碎纸片的拼接复原_徐雅平

３）将具有 最 佳 相 似 度 碎 纸 片 对 象 Ｘ１ 和 Ｘｉ 进 行 拼 接，作为新的对象 Ｘ１，并将 Ｘｉ 从集合 Ｘ 中删除。
４）重复执行步骤２和步骤３， 直 至 拼 接 后 的 Ｘｉ 最 右 侧的像素矩阵表示空白区域，即都为１。则在水 平 方 向 上
从右至左，继续重复执行步骤２ （此时相似度比 较 略 作 调
另外，对应原图中相邻两个碎纸片对象边界之间的 破碎字符具有一定的相似性。
因而，我们提出了以两个碎纸片图片对象左右侧边 界上像素之间的相似度比 较 为 基 础， 以 最 左 侧／最 右 侧 碎 纸片图片对象边界的白色区域作为终止比较判断的条件 的自动拼接复原方法。
模型假设 根据对问题一的分析，我们对其假设如下： １）原 图 最 左 侧 边 界 部 分 为 空 白 无 字 符 区 域 ； ２）原 图 最 右 侧 边 界 部 分 为 空 白 无 字 符 区 域 ； ３）对原图有字 符 内 容 区 域 进 行 纵 切， 被 分 开 的 两 个 碎纸片对象的切口边界部分存在破碎字符。 符号约定 Ｘ：表 示 图 片 像 素 矩 阵 对 象 集 合 ； Ｘｉ：表 示 集 合 中 第ｉ个 矩 阵 对 象 ；
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第 １４ 卷 第 ５ 期 ２０１３ 年 １０ 月
碎纸片的拼接复原 Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ａｉｄｅｄ Ｐａｐｅｒ Ｆｒａｇｍｅｎｔｓ Ｒｅａｓｓｅｍｂｌｙ
Ｎｏ．５Ｖｏｌ．１４ Ｏｃｔ．２０１３
Ｎ：表示集合 Ｘ 的大小； Ｘｉ．ｌｅｆｔ：表示 Ｘｉ 的最左侧列矩阵； Ｘｉ．ｒｉｇｈｔ：表示 Ｘｉ 的最右侧列矩阵； （二 ）模 型 建 立 和 求 解 对于问题一，其简要的模型建立和求解的过程可用 图１表示：
第 １４ 卷 第 ５ 期 ２０１３ 年 １０ 月
【高 教 研 究 】
徐雅平 王运生 董渊文 谈 嵘 ＸＵ Ｙａｐｉｎｇ，ＷＡＮＧ Ｙｕｎｓｈｅｎｇ，ＤＯＮＧ Ｙｕａｎｗｅｎ ＆ ＴＡＮ Ｒｏｎｇ
Ｎｏ．５Ｖｏｌ．１４ Ｏｃｔ．２０１３
碎纸片的拼接复原＊
徐 雅 平１ 王 运 生２ 董 渊 文３ 谈 嵘４
本文针对２０１３年全国大学生 数 学 建 模 比 赛 Ｂ 题 中 的 三种情况讨论了碎纸片的拼接问题：
１．来 自 同 一 页 印 刷 文 字 文 件 ， 被 纵 切 的 破 碎 纸 片 ； ２．来自同一页印 刷 文 字 文 件， 被 纵 切 和 横 切 的 破 碎 纸片； ３．来自同一页印 刷 文 字 文 件， 被 纵 切 和 横 切 的 双 面 都有内容的破碎纸片。 本文第１节对 第 一 种 情 况 进 行 了 分 析； 第 ２ 节 对 情 况２进行了讨论；第３节则对情况３进行了研究；第四节 给出了实验数据；最后总结了全文，并展望未来的研究 工作。
第 １４ 卷 第 ５ 期 ２０１３ 年 １０ 月
徐雅平 王运生 董渊文 谈 嵘 ＸＵ Ｙａｐｉｎｇ，ＷＡＮＧ Ｙｕｎｓｈｅｎｇ，ＤＯＮＧ Ｙｕａｎｗｅｎ ＆ ＴＡＮ Ｒｏｎｇ
象在纵向进行拼接，通过将该复杂问题转化为了若干个 小问题进行解 决，从 而 有 效 地 提 高 了 拼 接 的 效 率 和 准 确率。
关 键 词 ：碎 纸 片 拼 接 ； 模 式 识 别 ； 相 似 度 分 析 ； 聚 类 中 图 分 类 号 ：ＴＰ３０１ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１６３７－３２４Ｘ（２０１３）－０５－７９－８４－０６
