【典型题】数学高考模拟试题(含答案)

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【高三上数学】浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题(解析版)

浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知12i,1i z a z b =−=+（,R a b ∈，i 为虚数单位），若12z z ⋅是实数，则（） A ．10ab −= B ．10ab += C ．0a b −= D ．0a b +=【答案】A 【分析】根据复数乘法及复数的虚部为0计算即可.【详解】因为12(i)(1i)=()(1)i z z a b a b ab =−++−⋅+是实数，所以10ab −=，故选：A2．设集合R U =，集合()22{|20},{|log 1}M x x x N x y x =−≥==−，则{|2}x x <=（）A ．M N ⋃B ．()UN MC ．U ()M ND ．()UMN【答案】B【分析】化简集合,M N ，根据集合的交集、并集、补集求解.【详解】因为()22{|20}(,0][2,),{|log 1}(,1)M x x x N x y x =−≥=−∞+∞==−=−∞，所以(,1)[2,)M N ⋃=−∞+∞，()U(,1)(0,2)(,2){|2}Nx x M −∞==−∞=<，U 1(,0)][2,)(()[,)[]10,,MN −∞+∞=+∞=+∞∞−，因为(,0]M N =−∞，所以()U(0,)M N =+∞，故选：B3．若,a b 是夹角为60︒的两个单位向量，a b λ+与32a b −+垂直，则λ=（） A ．18B ．14C ．78D ．74【答案】B【分析】由题意先分别算出22,,a b a b ⋅的值，然后将a b λ+与32a b −+垂直”等价转换为)()032a b a b λ−⋅=++，从而即可求解.【详解】由题意有22221,1,cos 60a a b b a b a b ︒====⋅=⋅=又因为a b λ+与32a b −+垂直，所以()()()22132323322a ab a a b b b λλλλ+⋅=−+−⋅+=−+⨯−+1202λ−+=，解得14λ=.B.4．已知数列{}n a 为等比数列，且55a =，则（） A ．19a a +的最小值为50 B ．19a a +的最大值为50 C ．19a a +的最小值为10 D ．19a a +的最大值为105．已知函数32221()2log ,()log ,()log 2xxf x xg x xh x x x ⎛⎫=+=−=+ ⎪⎝⎭的零点分别为,,a b c ，则（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．b c a >>由图象可知，a c <，所以a 故选：D6．设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:142x y C +=的焦点，点P 在C 上，OP =，则12cos F PF ∠=（）A ．13−B ．0C ．13D ．3122PF PF PO +=，即可得【详解】如下图所示：不妨设12,PF m PF n ==，根据椭圆定义可得由余弦定理可知1cos 2F PF mn ∠又因为122PF PF PO +=，所以()()22122PF PF PO +=，又22122cos 1m n mn F PF ∠+=+，解得2210m n +=；()22216210n m n mn mn =+−=−=，即3mn =；所以可得21281081cos 263m n F PF mn ∠+−===；7．已知二面角P AB C −−的大小为3π4，球O 与直线AB 相切，且平面PAB 、平面ABC 截球O 的两个截面圆的半径分别为1O 半径的最大可能值为（）AB ．C ．3 D的最大值即为MNE 外接圆的OMOE O =，同理可知，AB ⊥平面为MNE外接圆的一条弦，半径OE的最大值即为MNE外接圆的直径，即为π=时，4为MNE外接圆的一条弦，的最大值即为MNE 外接圆的直径，即为的半径的最大可能值为108．已知函数()2f x x ax b =++，若不等式()2f x ≤在[]1,5x ∈上恒成立，则满足要求的有序数对(,)a b 有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个【点睛】关键点点睛：解题的关键是首先得到()()()212232252f f f ⎧−≤≤⎪−≤≤⎨⎪−≤≤⎩，进一步由不等式的性质通过分析即可求解.二、多选题9．已知5250125(12)x a a x a x a x −=++++，则下列说法正确的是（）A ．01a =B ．380a =−C ．123451a a a a a ++++=−D ．024121a a a ++=【答案】ABD【分析】根据二项展开式通式以及赋值法即可得到答案. 【详解】对于 A ，取 0x =, 则 01a = ，则A 正确；对B ，根据二项式展开通式得5(12)x −的展开式通项为()55C 12r r rx −−，即()5C 2rr r x ⋅−⋅，其中05,N r r ≤≤∈所以3335C (2)80a =−=−，故B 正确；对C ，取1x =，则0123451a a a a a a +++++=−，则12345012a a a a a a ++++=−−=−，故C 错误；对D ，取=1x −，则50123453243a a a a a a −+−+−==，将其与0123451a a a a a a +++++=−作和得()0242242a a a ++=，所以024121a a a ++=，故D 正确；故选：ABD.10．设O 为坐标原点，直线20x my m +−−=过圆22:860M x y x y +−+=的圆心且交圆于,P Q 两点，则（）A ．5PQ =B ．12m =C ．OPQ △的面积为D ．OM PQ ⊥【答案】BCOPQS=)0,0与由直线方程11．函数()sin (0)f x x ωω=>在区间22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，上为单调函数，且图象关于直线2π3x =对称，则（）A ．将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位长度，所得图象关于y 轴对称 B ．函数()f x 在[]π2π，上单调递减 C ．若函数()f x 在区间14π(,)9a 上没有最小值，则实数a 的取值范围是2π14π(,)99− D ．若函数()f x 在区间14π(,)9a 上有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是4π(,0)3−【答案】AB 【分析】12．已知函数：R R →，对任意满足0x y z ++=的实数,,x y z ，均有()()()3333f x f y f z xyz ++=，则（）A ．(0)0f =B ．(2023)2024f =C ．()f x 是奇函数D ．()f x 是周期函数三、填空题13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()1,3P ，则()sin πα+= .14．已知圆台的上､下底面半径分别为1和2，体积为14π3，则该圆台的侧面积为 .15．第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米､200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为12，200米比赛未能站上领奖台的概率为310，两项比赛都未能站上领奖台的概率为110，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是 . )()()()710A B P A P B P A B =+−=，进而求)()3110A B P A B =−=，再利用条件概率公式求出答案【详解】设在200米比赛中站上领奖台为事件)310=，()12P B =，()110P A B =，)()()()31171021010A B P A P B P A B =+−=+−=)()3110A B P A B =−=， )()()3310152P AB B P B ===. 故答案为：3516．已知抛物线Γ：22y x =与直线:4l y x =−+围成的封闭区域中有矩形ABCD ，点A ，B 在抛物线上，点C ，D 在直线l 上，则矩形对角线BD 长度的最大值是 .【点睛】关键点点睛：本题的关键是合理设参，并通过数形结合求出参数的范围也是很重要的，至于求出目标函数表达式只需仔细计算即可.四、解答题17．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知12cos cA b =+.(1)证明：2A B =； (2)若3sin 5B =，13c =，求ABC 的面积. 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积sin A B =，， ABCS=18．已知数列{}n a 满足11a =，且对任意正整数m ，n 都有2.m n n m a a a mn +=++(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{(1)}n n a −的前n 项和n S .()(112135212n n n n a a n −+−++−=++++−=，符合上式，所以2n a n =.)()2222221234(1)n n ⎡⎤−++−+++−−+⎣⎦(()()321121n n n n +−+++−=，为奇数时，若n =，则21n n n n S S n −−=+−=时，满足1S 19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为4，点E 满足3DE EA =，点F 是1CC 的中点，点G 满足135DG GD =(1)求证：,,,B E G F 四点共面；(2)求平面EFG 与平面1A EF 夹角的余弦值.，即可得出结论；，证明//EG BF 即可；,AH FH ，因为F 由3DE EA =知DE EA ，由135DG GD =知DG GH =所以DE DGEA GH=，所以/AH ，所以EG //BF ，所以,G F 四点共面；法2：如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系⎭因为()4,0,2,3,0,BF EG ⎛=−=− ⎝，所以34EG BF =，所以//EG BF ，,,,B E G F 四点共面；）由（1）知，()()()11,4,0,1,0,4,3,4,2BE A E EF =−−=−−=−，设平面EFG 的法向量为(),,m x y z =，m BE m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40420x y x z −−=⎧⎨−+=⎩，可取()4,1,8m =−，平面1A EF 的法向量(),,n a b c =，则有1403420n A E a c n EF a b c ⎧⋅=−−=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，可取()8,7,2n =−设平面EFG 与平面1A EF 夹角为993m n m nθ⋅==⨯EFG 与平面 20．已知函数()()2e 4e 2x xf x a a x =+−−（e 为自然对数的底数，e 2.71828=）.(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当1a >时，()7ln 4.f x a a >−− 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析21．某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？(2)现有n ()*N n ∈根绳子，共有2n 个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.（i ）当3n =，记随机变量X 为绳子围成的圈的个数，求X 的分布列与数学期望；（ii ）求证：这n 根绳子恰好能围成一个圈的概率为()()212!1!.2!n n n n −⋅−附：()()()()22(),.n ad bc K n a b c d a b c d a c b d −==+++++++)(2422212C 2n n ⋅==))21!2!!n n −=本题第二小问第二步的解决关键是利用分步计数原理得到数列的递推式，从而利用数列的累乘法求得结果点(),0()t t a >的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 上与端点不重合的任意一点，过点M 且与1l 平行的直线分别交另一条渐近线2l 和C 于点,T N (1)求C 的方程； (2)求MP MQ OT MN的取值范围.试卷第21页，共21页。

2023年高中数学高考模拟试题3(附答案)

2023年高中数学高考模拟试题（附答案）姓名班级学号得分说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分100分。

考试时间90分钟。

２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。

考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一、单选题(每题5分，共50分)1．(本题5分)（）A．B．C．D．2．(本题5分)已知集合，，则（）A．B．C．D．3．(本题5分)函数的零点个数是（）A．0B．1C．2D．34．(本题5分)已知数列为递减的等比数列，，且，，则公比为（）A．B． C.D．25．(本题5分)在中，已知，D为BC中点，则（）A．2B．C．D．6．(本题5分)函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．7．(本题5分)已知函数，则在上（）A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增8．(本题5分)如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．(本题5分)在中，，且，则（）A．2B．3C．D．10．(本题5分)已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度，得到图象，则（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二、填空题(共25分)11．(本题5分)定义在R上的奇函数，当x≥0时，（k为常数），则______．12．(本题5分)等差数列的前n项和为，若，则当取到最大值时n__________.13．(本题5分)已知不等式组表示的平面区域不包含点，则实数的取值范围是__________．14．(本题5分)已知双曲线的左右焦点分别是，直线与双曲线交于p，且，则双曲线C的离心率为______．15．(本题5分)设A是椭圆（φ为参数）的左焦点.p是椭圆上对应于的点，那么线段AP的长是________.如图，在斜三棱柱中，底面的正三角形，，侧棱过点的直线交曲线的垂线，垂足分别为、，判，使得四边形的对角线交于一定点18．(本题15分)已知等差数列的n前项和为，，，数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)若数列满足，求数列的n前项和．19．(本题15分)已知在中，，，为内角A，B，C所对的边，，且．(1)求A与C；(2)若，过A作BC边的垂线，并延长至点D，若A，B，C，D四点共圆，求的CD长．20．(本题15分)已知函数．(1)当m＞0时，求函数f（x）的极值点的个数；(2)当a，b，c∈（0，+∞）时，恒成立，求m的取值范围．参考答案一、单选题第1题第2题第3题第4题第4题A A C A D第6题第7题第8题第9题第10题C D C B B二、填空题第11题：-4；第12题：6；第13题：（-∞，3]第14题：√2；第15题：5。

