广东省深圳实验、珠海一中等六校2020届高三第二次联考数学(文)试题Word版含解析
2020届广东省六校高三第二次(线上)联考数学(理)试题Word版含解析
2020届广东省六校高三第二次(线上）联考数学（理）试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|230}, {|21}x P x x x Q x =--<=>，则P Q =I ( )A. {|1}x x >-B. {|1}x x <-C. {|03}x x <<D. {|10}x x -<<2. “00m n >>且”是“0mn >”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.不充分不必要条件3. 已知0.230.3log 0.3, log 0.2, 0.3a b c ===，则( )A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c a b <<4. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部 分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )5. 函数33()cos ||x x f x x x -=+在[],ππ-的图像大致为A. B. C. D.6. 已知非零向量a,b 满足1,2==a b 且(2()-⊥+a b)a b ，则a 与b 的夹角为A. 6πB. 4πC. 3πD. 2π7. 已知函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=-，则 A.()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 B.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 C.()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 D.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 8. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若已知391, 9a S =-=，则A. 310n a n =-B. 2n a n =-C. 21722n S n n =- D. 28n S n n =-9. 关于函数f (x )＝tan|x |+|tan x |有下述四个结论：① f (x )是偶函数; ② f (x )在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减;③ f (x )是周期函数; ④ f (x )图象关于⎪⎭⎫⎝⎛0,2π对称其中所有正确结论的编号是( )A. ①③B. ②③C.①②D. ③④10. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就, 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。
广东省深圳市2020-2021学年高三下学期第二次线上统一测试数学(文)试题
广东省深圳市2020-2021学年高三下学期第二次线上统一测试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}12A x x =-<<，(){}lg 1B x y x ==-，则()R A B =（ ） A ．[)1 2-， B ．[)2 +∞，C ．(]1,1-D ．[)1 -+∞， 2．棣莫弗公式()cos sin cos sin n x i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 55i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知点(3,1)和(4,6)-在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{724}aa -<<∣ B ．{7,24} C ．{7a a <-∣或24}a > D ．{247}aa -<<∣ 4．已知()1()3,1,2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表则样本数据落在(10,40]上的频率为( )A ．0.13B ．0.39C ．0.52D ．0.646．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅=（ ）A ．BC D7．()sin163sin223sin253sin313?︒︒+︒︒=A ．12B ．12-CD ．8．已知抛物线28y x =，过点()2,0A 作倾斜角为的直线3π，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为（ ）A ．163B ．83CD ．9．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论：①AC BD ⊥②AC ∥截面PQMN③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④10．已知函数π()sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><的最小正周期是π，若其图象向右平移π3个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于直线2π3x =对称B ．函数()f x 的图象关于点11π(,0)12对称 C ．函数()f x 在区间ππ,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()f x 在π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点 11．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，函数()y g x =是R 上的偶函数，且()(2)f x g x =+，当02x ≤≤时，()2g x x =-，则(10.5)g 的值为（ ）A ．1.5B ．8.5C ．－0.5D ．0.512．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F O 、为坐标原点，点P 是双曲线在第一象限内的点，直线2,PO PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一点,M N ，若122PF PF =，且2120MF N ∠=，则双曲线的离心率为（ ） A．3 BCD二、填空题13．已知x 轴为曲线()()34411f x x a x =+-+的切线，则a 的值为________. 14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54–S S =________.15．在ABC ∆中，若1cos 3A =，则2sin cos 22B C A ++的值为____________ . 16．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为__________.三、解答题17．已知数列{}n a 的首项123a =，112n n n n a a a a +++=*(0,)n a n ≠∈N . （1）证明：数列1{1}na -是等比数列； （2）数列{}nn a 的前n 项和n S . 18．随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台.已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元.根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示.已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品.