文刀川页丛书高考数学二轮复习专项：函数

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2023高考数学二轮复习专项训练《函数的概念及其表示》(含答案)

2023高考数学二轮复习专项训练《函数的概念及其表示》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）函数f(x)=11−x(1−x)的最大值是()A. 45B. 54C. 34D. 432.（5分）函数f(x)=log2|x|的单调增区间为()A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,0)∪(0,+∞)D. (−∞,+∞)3.（5分）已知f(1+xx )=x2+1x2+1x，则f(x)=()A. (x+1)2B. (x−1)2C. x2−x+1D. x2+x+14.（5分）函数f(x)=√x−1−lnx的定义域为()A. (0,+∞)B. (1,+∞)C. (0,1]D. (0,1)∪(1,+∞)5.（5分）已知函数f(x)=|x|+1x，则函数y=f(x)的大致图象为()A. B.C. D.6.（5分）下列函数中，满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是()A. f(x)=2xB. f(x)=3xC. f(x)=(12)x D. f(x)=≶x7.（5分）设f：A→B是集合A到B的映射，下列命题中真命题是：（）A. A 中不同元素必有不同的象B. B 中每一个元素在A 中必有原象C. A 中每一个元素在B 中必有象D. B 中每一个元素在A 中的原象唯一8.（5分）已知函数f(x)=sin (ωx +ϕ)(ω>0,0<ϕ<π2),f(0)=−f(π2)，若将f(x)的图象向左平移π12个单位后所得函数的图象关于原点对称，则ϕ=( )A. π12B. π6C. π4D. π39.（5分）函数f （x ）=lg （lgx ）的定义域为（）A. （0，+∞）B. （0，1）C. （0，1]D. （1，+∞）10.（5分）已知f(x)={^x +ax 2,x >01ex+ax 2,x <0，若函数f(x)有四个零点，则实数a 的取值范围( )A. (−∞,−e 216) B. (−∞,−e ) C. (−∞,−e 39)D. (−∞,−e 24)11.（5分）函数y =f(x)的图象如图所示，则函数y =f(x)的解析式可能为( )A. y =ln xx+1B. y =cos xx+1C. y =e xx+1D. y =|x|x+112.（5分）已知f(x)是R 上的奇函数，对x ∈R 都有f(x +4)=f(x)+f(2)成立，若f(−1)=−2，则f(2013)等于( )A. 2B. −2C. −1D. 2013二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）已知函数，设，且，则=．14.（5分）函数y =sin x +√3cos x(x ∈R)的值域为__________. 15.（5分）幂函数f(x)=x a 的图象经过点(12,√22)，则其解析式为______ . 16.（5分）若函数y =f(x)的定义域是[−3,3]，则函数g(x)=f(2x −1)x+1的定义域是________.17.（5分）函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=1f(x)，若f(1)=−5则f(f(5))=__________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知函数y=f(x)为偶函数，当x⩾0时，f(x)=x2+2ax+1(a为常数).(1)当x<0时，求f(x)的解析式：(2)设函数y=f(x)在[0,5]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式；(3)对于(2)中的g(a)，试求满足g(8m)=g(1m)的所有实数m的取值集合.19.（12分）已知函数f(x)=x2+2ax+3，x∈[−2,2].(1)当a=−1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)记f(x)在区间[−2,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式及值域.20.（12分）已知函数f(x)=2+1a −1a2x(实数a≠0)．(1)若m<n<0，请判断函数f(x)在区间[m,n]上的单调性并证明；(2)若87⩽m<n且a>0时，函数f(x)的定义域和值域都[m,n]，求n−m的最大值．21.（12分）定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4，且x∈(0,2)时，f(x)=3x9x+1。