2024年高考数学模拟试题含答案(一)

2024年高考数学模拟试题含答案(一)一、选择题（每题5分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x - 1在区间（0，2）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A. a > 0B. a ≥ 1C. a ≤ 1D. a < 0【答案】C【解析】由题意知，f'(x) = 2 > 0，所以函数在区间（0，2）上是增函数。

又因为f(0) = -1，f(2) = 3，所以f(x)在区间（0，2）上的取值范围是（-1，3）。

要使得f(x)在区间（0，2）上是增函数，只需保证a ≤ 1。

2. 已知函数g(x) = x² - 2x + 1，则下列结论正确的是（）A. 函数g(x)在区间（-∞，1）上是增函数B. 函数g(x)在区间（1，+∞）上是减函数C. 函数g(x)的对称轴为x = 1D. 函数g(x)的顶点坐标为（1，0）【答案】D【解析】函数g(x) = x² - 2x + 1 = (x - 1)²，所以函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为x = 1。

根据二次函数的性质，当x > 1时，函数g(x)递增；当x < 1时，函数g(x)递减。

3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn =2an - 1，则数列{an}的通项公式是（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^nC. an = 2^n + 1D. an = 2^(n-1)【答案】D【解析】由Sn = 2an - 1，得an = (Sn + 1) / 2。

当n = 1时，a1 = (S1 + 1) / 2 = 1。

当n ≥ 2时，an = (Sn + 1) / 2 = (2an - 1 + 1) / 2 = 2an-1。

所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为an = 2^(n-1)。

4. 已知函数h(x) = |x - 2| - |x + 1|，则函数h(x)的图像是（）A. 两条直线B. 两条射线C. 一个三角形D. 一个抛物线【答案】B【解析】函数h(x) = |x - 2| - |x + 1|表示数轴上点x到点2的距离减去点x到点-1的距离。

2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(四)(含答案解析)