现以x （单位：吨，100150x ≤≤）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润.（1）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式；（2）根据直方图估计利润T 不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）.19．如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒，1AB AD SA ===，2BC =，M 为SB 的中点.（1）求证：//AM 平面SCD ；（2）求点B 到平面SCD 的距离.20．已知椭圆22:14x C y +=，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点.（1）求12F MF ∠的最大值，并证明你的结论；（2）若A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线AM 的斜率为k ，且11(,)23k ∈--，求直线BM 的斜率的取值范围. 21．已知函数()(1)e x a f x x =+（e 为自然对数的底数），其中0a >.（1）在区间(,]2a-∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.（2）若函数()f x 的两个极值点为()1212,x x x x <，证明：2121ln ()ln ()212f x f x x x a ->+-+. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标；（2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值. 23．已知()2f x x a =-.（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)∈+∞a ，使得关于x 的不等式()21f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围.参考答案1．C【分析】由10x ->求出集合B ，然后求出其补集B R ，最后求交集. 【详解】由10x ->得1x >，即{}1B x x =>， 所以{}1BR x x =≤，又因为{}12A x x =-<<则{}()11R A B x x ⋂=-<≤.故选：C.【点睛】本题考查了求对数型函数的定义域，集合的补集、交集运算，属于基础题. 2．C【分析】 由题意666cos sin cos sin 5555i i ππππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据复数的几何意义结合6cos 05π<、6sin 05π<即可得解. 【详解】由题意666cos sin cos sin 5555i i ππππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴该复数在复平面内所对应的点为66cos ,sin 55ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 6cos 05π<，6sin 05π<，∴该复数在在复平面内所对应的点位于第三象限. 故选：C.【点睛】本题考查了新概念在复数中的应用，考查了复数的几何意义和三角函数的符号确定，属于基3．A【分析】将两点坐标代入32x y a -+，符号相反，乘积小于0即可.【详解】∵点(3,1)和(4,6)-在直线320x y a -+=的两侧∴(3321)[3(4)26]0a a ⨯-⨯+⋅⨯--⨯+<，即(7)(24)0a a +-<，解得724a -<<.故选：A .【点睛】本题考查线性规划的有关问题，考查一元二次不等式的解法，属于简单题.4．C【分析】 由分段函数的单调性可转化条件得10201132a a a a a ⎧-<⎪⎪<<⎨⎪⎪-+≥⎩，解不等式组即可得解.【详解】()1()3,1,2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数， ∴10201132a a a a a ⎧-<⎪⎪<<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得1162a ≤<. 故选：C.【点睛】本题考查了分段函数单调性的问题，属于基础题.【解析】由题意可知频数在(]10,40的有：13+24+15=52，由频率=频数÷总数可得0.52.故选C. 6．D【解析】 ∵3AC AB BC AB BD =+=+，∴(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅，又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=， ∴33cos 3cos 33AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==，故选D ．7．A【分析】 利用诱导公式转化，原式=sin163°•sin223°+cos163°cos223°再通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果．【详解】原式=sin163°•sin223°+cos163°cos223°=cos （163°-223°）=cos （-60°）=12. 故选A.【点睛】本题主要考查了诱导公式应用及两角和与差的余弦公式．要熟记公式是关键．8．A【分析】由题意可得直线:2BC x y +，联立方程组即可求得BC 中点103M ⎛ ⎝⎭，进而可得直线10:3MP y x ⎫=-⎪⎝⎭，求出点22,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭后即可得解. 【详解】由题意可得直线:2BC x y +，设()11,B x y ，()22,C x y ，BC 中点()00,M x y ，联立方程组2823y x x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去x得21603y y --=，易得>0∆，∴1102y y y +==∴001023x y +=，∴点103M ⎛ ⎝⎭， 又 MP BC ⊥，∴1MP BC k k =-=， ∴直线10:3MP y x ⎫=-⎪⎝⎭， 令0y =可得223x =即点22,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴线段2216233AP =-=. 故选：A.【点睛】 本题考查了直线与抛物线的综合问题，属于中档题.9．B【分析】由线线平行和垂直的性质可判断①，由线面平行的判定定理和性质定理可判断②，由平行线分线段成比例可判断③，由异面直线所成角的定义可判断④.【详解】截面PQMN 是正方形，PQ MN ∴//,又MN ⊂平面ADC ，PQ ⊄平面ADC ，PQ ∴//平面ADC ，PQ ⊂平面ABC ，平面ABC 平面ADC AC =PQ AC ∴//，同理可得PN BD //由正方形PQMN 知PQ PN ⊥，则AC BD ⊥，即①正确；由PQ AC //，PQ ⊂平面PQMN ，AC ⊄平面PQMN ，得AC //平面PQMN ，则②正确；由PQ AC //，PQ MN //,得AC MN //, 所以AC AD MN DN=， 同理可证BD AD PN AN =， 由正方形PQMN 知PN MN =，但AN 不一定与DN 相等，则AC 与BD 不一定相等，即③不正确；由PN BD //知MPN ∠为异面直线PM 与BD 所成的角，由正方形PQMN 知45MPN ∠=︒，则④正确.故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是空间线线、线面的位置关系，考查推理能力，属于中档题. 10．C【分析】先根据题意求解析式，然后用整体代入的思想求出函数的所有对称轴、对称中心、单调递减区间及零点，逐一判断各选项，即可得出结论.