文刀川页丛书求解函数解析式

求解函数解析式求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力. ●难点磁场(★★★★)已知f (2－cos x )=cos2x +cos x ,求f (x －1).●案例探究［例1］(1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(12x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式. (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求 f (x ) 的表达式.命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力.属★★★★题目.知识依托：利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域.错解分析：本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错.技巧与方法：(1)用换元法；(2)用待定系数法.解：(1)令t=log a x (a >1,t >0;0<a <1,t <0),则x =a t .因此f (t )=12-a a (a t －a －t ) ∴f (x )=12-a a (a x －a －x )(a >1,x >0;0<a <1,x <0) (2)由f (1)=a +b +c ,f (－1)=a －b +c ,f (0)=c 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=)0()]1()1([21)0()]1()1([21f c f f b f f f a 并且f (1)、f (－1)、f (0)不能同时等于1或－1，所以所求函数为：f (x )=2x 2－1或f (x )=－2x 2+1或f (x )=－x 2－x +1或f (x )=x 2－x －1或f (x )=－x 2+x +1或f (x )=x 2+x －1.［例2］设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，y =f (x )的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y =f (x )的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f (x )的表达式，并在图中作出其图象.命题意图：本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力.因此，分段函数是今后高考的热点题型.属★★★★题目. 知识依托：函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线.错解分析：本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱.技巧与方法：合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式.解：(1)当x ≤－1时，设f (x )=x +b∵射线过点(－2，0).∴0=－2+b 即b =2，∴f (x )=x +2.(2)当－1<x <1时，设f (x )=ax 2+2.∵抛物线过点(－1，1)，∴1=a ·(－1)2+2,即a =－1∴f (x )=－x 2+2.(3)当x ≥1时，f (x )=－x +2综上可知：f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<---≤+1,211,21,12x x x x x x 作图由读者来完成.●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2.换元法或配凑法，已知复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f (x );另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)若函数f (x )=34-x mx (x ≠43)在定义域内恒有f ［f (x )］=x ,则m 等于( ) A.3 B.23 C.－23 D.－3 2.(★★★★★)设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称，在x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1,则x >1时f (x )等于( )A.f (x )=(x +3)2－1B.f (x )=(x －3)2－1C.f (x )=(x －3)2+1D.f (x )=(x －1)2－1二、填空题3.(★★★★★)已知f (x )+2f (x1)=3x ,求f (x )的解析式为_________. 4.(★★★★★)已知f (x )=ax 2+bx +c ,若f (0)=0且f (x +1)=f (x )+x +1,则f (x )=_________.三、解答题5.(★★★★)设二次函数f (x )满足f (x －2)=f (－x －2),且其图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为2，求f (x )的解析式.6.(★★★★)设f (x )是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f (x )是偶函数，在区间［2，3］上时，f (x )=－2(x －3)2+4，求当x ∈［1,2］时f (x )的解析式.若矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，C 、D 在y =f (x )(0≤x ≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值.7.(★★★★★)动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示P 点的行程，f (x )表示P A 的长，g (x )表示△ABP 的面积，求f (x )和g (x ),并作出g (x )的简图.8.