2023年普通高等学校招生全国统一考试�新高考仿真模拟卷数学（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数1z =，则2z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集{62}U xx =-<<∣，集合{}2230A x x x =+-<∣，则U ðA=（）A ．()6,2-B ．()3,2-C ．()()6,31,2--⋃D ．][()6,31,2--⋃3．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中,B C 分别是上､下底面圆的圆心，且36AC AB ==，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（）A ．803πB ．703p C ．20πD ．563π4．已知一组数据：123,,x x x 的平均数是4，方差是2，则由12331,31,31x x x ---和11这四个数据组成的新数据组的方差是（）A ．27B ．272C ．12D ．115．若非零向量,a b 满足()22,2a b a b a ==-⊥ ，则向量a 与b 夹角的余弦值为（）A ．34B ．12C ．13D ．146．已知圆221:(2)(3)4O x y -+-=，圆222:2270O x y x y +++-=，则同时与圆1O 和圆2O 相切的直线有（）7．已知函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则函数()f x 在区间[]0,10π上的零点个数为（）A ．6B ．5C ．4D ．38．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆C 上，若离心率12PF e PF =，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A．()1-B．⎛ ⎝⎭C．2⎫⎪⎪⎣⎭D．)1,1-二、多选题9．若π1tan tan 231tan ααα-⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，则α的值可能为（）A ．π36B ．7π36C ．19π36D ．5π36-10．某校10月份举行校运动会，甲､乙､丙三位同学计划从长跑，跳绳，跳远中任选一项参加，每人选择各项目的概率均为13，且每人选择相互独立，则（）A ．三人都选择长跑的概率为127B ．三人都不选择长跑的概率为23C ．至少有两人选择跳绳的概率为427D ．在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为5711．设函数()()()1ln 1(0)f x x x x =++>，若()()11f x k x >--恒成立，则满足条件的正整数k 可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面2,4,,3ABC PA BAC AB AC M π∠====是边BC 上一动点，则（）A ．点C 到平面PAB 的距离为2B ．直线AB 与PCC ．若M 是BC 中点，则平面PAM ⊥平面PBCD ．直线PM 与平面ABC三、填空题13．函数()()313xxk f x x k -=∈+⋅R 为奇函数，则实数k 的取值为__________.14．已知抛物线28y x =的焦点为F ，抛物线上一点P ，若5PF =，则POF ∆的面积为______________.15．由数字0,1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有__________个.16．已知0a >，函数()22ag x x x+=+-在[)3,+∞上的最小值为2，则实数=a __________.四、解答题17．第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了国人冰雪运动的热情.某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第x 天的滑雪人数y （单位：百人）的数据.天数代码x12345滑雪人数y （百人）911142620经过测算，若一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，请建立y 关于x 的回归方程，并预测该滑雪场开业的第几天开始盈利.参考公式：线性回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()121ˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x ==--==--∑∑ .18．如图，四边形ABCD 中，150,60,B D AB AD ABC ∠∠====的面积为(1)求AC ；(2)求ACD ∠.19．设数列{}n a 的前n 项和为()*,226n n n S S a n n =+-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列112n n n a a ++⎧⎫⎨⎩⎭的前m 项和127258m T =，求m 的值.20．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E 、P 分别是1DD 、11A C 的中点.(1)求证：BP ⊥平面11A EC ；(2)求直线1B C 与平面11A EC 所成角的正弦值.21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求双曲线C 的方程；(2)若双曲线C 的右顶点为A ，直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,M N 两点(,M N 不是左右顶点），且0AM AN ⋅=.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.22．已知函数()()e 4ln 2xf x x x =++-.(1)求函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线方程；(2)判断函数()f x 的零点个数，并说明理由.参考答案：1．C【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数2z ，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】解：因为1z =-，所以())2221122z ==-+=--，所以2z 在复平面内对应的点的坐标为(2,--位于第三象限.故选：C 2．D【分析】计算出集合B ，由补集的定义即可得出答案.【详解】因为{}}{223031A xx x x x =+-<=-<<∣，U ðA=][()6,31,2--⋃.故选：D.3．D【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.【详解】已知底面圆的半径2r =，由36AC AB ==，则2,4AB BC ==，故该陀螺的体积2215633V BC r AB r πππ=⋅+⋅⋅=.故选：D.4．B【分析】根据方差和平均数的计算及可求解.【详解】因为一组数据1x ，2x ，3x 的平均数是4，方差是2，所以22212312311()4,[(4)(4)(4)]233x x x x x x ++=-+-+-=，所以22212312312,(4)(4)(4)6x x x x x x ++=-+-+-=，所以12331,31,31x x x ---，11的平均数为12312311(31)(31)(31)][113()3]1144x x x x x x +-+-+-=+++-=，所以12331,31,31x x x ---，11的方差为2222123111)(312)(312)(312)]4x x x -+-+-+-22212311279[(4)(4)(4)]96424x x x =⨯-+-+-=⨯⨯=故选：B 5．D【分析】求出1,2a b ==，根据()2a b a -⊥ 可得()20a b a -⋅=,代入化简求解夹角余弦值即可.【详解】设a 与b的夹角为θ，因为()22,2a b a b a ==-⊥ ，所以1,2a b==，()2a b a ∴-⋅22cos 0a a b θ=-= .21cos 42a a b θ∴== .故选：D.6．B【分析】根据圆的方程，明确圆心与半径，进而确定两圆的位置关系，可得答案.【详解】由圆()()221:234O x y -+-=，则圆心()12,3O ，半径12r =；由圆222:2270O x y x y +++-=，整理可得()()22119x y +++=，则圆心()21,1O --，半径23r =；由12125O O r r ===+，则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条.故选：B.7．B【分析】求出周期，方法1：画图分析零点个数；方法2：求()0f x =的根解不等式即可.【详解】由题意知，37π2π(3π433T =--=，解得：4πT =，22Tπ=，方法1：∴作出函数图象如图所示，∴()f x 在区间[0,10π]上的零点个数为5.方法2：∴()0f x =，解得：2π2π,Z 3x k k =-+∈，∴2π02π10π3k ≤-+≤，Z k ∈，解得：11633k ≤≤，Z k ∈，∴1,2,3,4,5k =，∴()f x 在区间[0,10π]上的零点个数共有5个.故选：B.8．D【分析】由题意可知12PF e PF =，结合椭圆的定义解得221aPF e =+，再由2a c PF a c -≤≤+求解.【详解】因为12PF e PF =，所以12PF e PF =，由椭圆的定义得：122PF PF a +=，解得221aPF e =+，因为2a c PF a c -≤≤+，所以21aa c a c e -≤≤++，两边同除以a 得2111e e e -≤≤++，解得1e ≥，因为01e <<11e ≤<，所以该离心率e的取值范围是1,1)故选：D.9．BCD【分析】根据题意可得：π1tan πtan(2tan()31tan 4αααα--==-+，然后利用正切函数的性质即可求解.【详解】因为πtantan 1tan π4tan()π1tan 41tan tan 4ααααα--==-++⋅，则ππtan(2)tan()34αα-=-，所以ππ2π,34k k αα-=+-∈Z ，解得：π7π,336k k α=+∈Z ，当0k =时，7π36α=；当1k =时，19π36α=；当1k =-时，5π36α-=；故选：BCD .10．AD【分析】根据相互独立事件概率计算公式计算即可.【详解】由已知三人选择长跑的概率为111133327⨯⨯=，故A 正确.三人都不选择长跑的概率为222833327⨯⨯=，故B 错误.至少有两人选择跳绳的概率为231111127C 33333327⨯⨯+⨯⨯=，故C 错误.记至少有两人选择跳远为事件A ，所以()231111127C 33333327P A =⨯⨯+⨯⨯=.记丙同学选择跳远为事件B ，所以()12111215C 3333327P AB ⎛⎫=⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭.所以在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为()()()57P AB P B A P B ==，故D 正确.故选：AD 11．ABC【分析】根据题意可得()()()()1ln 1110g x x x k x =++--+>，利用导数结合分类讨论解决恒成立问题.【详解】若()()11f x k x >--恒成立，则()()()()()111ln 1110f x k x x x k x --+=++--+>恒成立，构建()()()()1ln 111g x x x k x =++--+，则()()ln 12g x x k '=++-，∵0x >，故()ln 10x +>，则有：当20k -≥，即2k ≤时，则()0g x '>当0x >时恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，则()()010g x g >=>，即2k ≤符合题意，故满足条件的正整数k 为1或2；当20k -<，即2k >时，令()0g x '>，则2e 1k x ->-，故()g x 在()20,e1k --上单调递减，在()2e 1,k --+∞上单调递增，则()()22e 1e 0k k g x g k --≥-=->，构建()2ek G k k -=-，则()21e0k G k --'=<当2k >时恒成立，故()G x 在()2,+∞上单调递减，则()()210G k G <=>，∵()()233e 0,44e 0G G =->=-<，故满足()()02G k k >>的整数3k =；综上所述：符合条件的整数k 为1或2或3，A 、B 、C 正确，D 错误.故选：ABC.12．BCD【分析】对于A ，利用线面垂直判定定理，明确点到平面的距离，利用三角形的性质，可得答案；对于B ，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量，利用向量夹角公式，可得答案；对于C ，利用等腰三角形的性质，结合面面垂直判定定理，可得答案；对于D ，利用线面垂直性质定理，结合直角三角形的性质以及锐角正切的定义，可得答案.【详解】对于A ，在平面ABC 内，过C 作CD AB ⊥，如下图所示：PA ⊥ 平面ABC ，且CD ⊂平面ABC ，PA CD ∴⊥，CD AB ⊥ ，PA AB A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，CD \^平面PAB ，则C 到平面PAB 的距离为CD ，23BAC π∠= ，AB AC ==6ABC π∴∠=，在Rt BCD 中，sin sin 3CD CB CBA CBA =⋅∠=∠=，故A 错误；对于B ，在平面ABC 内，过A 作AE AB ⊥，且E BC ⊂，易知,,AB AE AP 两两垂直，如图建立空间直角坐标系：则()0,0,0A，()B，()C ，()0,0,4P ，得()AB =，()4PC =-，(6AB PC ⋅==-，AB =PC ==则cos ,14AB PC AB PC AB PC⋅==⋅ ，故B 正确；对于C，作图如下：在ABC 中，AB AC =，M 为BC 的中点，则AM BC ⊥，PA ⊥ 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，AM PA A = ，,AM PA ⊂平面AMP ，BC ∴⊥平面AMP ，BC ⊂ 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面AMP ，故C 正确，对于D，作图如下：PA ⊥ 平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，PA AM ∴⊥，则在Rt PAM 中，tan PAAMP AM∠=，当AM 取得最小值时，tan AMP ∠取得最大值，当M 为BC 的中点时，由C 可知，AM BC ⊥，AM 取得最小值为sin 6AB π⋅=则tan AMP ∠D 正确.故选：BCD.13．1【分析】由奇函数的定义求解即可.【详解】函数()()313xx k f x x k -=∈+⋅R 为奇函数，必有0k >，则()()3·31331331313x x x x x x x xk k k kf x f x k k k k -------===-=-=+⋅++⋅+⋅，于是得22223·31x x k k -=-恒成立，即21k =，解得：1k =.故答案为：1.14．【分析】先根据抛物线定义得P 点坐标，再根据三角形面积公式求解.【详解】因为5PF =，所以2253,24,||P P P P x x y y +=∴===因此POF ∆的面积为11||||=22P y OF ⨯【点睛】本题考查抛物线定义应用，考查基本分析转化与求解能力，属基础题.15．78【分析】能被5整除的三位数末位数字是5或0，分成末位数字是5和末位数字是0两种情况讨论.【详解】能被5整除的三位数说明末尾数字是5或0当末尾数字是5时，百位数字除了0有6种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据分步乘法原理一共有6636⨯=种方法；当末尾数字是0时，百位数字有7种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据分步乘法原理一共有7642⨯=种方法；则一共有364278+=种故答案为：7816．13≤3>讨论，得出()g x 在[)3,+∞上的最小值，由最小值为2求解a 的值即可得出答案.【详解】()22ag x x x+=+- ，()()(2222221x x x a a g x x x x-+-+=∴+'=-=，3≤时，即07a <≤时，则()0g x '>在()3,+∞上恒成立，则()g x 在[)3,+∞上单调递增，()g x ∴在[)3,+∞上的最小值为()5323ag +==，解得1a =，3>时，即7a >时，当x ∈⎡⎣时，()0g x '<，()g x 单调递减，当)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，()g x ∴在[)3,+∞上的最小值为22,2ga ===，舍去，综上所述：1a =，故答案为：1.17．ˆ 3.7 4.9yx =+；9.【分析】根据表中数据及平均数公式求出ˆˆ,ab ，从而求出回归方程，然后再根据一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利即可求解.【详解】由题意可知，1234535x ++++==，911142620165y ++++==，所以()()()()()()()()5113916231116331416iii x x yy =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-∑()()()()432616532016+-⨯-+-⨯-()()()()()27150211024=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯145010837=++++=()()()()()()5222222113233343534101410ii x x =-=-+-+-+-+-=++++=∑，所以()()()51521373.710iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑ ，ˆˆ16 3.73 4.9ay bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的回归方程为ˆ 3.7 4.9yx =+.因为天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，即3.7 4.935x +>，解得30.18.143.7x >≈,所以根据回归方程预测，该该滑雪场开业的第9天开始盈利.18．(1)(2)π4【分析】（1）在ABC 中，利用面积公式、余弦定理运算求解；（2）在ACD 中，利用正弦定理运算求解，注意大边对大角的运用.【详解】（1）在ABC 中，由ABC的面积111sin 222S AB BC B BC =⨯⨯∠=⨯⨯=可得4BC =，由余弦定理2222cos 121624522AC AB BC AB BC B ⎛⎫=+-⨯⨯∠=+-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，即AC =（2）在ACD 中，由正弦定理sin sin AC ADD ACD=∠∠，可得sin sin AD D ACD AC ∠∠==∵AD AC <，则60ACD D ∠<∠=︒，故π4ACD ∠=.19．(1)2n n a =(2)7【分析】（1）当2n ≥时，构造11228n n S a n --=+-，与条件中的式子，两式相减，得122n n a a -=-，转化为构造等比数列求通项公式；（2）由（1）可知()()1111222222n n n n n n n b a a ++++==++，利用分组求和法求解.【详解】（1）因为226n n S a n =+-，所以当1n =时，1124S a =-，解得14a =．当2n ≥时，11228n n S a n --=+-，则11222n n n n S S a a ---=-+，整理得122n n a a -=-，即()1222n n a a --=-．所以数列{}2n a -是首项为2，公比为2的等比数列，所以12222n n n a --=⨯=．所以22n n a =+.（2）令()()111112211222222222n n n n n n n n n b a a +++++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，数列{}n b 的前m 项和1111111112+4661010142222m m m T +⎛⎫=-+-+-+- ⎪++⎝⎭ ，111112=2422222m m ++⎛⎫-=- ++⎝⎭，则112127222258m +-=+，则12222258m +=+，则122567m m +=⇒=.m 的值为7.20．(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明10EC BP ⋅= ，10EA BP ⋅=，即可得证；（2）利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：如图建立空间直角坐标系，则()0,0,2E ，()4,4,0B ，()14,4,4B ，()2,2,4P ，()10,4,4C ，()14,0,4A ，()0,4,0C ，所以()10,4,2EC = ，()14,0,2EA =，()2,2,4BP =-- ，所以10EC BP ⋅= ，10EA BP ⋅=，所以1EC BP ⊥，1EA BP ⊥，又11EC EA E = ，11,EC EA ⊂平面11A EC ，所以BP ⊥平面11A EC.（2）解：由（1）可知()2,2,4BP =-- 可以为平面11A EC 的法向量，又()14,0,4B C =--，设直线1B C 与平面11A EC 所成角为θ，则11sin 6B C BP B C BPθ⋅==⋅=，故直线1B C 与平面11A EC 21．(1)2214x y -=(2)证明过程见解析，定点坐标为10,03⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由渐近线方程求出12b a =，根据焦点到渐近线距离列出方程，求出c =，从而求出2,1a b ==，得到双曲线方程；（2）:l y kx m =+与2214x y -=联立，求出两根之和，两根之积，由0AM AN ⋅= 列出方程，求出103m k =-或2m k =-，舍去不合要求的情况，求出直线过定点，定点坐标为10,03⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】（1）因为渐近线方程为20x y -=，所以12b a =，焦点坐标(),0c 到渐近线20x y -=1=，解得：c ，因为2225a b c +==，解得：2,1a b ==，所以双曲线C 的方程为2214x y -=；（2）由题意得：()2,0A ，:l y kx m =+与2214x y -=联立得：()222148440k x kmx m ----=，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222844,1414km m x x x x k k --+==--，()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，()()()11221212122,2,24AM AN x y x y x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++()()()()()122222222124048142421441kx x km x km m k x mkm m k k++-++--++=+⋅+-⋅+-=-，化简得：22201630k km m ++=，解得：103m k =-或2m k =-，当103m k =-时，10:3l y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恒过点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，当2m k =-时，():2l y k x =-恒过点()2,0A ，此时,M N 中有一点与()2,0A 重合，不合题意，舍去，综上：直线l 过定点，定点为10,03⎛⎫⎪⎝⎭，【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.22．(1)14ln 2=+y (2)有两个零点，理由见解析【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可；（2）令()0f x =转化为()()2=e <xt x x 与()()()4ln 22=---<g x x x x 图象交点的个数，利用导数得到()g x 单调性，结合两个函数的图象判断可得答案.【详解】（1）()()4e 122xf x x x =+-<-'，所以切线斜率为()00e 10204'=+-=-f ，()()00e 04ln 2014ln 2=++-=+f ，所以切点坐标为()0,14ln 2+，函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线方程为14ln 2=+y ；（2）有两个零点，理由如下，令()()e 4ln 20=++-=xf x x x ，可得()e 4ln 2=---x x x ，判断函数()f x 的零点个数即判断()()2=e <xt x x 与()()()4ln 22=---<g x x x x 图象交点的个数，因为()=e xt x 为单调递增函数，()0t x >，当x 无限接近于-∞时()t x 无限接近于0，且()22=e t ，由()421=022+'=-+=--x g x x x，得2x =-，当22x -<<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当<2x -时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()224ln40-=-<g ，()3333e 2e 24lne e 100--=+-=->g ，()110g =-<，43314ln ln 0222⎛⎫=--= ⎪⎝⎭g ，且当x 无限接近于2时()g x 无限接近于+∞，所以()=e xt x 与()()4ln 2=---g x x x 的图象在0x <时有一个交点，在02x <<时有一个交点，综上函数()f x 有2个零点.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解。

高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版

高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版高考理科数学模拟试题精编(一)注意事项：1.作答选择题时，在答题卡上涂黑对应选项的答案信息点。

如需改动，先擦干净再涂其他答案。

不得在试卷上作答。

2.非选择题用黑色钢笔或签字笔作答，写在答题卡指定区域内。

如需改动，先划掉原答案再写新答案。

不得用铅笔或涂改液。

不按要求作答无效。

3.答题卡需整洁无误。

考试结束后，交回试卷和答题卡。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

)1.设全集Q={x|2x²-5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是()A。

3B。

4C。

7D。

82.若复数z=m(m-1)+(m-1)i是纯虚数，其中m是实数，则z=()A。

iB。

-iC。

2iD。

-2i3.已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6=()A。

80B。

85C。

90D。

954.XXX每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口。

已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒。

如果XXX每天到路口的时间是随机的，则XXX上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是()A。