【详解】最小正周期是π，22T πω∴== 它的图象向右平移π3个单位后得到的函数为奇函数， ()sin[2()]3f x x πϕ∴=-+为奇函数，则2,3k k Z πϕπ=+∈， 2πϕ<，3ϕπ∴=-，()sin(2)3f x x π∴=-， 由2,32x k k Z πππ-=+∈得5,122k x k Z ππ=+∈，则()f x 的图象不关于2π3x =对称，故选项A 错误； 由2,3x k k Z ππ-=∈得,62k x k Z ππ=+∈， 则()f x 的图象不关于11π(,0)12对称，故选项B 错误； 由3222232k x k πππππ+≤-≤+，得5111212k x k ππππ+≤≤+， 则()f x 的单调递减区间为511[,],1212k k k Z ππππ++∈ 取1k =-，得区间7[,]1212ππ--， 由ππ7,[,]2121212ππ⎡⎤--⊂--⎢⎥⎣⎦，知选项C 正确； 函数()f x 的零点为,62k x k Z ππ=+∈， 则函数()f x 在π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有23π和76π两个零点，故选项D 错误. 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换，单调性、奇偶性、对称中心、对称轴等性质，属于中档题.11．D【分析】由已知中函数()y f x =是R 上的奇函数，函数()y g x =是R 上的偶函数，且()(2)f x g x =+，可得()g x 是以8为周期的周期函数，逐步转化，进而求得(10.5)g 的值.【详解】函数()y f x =是R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-， 又函数()y g x =是R 上的偶函数，()()g x g x ∴-=，又()(2)f x g x =+，(4)(2)(2)()()g x f x f x g x g x ∴+=+=---=--=-，故(8)(4)()g x g x g x +=-+=，即()g x 是以8为周期的周期函数，(10.5)(2.5)(1.5)(1.52)0.5g g g ∴==-=--=.故选：D.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、周期性，函数求值，是函数图象和性质的综合应用.12．B【详解】 由题意可设2,60OP OM MF P =∠=，故四边形12PF MF 是平行四边形，且21,OP OM MF PF ==．由双曲线的定义可得：2122,4PF a PF MF a ===，由余弦定理可得22222214||416224208122PO a a a a a a a =+-⨯⨯⨯=-=，即22||3PO a =，借助平行四边形的性质可得22222(416)412a a c a +=+，即22222404127a c a c a =+⇒=，故双曲线的离心率e B ．点睛：解答本题的思路是借助双曲线的对称性，将问题进行等价转化与化归为平行四边形的几何性质问题，再依据平行四边形的四边的平方和等两条对角线的和这一性质，探寻到建立方程的依据从而使得问题获解．13．14【分析】设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，由题意结合导数的几何意义可得()()()3002004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解方程即可得解. 【详解】由题意()()21241f x x a '=+-，设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，则()()()3002004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解得01214x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故答案为：14. 【点睛】 本题考查了导数几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题.14．32【分析】由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩结合题意可得2n n a =，再利用545–S S a =即可得解. 【详解】当1n =时，11122a S a ==-解得12a =；当2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=---，整理得12n n a a -=，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，1222n n n a -=⋅=，所以54553–22S S a ===.故答案为：32.【点睛】本题考查了n a 与n S 关系的应用，考查了等比数列的判定和通项公式的应用，属于基础题. 15．19- 【分析】利用诱导公式，二倍角公式将所求的式子转化成关于cos A 的代数式，代入求解即可.【详解】B C A π+=-，1cos 3A = 22sin cos 2sin cos 222B C A A A π+-∴+=+ 2cos cos 22A A =+21cos 2cos 12A A +=+- 211132()123+=+⨯- 19=-. 故答案为：19-. 【点睛】本题考查了三角形内角和性质，诱导公式，以及二倍角的余弦公式的综合运用. 16．383r π 【分析】设出圆锥的高为h ，底面半径为R ，在截面中，由球O 与圆锥相切可设出底面和母线SB 的切点分别为C 和D ，接着由三角形的相似求得h 、R 、r 三者间的关系，然后将圆锥的体积表示成关于h 的函数，利用导函数求最值.【详解】设圆锥的高为h ，底面半径为R ，在截面图中，SC h =，OC OD r ==，BC R =，根据圆锥与球相切可知，D 、C 均为球O 与外切圆锥的切点， 则2SCB SDO π∠=∠=又OSD BSC ∠=∠，SOD SBC ∴~，BC SC OD SD∴=，即R r =，R ∴==，∴圆锥体积为2221()33(2)r h V h R h h r ππ==-， 22(4)()3(2)r h h r V h h r π-'∴=-，令()0V h '=可得4h r =，则04h r <<时，()0V h '<；4h r >时，()0V h '>，()V h ∴在(0,4)r 单调递减，在(4,)r +∞单调递增， 则3min 8()(4)3V h V r r π==. 故答案为：383r π.【点睛】本题考查了球的外切问题，圆锥的体积公式，导函数的实际应用问题，难度较大. 17．（1）证明见详解；（2）()12222n n n n n S ++=-+ 【分析】（1）利用数列递推式，整理后两边取倒数，再两边减去1，即可证得数列1{1}n a -是等比数列；（2）利用第（1）题的结论，求出1112n n a =+，进而得到2n n n n n a =+，用分组求和法，错位相减法，求出n S .【详解】解：（1）()*1120,n n n n n a a a a a n N +++=≠∈，111111222n n n na a a a ++∴==+⋅，1111112n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭， 又123a =，11112a ∴-=， ∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12首项，12为公比的等比数列. （2）由（1）知111111222n n n a --=⋅=， 即1112n n a =+， 2n n n n n a ∴=+. 设231232222n n n T ，① 则231112122222n n n n n T +-=++++，② 由①-②得21111122222n n n n T +=+++-=111111*********n n n n n n ++⎛⎫- ⎪⎝⎭-=---， 11222n n n n T -∴=--.又()11232n n n +++++=. ∴数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()12222n n n n n S ++=-+. 【点睛】本题考查了倒数法求数列的通项公式，分组求和法，错位相减法求数列的前n 项和，属于中档题.18．