(★★★★★)已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x =2时，函数取得最小值，最小值为－5.(1)证明：f (1)+f (4)=0;(2)试求y =f (x ),x ∈［1,4］的解析式；(3)试求y =f (x )在［4，9］上的解析式.参考答案难点磁场解法一：(换元法）∵f (2－cos x )=cos2x －cos x =2cos 2x －cos x －1令u =2－cos x (1≤u ≤3),则cos x =2－u∴f (2－cos x )=f (u )=2(2－u )2－(2－u )－1=2u 2－7u +5(1≤u ≤3)∴f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +4(2≤x ≤4)解法二：(配凑法）f (2－cos x )=2cos 2x －cos x －1=2(2－cos x )2－7(2－cos x ）+5∴f (x )=2x 2－7x －5(1≤x ≤3),即f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +14(2≤x ≤4).歼灭难点训练一、1.解析：∵f (x )=34-x mx . ∴f ［f (x )］=334434--⋅-⋅x mx x mxm =x ,整理比较系数得m =3. 答案：A2.解析：利用数形结合，x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1的对称轴为x =－1,最小值为－1，又y =f (x )关于x =1对称，故在x >1上，f (x )的对称轴为x =3且最小值为－1.答案：B二、3.解析：由f (x )+2f (x 1)=3x 知f (x 1)+2f (x )=3x 1.由上面两式联立消去f (x 1)可得f (x )=x 2－x . 答案：f (x )= x2－x 4.解析：∵f (x )=ax 2+bx +c ,f (0)=0,可知c =0.又f (x +1)=f (x )+x +1,∴a (x +1)2+b (x +1)+0=ax 2+bx +x +1,即(2a +b ）x +a +b =bx +x +1.故2a +b =b +1且a +b =1,解得a =21,b =21,∴f (x )=21x 2+21x . 答案：21x 2+21x 三、5.解：利用待定系数法，设f (x )=ax 2+bx +c ,然后找关于a 、b 、c 的方程组求解，f (x )=178722++x x . 6.解：(1)设x ∈［1,2］,则4－x ∈［2,3］,∵f (x )是偶函数，∴f (x )=f (－x ),又因为4是f (x )的周期，∴f (x )=f (－x )=f (4－x )=－2(x －1)2+4.(2)设x ∈［0，1］，则2≤x +2≤3,f (x )=f (x +2)=－2(x －1)2+4,又由(1）可知x ∈［0,2］时，f (x )=－2(x －1)2+4,设A 、B 坐标分别为(1－t ,0）,(1+t ,0)(0＜t ≤1),则|AB |=2t ,|AD |=－2t 2+4,S 矩形=2t (－2t 2+4)=4t (2－t 2),令S 矩=S ，∴82S =2t 2(2－t 2)·(2－t 2)≤(3222222t t t -+-+)3=2764,当且仅当2t 2=2－t 2,即t =36时取等号.∴S 2≤27864⨯即S ≤9616,∴S max =9616. 7.解：(1)如原题图，当P 在AB 上运动时，P A =x ;当P 点在BC 上运动时，由Rt △ABD 可得P A =2)1(1-+x ;当P 点在CD 上运动时，由Rt △ADP 易得P A =2)3(1x -+;当P 点在DA 上运动时，P A =4－x ,故f (x )的表达式为：f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤<+-≤≤)43(4)32( 106)21( 22)10( 22x x x x x x x x x x (2)由于P 点在折线ABCD 上不同位置时，△ABP 的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P 点的位置进行分类求解.如原题图，当P 在线段AB 上时，△ABP 的面积S =0；当P 在BC 上时，即1＜x ≤2时，S △ABP =21AB ·BP =21(x －1）；当P 在CD 上时，即2＜x ≤3时，S △ABP =21·1·1=21；当P 在DA 上时，即3＜x ≤4时，S △ABP =21(4－x ).故g (x )=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<≤<-≤≤)43( )4(21)32( 21)21( )1(21)10( 0x x x x x x 8.(1)证明：∵y =f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)=f (4－5)=f (－1),又y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)=－f (－1)=－f (4),∴f (1)+f (4)=0.(2)解：当x ∈［1,4］时，由题意，可设f (x )=a (x －2)2－5(a ≠0),由f (1)+f (4)=0得a (1－2)2－5+a (4－2)2－5=0，解得a =2,∴f (x )=2(x －2)2－5(1≤x ≤4).(3)解：∵y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)=－f (－0),∴f (0)=0,又y =f (x ) (0≤x ≤1)是一次函数，∴可设f (x )=kx (0≤x ≤1),∵f (1)=2(1－2)2－5=－3,又f (1)=k ·1=k ,∴k =－3.∴当0≤x ≤1时，f (x ) =－3x ,当－1≤x ＜0时，f (x )=－3x ,当4≤x ≤6时，－1≤x －5≤1,∴f (x )=f (x －5)=－3(x －5)=－3x +15, 当6＜x ≤9时，1＜x －5≤4,f (x )=f (x －5)=2［(x －5)－2］2－5=2(x －7)2－5.∴f (x )=⎩⎨⎧≤<--≤≤+-)96(5)7(2)64( 1532x x x x .。