4/5B。

3/4C。

2/3D。

3/56.已知p：a=±1，q：函数f(x)=ln(x+a²+x²)为奇函数，则p 是q成立的()A。

充分不必要条件B。

必要不充分条件C。

充分必要条件D。

既不充分也不必要条件7.(省略了一个选项) 327.(1+x²+4x)²的常数项为()A。

120B。

160C。

200D。

2408.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为()A。

3.119B。

全国新高考一卷地区2024届普通高等学校招生模拟考试数学试题(含答案与解析)_9229

2023~2024学年普通高等学校招生模拟考试数学试卷本试卷共6页，共19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效，4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 为虚数单位，且复数2024i 6z =，则下列说法中正确的是（）.A. 复数z 实数B. 2024i i =C. 复数z 为纯虚数D. 6i z =-2. 已知集合{}31,Z A x x k k ==+∈，则下列表示正确的是（）. A. 2A -∈ B. 2023A ∉ C. 231k A +∉D. 35A -∉3. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为积为（） A. 100πB. 128πC. 144πD. 192π4. 若a ，b 都是正数，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为（） A. 4 B. 8C.D.5. 神舟十五号飞行任务是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中国空间站建造阶段最后一次为飞行任务，航天员乘组将在轨工作生活6个月.某校为了培养学生们的航天精神，特意举办了关于航天知识的知识竞赛，竞赛一共包含两轮.高三（9）班派出了u 和v 两位同学代表班级参加比赛，每轮竞赛u 和v 两位同学各答1题.已知u 同学每轮答对的概率是45，v 同学每轮答对的概率是34，每轮竞赛中u 和v 两位同学答对与否互不影响，每轮结果亦互不影响，则u 和v 两位同学至少答对3道题的概率为（）.A.39200B.129200C.12950D.39506. 椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>左顶点为M ，点,A B 均在E 上，且点,A B 关于点y 轴对称，若直线,MA MB 均存在斜率，且斜率之积为18，记E 的离心率为e ，则2e =（）.A.18B.C.78D.147. 若直线π4x =是πsin()4y x ω=-(0)>ω的一条对称轴，且在区间π[0,12上不单调，则ω的最小值为（） A. 9B. 7C. 11D. 38. 设函数()f x 在R 上满足()()22f x f x -=+，()()77f x f x -=+，且在区间[]07，上只有()()130f f ==，则方程()0f x =在闭区间[]20232023-，上根的个数为（）. A. 806B. 810C. 807D. 811二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 如图，在下列给出的正方体中，点M N ，为顶点，点O 为下底面的中心，点P 为正方体的棱所在的中点，则OP 与MN 不垂直的是（）.A. B.C. D.10. 已知直线2:0l mx ny r +-=与圆222:C x y r +=，点(),P m n ，则下列命题中是假命题的是（）.的A. 若点P 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离B. 若点P 在圆C 内，则直线l 与圆C 相交C. 若点P 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切D. 若点P 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切11. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a ，b ，m （m >0）为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ≡b （mod m ）.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9≡21（mod 6）.若0122222222222222C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅ ，a ≡b （mod 10），则b 的值可以是（）. A. 2019B. 2023C. 2029D. 2033三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知向量a 与b相互垂直，且3a = ，2b = ，则()()a b a b +⋅-= _____.13. 已知符号“lim ”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①0sin lim1x xx →=；②10lim(1)e x x x →+=，则依据两个公式，类比求0sin cos limx x xx→=_____；1sin cos 0lim(1sin 2)x x x x →+= ________. 14. 已知函数()2e e e xxxg x x x =--，若方程()g x k =有三个不同实根，则实数k 的取值范围是_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业､创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入y （单位：万元）情况，如表所示. 月份 5 6 7 8 9 时间代号t 1 2 3 4 5 家乡特产收入y 32.42.221.8（1）根据5月至9月的数据，求y 与t 之间的线性相关系数（精确到0.001），并判断相关性；（2）求出y 关于t 的回归直线方程（结果中b 保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由.的附：相关系数公式：nnt y nt yr ==.（若0.75r >，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）②一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),nnx y ，其回归直线方程y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑ ， a y bx=- .③参考数据：2.91≈.16. 已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，2n na b n-=. （1）证明：数列{}n b 也等差数列；（2）若13a d ==，数列{}n c 是以数列{}n b 的公差为首项，2为公比的等比数列，数列{}n n b c 的前n 项和n T ，证明：1n T ≥.17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．（1）求证：MN ∥平面11BCC B ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18. 已知1(2,0)F -，2(2,0)F ，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为E .直线l 过点2F 且与轨迹E 交为于P 、Q 两点.（1）无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点(,0)M m ，使MP MQ ⊥恒成立，求实数m 值；（2）在（1）的条件下，求MPQ 面积的最小值. 19. 已知当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()πxf x =，()sin g x x =，()h x x =. （1）证明：()()()f x g x h x ＜＜；（2）已知()()()0f x g x h x --＜，证明：()π()2πh x g x -（π可近似于3.14）. 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 为虚数单位，且复数2024i 6z =，则下列说法中正确的是（）.A. 复数z 为实数B. 2024i i =C. 复数z 为纯虚数D. 6i z =-【答案】A 【解析】【分析】借助复数的运算法则计算即可得. 【详解】()()1012101220242i i 11==-=，故6z =，故A 正确，B 、C 、D 错误. 故选：A.2. 已知集合{}31,Z A x x k k ==+∈，则下列表示正确的是（）. A. 2A -∈ B. 2023A ∉ C. 231k A +∉ D. 35A -∉【答案】A 【解析】【分析】令31k +分别为选项中不同值，求出k 的值进行判定.的【详解】当1k =-时，2x =-，所以2A -∈，故A 正确；当674k =时，367412023x =⨯+=，所以2023A ∈，故B 错误；当1k =或0k =时，23131k k +=+，所以231k A +∈，故C 错误；当12k =-时，123135x =-⨯+=-，所以35A -∈，故D 错误. 故选：A3. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为积为（） A. 100π B. 128πC. 144πD. 192π【答案】A 【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以1222r r ==123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =，2d =121d d -=或121d d +=1=，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==．故选：A ．4. 若a ，b 都是正数，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为（）A. 4B. 8C. D.【答案】A 【解析】【分析】将1ab =代入，利用基本不等式直接求解即可得出结论．【详解】若a ，b 都是正数，且1ab =∴11888422222b a a b a b a b a b a b +++=++=+=+++≥，当且仅当4a b +=时等号成立，故选：A.5. 神舟十五号飞行任务是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中国空间站建造阶段最后一次飞行任务，航天员乘组将在轨工作生活6个月.某校为了培养学生们的航天精神，特意举办了关于航天知识的知识竞赛，竞赛一共包含两轮.高三（9）班派出了u 和v 两位同学代表班级参加比赛，每轮竞赛u 和v 两位同学各答1题.已知u 同学每轮答对的概率是45，v 同学每轮答对的概率是34，每轮竞赛中u 和v 两位同学答对与否互不影响，每轮结果亦互不影响，则u 和v 两位同学至少答对3道题的概率为（）.A.39200B.129200C.12950D.3950【答案】D 【解析】【分析】分别求出答对4道题，答对3道题的概率，再求和事件的概率即可.【详解】若u 和v 两位同学答对4道题，则其概率为224395425⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若u 和v 两位同学答对3道题，则其概率为22143134212255444550⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故u 和v 两位同学至少答对3道题的概率为92139255050+=. 故选：D.6. 椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左顶点为M ，点,A B 均在E 上，且点,A B 关于点y 轴对称，若直线,MA MB 均存在斜率，且斜率之积为18，记E 的离心率为e ，则2e =（）.A.18B.C.78D.14【答案】C 【解析】【分析】根据题意得到,,M A B 的坐标，进而利用两点距离公式与点在椭圆上得到关于,a b 的齐次方程，从而得解.【详解】由题可得(),0M a -，设()()0000,,,A x y B x y -. 则20002200018AM BMy y y k k x a a x a x ⋅=⋅==+--，又222222000022222118x y y a x b a b b a a -+=⇒=⇒=，则22222287a b c a b b ==-=,.则222227788c b e a b===. 故选：C 7. 若直线π4x =是πsin()4y x ω=-(0)>ω的一条对称轴，且在区间π[0,12上不单调，则ω的最小值为（） A. 9 B. 7C. 11D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件求出ω的关系式，再求出函数πsin()4y x ω=-含0的单调区间即可判断作答.【详解】因直线π4x =是πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，则ππππ,Z 442k k ω-=+∈，即43,Z k k ω=+∈，由πππ242x ω-≤-≤，得π3π44x ωω-≤≤，则πsin()4y x ω=-在π3π[,44ωω-上单调递增，而πsin(4y x ω=-在区间π[0,12上不单调，则3ππ412ω<，解得9ω>，综上，ω的最小值为11. 故选：C8. 设函数()f x 在R 上满足()()22f x f x -=+，()()77f x f x -=+，且在区间[]07，上只有()()130f f ==，则方程()0f x =在闭区间[]20232023-，上根的个数为（）. A. 806 B. 810C. 807D. 811【答案】B 【解析】【分析】先根据条件确定函数周期，然后确定一个周期内的根的个数，进而得到在闭区间[]20232023-，上根的个数.【详解】因为()()22f x f x -=+，所以()()4f x f x -=+，又()()77f x f x -=+，所以()()14f x f x -=+，所以()()414f x f x +=+，即()()10f x f x =+，所以函数()f x 的周期为10，在区间[]07，上只有()()130f f ==，所以()0f x =在(]4,7上无解，则()70f x -=在(]0,3上无解，又()()77f x f x -=+，所以()70f x +=在(]0,3上无解，，即()0f x =在(]7,10上无解，即一个周期[]0,10内，方程的根只有1,3，闭区间[]20202020-，上含有404个周期，此时有4042808⨯=个根，在区间(]20202023，内，()()()()202110,202330,f f f f ==== 对于区间[)2023,2020--，根据周期等价于区间[)7,10，该区间上无解，故方程()0f x =在闭区间[]20232023-，上根的个数为810. 故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 如图，在下列给出的正方体中，点M N ，为顶点，点O 为下底面的中心，点P 为正方体的棱所在的中点，则OP 与MN 不垂直的是（）.A. B.C. D.【答案】CD 【解析】【分析】建立适当空间直角坐标系，利用空间向量分析判断即可. 【详解】设正方体的棱长为2，对A ：建立如图所示空间直角坐标系，则(2,2,2),(0,2,0),(0,0,1),(1,1,0)M N P O ，可得(2,0,2),(1,1,1)MN OP =--=-- ，则2020MN OP ⋅=+-=，所以MN OP ⊥，即MN OP ⊥，故A 错误；对B ：建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,2),(2,0,0),(2,0,1),(1,1,0)M N P O ，可得(2,0,2),(1,1,1)MN OP =-=- ，则2020MN OP ⋅=+-=，所以MN OP ⊥，即MN OP ⊥，故B 错误；对C ：建立如图所示空间直角坐标系，则(0,2,0),(0,0,2),(2,1,2),(1,1,0)M N P O ，可得(0,2,2),(1,0,2)MN OP =-= ，则0040MN OP ⋅=++≠，所以MN 与OP不垂直，即MN 与OP 不垂直，故C 正确；对D ：建立如图所示空间直角坐标系，则(2,0,2),(0,2,2),(0,2,1),(1,1,0)M N P O ，可得(2,2,0),(1,1,1)MN OP =-=- ，则2200MN OP ⋅=++≠，所以MN 与OP不垂直，即MN 与OP 不垂直，故D 正确.故选：CD.10. 已知直线2:0l mx ny r +-=与圆222:C x y r +=，点(),P m n ，则下列命题中是假命题的是（）. A. 若点P 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离 B. 若点P 在圆C 内，则直线l 与圆C 相交 C. 若点P 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切 D. 若点P 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】AB【解析】【分析】根据直线和圆相切、相交、相离的等价条件进行求解即可. 【详解】对于A ，因为点(),P m n 在圆C 外，所以222m n r +>，则圆心()0,0C 到直线l的距离为d r <，所以直线l 与圆C 相交，故命题A 是假命题；对于B ，因为点(),P m n 在圆C 内，所以222m n r +<，则圆心()0,0C 到直线l的距离为d r >，所以直线l 与圆C 相离，故命题B 是假命题；对于C ，因为点(),P m n 在圆C 上，所以222m n r +=，则圆心()0,0C 到直线l的距离为d r =，所以直线l 与圆C 相切，故命题C 是真命题；对于D ，因为点(),P m n 在直线l 上，所以2220m n r +=-，即222m n r +=，则圆心()0,0C 到直线l的距离为d r =，所以直线l 与圆C 相切，故命题D 是真命题；故选：AB.11. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a ，b ，m （m >0）为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ≡b （mod m ）.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9≡21（mod 6）.若0122222222222222C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅ ，a ≡b （mod 10），则b 的值可以是（）. A. 2019 B. 2023 C. 2029 D. 2033【答案】AC 【解析】【分析】先利用二项式定理化简得223a =；再利用二项式定理将()11221139101==-展开可得到a 除以10所得的余数是9，进而可求解.