（1）0.839,10013065,130150x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩；（2）0.7；（3）平均数为126.5（吨），估计中位数应为126.7（吨）【分析】（1）分别计算[)100,130x ∈和[]130,150x ∈时T 的值，用分段函数表示T 的解析式； （2）计算利润T 不少于57万元时x 的取值范围，求出对应的频率值即可；（3）利用每一小组底边的中点乘以对应的矩形的面积（即频率）求和得出平均数，根据中位数两边频率相等（即矩形面积和相等）求出中位数的大小.【详解】解：（1）当[)100,130x ∈时，()0.50.31300.839T x x x =--=-；当[]130,150x ∈时，0.513065T =⨯=，所以，0.839,10013065,130150x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩； （2）根据频率分布直方图及（1）知，当[)100,130x ∈时，由0.83957T x =-≥，得120130x ≤<，当[]130,150x ∈时，由6557T =≥所以，利润T 不少于57万元当且仅当120150x ≤≤，于是由频率分布直方图可知市场需求量[]120,150x ∈的频率为()0.0300.0250.015100.7++⨯=，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57万元的概率的估计值为0.7；（3）估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数为1050.11150.21250.3x =⨯+⨯+⨯1350.251450.15126.5+⨯+⨯=（吨）由频率分布直方图易知，由于[)100,120x ∈时，对应的频率为()0.010.02100.30.5+⨯=<，而[)100,130x ∈时，对应的频率为()0.010.020.03100.60.5++⨯=>，因此一个销售季度内市场需求量x 的中位数应属于区间[)120130,，于是估计中位数应为()1200.50.10.20.03126.7+--÷≈（吨）.【点睛】本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是中档题.19．（1）证明见详解；（2 【分析】 （1）取SC 的中点N ，连结MN 和DN ，可证明得到四边形AMND 为平行四边形，进而证得//AM 平面SCD ；（2）先证明AM ⊥平面SBC ，进而得到平面SCD ⊥平面SBC ，作BE SC ⊥交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离.【详解】证明：（1）取SC 的中点N ，连结MN 和DN ， M 为SB 的中点，//MN BC ∴且12MN BC =， 90ABC BAD ∠=∠=︒，1AD =，2BC =，//AD BC ∴且12AD BC =， //AD MN ∴且AD MN =，∴四边形AMND 为平行四边形，//AM DN ∴，AM ⊄平面SCD ，DN ⊂平面SCD ，//AM ∴平面SCD ；（2）1AB SA ==，M 为SB 的中点，AM SB ∴⊥，SA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，SA BC ∴⊥，90ABC BAD ∠=∠=︒，BC AB ∴⊥，又SA AB A ⋂=，BC ∴⊥平面SAB ，BC AM ⊥∴，AM ∴⊥平面SBC ，由（1）可知//AM DN ，DN ⊥∴平面SBC ，DN ⊂平面SCD，∴平面SCD⊥平面SBC，作BE SC⊥交SC于E，则BE⊥平面SCD，在直角三角形SBC中，有1122SB BC SC BE⋅=⋅，3SB BCBESC⋅∴===，即点B到平面SCD【点睛】本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，转化思想，等面积法，属于中档题. 20．（1）12F MF∠的最大值为23π，证明见详解；（2）13(,)24【分析】（1）由椭圆的定义可知124MF MF+=，在12F MF∆中，利用余弦定理可得：12122cos1F MFMF MF∠=-⋅，再利用基本不等式得到121cos2F MF∠≥-，当且仅当12MF MF=时等号成立，再结合120F MFπ<∠<，以及余弦函数的图象，即可得到12F MF∠的最大值；（2）设直线BM的斜率为k'，()00,M x y，则14k k'⋅=-，再根据k的范围即可得到k'的范围.【详解】解：（1）由椭圆的定义可知124MF MF+=，12F F=在12F MF ∆中，由余弦定理，可得22212121212cos 2MF MF F F MF F M M F F +-=⋅∠()221212121222MF MF F F MF MF MF MF +--⋅=⋅121212221MF MF MF MF MF MF -⋅==-⋅⋅2122112()2MF MF ≥-=-+， 120F MF π<∠<，12F MF ∴∠的最大值为23π，此时12MF MF =， 即点M 为椭圆C 的上、下顶点时，12F MF ∠取最大值，其最大值为23π； （2）设直线BM 的斜率为k '，()00,M x y ，则002y k x =+，002y k x '=-， 2204y k k x '∴⋅=-，又220014x y +=，220044x y ∴=-，14k k '∴⋅=-，11(,)23k ∈--，1324k '∴<<， 故直线BM 的斜率的取值范围为13(,)24. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，余弦定理和基本不等式的应用，过两点的直线的斜率公式，是中档题.21．（1）存在，最小值为2ae --；（2）证明见详解 【分析】（1）对函数()f x 求导，令()0f x '=，得两根()1212,0x x x x <<，从而得出()f x 的单调区间.由用作差法比较1x 与a 的大小，结合()(1)e xaf x x=+，可知102ax a <-<-<，则()f x 在区间(,]2a-∞-单调递减，则其取得最小值22a a f e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； （2）由()0f x '=的韦达定理，得1212x x x x a +==-，则可消去a ，得112()(1)xf x x e =-，()()2211x f x x e =-.通过两边取对数，得()212ln ()ln 1f x x x =-+和()121ln ()ln 1f x x x =-+，将其代入需证不等式.再得()()122211211a x x +=++-+-，采用换元法，反证法，将所求不等式转化为ln ln 2m n m n m n->-+.再用换元法，令mt n = 构造函数()()()2,11ln 1t t h t t t --+≥=，利用导函数求其最值，则可证明不等式. 【详解】 .解：（1）由条件可函数()f x 在(),0-∞上有意义，()22x x ax a f x e x+-'=， 令()0f x '=，得12a x -=，22a x -+=，因为0a >，所以10x <，20x >.所以当()1,x x ∈-∞时，()0f x '>，当()1,0x x ∈上()0f x '<， 所以()f x 在()1,x -∞上是增函数，在()1,0x 是减函数.