碎片文件的拼接在司法物证复原本、历史文献修复 以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。碎纸片拼 接复原可以看作是一个拼图问题。最初的拼接复原工作 需由人工完成，虽 然 准 确 率 较 高， 但 是 效 率 很 低。 随 着 计算机技术的发展，碎纸片的自动拼接技术成为了提高 拼接复原效率的有效手段。目前碎纸片的自动拼接复原 主要利用了碎纸片的一些特殊特征，如轮廓特征和色彩 灰 度 值 等 ，进 行 相 应 分 析 和 匹 配 。 ［１，２］
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图 ３ 水 平 方 向 相 邻 两 个 碎 纸 片 之 间 相 似 的 版 式
模型假设 根据对问题二的分析，我们对其假设如下： １）碎 纸 片 中 的 中 文 字 符 高 度 基 本 相 同 ； ２）碎纸片中的 英 文 小 写 字 母 高 度 基 本 相 同， 英 文 大 写字母高度基本相同； ３）碎 纸 片 中 字 符 段 落 间 的 行 间 距 相 同 ； 符号约定 Ｘ：表 示 图 片 像 素 矩 阵 对 象 集 合 ； Ｘｉ：表示集合 Ｘ 中的一个子集； Ｘｉ ｛ｊ｝：表示子集 Ｘｉ 中第ｊ个元素； Ｘｉ ｛ｊ｝ （ｍ，ｎ）：表 示 子 集 Ｘｉ 中 第ｊ个 元 素 中 第 ｍ 行第 ｎ列的元素； Ｘｉ ｛ｊ｝．ｆｏｒｍａｔ：表 示 子 集 Ｘｉ 中 第ｊ个 元 素 的 版 式 矩阵； （二 ）模 型 建 立 和 求 解 过 程 １．碎 纸 片 版 式 建 模 因为我们 的 首 要 目 标 是 根 据 碎 纸 片 间 相 似 的 版 式， 找到可能处于同行的碎纸片对象，所以首先要对碎纸片 对象的版式进行建模。由问题一已知，当将碎纸片对象 转化为像 素 矩 阵 时， 矩 阵 中 １ 代 表 空 白，０ 代 表 黑 色 像 素点。 定义１ 假设碎纸片对 象 的 像 素 矩 阵 Ｘｉ ｛ｊ｝ 是 一 个 Ｍ×Ｎ 的矩阵，那么它 的 版 式 矩 阵 Ｘｉ ｛ｊ｝．ｆｏｒｍａｔ为 一 个 Ｍ×１的矩阵。其中，若 Ｘｉ ｛ｊ｝ 中任一一行 ｍ∈Ｍ 且 ｎ∈Ｎ 中， 存 在 Ｘｉ ｛ｊ｝ （ｍ，ｎ） ＝０， 那 么 Ｘｉ ｛ｊ｝． ｆｏｒｍａｔ （ｍ，１） ＝０。 对碎纸片版式的建模如图４例子所示： ２．对 碎 纸 片 版 式 矩 阵 聚 类 当得到所有碎纸片对象的版式矩阵后，就可以通过 比较它们之间的相似程度，找到可能处于同行的碎纸片 对象。这里，我们采用 聚 类 算 法 对 该 过 程 进 行 计 算。 对
的拼接复原方法。
我们提出了第二种解决模型。该方法基于原图在横
切时，同行字符在同一水平线上的假设，即在处于同行
的被纵切的碎纸片对象，其版式具有高度的相似性，见
图 ３。 换 言 之 ， 我 们 可 以 通 过 先 将 可 能 处 于 同 行 上 的 碎 纸片进行完整和准确的拼接后，再对拼接后的碎纸片对
ｗｗｗ．ｓｂｓ．ｅｄｕ．ｃｎ
图 １ 问 题 一 简 要 的 建 模 与 求 解 过 程
图１中每个步骤的详细描述如下：
１）采用 Ｍａｔｌａｂ读取所有碎纸片图片对象， 记 为 集 合
Ｘ。用像素矩阵对 Ｘ 中碎纸片对象进行表示，其 中，０ 代
表有字符像素，１代表无字符像素，记为 Ｘｉ； ２）取 Ｘ１∈Ｘ， 若 Ｘ１ 不 是 最 右 侧 碎 纸 片 ， 则 沿 水 平
整，即用 Ｘ１．ｌｅｆｔ和 Ｘｉ．ｒｉｇｈｔ进行比较） 和步骤３，直至 Ｘ１ 最左侧的像素矩阵 也 表 示 空 白 区 域 为 止 。 至 此， 完 整 的图片即可拼接完成。
考虑到在执行步骤２进行像素矩阵间相似度比较时，