【详解】因为()22012222222222222222C C 2C 2C 2123a =+⋅+⋅++⋅=+=()()112211011110101101019101111111111111139101C 10C 10C 10C 10C 10C 10C 19==-=⨯-⨯++⨯-=⨯-⨯++-+所以a 除以10所得的余数是9. 又因为a ≡b （mod 10）所以b 除以10所得的余数是9.而2019201109=⨯+，2023202103=⨯+，2029202109=⨯+，2033203103=⨯+ 故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知向量a 与b相互垂直，且3a = ，2b = ，则()()a b a b +⋅-= _____.【答案】5 【解析】【分析】根据向量的数量积运算法则即可求解.【详解】()()2222325a b a b a a b b a b +⋅-=⋅-⋅=-=-= ，故答案为：513. 已知符号“lim ”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①0sin lim1x xx →=；②10lim(1)e x x x →+=，则依据两个公式，类比求0sin cos lim x x x x→=_____；1sin cos 0lim(1sin 2)x x x x →+= ________. 【答案】 ①. 1②. 2e【解析】【分析】根据题意，结合极限的运算法则，准确计算，即可求解.【详解】由极限的定义知：①0sin lim1x xx→=；②10lim(1)e x x x →+=，因为sin cos sin 22x x x x x =，sin 2t x =，可得sin 2sin 2x tx t =，则00sin cos sin limlim 1x t x x tx t→→==；又因为12sin cos sin 2(1sin 2)(1sin 2)x x x x x +=+，令sin 2t x =，可得22sin 2(1sin 2)(1)x t x t +=+，所以12122sin cos 0lim(1sin 2)lim(1)lim (1e [)]x xt t x t t x t t →→→+=+=+=.故答案为：1；2e .14. 已知函数()2e e e xxxg x x x =--，若方程()g x k =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是_________. 【答案】()20,5e -【解析】【分析】通过求导得出函数的单调性和极值，即可得出有三个实根时实数k 的取值范围. 【详解】由题意，()2e e e xxxg x x x =--中，()()2e2xg x xx '=+-，当()0g x '=时，解得2x =-或1，当()0g x '<即2<<1x -时，()g x 单调递减，当()0g x '>即<2x -，1x >时，()g x 单调递增，∵()()()2222222e 2e e 5e g -----=----=，()1111e e e e g =--=-，当()()22,1e0xx g x x x -=--，方程()g x k =有三个不同的实根， ∴()02k g <<-即205e k -<<，故答案为：()20,5e-.【点睛】易错点点点睛：本题考查函数求导，两函数的交点问题，在研究函数的图象时很容易忽略()()22,1e 0x x g x x x -=--这个条件.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业､创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入y （单位：万元）情况，如表所示. 月份 5 6 7 8 9 时间代号t 1 2 3 4 5 家乡特产收入y32.42.221.8在（1）根据5月至9月的数据，求y 与t 之间的线性相关系数（精确到0.001），并判断相关性；（2）求出y 关于t 的回归直线方程（结果中b 保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由.附：相关系数公式：nnt y nt yr ==.（若0.75r >，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）②一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),nnx y ，其回归直线方程y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑ ， a y bx=- .③参考数据：2.91≈.【答案】（1）0.962r ≈-，y 与t 具有很强的线性相关关系（2） 0.28 3.12y t =-+，10月收入从预测看不能突破1.5万元，理由见解析【解析】【分析】（1）直接套公式求出y 与t 之间的线性相关系数，即可判断；（2）套公式求出系数b 、a ，即可得到回归方程，并求出10月份的收入.小问1详解】（1）由5月至9月的数据可知1234535t ++++==，3 2.4 2.22 1.82.285y ++++==，51132 2.43 2.2425 1.831.4i i i t y ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，()5214101410i i t t=-=++++=∑，()522222210.720.120.080.280.480.848ii y y =-=++++=∑，所以所求线性相关系数【为550.962t yr ===≈-.因为相关系数的绝对值0.9620.9620.75r =-=>，所以认为y 与t 具有很强的线性相关关系. 【小问2详解】由题得522222211234555ii t==++++=∑，51522215 3.1453 2.28 2.80.285553105i ii i i t y t ybt t==--⨯⨯-====--⨯-∑∑ ，所以 ()2.280.283 3.12a y bt=-=--⨯= ，所以y 关于t 的回归直线方程为 0.28 3.12y t =-+. 当6t =时， 0.286 3.12 1.44y =-⨯+=，因为144 15<．．，所以10月收入从预测看不能突破1.5万元. 16. 已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，2n na b n-=. （1）证明：数列{}n b 也为等差数列；（2）若13a d ==，数列{}n c 是以数列{}n b 的公差为首项，2为公比的等比数列，数列{}n n b c 的前n 项和n T ，证明：1n T ≥. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）通过计算1n n b b +-为定值可证明等差数列；（2）先求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求n T ，根据n T 的结构即可证明不等式. 【小问1详解】∵2n na b n-=， ∴2n n b a n =-，∴()()1112122n n n n n n b b a n a n a a +++⎡⎤-=-+--=--⎣⎦，又∵数列{}n a 是公差为d 的等差数列， ∴1n n a a d +-=， ∴12n n b b d +-=-，∴数列{}n b 是以2d -为公差的等差数列；【小问2详解】 ∵13a d ==，∴112321b a =-=-=，2321d -=-=， ∴数列{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列. ∴1(1)1n b n n =+-⨯=，∴数列{}n c 是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴11122n n n c --=⨯=，∴1·2n n n b c n -=，∴1121112222n n T n ---=⨯+⨯++⨯ ①，∴2n T =()21112122n n n n --⨯+++⨯⨯- ②，∴②-①得，11222n n n T n n -=----⨯+⨯()11222n n n n -=-+++⨯+⨯12212n n n -=-+⋅-122n n n =-+⋅()121n n =-+，∵1n ≥且n 为正整数， ∴10n -≥，20n ＞，∴()1211nn T n =-+≥（当1n =时取等）.17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．（1）求证：MN ∥平面11BCC B ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，可证平面//MKN 平面11BCC B ，从而可证//MN 平面11BCC B .（2）选①②均可证明1BB ⊥平面ABC ，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值. 【小问1详解】取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，由三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形，而11,B M MA BK KA ==，则1//MK BB ，而MK ⊄平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，故//MK 平面11BCC B ，而,CN NA BK KA ==，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11BCC B ，而,,NK MK K NK MK =⊂ 平面MKN ，故平面//MKN 平面11BCC B ，而MN ⊂平面MKN ，故//MN 平面11BCC B ，【小问2详解】因为侧面11BCC B 为正方形，故1CB BB ⊥，而CB ⊂平面11BCC B ，平面11CBB C ⊥平面11ABB A ，平面11CBB C ⋂平面111ABB A BB =，故CB ⊥平面11ABB A ，因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ，因AB ⊂平面11ABB A ，故NK AB ⊥，若选①，则AB MN ⊥，而NK AB ⊥，NK MN N = ，故AB ⊥平面MNK ，而MK ⊂平面MNK ，故AB MK ⊥，所以1AB BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ，故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则0n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()2,2,1n =-- ，设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n AB θ===⨯ .若选②，因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ，而KM ⊂平面11ABB A ，故NK KM ⊥，而11,1B M BK NK ===，故1B M NK =，而12B B MK ==，MB MN =，故1BB M MKN ≅ ，所以190BB M MKN ∠=∠=︒，故111A B BB ⊥，为而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ，故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则00n BN n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()2,2,1n =-- ，设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n BA θ===⨯ .18. 已知1(2,0)F -，2(2,0)F ，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为E .直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点.（1）无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点(,0)M m ，使MP MQ ⊥恒成立，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，求MPQ 面积的最小值. 【答案】18. 1m =-19. 9 【解析】【分析】（1）由双曲线定义即可得点P 的轨迹方程，设出直线l 方程，联立双曲线方程可得与x 有关韦达定理，借助向量垂直数量积为0可计算出M 点坐标；（2）借助弦长公式与点到直线的距离公式可表示出面积，再借助换元法计算即可得解.【小问1详解】由12122PF PF F F -=<知，点P 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的双曲线的右支，设轨迹E 的方程为22221(1)x y x a b-=≥，0a >，0b >，2c = ，22a =，23b ∴=，故轨迹E 的方程为221(1)3y x x -=≥，当直线l 的斜率存在时，设直线方程为(2)y k x =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，与双曲线方程联立2213(2)y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，可得()222234430k x k x k --++=，有()()24222122212230Δ16434304034303k k k k k x x k k x x k ⎧-≠⎪=--+>⎪⎪⎪⎨+=>⎪-⎪+⎪⋅=>⎪-⎩，解得23k >， ()()()12121MP MQ x m x m y y x m ⋅=--+=-.()()()221222x m k x x -+--()()()22221212124k x x k m x x m k =+-++++()()()222222214342433k k k k m m k k k +++=-++--2223(45)3m k m k -+=+- ()()222245313m m k m k --+-=-MP MQ ⊥ ，0MP MQ ∴⋅=，故得()()22231450mk mm -+--=对任意的23k >恒成立，2210,450,m m m ⎧-=∴⎨--=⎩解得1m =-， ∴当1m =-时，MP MQ ⊥.当直线l 斜率不存在时，可得(2,3)P ，则(2,3)Q -，此时有()()3312121-⋅=-----，即此时结论也成立，综上，当1m =-时，MP MQ ⊥；【小问2详解】由（1）知(1,0)M -，当直线l的斜率存在时，()222613k PQ x k +=-=-，点M 到直线PQ 的距离为d，则d =，1||2MPQS PQ d ∴====令23(0)k t t-=>，则MPQ S = 10t> ，9MPQ S ∴=> ，当直线l 的斜率不存在时，13692MPQ S =⨯⨯= ，综上可知，MPQ S 的最小值为9.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.19. 已知当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()πx f x =，()sin g x x=，()h x x =. 的（1）证明：()()()f x g x h x ＜＜；（2）已知()()()0f x g x h x --＜，证明：()π()2πh x g x -（π可近似于3.14）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）令π()()()sin ,02F x h x g x x x x ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，，求导得到函数单调性，得到sin x x >，要证()()f x g x ＜，只需证2sin πx x ＜，构造πsin 2()x G x x =-，π(0)2x ∈，，二次求导得到单调性，得到π()02G x G ⎛⎫= ⎪⎝⎭＞，证明出()(),(0)π2f x g x x ∈＜，，证明出不等式；（2）变形得到0ππ(2)sin x x --<，两边同时除以(2)s πin 0x -<得到：πsin 2πx x -＞，证明出不等式. 【小问1详解】令π()()()sin ,02F x h x g x x x x ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，，∴()1cos 0F x x =->'在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上恒成立，∴()F x 在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调递增， ∴()(0)0F x F =＞， ∴sin x x >，∴π()(),(0)2g x h x x ∈＜，，要证()()f x g x ＜，只需证2sin πxx ＜， ∵π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴只需证2sin πx x ＜，令πsin 2()x G x x =-，π(02x ∈，，∴2cos sin ()x x xG x x -'=，∴22cos tan cos cos ()(tan )x x x x xG x x x x x-'==-，令()tan M x x x =-，π(02x ∈，，∴2221cos 1()1cos cos x M x x x-'=-=，又∵当π(02x ∈，时，20cos 1x ＜＜， ∴当π(0)2x ∈，时，()0M x '＜， ∴()M x 在(0)π2，上单调递减， ∴()(0)0M x M =＜， ∴当π(0)2x ∈，时，()0G x '＜， ∴()G x 在(0π2，上单调递减∴π()02G x G ⎛⎫= ⎪⎝⎭＞，∴2sin πx x＜， ∴()(),(0)π2f x g x x ∈＜，， ∴综上所述，当π(02x ∈，时，()()()f x g x h x ＜＜，证毕.【小问2详解】∵当π(0)2x ∈，时，()()()0f x g x h x --＜，∴2sin 0πxx x --＜， ∴2sin 0πππx x x--＜， ∴0ππ2)i π(s n x x--＜，① 将①式两边同时乘以π得到：0ππ(2)sin x x --<，② ∵20π-＜，但当π(02x ∈，时，sin 0x >，∴(2)s πin 0x -<，将②式两边同时除以(2)s πin 0x -<得到：(2)sin 0(2)n ππsi πx xx-->-，∴0πsin 2πx x ->-， ∴πsin 2πx x -， ∴当π(0)2x ∈，时，()π()2πh x g x -＞，证毕. 【点睛】方法点睛:证明不等式或比较两函数大小，需构造函数，并根据导函数得到函数单调性，结合特殊点函数值得到结论.。