由()1x xa x a f x e e x x+⎛⎫=+=⎪⎝⎭可知， 当x a =-时，()0f x =，当x a <-时，()0f x >， 当0a x -<<时，()0f x <，因为12a a x a ---=--02a -+=>，所以10x a <-<，又函数在()1,0x 上是减函数，且102ax a <-<-<， 所以函数在区间,2a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上的有最小值， 其最小值为22a a f e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）可知，当0a >时函数()f x 存在两个极值点12,x x ， 且12,x x 是方程20x ax a +-=的两根， 所以1212x x x x a +==-，且121x x <<，()11121(1)(1)x x a f x e x e x =+=-，()()2211x f x x e =-， 所以()()221ln ln 1xf x x e =-()12ln 1x x =-+，()()112ln ln 1x f x x e =-()21ln 1x x =-+，所以()()()()2112212121ln ln ln 1ln 1f x f x x x x x x x x x --+--+=--()()()()1212ln 1ln 1111x x x x ---=+---，又()21221122a x x +=++-++()()122111x x =+-+-，由（1）可知12110x x ->->，设11m x =-，21n x =-，则0m n >>， 故要证()()2121ln ln 212f x f x x x a ->+-+成立，只要证ln ln 2m n m n m n->-+成立，下面证明不等式ln ln 2m n m n m n->-+成立，构造函数()()21ln 1t h t t t -=-+，()1t ≥则()()()22101t h t t t -'=>+，所以()h t 在()1,t ∈+∞上单调递增，()()10h t h >=，即()21ln 1t t t ->+成立，令mt n =，即得不等式ln ln 2m n m n m n->-+，从而()()2121ln ln 212f x f x x x a ->+-+成立.【点睛】本题考查了利用导函数求函数的最值，证明不等式，其中换元法、反证法的应用是本题的关键，考查了转化的思想，属于综合性较强的难题.22．（1）28sin 120ρρθ-+=；点A的极坐标为3π⎛⎫⎪⎝⎭（2）16 【分析】（1）消去参数得1C 的直角坐标方程，利用直角坐标方程和极坐标方程的转化公式即可得1C 的极坐标方程；由题意得1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，代入1C 的极坐标方程后利用0∆=即可得解；（2）由题意可得()2C ，设1,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6C πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将6πθ=代入2C 后即可得126ρρ+=，122ρρ=，再利用三角形面积公式可得11S ρ=，22S ρ=，化简即可得解. 【详解】（1）消去参数可得1C 的直角坐标方程为()2244x y +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得1C 的极坐标方程为28sin 120ρρθ-+=， 又1l 的参数方程为cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，02πα<<），可得1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈， 将θα=代入1C 得28sin 120ρρα-+=， 则()28sin 4120α∆=-⨯=，sin 2α=±， 又02πα<<，所以sin 2α=，3πα=，此时ρ=A的极坐标为3π⎛⎫⎪⎝⎭. （2）由2C的极坐标方程为2cos 20ρθ-+=， 可得2C的直角坐标方程为(2210x y -+=，所以圆心()2C ，设1,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6C πρ⎛⎫⎪⎝⎭，将6πθ=代入2cos 20ρθ-+=，得2620ρρ-+=，280∆=>，所以126ρρ+=，122ρρ=，所以10ρ>，20ρ>，又因为1111sin 2362A S ππρρρ⎛⎫=⋅⋅-= ⎪⎝⎭，22221sin 262S OC πρρ=⋅⋅=， 所以12122121S S S S ρρρρ+=+=()221212122622162ρρρρρρ+--⨯==.本题考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转化，考查了利用极坐标求三角形面积的应用，属于中档题.23．（1）1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（2）()6,m ∈+∞ 【分析】（1）由题意得221x x ->+，分2x ≥、2x <两种情况讨论即可得解； （2）由绝对值三角不等式结合题意得()22222111f x x a a a a a ++≥+=+---，利用基本不等式求出221a a +-的最小值即可得解. 【详解】（1）当1a =时，即解不等式221x x ->+，①当2x ≥时，原不等式等价于221x x ->+，所以3x <-， 所以不等式()21f x x >+的解集为空集，②当2x <时，原不等式等价于221x x ->+，解得13x <， 综上所述，不等式()21f x x >+的解集为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()221f x x x a a ++=--22211x a a a ++≥+--，显然等号可取. 又()1,a ∈+∞，故原问题等价于关于a 的不等式221a m a +<-在()1,+∞上有解，又因为()22221211a a a a +=-++--26≥=， 当且仅当2a =时取等号，所以6m >，即()6,m ∈+∞. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，考查了绝对值三角不等式的应用和有解问题的求解，属于。
广东东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学六校2024-2025学年高三上学
广东东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学六校2024-2025学年高三上学期十二月联考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．三棱锥P-B．直线PQ与C．在直三棱柱关于平面11BB C C 的对称点F ，可知PQ PF =，然后将平面11A BC 和平面1BFC 延展为一个平面，结合余弦定理可判断D 选项.【详解】对于A 选项，如下图所示，连接1AC 交1AC 于点E ，连接EQ ，因为四边形11AAC C 为平行四边形，则E 为1AC 的中点，又因为Q 为AB 的中点，则1//EQ BC ，因为EQ Ì平面1ACQ ，1BC Ë平面1AC Q ，则1//BC 平面1AC Q ，因为1P BC Î，则点P 到平面1A CQ 的距离等于点B 到平面1A CQ 的距离，为定值，又因为1A CQ △的面积为定值，故三棱锥1P AQC -的体积为定值，故A 正确；对于B 选项，因为1CC ^平面ABC ，AC BC ^，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x y z 、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，()10,2,2C B =-uuur ，(11,1,C F =-uuuu r所以，1111cos C B C BC F C B C ×Ð=×uuur uuuu uuur uuuu 因为AC ^平面11BB C C ，1A 因为1BC Ì平面11BB C C ，则将平面11A BC 和平面1BFC 延展在11AC F V 中，112AC =，1C 由余弦定理可得22111A F A C =。
广东省深圳实验,珠海一中等六校2019届高三第二次联考数学理试题(解析版)