高考数学(文)二轮复习专题一三角函数和平面向量第2讲平面向量、解三角形 Word版含答案

第2讲平面向量、解三角形【课前热身】第2讲平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC u u u r =e 1，DC u u u r =e 2，则OC u u u r= .【答案】12(e 1+e 2)【解析】因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BCu u u r =e 1，DCu u u r =e 2，所以OCu u u r =12(BC u u u r +DC u u u r)=12(e 1+e 2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6，-3)，b =(2，x+1)，若a ⊥b ，则实数x= . 【答案】3【解析】因为a ⊥b ，所以a ·b =0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC 中，设角A ，B 所对的边分别为a ，b.若2a sin B=3b ，则角A= .【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cosC=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=32，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin2-2A B+sin A sin B=22+.(1)求角C 的大小；(2)若b=4，△ABC 的面积为6，求c 的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=22+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cosC=-12.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B )，所以sin(A+B )=2sin A cos B ，即sin A cos B-cos A sin B=0，所以sin(A-B )=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B ，所以a=b=2. 所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.方法二：由c=2a cos B 及余弦定理，得c=2a×222-2a c b ac +，化简得a=b ，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.变式2 (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC 中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C 的大小； (2)若A=15°，2，求△ABC 的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1，即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC 中，1-tan A tan B ≠0，所以tan(A+B )=tan tan 1-tan tan A BA B +=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CAB =sin ABC ，得sin15BC o =°sin30CA=2=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-2 2，CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3(2016·无锡期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量a=(sin B-sin C，sin C-sin A)，b=(sin B+sin C，sin A)，且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b=c·cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积.【解答】(1)因为a⊥b，所以a·b=0，即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0，即sin A sin C=sin2A+sin2C-sin2B，由正弦定理得ac=a2+c2-b2，所以cos B=222-2a c bac+=12.因为B∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc+，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=3.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3，△ABC的面积S=15，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=14.(2)因为C∈(0，π)，cos C=14，所以sin C=21-cos C=11-16=15.因为S=12ab sin C=15，所以ab=2.①因为c=3，由余弦定理得3=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(a=-2舍去)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=. 【答案】13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b|=22(-3)2+=13.2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cos B+cos A sin B=2×35+2×45=72，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 =72c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10【解析】如图，作AD ⊥BC交BC 于点D ，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A ，解得cos A=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中，BD u u u r =12BC u u u r ，AE u u u r=13AC u u u r ，AD 与BE 交于点P ，则PB u u u r ·PD u u ur 的值为 .(第5题)【答案】274【解析】如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (-3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，33)，E (1，23)，P 330⎛ ⎝⎭，，所以PB u u u r ·PD u u ur =|PD u u u r |2=233⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲平面向量、解三角形一、填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ，y ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(2，y )，且a +2b =(5，-3)，则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a =(4，-3)，|b |=1，|a -b |=21，则向量a ，b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM u u u u r =2MD u u u u r .若AC u u u r ·BM u u u u r =-3，则AB u u u r ·AD u u u r = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO u u u r =x AB u u u r+y AC u u u r (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A=35，tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值； (2)若b=5，求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若向量m =(a ，cos A )，向量n =(cos C ，c )，且m ·n =3b cos B.(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A +1tan C 的值.【检测与评估答案】第2讲平面向量、解三角形一、填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin aA ，解得b=2113.4. 1【解析】设AC=x，由余弦定理得cos 120°=29-13 23xx+⋅⋅=-12，即x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5.32【解析】方法一：设ABu u u r=4a，ADu u u r=3b，其中|a|=|b|=1，则DCu u u r=2a，AMu u u u r=2b.由ACu u u r·BMu u u u r=(ADu u u r+DCu u u r)·(BAu u u r+AMu u u u r)=-3，得(3b+2a)·(2b-4a)=-3，化简得a·b=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12a·b=32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由ACu u u r·BMu u u u r=-3，得(3cos α+2，3sin α)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=ABu u u r，β=ACu u u r，则β-α=BCu u u r，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|=233sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7. 4 【解析】b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan CB =sin cosC C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c=2222c c =4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin COCAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以CO u u u r =3OE u u u r ，即AO u u u r -AC u u u r =3(AE u u u r -AO u u ur )，即4AO u u u r =3AE u u u r+AC u u u r ，所以4AO u u u r =32AB u u ur +AC u u u r ，从而AO u u u r =38AB u u u r +14AC u u u r .因为AO u u u r =x AB u u u r+y ACu u u r ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tanA=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55，所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin bB =sin cC ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=.(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=，sin ∠BCD=sin ∠ADC=.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ，即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ，所以sin(A+C )=3sin B cos B ，所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅=sin sin sin B A C=2sin sin B B =1sin B=.。