2024年山东潍坊市高三三模数学高考试卷试题(含答案详解)

潍坊市高考模拟考试（潍坊三模）数学2024.5一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.1．设复数πsin 2i 4z θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是纯虚数，则θ的值可以为（）A ．π4B ．5π4C ．2023π4D ．2025π42．已知集合{}{}3,2,1,0,1,2,3,|3,Z A B x x n n =---==∈，则A B ⋂的子集个数是（）A ．3个B ．4个C ．8个D ．16个3．如图，半径为1的圆M 与x 轴相切于原点O ，切点处有一个标志，该圆沿x 轴向右滚动，当圆M 滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为N )，标志位于点A 处，圆N 与x 轴相切于点B ，则阴影部分的面积是（）A ．2B ．1C ．π3D ．π44．某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为1:2，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为（）A B ．12C ．2D 5．牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程()0f x =的根就是函数()f x 的零点r ，取初始值()0,x f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为()1,x f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，一直继续下去，得到12,,,n x x x ，它们越来越接近r ．设函数()2f x x bx =+，02x =，用牛顿迭代法得到11619x =，则实数b =（）A ．1B ．12C ．23D ．346．已知1F ，2F 分别为椭圆C ：22162x y+=的左、右焦点，点()00,P x y 在C 上，若12F PF ∠大于π3，则0x 的取值范围是（）A ．(),-∞+∞B ．(C ．(),-∞+∞D ．(7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()1e f =，当0x >时，()1e xf x x<'+，则不等式()ln 1e xf x x ->的解集为（）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．()1,∞+D ．()()0,11,∞⋃+8．已知()()()()()()828901289321111x x a a x a x a x a x ++=+++++++++ ，则8a =（）A ．8B ．10C ．82D ．92二、多项选择题:本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为棱111,C D C C 的中点，则（）A ．直线BN 与1MB 是异面直线B ．直线MN 与AC 所成的角是3πC ．直线MN ⊥平面ADND ．平面BMN 截正方体所得的截面面积为98.10．下列说法正确的是（）A ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”是互斥事件B ．掷一枚质地均匀的骰子两次，“第一次向上的点数是1”与“两次向上的点数之和是7”是相互独立事件C ．若123452,,,,,x x x x x 的平均数是7，方差是6，则12345,,,,x x x x x 的方差是65D ．某人在10次射击中，设击中目标的次数为X ，且()10,0.8B X ，则8X =的概率最大11．已知12F F ，双曲线()222:104x y C b b-=>的左、右焦点，点P 在C 上，设12PF F △的内切圆圆心为I ，半径为r ，直线PI 交12F F 于Q ，若53PQ PI = ，1215PI PF t PF =+，R t ∈则（）A ．25t =B ．圆心I 的横坐标为1C ．5r =D ．C 的离心率为2三、填空题:本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12．已知向量()()()1,2,4,2,1,a b c λ==-=，若()20c a b ⋅+= ，则实数λ=13．已知关于x 的方程()()2cos 0x k ωϕω+=≠的所有正实根从小到大排列构成等差数列，请写出实数k 的一个取值为14．已知,,a b c 均为正实数，函数()()22ln f x x a b x x =+++．（1）若()f x 的图象过点()1,2，则12a b+的最小值为；（2）若()f x 的图象过点(),ln c ab c +，且()3a b t c +≥恒成立，则实数t 的最小值为．四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤.15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AB AC AB AC AA ⊥==，E 是棱BC的中点．(1)求证：1//A C 平面1AB E ；(2)求二面角11A B E A --的大小．16．已知正项等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且12311S S S ++，，成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若()1,1sin ,2nn n n S b n S n π⎧⎪⎪=⎨-⎪⋅⎪⎩为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前4n 项和.17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，E 为直线:1l y =-上一点，动点F 满足FE l ⊥，OF OE ⊥ .(1)求动点F 的轨迹C 的方程;(2)若过点1,02T ⎛⎫⎪⎝⎭作直线与C 交于不同的两点,M N ，点()1,1P ，过点M 作y 轴的垂线分别与直线,OP ON 交于点,A B .证明：A 为线段BM 的中点.18．某高校为了提升学校餐厅的服务水平，组织4000名师生对学校餐厅满意度进行评分调查，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分(满分100分)作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级:满意度评分[0,60)[60,80)[80,90)[]90100，满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求图中a 的值，并估计满意度评分的25%分位数;(2)若样本中男性师生比为1:4，且男教师评分为80分以上的概率为0.8，男学生评分为80分以上的概率0.55，现从男性师生中随机抽取一人，其评分为80分以上的概率为多少?(3)设在样本中，学生、教师的人数分别为()1200m n n m ≤≤≤，，记所有学生的评分为12,,m x x x ，，其平均数为x ，方差为2x s ，所有教师的评分为12,,n y y y ，，其平均数为y ，方差为2y s ，总样本的平均数为z ，方差为2s ，若245x y x y s s s ==，试求m 的最小值.19．一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程e e 2x xccc y -⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，其中c 为参数.当1c =时，就是双曲余弦函数()e e ch 2x x x -+=，类似地双曲正弦函数()e e sh 2x xx --=，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式sin22sin cos x x x =；②平方关系22sin cos 1x x +=；③求导公式()()''sin cos cos sin x x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；(2)当0x >时，双曲正弦函数()sh y x =图象总在直线y kx =的上方，求实数k 的取值范围；(3)若1200x x >>，，证明：()()()()()2221112121ch sh 1ch sh sin sin cos .x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+--⋅+>+--⎣⎦⎣⎦1．C【分析】根据题意得到πsin 04θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将四个选项代入检验，得到答案.【详解】由题意得πsin 04θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，A 选项，当π4θ=时，ππsin 144⎛⎫+= ⎪⎝⎭，不合题意，A 错误；B 选项，当5π4θ=时，5ππsin 144⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，不合要求，B 错误；C 选项，当2023π4θ=时，2023ππsin sin 506π044⎛⎫+==⎪⎝⎭，故C 正确；D 选项，当2025π4θ=时，2025ππsin 144⎛⎫+=⎝⎭，D 错误.故选：C 2．C【分析】由交集的定义求得A B ⋂，根据子集个数的计算方法即可求解．【详解】由题意得，{3,0,3}A B ⋂=-，则A B ⋂的子集有328=个，故选：C ．3．B【分析】根据给定条件，求出劣弧AB 的长，再利用扇形面积公式计算即得．【详解】由圆M 与圆N 外切，得2MN =，又圆M ，圆N 与x 轴分别相切于原点O 和点B ，则2OB MN ==，所以劣弧AB 长等于2OB =，所以劣弧AB 对应的扇形面积为12112⨯⨯=.故选：B 4．A【分析】由圆锥的体积公式及圆锥高、半径与母线的关系计算即可．【详解】设上、下两圆锥的底面半径为r ，高分别为12,h h ，体积分别为12,V V ，因为上圆锥的高与底面半径相等，所以1h r =，则2111222221π1312π3r h V h r V h h r h ====得，22h r =，=，5=，故选：A ．5．D【分析】求得()f x 在()()22f ,的切线方程，代入16,019⎛⎫⎪⎝⎭求解即可．【详解】()2f x x b '=+，(2)4f b '=+，()242f b =+，则()f x 在()()22f ,处的切线方程为()()()4242y b b x -+=+-，由题意得，切线过16,019⎛⎫⎪⎝⎭代入得，()()16424219b b ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，解得34b =，故选：D ．6．D【分析】由已知可知1PF ，2PF的坐标和模，由向量数量积的定义及坐标运算可得关于0x 的不等关系，即可求解.【详解】因为椭圆C ：22162x y +=，所以26a =，22b =，所以2224c a b =-=，所以()12,0F -，()22,0F ，因为点()00,P x y 在C 上，所以2200162x y +=，所以2200123y x =-，0x <<，又()1002,PF x y =--- ，()2002,PF x y =-- ，所以222120002423PF PF x y x ⋅=+-=- ，又)10033PF x ==+=+ ，)2003PF x x ==-=- ，所以121212cos PF PF PF PF F PF ⋅=⋅∠ ，因为12F PF ∠大于π3，所以121212πcos cos 3PF PF F PF PF PF ⋅∠<⋅ ，所以()()2000221233332x x x -<+⋅-⋅，解得0x <<所以0x 的取值范围是(.故选：D .7．A【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式.【详解】不等式()ln 1exf x x->等价于()e ln x f x x >+，即()e ln 0x f x x -+>，构造函数()()e ln ,0x g x f x x x =-+>，所以1()()e xg x f x x''=--，因为0x >时，()1e xf x x<'+，所以()0g x '<对(0,)∀∈+∞x 恒成立，所以()g x 在(0,)+∞单调递减，又因为(1)(1)e ln10g f =--=，所以不等式()e ln 0x f x x -+>等价于()(1)g x g >，所以01x <<，即()ln 1exf x x->的解集为()0,1.故选：A.8．B【分析】由()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，利用二项式定理求解指定项的系数.【详解】()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，其中()811x ⎡⎤++⎣⎦展开式的通项为()()88188C 11C 1rrr r rr T x x --+=+⋅=+，N r ∈且8r ≤，当0r =时，()()8818C 11T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的2，可得()821x +；当1r =时，()()77128C 181T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的()1x +，可得()881x +.所以82810a =+=.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把()()832x x ++表示成()()81211x x ⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦，利用即可二项式定理求解.9．ABD【分析】根据异面直线成角，线面垂直的判定定理，梯形面积公式逐项判断即可.【详解】对于A ，由于BN ⊂平面11BB C C ，1MB 平面1111BB C C B ,B BN =∉，故直线BN 与1MB 是异面直线，故A 正确；对于B ，如图，连接1CD ，因为M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，所以1∥MN CD ，所以直线MN 与AC 所成的角即为直线1CD 与AC 所成的角，又因为1ACD △是等边三角形，所以直线1CD 与AC 所成的角为π3，故直线MN 与AC 所成的角是π3，故B 正确；对于C ，如图，假设直线MN ⊥平面ADN ，又因为DN ⊂平面ADN ，所以MN DN ⊥，而222MN DN DM ===，这三边不能构成直角三角形，所以DN 与MN 不垂直，故假设错误，故C 错误；对于D ，如图，连接11,A B A M ，因为111,A B CD CD MN ∥∥，所以1//A B MN ，所以平面BMN 截正方体所得的截面为梯形1A BNM ，且11,2MN A B A M BN ====4，所以截面面积为19(2248⨯+⨯=，故D 正确.故选：ABD.10．BCD【分析】由互斥事件的定义即可判断A ；由独立事件的乘法公式验证即可判断B ；由平均值及方差的公式即可判断C ；由二项分布的概率公式即可判断D ．【详解】对于A ，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”可以同时发生，所以不是互斥事件，故A 错误；对于B ，设A =“第一次向上的点数是1”，B =“两次向上的点数之和是7”，则()16P A =，()61366P B ==，()136P AB =，因为()()()P AB P A P B =⋅，所以事件A 与B 互相独立，故B 正确；对于C ，由123452,,,,,x x x x x 的平均数是7，得12345,,,,x x x x x 的平均数为8，由123452,,,,,x x x x x 方差是6，则()()222222123451234514752536xx x x x x x x x x ++++-+++++⨯+=，所以()()222222123451234516856x x x x x x x x x x ++++-+++++⨯=，所以12345,,,,x x x x x 的方差()()22222212345123451685655xx x x x x x x x x ++++-+++++⨯=，故C 正确；对于D ，由()10,0.8B X 得，当()110,Z x r r r =≤≤∈时，()101041C 55rrr P x r -⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当2r ≥时，令()()()101011111041C 411551141C 55r rr r r r P x r r P x r k ----⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=-⎝⎭⎝⎭==≥=-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即445r ≤，令()()()10101911041C 1551141041C 55r rrr r r P x r r P x r k -+-+⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎝⎭==≥=+-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得395r ≥，即394455r ≤≤，所以当8r =时，()8P X =最大，故D 正确，故选：BCD ．11．