广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）2019届高三第二次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数R)，（为虚数单位），若为纯虚数，则( )A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用纯虚数得到答案．【详解】∵z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，∴，由为纯虚数，则，解得a=1，故选：A．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了纯虚数的定义，是基础题．2.设全集，集合，，则A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据并集的定义求得A∪B，再根据补集的定义即可求解．【详解】∵集合A={x|﹣1＜x＜5}，集合B={x|﹣2＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣2＜x＜5}，={x|﹣5＜x≤2}，【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．3.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第5天走的路程为（）A. 36里B. 24里C. 18里D. 12里【答案】D【解析】【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程．【详解】记每天走的路程里数为{a n}，由题意知{a n}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故选：D．【点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解．4.函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】B【分析】利用正弦函数的单调性，求出相应的区间，即可得到结论．【详解】由（n∈Z），可得≤x≤（n∈Z），令n=﹣k，则可得函数y=3sin的单调递增区间是故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性，考查学生的计算能力，正确运用正弦函数的单调区间是关键．5.下列有关命题的说法中错误的是( )A. 若为真命题，则中至少有一个为真命题.B. 命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题.C. 命题“，有且”的否定形式是“，有且”.D. 若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件.【答案】C【解析】【分析】A．根据复合命题真假关系进行判断即可；B．根据逆否命题的等价性判断命题的逆命题为假命题即可；C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断；D．根据线面平行的判定定理及性质定理进行判断.【详解】对于A，若为真命题，则中至少有一个为真命题.正确；对于B，命题的逆命题是若y=f（x）的图象不经过第四象限，则y=f（x）是幂函数，错误比如函数y=2x的函数图象不经过第四象限，满足条件，但函数f（x）是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是假命题，正确；对于C，命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0”，错误；对于D，若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件，正确，故选：C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，含有量词的命题的否定，复合命题以及充分条件和必要条件的判断，知识点较多综合性较强，但难度不大．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥，∴本题选择C选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设，,，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用表示，由C，D，F三点共线得出x，y的关系，消去y，得到关于x的函数f（x），利用导数求出f（x）的最小值．【详解】=2x y．∵C，F，D三点共线，∴2x+y=1．即y=1﹣2x．由图可知x＞0．∴==．令f（x）=，得f′（x）=，令f′（x）=0得x=或x=﹣（舍）．当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0．∴当x=时，f（x）取得最小值f（）==3+2．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题．8.已知是定义域为的奇函数，满足, 若，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得f（0）=0，f（x）为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和．【详解】f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），f（1﹣x）=f（1+x）即有f（x+2）=f（﹣x），即f（x+2）=﹣f（x），进而得到f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），f（x）为周期为4的函数，若f（1）=2，可得f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（2）=f（0）=0，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）=504×0+2+0=2．故选：B．【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9.已知函数在区间上是增函数，且在区间上存在唯一的使得，则的取值不可能为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由f（x）=2sinωx可得[﹣，]是函数的递增区间，结合已知可得[﹣，]⊇[]，可解得0＜ω≤，又函数在区间上存在唯一的使得，根据正弦函数的性质可得0≤≤π，进而得解．【详解】f（x）=2sinωx，∴[﹣，]是函数的递增区间，且[﹣，]．又∵函数在[]上递增，∴[﹣，]⊇[]，∴得不等式组：﹣≤﹣，≤，又∵ω＞0，∴0＜ω≤，又在区间上存在唯一的使得，根据正弦函数的性质可知ωx=2kπ+，k∈Z，即函数在x=+处取得最大值，可得0≤≤π，∴ω≥，综上，可得ω∈[，]．故选：D．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象特征，判断[﹣，]⊇[]是解题的关键，属于中档题．10.将正奇数数列依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：,称为第1组，为第2组，依此类推，则原数列中的位于分组序列中( )A. 第组B. 第组C. 第组D. 第组【答案】A【解析】【分析】求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.【详解】正奇数数列1,3,5,7,9，的通项公式为则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组选A.【点睛】本题考查闺女是推理，属中档题.11.定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数,我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和。
广东省六校2020届高三数学第二次联考试题理 280318
系最大，其他因素影响较小暂时不考虑，垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为对城 A
与城 B 的影响度之和. 记 C 点到城 A 的距离为 xkm ，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城
B
y
A
A
的总影响度为 ，统计调查表明：垃圾处理厂对城 的影响度与所选地点到城 的距
离的平方成反比，比例系数 2.7；垃圾处理厂对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的 平方成反比，比例系数为 k ；且当垃圾处理厂 C 与城 A 距离为 10km 时对城 A 和城 B 的总
b sin(B C) .
