g′(x)=1x −12√x=2−√x 2x，当x >4时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，当0<x <4时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增， 故当x =4时，g(x)取得最大值g(4)=ln4−2<0，所以g(x)=lnx −√x <0即lnx <√x ；(2)解：由题意a >0，由题意f(x)=alnx −xlna =0即lnx x=lna a有2个零点，令ℎ(x)=lnx x，则ℎ′(x)=1−lnx x，当x >e 时，ℎ′(x)<0，函数单调递减，当0<x <e 时，ℎ′(x)>0，函数单调递增， 故当x =e 时，ℎ(x)取得最大值ℎ(e)=1e ， 又x →+∞时，ℎ(x)>0，x →0时，ℎ(x)<0， 故0<lna a<1e ，因为a >0，故lna >0， 而lna a<1e可得a ≠e ， 结合ℎ(x)=lnx x的图象可得a >1且a ≠e故a 的范围(1,e)∪(e,+∞)．【解析】(1)把a =1代入，要证原不等式成立，转化为证明lnx −√x <0，构造函数g(x)=lnx −√x ，转化为求解该函数的范围问题，结合导数可求； (2)问题转化为lnx x=lna a有2个零点，构造函数ℎ(x)=lnx x，结合导数可研究ℎ(x)的性质，结合图象可求．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，证明不等式及由函数的零点求解参数的范围，构造函数并利用导数研究函数的性质是求解问题的关键．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ+3sin 2θ)=12，转换为直角坐标方程为x 212+y 24=1．点P 的极坐标为(2,π)，转换为直角坐标为(−2,0)由于点P(−2,0)在直线l 上， 所以直线l 的参数方程为{x =−2+ty =t (t 为参数)，转化为{x =−2+√22t y =√22t (t 为参数)，所以代入曲线的方程为(−2+√22t)2+(√22t)2=12，整理得t 2−√2t −4=0， 所以|PM|⋅|PN|=|t 1t 2|=4．(Ⅱ)不妨设Q(2√3cosθ,2sinθ)，(0≤θ≤π2)，所以该矩形的周长为4(2√3cosθ+2sinθ)=16sin(θ+π3). 当θ=π6时，矩形的周长的最大值为16．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)f(2)+f(−2)>4，可得2|2−a|−2|2+a|>4，即|a −2|−|a +2|>2，则{a ≤−22−a +a +2>2或{−2<a <22−a −a −2>2或{a ≥2a −2−a −2>2， 解得a ≤−2或−2<a <−1或a ∈⌀，则a 的范围是(−∞,−1)；(2)f(x)≤|y +3|+|y −a|恒成立，等价为f(x)max ≤(|y +3|+|y −a|)min ， 其中当x ，y ∈(−∞,a]，|y +3|+|y −a|≥|y +3+a −y|=|a +3|=a +3，当且仅当−3≤y ≤a 取得等号， 而f(x)=−x(x −a)=−(x −a2)2+a 24≤a 24，当且仅当x =12a 时取得等号．所以a 24≤a +3，解得0<a ≤6．【解析】(1)求得关于a 的不等式，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集即可； (2)原不等式等价为f(x)max ≤(|y +3|+|y −a|)min ，运用家的孩子不等式的性质和二次函数的最值求法，分别求得最值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和绝对值不等式的性质，以及二次函数的最值求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
重庆市2020年高考文科数学模拟试题及答案(一)
重庆市2020年高考文科数学模拟试题及答案（一）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，则A ∩∁U B ＝ A ．{4，5} B ．{1，4，5} C ．{6，7} D ．{1，6，7}2. 设复数z 满足z ＝－3＋2ii (i 是虚数单位)，则复数z 对应的点位于复平面内A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与ka －b 互相垂直，则k 的值为 A ．－32 B.32 C ．±32 D ．14．若cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝A.13B.223 C ．－13 D ．－2235. 下列说法中，正确的是A ．命题“若b a >，则122->ba”的否命题为“若b a >，则122-≤ba”B ．命题“存在R x ∈，使得012<++x x ”的否定是：“任意R x ∈，都有012>++x x ” C ．若命题“非p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题 D ．命题“若022=+b a ，则0=ab ”的逆命题是真命题6. 三个数6log ,7.0,67.067.0的大小顺序是A.7.07.0666log 7.0<< B.6log 67.07.07.06<<C.67.07.07.066log << D.7.067.067.06log <<7.某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为 A.56B.45C.34D.238.下图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（ ）A. 4πB. 2πC.43π D. π9. 函数y =2x sin2x 的图象可能是A. B. C. D.10.已知双曲线2222:1x y C a b -=（0,0a b >>）的焦距为4，其与抛物线2:E y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，若OAB ∆为正三角形，则C 的离心率为A.2B.211. 函数()f x =的定义域为M,()g x =N ，则M N ⋂＝A ．[)1,-+∞B ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭12．已知，则A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2012年重庆市高考压轴卷数学文 一、选择题 1、“1a”是“11a”成立的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件