ACD【分析】由121533PQ PF t PF =+ ，且12,,F Q F 三点共线，得到25t =，可判定A 正确；根据双曲线的定义和122EF EF c +=，求得12,EF a c EF c a =+=-，可判定B 错误；利用角平分线定理得到11222PF QF PF QF ==，结合三角形的面积公式，分别求得,c r 的值，可判定C 正确；结合离心率的定义和求法，可判定D 正确.【详解】对于A 中，因为12515333PQ PI PF t PF ==+，且12,,F Q F 三点共线，所以15133t +=，可得25t =，所以A 正确；对于B 中，设切点分别为,,E F G ，则12122EF EF PF PF a -=-=，又因为122EF EF c +=，所以12,EF a c EF c a =+=-，所以点E 为右顶点，圆心I 的横坐标为2，所以B 错误；对于C 中，因为121233PQ PF PF =+ ，所以122QF QF =，由角平分线定理，得11222PF QF PF QF ==，又因为1224PF PF a -==，所以128,4PF PF ==，由53PQ PI = 可得52P y r =，所以()121152122222PF F S c r c r =+⋅=⨯⨯ ，可得4c =，所以128F F =，则12PF F △为等腰三角形，所以1211(812)422PF F S r =+⋅=⨯⨯ 5r =，所以C 正确；对于D 中，由离心率422c e a ===，所以D 正确.【点睛】方法点拨：对于双曲线的综合问题的求解策略：1、与双曲线的两焦点有关的问题，在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合122PF PF a -=，运用平方的方法，建立12PF PF ⋅的联系；2、当与直线有关的问题，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式，根与系数的关系构造相关变量关系式进行求解；3、当与向量有关相结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系转化为点的坐标问题，再根据与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解.12．3-【分析】根据向量线性运算和数量积公式得到方程，求出答案.【详解】()()()22,44,26,2a b +=+-=，()()()21,6,2620c a b λλ⋅+=⋅=+=，解得3λ=-.故答案为：3-13．10,,12（答案不唯一，填写其中一个即可）【分析】根据三角降幂公式化简，再结合图象求得k 的取值即可.【详解】因为()()2cos 0x k ωϕω+=≠，所以cos 2()12x k ωϕ++=，即cos 2()21x k ωϕ+=-，要想方程所有正实根从小到大排列构成等差数列，则需要210k -=或1±，所以10,1,2k =.故答案为：10,,12（答案不唯一，填写其中一个即可）.14．9113【分析】（1）由()f x 的图象过点()1,2得21a b +=，根据基本不等式“1”的妙用计算即可；（2）由()f x 的图象过点(),ln c ab c +得()22c ac b a c +=-，进而得出22c ac b a c+=-，利用换元法及基本不等式即可求得3ca b+的最大值，即可得出t 的最小值．【详解】（1）由()f x 的图象过点()1,2得，(1)122f a b =++=，即21a b +=，所以()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即13a b ==时等号成立．由()3a b t c +≥恒成立得，3ct a b≥+，（2）因为()f x 的图象过点(),ln c ab c +，则()()22ln ln f c c a b c c ab c =+++=+，即()22c ac b a c +=-，当2a c =时，0c =不合题意舍，所以2a c ≠，即2a c ≠，则22c acb a c+=-，则由0b >得2a c >，所以222222233533512ac c c ac a ac c c a b a ac c a a a c c c --===+-+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭+-，设20am c-=>，所以()()222237332521351a m m c m m a a m m c c -==+++-++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1131337m m =≤++，当且仅当33m m=，即1m =，则3,4a c b c ==时，等号成立，故答案为：9；113．【点睛】方法点睛：第二空由()f x 的图象过点(),ln c ab c +得出22c acb a c+=-，代入消元得出关于,a c 的齐次式，换元后根据基本不等式计算可得．15．(1)证明见解析(2)30︒【分析】（1）取11B C 的中点D ，连接1,,A D CD DE ，先得出平面1//A DC 平面1AB E ，由面面平行证明线面平行即可；（2）建立空间直角坐标系，根据面面夹角的向量公式计算即可．【详解】（1）取11B C 的中点D ，连接1,,A D CD DE ，由直三棱柱111ABC A B C -得，1111,//B C BC B C BC =，1111,//AA BB AA BB =，因为E 是棱BC 的中点，点D 是11B C 的中点，所以1B D CE =，所以四边形1ECDB 为平行四边形，所以1//CD B E ，同理可得四边形1BEDB 为平行四边形，所以11,//,BB DE BB DE =所以11,//AA DE AA DE =，所以四边形1AEDA 为平行四边形，所以1//A D AE ，因为AE ⊂平面1AB E ，1A D ⊄平面1AB E ，所以1A D //平面1AB E ，同理可得//CD 平面1AB E ，又1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面1A DC ，所以平面1//A DC 平面1AB E ，又1AC ⊂平面1A DC ，所以1//A C 平面1AB E ．（2）设122AB AC AA ===，以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()110,0,0,0,0,1,2,0,1,1,1,0A A B E ，所以()()()()11111,1,0,2,0,1,2,0,0,1,1,1AE AB A B EA ====--，设平面1AEB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由11100AE n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，1111020x y x z +=⎧⎨+=⎩，取11x =，的()11,1,2n =-- ，设平面11A EB 的一个法向量为()2222,,n x y z =，由112120A B n EA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，2222200x x y z =⎧⎨--+=⎩，取21y =，的()20,1,1n = ，设平面1AEB 与平面11A EB 的夹角为θ，则1212cos n n n n θ⋅===由图可知二面角11A B E A --为锐角，则二面角11A B E A --的大小为30︒．16．(1)21n a n =+(2)28(1)41nn n n -++【分析】（1）根据12311S S S ++，，成等比数列求得1a ，即可求得{}n a 的通项公式.（2）根据{}n a 的通项公式求得n S ，分奇偶项分别求出n b 再求和，即可求得{}n b 的前4n 项和.【详解】（1）因为2213(1)(1)S S S =++，所以2111(22)(1)(37)a a a +=++，即11(1)(3)0a a +-=，解得11a =-或3，又因为0n a >，所以13a =，所以32(1)21n a n n =+-=+.（2）1()(2)2n n n a a S n n +==+，所以1111()22nS n n =-+，所以n 为奇数时，1341134111111111111(1()()2323524141n n b b b S S S n n --+++=+=-+-++--+ 11(1)241n =-+，n 为偶数时，424424(42)44(42)16n n n n b b S S n n n n n--+=-=-⨯-⨯+=-24416(12)8(1)n b b b n n n +++=-+++=-+ ，所以前4n 项和4112(1)8(1)8(1)24141n nT n n n n n n =--+=-+++.17．(1)2y x =(2)证明见详解.【分析】（1）设动点F 的坐标为(),x y ，直接利用题中的条件列式并化简，从而求出动点F 的轨迹方程；（2）要证A 为线段BM 的中点，只需证12A B x x x =+即可，设直线的方程为12x my =+，设点()11,M x y ，()22,N x y ，()1,A A x y ，()1,B B x y ，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，由直线OP ，ON 可求得点,A B ，计算120B A x x x +-=即可证.【详解】（1）设点(),F x y ，则(),1E x -，因为OF OE ⊥，所以0OF OE =⋅ ，所以20x y -=，即2x y =，所以动点F 的轨迹方程为：2y x =；（2）因为BM y ⊥轴，所以设()11,M x y ，()22,N x y ，()1,A A x y ，()1,B B x y ，若要证A 为线段BM 的中点，只需证12A B x x x =+即可，当直线MN 斜率不存在或斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不满足题意，所以直线MN 斜率存在且不为0，12120x x y y ≠，设直线MN ：12x my =+，0m ≠，由212x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22210mx x -+=，442148m m ∆=-⨯⨯=-，由题意可知，直线MN 与抛物线C 有两个交点，所以0∆>，即480m ->，所以12m <，由根与系数的关系得，121x x m +=，1212x x m=，由题意得，直线OP 方程y x =，所以()11,A y y ，直线ON 方程22y y x x =，所以2112,x y B y y ⎛⎫⎪⎝⎭，所以22212111111111222222212B A x y x x x x x x x y x x x x y x x ⎛⎫⋅+-=+-=+-=+- ⎪⎝⎭()121211112122222112202x x x x x x x x x x x x x x m m +-⎛⎫=⋅=+-=-⨯= ⎪⎝⎭，所以A 为线段BM 的中点.18．(1)0.035a =；72.5(2)0.6(3)160【分析】（1）由频率分布直方图的概率和为1，列出方程，求得0.035a =，再利用百分位数的计算方法，即可求解；（2）设“抽到男学生”为事件A ，“评分80分以上”为事件B ，结合全概率公式，即可求解；（3）根据题意，利用方差的计算公式，求得245x y s s s =，得到160y x y x s s m n s s +=，令x y s t s =，得到160n my t +=，利用基本不等式求得nmy t+≥200n m =-，得出不等式160≥m 的范围，即可求解.【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得：(0.0020.0040.00140.00200.0025)101a +++++⨯=，解得0.035a =，设25%分位数为0x ，由分布直方图得0.020,040.140.2++=，所以0700.05100.2x -=，解得072.5x =.（2）解：设“抽到男学生”为事件A ，“评分80分以上”为事件B ，可得()0.8,(|)0.55,()0.2,(|)0.8P A P B A P A P B A ====，由全概率公式得()()(|)()(|)0.80.550.20.80.6P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.（3）解：由x y =，可得mx n yz x m n+==+，所以22222111111[()()][()()]200200m n m ni i i i i j i j s x z y z x x y y =====-+-=-+-∑∑∑∑2214()2005x y x y ms ns s s =+=，所以22160x y x y ms ns s s +=，即160y xy xs s mn s s +=，令x y s t s =，则160nmy t+=，由于n my t +≥=n my t =时，等号成立，又因为200n m =-，可得160≥=220064000m m -+≥，解得40m ≤或160m ≥，因为1200n m ≤≤≤且200m n +=，所以160m ≥，所以实数m 的最大值为160.19．(1)答案见解析，证明见解析(2)(],1-∞(3)证明见解析【分析】（1）类比，写出平方关系，倍角关系和导数关系，并进行证明；（2）构造函数()()sh F x x kx =-，()0,x ∞∈+，求导，分1k ≤和1k >两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案；（3）结合新定义将所证变为()()121112121e sin e sin e cos x x x x x x x x x +-+>-+-，设函数()=e sin x f x x -，即证()()()12121f x x f x x f x >+'+，先利用导数求得()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，再设()()()()()111,0h x f x x f x xf x x =+-->'，利用导数得其单调性及()0h x >，从而()()()111f x x f x xf x >+'+，得证.【详解】（1）平方关系：()()22chsh 1x x -=；倍角公式：()()()sh 22sh ch x x x =；导数：()()sh()ch()ch()sh()x x x x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩.理由如下：平方关系，()()2222e e e e ch sh 22x x x x x x --⎛⎫⎛⎫+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222e e e e 12244x x x x --++=--=+；倍角公式：()()()()()22e e e e e e sh 22sh ch 22x x x x x x x x x ----+-===；导数：()()e e ee sh()ch 22x xxxx x --'--+===，()e e ch()sh 2x x x x -'-==；以上三个结论，证对一个即可.（2）构造函数()()sh F x x kx =-，()0,x ∞∈+，由（1）可知()()ch F x x k ='-，①当1k ≤时，由e e ch()12x xx -+=≥，又因为0x >，故e e x x -≠，等号不成立，所以()()ch 0F x x k '=->，故()F x 为严格增函数，此时()(0)0F x F >=，故对任意0x >，()sh x kx >恒成立，满足题意；②当1k >时，令()()(),0,G x F x x ∞∈'=+，则()()sh 0G x x ='>，可知()G x 是严格增函数，答案第15页，共15页由(0)10G k =-<与1(ln 2)04G k k=>可知，存在唯一0(0,ln 2)x k ∈，使得0()0G x =，故当0(0,)x x ∈时，0()()()0F x G x G x =<='，则()F x 在0(0,)x 上为严格减函数，故对任意0(0,)x x ∈，()()00F x F <=，即()sh x kx >，矛盾；综上所述，实数k 的取值范围为(],1-∞；（3）因为()()ch sh e xx x +=，所以原式变为()()21212121e 1e sin sin cos x x x x x x x x --⋅>+--，即证()()121112121e sin e sin e cos x x x x x x x x x +-+>-+-，设函数()=e sin x f x x -，即证()()()12121f x x f x x f x >+'+，()=e cos x f x x -'，设()()=e cos x t x f x x =-'，()e sin x t x x '=+，0x >时()0t x '>，()t x 在()0,∞+上单调递增，即()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，设()()()()()111,0h x f x x f x xf x x =+-->'，则()()()11h x f x x f x =+'-''，由于()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，11x x x +>，所以()()11f x x f x +>''，即()0h x '>，故()h x 在()0,∞+上单调递增，又()00h =，所以0x >时，()0h x >，所以()()()1110f x x f x xf x +-->'，即()()()111f x x f x xf x >+'+，因此()()()12121f x x f x x f x >+'+恒成立，所以原不等式成立，得证.【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点：（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.。