高考数学(文)二轮复习课件：专题二函数与导数 2.4.2

2 .4 .2 导数与不等式及参数范围
解题策略一解题策略二
-2-
求参数的取值范围(多维探究)
解题策略一构造函数法角度一从条件关系式中构造函数例1 已知函数f(x )= (x+ 1)ln x-a (x- 1). (1)当a= 4 时,求曲线y=f (x )在(1,f(1))处的切线方程; (2)若当x ∈(1,+∞ )时,f(x )> 0,求a的取值范围.
难点突破(作差构造) 证明当x ∈(0,1)时,1+ (c-1)x>c x 设
g (x )= 1 + (c-1)x-c x,证g (x )> 0,
通过对g (x )求导判断g (x )的单调性,再由g (x )的单调性和g (x )的
几个特殊值证出g (x )> 0 .
-22 -
-23 -
-24 -
又切线过原点O , 所以-ax 0+ ln x 0=-ax 0+ 1, 由ln x 0= 1,解得x 0= e,所以切点的横坐标为e.
解题策略一解题策略二
-8-
(2)∵不等式ax- ln x ≥a(2x-x 2)对 x ∈[1,+∞ )恒成立, ∴等价于a(x 2-x )≥ln x 对 x ∈[1,+∞ )恒成立. 当x= 1 时,a∈R 都有不等式恒成立;
-16 -
于是h (x )在[1,+∞ )内递增,则h (x )≥h (1)> 0,则g'(x )> 0, 于是g (x )在[1,+∞ )内递增,g (x )≥g (1)= 2,则k的取值范围是k≤2 .
解题策略一解题策略二
-17 -
解题心得有些函数与导数的综合问题即使构造函数正确,也存在

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 文刀川页丛书我们共同努力！高考数学二轮复习专项：函数

1. 甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数8xxf，12xxg，及任意的0x，当甲公司投入x万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于xf万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投入x万元作宣传时，甲公司投入的宣

传费若小于xg万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险. 设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题：

(1)请解释0,0gf；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费？ (3)若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少

投入费用原则，投入自己的宣传费：若甲先投入121a万元，乙在上述策略下，投入最少费用1b；而甲根据乙的情况，调整宣传费为2a；同样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为2b,,如此得当甲调整宣传费为na时，乙调整宣传费为nb；试问是否存在limnna，n

nb

lim

的值，若存在写出此极限值（不必证明），若不存在，说明理由.

2. 已知三次函数cbxaxxxf23)(在y轴上的截距是2，且在),2(),1,(上单调递增，在（－1，2）上单调递减. (Ⅰ)求函数f (x)的解析式；

(Ⅱ)若函数)ln()1()2(3)()(mxmxxfxh，求)(xh的单调区间.

3. 已知函数155)(2xxx)(Rx，函数)(xfy的图象与)(x的图象关于点)21,0(中心对称。

（1）求函数)(xfy的解析式；（2）如果)()(1xfxg，)2,)](([)(1nNnxgfxgnn，试求出使0)(2xg成立的 文刀川页丛书我们共同努力！ x取值范围；

（3）是否存在区间E，使0)(xfxE对于区间内的任意实数x，只要Nn，且2n时，都有0)(xgn恒成立？

4．已知函数：)(1)(axRaxaaxxf且（Ⅰ）证明：f(x)+2+f(2a－x)=0对定义域内的所有x都成立.

（Ⅱ）当f(x)的定义域为[a+21,a+1]时，求证：f(x)的值域为[－3，－2]；（Ⅲ）设函数g(x)=x2+|(x－a)f(x)| ,求g(x) 的最小值 .

5. 设()fx是定义在]1,0[上的函数，若存在*x)1,0(，使得()fx在],0[*x上单调递增，在]1,[*x上单调递减，则称()fx为]1,0[上的单峰函数，*x为峰点，包含峰点的区间为含峰区间. 对任意的]1,0[上的单峰函数()fx，下面研究缩短其含峰区间长度的方法. （1）证明：对任意的21,xx)1,0(，21xx，若)()(21xfxf，则),0(2x为含峰区间；若)()(21xfxf，则)1,(1x为含峰区间；（2）对给定的)5.00(rr，证明：存在21,xx)1,0(，满足rxx212，使得由（1）所确定的含峰区间的长度不大于r5.0；

6. 设关于x的方程0222axx的两根分别为、，函数14)(2xaxxf （1）证明)(xf在区间,上是增函数；（2）当a为何值时，)(xf在区间,上的最大值与最小值之差最小  文刀川页丛书我们共同努力！ 7. 已知函数31()(,)3fxxaxbabR在2x处取得的极小值是43. (1)求()fx的单调递增区间；

(2)若[4,3]x时，有210()3fxmm恒成立，求实数m的取值范围.

8. 已知二次函数),,0(1)(2Rbabxaxxf设方程f(x)＝x有两个实数根x1、x2. (Ⅰ)如果4221xx，设函数f(x)的对称轴为x＝x0,求证x0>—1; (Ⅱ)如果201x，且f(x)＝x的两实根相差为2，求实数b 的取值范围.