可能出现相似度最佳状态下有多个可匹配的对象，此时
可以考虑进行人工干预，即该时刻可以作为人工干预的
方 向 从 左 至 右， 将 Ｘ１．ｒｉｇｈｔ 与 集 合 Ｘ 中 其 他 元 素 Ｘｉ．ｌｅｆｔ进 行 相 似 度 比 较。 相 似 度 判 断 方 法 采 用 以 ＝ ｉ
ｎ
（公 式 １）
其中，Ａ，Ｂ 表示 ｎ×１ 的 列 矩 阵，Ａｉ 和 Ｂｉ 代 表 第ｉ 行的元素值，距离判断采用标准的欧式距离。
其边界像素矩阵也相应减小，在进行相似度比较时，容
易产生较大误差，并不能准确地将两个碎纸片进行拼接
复原。例如， 当 字 符 “山 ” 和 “头 ” 等 字 被 切 割 时， 一
旦切割位置特殊，那么进行边界像素矩阵匹配时，正确
碎纸片对象之间的相似度反而非常低。而这种问题在含
有英语字符的碎纸片拼接中尤为明显，因此需要提出新
节点。
完整的 问 题 一 建 模 和 求 解 的 算 法 伪 代 码 如 图 ２
所示：
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Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｃｏｍｂｉｎｅ （Ｘ） Ｂｅｇｉｎ ｔｍｐＳｉｍ，ＳｉｍＩＤ＝０；／／初 始 化 相 似 度 值 和 标 识 Ｘ＝ｉｍｒｅａｄ （）；／／读 入 碎 纸 片 对 象 Ｘ＝ｉｍ２ｂｗ （Ｘ）；／／预 处 理 像 素 Ｉｆ Ｘ 中 元 素 数 量 为 １ Ｔｈｅｎ输 出 拼 接 后 图 片 ； Ｅｌｓｅｉｆ Ｘ１ 为 最 右 侧 碎 纸 片 Ｆｏｒ ｉ＝２：Ｎ／／Ｎ 为 Ｘ 的 大 小 ｔｍｐＳｉｍ＝ＳｉｍＣｏｍｐａｒｅ （Ｘ１．ｌｅｆｔ，Ｘｉ．ｒｉｇｈｔ）；／／计 算 相 似 度 值 Ｉｆ ｔｍｐＳｉｍ＞ｍａｘＳｉｍ Ｔｈｅｎ ｍａｘＳｉｍ＝ｔｍｐＳｉｍ； ＳｉｍＩＤ＝ｊ； ＥｌｓｅｉｆｔｍｐＳｉｍ＝ ＝ｍａｘＳｉｍ／／相 似 度 相 同 情 况 下 Ｔｈｅｎ人 工 干 预 ； Ｅｎｄ Ｅｎｄ Ｘ１ ＝ｃｏｍｂｉｎｅ （Ｘ１ ，ＸＳｉｍＩＤ ）；／／将 Ｘ１ 和 最 佳 相 似 度 的 对 象 进行拼接 ＸＳｉｍＩＤ ＝ ［］；／／将 ＸＳｉｍＩＤ 从 Ｘ 中 删 除 Ｃｏｍｂｉｎｅ （Ｘ）；／／递 归 调 用 Ｅｌｓｅ／／默 认 从 左 至 右 拼 接 Ｆｏｒ ｉ＝２：Ｎ／／Ｎ 为 Ｘ 的 大 小 ｔｍｐＳｉｍ＝ＳｉｍＣｏｍｐａｒｅ （Ｘ１．ｒｉｇｈｔ，Ｘｉ．ｌｅｆｔ）；／／计 算 相 似 度 值 Ｉｆ ｔｍｐＳｉｍ＞ｍａｘＳｉｍ Ｔｈｅｎ ｍａｘＳｉｍ＝ｔｍｐＳｉｍ； ＳｉｍＩＤ＝ｊ； ＥｌｓｅｉｆｔｍｐＳｉｍ＝ ＝ｍａｘＳｉｍ／／相 似 度 相 同 情 况 下 Ｔｈｅｎ人 工 干 预 ； Ｅｎｄ Ｅｎｄ Ｘ１ ＝ｃｏｍｂｉｎｅ （Ｘ１ ，ＸＳｉｍＩＤ ）；／／将 Ｘ１ 和 最 佳 相 似 度 的 对 象 进 行拼接 ＸＳｉｍＩＤ ＝ ［］；／／将 ＸＳｉｍＩＤ 从 Ｘ 中 删 除 Ｃｏｍｂｉｎｅ （Ｘ）；／／递 归 调 用 Ｅｎｄ Ｅｎｄ
收稿 日 期 ：２０１３－１０－１５ ＊ ２０１３年全 国大 学 生数学建模竞赛上海赛区一等奖 ，全国二等奖。 作者 简 介 ：１．徐 雅 平 ，上 海 商 学 院 信 息 与 计 算 机 学 院 学 生 ， 电 子 信 箱：１７９７３１７５７４＠ｑｑ．ｃｏｍ；２．王运生 ，上海商学院财 经 学 院 学 生 ；３． 董渊 文 ，上海 商 学 院 东 方 财 富 传 媒 与 管 理 学 院 学 生 ；４．指 导 教 师 ： 谈嵘，上海人，博 士，上 海 商 学 院 信 息 与 计 算 机 学 院 讲 师， 研 究 方 向 ：情景感 知计 算 ，数据库管理等。