2024年东北三省高考模拟数学试题(一)(含答案)

2024年东北三省高考模拟数学试题(一)(含答案)一、选择题（每题5分，共40分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的单调递增区间是（）A. (-∞, -1) 和(1, +∞)B. (-∞, 1) 和(1, +∞)C. (-∞, -1) 和 (-1, 1)D. (-∞, 1) 和(1, +∞)2. 已知函数y = f(x)的图像上有点A(2, 3)，B(4, 7)，则直线AB的斜率是（）A. 2B. 1C. 3/2D. 1/23. 若a、b是方程x^2 - 3x + 2 = 0的两个根，则a + b的值为（）A. 3B. 2C. 1D. 04. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 35，S10 = 110，则该数列的首项a1等于（）A. 3B. 5C. 7D. 95. 若函数y = f(x)在x = 1处的导数f'(1) = 2，则曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率是（）A. 1B. 2C. -1D. -26. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求不等式f(x) > 0的解集是（）A. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)B. (-∞, -1) ∪ (-1, 1) ∪ (1, +∞)C. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)D. (-∞, -1) ∪ (-1, 1)7. 已知函数y = f(x)满足f(x + 1) = f(x)，则f(x)是（）A. 奇函数B. 偶函数C. 周期函数D. 非周期函数8. 若矩阵A = $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则矩阵A的行列式值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共40分）9. 若函数f(x) = 2x + 3在x = 2处的导数f'(2) = 2，则f(x)在x = 2处的切线方程是______。

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设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
24．已知且，求函数的最大值和最小值．
25．如图：在中，，， .
（1）求角；
（2）设为的中点，求中线的长.
26．在中，，，已知，是方程的两个根，且．
（1）求角的大小；
（2）求的长．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
A． B． C． D．
3．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( )
A． B．
C． D．
4．已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则的单调递减区间是（）
A．， B．，
C．， D．，
5．设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时，（）
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程；
(Ⅱ)若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB的长度为2 ，求直线l的普通方程．
23．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
3．A
解析：A
【解析】
试题分析：因为与正相关，排除选项C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B；故选A．
考点：线性回归直线.
4．D
解析：D
【解析】
【详解】
由题设可知该函数的最小正周期，结合函数的图象可知单调递减区间是，即，等价于，应选答案D．
点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8”．结合图像很容易观察出最小正周期是，进而数形结合写出函数的单调递减区间，从而使得问题获解．
【典型题】数学高考模拟试题(含答案)
一、选择题
1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是
A．24B．16C．8D．12
2．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形但不是等边三角形.
11．函数的图象向右平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最大值为（）
A． B． C． D．
12．已知向量，，若，则（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．函数的零点个数是________．
14．如图所示，平面BCC1B1⊥平面ABC，ABC＝120，四边形BCC1B1为正方形，且AB＝BC＝2，则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为_____．
【点睛】
本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相邻问题的处理方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
求得基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为 ,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.
15．已知，，则 __________．
16．已知圆C经过两点，圆心在轴上，则C的方程为__________．
17．学校里有一棵树，甲同学在地测得树尖的仰角为，乙同学在地测得树尖的仰角为，量得，树根部为（在同一水平面上），则 ______________.
18．在中，角，，的对边分别为，，，若，是锐角，且，，则的面积为______．
A． B． C． D．
8．已知全集，集合，，则如图所示阴影区域表示的集合为（）
A． B．
C． D．
9．已知平面向量 , 是非零向量,| |=2, ⊥( +2 ),则向量在向量方向上的投影为()
A．1B．-1C．2D形状为（）
A．减小B．增大
C．先减小后增大D．先增大后减小
6．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件为“三个人去的景点各不相同”，事件为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则等于（）
A． B． C． D．
7．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解。
【详解】
根据题意，可分三步进行分析：
（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有种情况；
（2）将这个整体与英语全排列，有中顺序，排好后，有3个空位；
（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，
安排物理，有2中情况，则数学、物理的安排方法有种，
所以不同的排课方法的种数是种，故选B。
【详解】
由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，
基本事件的总数为，
其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为 ,
所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选B.
【点睛】
本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
19．设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为．
20．函数的定义域是________．
三、解答题
21．已知 .
(1)讨论的单调性；
(2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.
22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，0）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．