2
(1) 求 B ；
(2) 若 ABC 为锐角三角形，且 c
2 ，求 ABC 面积的取值范围。
21. (12 分）两县城 A 和 B 相距 30km ，现计划在两县城外位于线段 AB 上选择一点 C 建造一个
两县城的公共垃圾处理厂，已知垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的的距离关
f (1) a
min
1
x
x
ex
a g(x)
函 数 与 的 图 象 上 存 在 关 于 x轴 对 称 的 点 即 f( x) eln x
函数 f (x) e x ex a 与
m(x)
g(x)
1 ln x
的图象上存在公共点
x
11 x1
m '(x)
g '(x)
m(x)
g(1) 1
xx
x
2
2
max
如图示当且仅当 f (x)min m(x)max 即 a
2
8
1
8
7
7
6
2
1
1 128 1
广东省深圳实验、珠海一中等六校2019届高三数学第二次联考试题
广东省深圳实验、珠海一中等六校届高三数学第二次联考试题文（含解析）一、选择题：共小题，每小题分，共分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
.设集合，集合，则（）. . . .【答案】【解析】由题意得，∴．选．.已知复数满足，（为的共轭复数）.下列选项（选项中的为虚数单位）中（）.. . . 或 . 或【答案】【解析】设，则，，所以，得，所以或.本题选择选项..已知，则( ). . . .【答案】【解析】由题意可得：本题选择选项..等差数列中，，则其前项和取最大值时的值为（）. . . 或 .【答案】【解析】【分析】题目所给数列为等差数列，故将所给的两个条件都转化为的形式，解方程组解出，然后利用通项大于或等于零，求得最大时的值.【详解】由于数列为等差数列，故，解得，故，当时，解得，故当或时，取得最大值.故选.【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式以及前项和公式.在求解等差数列通项的过程中，首先明确题目给定的数列是等差数列还是等比数列，若是等差数列，则将已知条件转化为和的形式，若是等比数列，则将已知条件转化为和的形式，然后通过解方程组求得对应的首项和公差或者首项和公比，由此求得数列的通项公式..下列命题中，为真命题的是（）. ，使得 .. . ，是的充分不必要条件【答案】【解析】【分析】对于两个选项，利用指数函数和幂函数的性质进行排除，对于选项，利用基本不等式的知识进行排除.对于选项，利用不等式的性质和充要条件的知识来说明.【详解】对于选项，由于对任意的实数都成立，故选项错误.对于选项，当时，不等式不成立.当时，，故选项错误.根据不等式的性质，当时，，反过来不一定，故选项正确.故选.【点睛】本小题主要考查指数函数和幂函数的图像与性质，考查基本不等式使用的条件：一正二定三相等，考查全称命题与特称命题，考查充要条件的判断以及不等式的性质等知识，属于中档题..四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线与所成的角为（）. . . .【答案】【解析】【分析】画出图像，将两条异面直线平移到一起，然后利用三角形的知识求得两条异面直线所成的角. 【详解】画出图像如下图所示，将平移到的位置，连接，则角即是两条异面直线所成的角.由于三角形为等边三角形，故两条异面直线所成的角为.故选.【点睛】本小题主要考查空间两条异面直线所成的角.要求空间两条异面直线所成的角，需要通过平移，将两条异面直线平移到有一个公共顶点的三角形内，然后通过解三角形求得异面直线所成的角.将异面直线平移的主要方法是通过平行四边形平移，或者通过中位线平移，或者通过面面平行来平移..已知满足，则的最大值为（）. . . .【答案】【解析】【分析】画出可行域，通过平移到边界位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，通过平移到点的位置，此时截距取得最大值，也即目标函数取得最大值为.故选.【点睛】本小题主要考查线性规划知识，目标函数是线性型的.画出可行域后，平移目标函数到边界位置来取得最值.属于基础题..已知菱形的边长为，，点满足，若，则（）. . . .【答案】【解析】【分析】将两个向量，用表示，再根据向量数量积的运算，列方程，解方程求得的值. 【详解】依题意,.故选.【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积运算，考查平面向量的加法和减法的运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于中档题..已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）. 函数的周期为. 函数为偶函数. 函数在上单调递增. 函数的图象关于点对称【答案】【解析】【分析】根据三角函数的最低点求得，再结合图像过和这两个点，可求得的解析式，然后对选项逐一进行判断和排除，从而得出正确选项.【详解】由于三角函数图像最小值为，故.，将点代入，解得，，再将代入，解得，故.函数的周期为，所以选项错误. 为奇函数，故选项错误.，故选项错误.所以选.【点睛】本小题主要考查利用三角函数的图像，求三角函数的解析式，并利用解析式求三角函数的最小正周期、单调区间等问题，综合性较强，属于中档题..已知双曲线的离心率为，左右焦点分别为，点在双曲线上，若的周长为，则的面积为（）. . . .【答案】【解析】【分析】根据离心率可得，根据双曲线的定义和三角形的周长，列方程组求得三角形的三条边长，然后利用勾股定理算出高，再用三角形面积公式计算出面积.【详解】根据离心率得，即，根据双曲线的定义，有，根据三角形的周长有，故，故三角形的高为，故面积为.故选.【点睛】本小题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率和焦点三角形的面积.离心率在本题中的作用是将转化为的形式.在解答过程中，主要是方程的数学思想方法，利用双曲线的定义，得到一个方程，再利用题目所给的周长这个条件，又列出另一个方程，根据这两个方程可以求解出三角形的边长..在正方体中，点是侧面内的一动点，若点到直线与到直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）. 直线 . 圆 . 双曲线 . 抛物线【答案】【解析】【分析】由于到直线的距离，也即是的长度.由此将问题转化为到直线的距离和到点的距离相等，符合抛物线的定义.由此得出选项.【详解】画出图像如下图所示，由于到直线的距离，也即是的长度.由此将问题转化为到直线的距离和到点的距离相等，这恰好是抛物线的定义，故选.【点睛】本小题主要考查空间点到直线的距离，考查圆锥曲线的定义，主要是抛物线的定义，属于基础题..设函数，直线是曲线的切线，则的最小值是（）. . . .【答案】【解析】分析：设切点是，求出切线方程，可得，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出的最小值即可的结果.详解：设切点是，由是切线斜率，切线方程为，整理得，，记，当，递减；当，递增；故，即的最小值是故选.点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（）由点斜式求得切线方程.二、填空题：共小题，每小题分，共分。
广东省珠海市2020届高三三模考试数学(文)试题 Word版含解析
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第I 卷（选择题)
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1.已知集合{}{}21,0,1,21A B x x =-=≥，，则A B =( )
A. {}1,0,1-
B. {}1,2
C. {}1,1-
D. {}1,1,2- 【答案】D
【解析】
【分析】
先化简集合B ,再求A B 即可得解.