2、如果圆228xaya上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A．3,11,3 B．3,3 C．1,1 D．3,11,3
3、在一个45的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45，则此直线与二面角的另一个面所成的
角为（ ） A．30 B．45 C．60 D．90
4、将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为,bc，则方程20xbxc有实根的概率为（ ）
A．1736 B．12 C．59 D．1936
5、在4(1)x的展开式中，x的系数为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
6、设{}na是等差数列，且156aa，则3a等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7、定义3xyxy， 则hhh等于（ ）
A．3h B．0 C．h D．h
8、向量(1,0)a， (0,1)b，若mab与2ab平行，则m等于（ ）
A．2 B．2 C．12 D．12 9、已知3cos5，则cos2的值为（ ）
A．2425 B．725 C．725 D．2425
10、已知实数s，t满足不等式2222sstt，若14s，则ts的取值范围是( )
A．1[,1]4 B．1,14 C．1[,1]2 D．1,12
二、填空题 11、集合2|90Axx，集合1|02xBxx，则AB=_ _．
12、从8名女生，4名男生中选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法
种数为 ． （用数字作答）
13、记2()log(1)fxx的反函数为1()yfx，则方程1()9fx的解x ．
14、已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为12,FF，且它们在第一
象限的交点为P，12PFF是以1PF为底边的等腰三角形．若110PF，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．则该椭圆的离心率的取值范围是 ．
15、下列图形中，若黑色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为na
*nN． 三、解答题 16、 在ABC中，内角,,ABC所对边长分别为,,abc，8ACAB，4a． （Ⅰ）求bc的最大值及A的取值范围；
（Ⅱ）求函数22()23sin()2cos34fAAA的值域．
17、 动点P到点(1,0)F的距离与它到直线:l1x的距离相等，记点P的轨迹为曲线1C．圆2C的圆心T是曲线1C上的动点， 圆2C与y轴交于,MN两点，且||4MN． （Ⅰ）求曲线1C的方程； （Ⅱ）设点,02Aaa，若点A到点T的最短距离为1a，试判断直线l与圆2C的位置关系，并说明理由．
18、 已知函数32()fxaxbxcx在1x处取得极值，且在0x处的切线的斜率为3． （Ⅰ）求()fx的解析式； （Ⅱ）若过点2,Am可作曲线()yfx的三条切线，求实数m的取值范围． 19、 已知数列na满足11a，且122nnnaa(2n，*nN）
（Ⅰ）求证：数列2nna是等差数列，并求出数列{na}的通项公式； （Ⅱ）求数列{na}的前n项之和nS．
20、 在三棱锥PABC中，ABAC，4AC，43AB，163PABCV，侧棱PA、PB、PC与底面ABC所成的角相等． （Ⅰ）求二面角PACB的大小； （Ⅱ）求点B到平面PAC的距离．
以下是答案 一、选择题
1、 B
2、 A
PAC
B 3、 A
4、 D
5、 B
6、 C
7、 D
8、 C
9、 B
10、 D
二、填空题 11、{|12}xx；
12、112；
13、3；
14、12,
35
15、13n
；
三、解答题 16、（Ⅰ）ACABcos8bcA，2222cos4bcbcA即2232bc
又222bcbc，所以16bc，即bc的最大值为16 即816cosA，所以 1cos2A，又0A，所以03A
（Ⅱ）()3[1cos(2)]1cos233sin2cos212fAAAAA 2sin(2)16A
因03A，所以6＜5266A， 1sin(2)126A 22sin(2)136A，所求值域为2,3 17、(Ⅰ)解法1: 设动点P的坐标为,xy,依题意,得1PFx,
即2211xyx, 化简得:24yx,∴曲线1C的方程为24yx． 解法2:由于动点P与点(1,0)F的距离和它到直线:l1x的距离相等，根据抛物线的定义可知, 动点P的轨迹是以点(1,0)F为焦点,直线l为准线的抛物线． ∴曲线1C的方程为24yx． 点T是抛物线21:4Cyx上的动点，2004yx(00x)． 22000ATxay2200024xaxax20244xaa．
2a，20a，则当02xa时，AT取得最小值为21a， 依题意得21a1a2650aa5a或1a(舍) 此时023xa,200412yx，圆2C的圆心T的坐标为3,23． 圆2C与y轴交于,MN两点，且||4MN, 220||24MNrx．20413rx．
点T到直线l的距离01413dx，直线l与圆2C相离．
18、（Ⅰ）2()32fxaxbxc
依题意(1)320(1)320'03fabcfabcfc303abc，∴3()3fxxx （Ⅱ）设切点为3,3ttt，2()33fxx，切线斜率2()33kftt切 切线方程为32(3)(33)()ytttxt 又切线过点2,Am，32(3)(33)(2)mtttt32266mtt
令32()266gttt，则2()6126(2)gttttt， 由()0gt得0t或2t．列表分析： t ,0 0 0,2 2 2,
'gt 0 0
gt ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
tO2−6
gt()(0)6gxg极小值，()(2)2gxg极大值
画出草图知，当62m时，32266mtt有三解， 所以m的取值范围是62m．
19、（Ⅰ）122nnnaa， 11122nnnnaa，即11122nnnnaa(2n，且*nN）
数列2nna是等差数列，公差1d，首项11122a． 11122nnan，即数列{na}的通项公式1212nnan
（Ⅱ）0123112325272212nnSn ① 12312123252232212nnnSnn ② ①②得：1231122222222212nnnSn 1412121212nnn
3223nn，
12323nnSn
20、【解法一】（Ⅰ）侧棱PA、PB、PC与底面ABC所成的角相等，
点P在平面ABC内的射影是RtABC的外心，即斜边BC的中点O 取AC的中点D，连PD，DO，PO，则
11114431633232PABCVACABOPOP，
6OP． OP平面ABC，OD是PD在平面ABC内的射影， ACOD， ACPD． PDO为二面角PACB的平面角．
在RtPOD中，tan3OPPODOD，3PDO，
故二面角PACB的大小为3．
PAC
B
DO