9. 函数)(xf的定义域为R，并满足以下条件：①对任意Rx，有0)(xf； ②对任意x、Ry，有yxfxyf)]([)(；③.1)31(f 则（1）求)0(f的值；（4分）（2）求证：)(xf在R上是单调增函数；（5分）（3）若acbcba2,0且，求证：).(2)()(bfcfaf

10. 已知函数14)(234axxxxf在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减；（1）求a的值；（2）求证：x=1是该函数的一条对称轴；

（3）是否存在实数b，使函数1)(2bxxg的图象与函数f(x)的图象恰好有两个交点？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由. 11. 定义在区间（0，）上的函f(x)满足：（1）f(x)不恒为零；（2）对任何实数x、q,都有

)()(xqfxfq.  文刀川页丛书我们共同努力！（1）求证：方程f(x)=0有且只有一个实根；（2）若a>b>c>1,且a、b、c成等差数列，求证：)()()(2bfcfaf；

（3）（本小题只理科做）若f(x) 单调递增，且m>n>0时，有)2(2)()(nmfnfmf，求证：322m

12. 某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数R (x)=3700x + 45x2 – 10x3(单位：万元), 成本函数为C (x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本） (1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x); (2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大? (3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

13. 已知函数33(1)()xafxax（0a且1a）． (1) 试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；

(2) 已知当0x时，函数在(0,6)上单调递减，在(6,)上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；

(3) （理）记(2)中的函数的图像为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C

的对称轴？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由． (文) 记(2)中的函数的图像为曲线C，试问曲线C是否为中心对称图形？若是，请求出对称中心的坐标并加以证明；若不是，请说明理由．

14. 已知函数()logafxx和()2log(22),(0,1,)agxxtaatR 的图象在2x处的切线互相平行.

(Ⅰ) 求t的值；  文刀川页丛书我们共同努力！（Ⅱ）设)()()(xfxgxF，当1,4x时，()2Fx恒成立，求a的取值范围.

15. 设函数()fx定义在R上，对任意的,mnR，恒有()()()fmnfmfn，且当1x时，()0fx。试解决以下问题：

（1）求(1)f的值，并判断()fx的单调性；（2）设集合(,)|()()0,(,)|(2)0,AxyfxyfxyBxyfaxyaR，若AB，求实数a的取值范围；

（3）若0ab，满足|()||()|2|()|2abfafbf，求证：322b

16. （理科）二次函数f(x)=)(2Rbabaxx、（I）若方程f(x)=0无实数根，求证：b>0；

（II）若方程f(x)=0有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f(－a)=)1(412a；（III）若方程f(x)=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k，使得41)(kf. (文科)已知函数f(x)=cbxax2，其中.,,*ZcNbNa （I）若b>2a,且 f(sinx)(x∈R)的最大值为2，最小值为－4，试求函数f(x)的最小值；

（II）若对任意实数x，不等式)1(2)(42xxfx恒成立,且存在)1(2)(0200xxfx使得成立，求c的值。

17. 定义在（-1，1）上的函数f(x)满足：对任意x、y (-1,1)都有。（I）求证：函数f(x)是奇函数；  文刀川页丛书我们共同努力！（II）如果当时，有f(x)>0，判断f(x)在(-1,1)上的单调性，并加以证明；（III）设-1

18. 设)(xf是定义域在]1,1[上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零. （l）求证)(xf在]1,1[上是减函数；（ll）如果)(cxf，)(2cxf的定义域的交集为空集，求实数c的取值范围；（lll）证明若21c，则)(cxf，)(2cxf存在公共的定义域，并求这个公共的空义域.

19. 已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z。（1）若b>2a，且f（sinx）（x∈R）的最大值为2，最小值为－4，试求函数f（x）的最小值；（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2＋1）恒成立，且存在x0，使得f（x0）<2（x02＋1）成立，求c的值。

20. （理）已知)0()1()(2≤++=aaxxInxf （1）讨论)(xf的单调性；

（2）证明：2),()11()311)(211(*444≥∈<+++nNnen其中无理数)71828.2=e. （文）设函数)(31)(23cbacxbxaxxf，其图象在点))(,()),1(,1(mfmBfA处的切线的斜率分别为ao-,.

（1）求证：10<≤ab；（2）若函数)(xf的递增区间为],[ts，求]-[ts的取值范围.

21.设函数)10(3231)(223abxaaxxxf （1）求函数f(x)的单调区间，并求函数f(x)的极大值和极小值；

（2）当x∈[a+1, a+2]时，不等axf|)(|，求a的取值范围.