【详解】由{|1B x x =≥或}1x ≤-，所以A
B ={}1,1,2-. 故选：D.
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
2.已知复数z 在复平面上对应的点为()1
1-，，则 A. 1z +是实数
B. 1z +是纯虚数
C. i z +是实数
D. i z +是纯虚数
【答案】C
【解析】
由题意得复数z =1−i ，所以z +1=2−i ，不是实数，所以选项A 错误； 1z +也不是纯虚数，所以选项B 错误；
i z +=1是实数，所以选项C 正确；
i z +不是纯虚数，所以选项D 错误.
故选C ．
【名师点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数的分类等基础知识，属于基础题. 先求出复数z ，再代入选项进行判断，即得正确答案.
3.不等式1x x
>的解集为( ) A. {}|1x x >
B. {|11x x -<<且}0x ≠。
广东省深圳实验,湛江一中,珠海一中2023-2024学年高三12月联考数学答案
深圳实验、湛江一中、珠海一中2024届高三三校联考数学答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCABDACC二、多选题（每小题5分，共20分）题号 9 10 11 12 答案BCADACBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 2 14. 36 15. 1 16. 5[,3]3四、解答题：本题共6小题，第17题10分，18―22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （10分）解：(1)∵13535(21)2n a a a n a n ++++−=， ∴当2n ≥时，135135(23)2(1)n a a a n a n −++++−− ， ………………………………2分两式相减得(21)2n n a −=，即221n a n =− (2n ≥)，………………………………………3分 当1n =时，12a =，符合上式，………………………………………………………………4分 ∴{}n a 的通项公式为221n a n =−(*n ∈N )．…………………………………………………5分 (2)∵21121(21)(21)2121n na b n n n n n ===−+−+−+， ………………………………………7分 ∴1111113352121n T n n =−+−++−−+ ， …………………………………………………9分 ∴1212121n n T n n =−=++． …………………………………………………………………10分18．（12分）解：(1) （方法一）由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+−=， 又∵2cos b c b A =−，∴22222b c a c bbc b+−−=，………………………………………………1分 ∴bc b a +=22，………………………………………………………………………………2分∵2222cos 2222a c b c bc c b aB ac ac a b+−++====，……………………………………………3分 ∴222222222cos 12()12222a a b bc b c b B b b b b−−−−=⋅−=== ，…………………………………4分 ∴cos cos 2A B =， ……………………………………………………………………………5分 又∵A ，B (0,π)∈，∴2A B =．……………………………………………………………6分 （方法二）由正弦定理，得BBC A sin 2sin sin cos −=，………………………………………1分∴B B A C sin sin cos 2sin +=，……………………………………………………………2分∵A ，B ，C 为△ABC 的内角，∴πA B C ++=， ∴B A B A B A C sin cos cos sin )sin(sin +=+=，………………………………………3分 ∴B B A B A sin sin cos cos sin =−，………………………………………………………4分 即B B A sin )sin(=−，………………………………………………………………………5分 又∵A ，B (0,π)∈，∴2A B =．6分(2) （方法一）由(1)可知22a b bc =+，……………………………………………………7分∵23a b =，∴223()2b b bc =+，即54c b =， ………………………………………………8分∴22222235()()924cos 321622b b b a b cCb abb +−+−===⋅⋅，…………………………………………9分∵(0,π)C ∈，∴sin 0C >，sin C ，………………………………10分记△ABC 的面积为S ，∴113sin 222b S ab C b ==⋅⋅=………………………………………………11分 ∴8b =．……………………………………………………………………………………12分 （方法二）由正弦定理，得sin sin a bA B =，即2sin cos sin a b B B B=，……………………7分∵,(0,π)A B ∈，∴sin 0A >，且sin 0B >，∴cos 2aB b=，……………………………8分 又∵23a b =，∴3cos 4B =，∴sin B∴21coscos 22cos 18A B B ==−=，∴sin A =，……………………………………9分∴sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=…………………………………10分 记△ABC 的面积为S ，∴113sin 222b S ab C b ==⋅⋅=………………………………………………11分 ∴8b =．……………………………………………………………………………………12分19．（12分）解：(1) 证明：如图，取BD 的中点O ，连接OA ，OC ， ……………………………1分 ∵AB AD =，∴BD AO ⊥， ………………………………………………………………2分 ∵△BCD 为等边三角形，∴BD CO ⊥， …………………………3分 又∵AO CO O = ，,OA OC ⊂平面AOC ，∴BD ⊥平面AOC ， ……………………………………4分 又∵AC ⊂平面AOC ，∴BD AC ⊥.(2)（解法一）由(1)不难知道，在平面AOC 内，若过C 作直线AO 的垂线CQ 交AO 于点Q ，则该垂线亦为平面ABD 的垂线，故直线AC 在平面ABD 内的射影为直线AQ ， ∴QAC ∠为直线AC 与平面ABD 所成的角，即π3QAC ∠=，π3OAC ∴∠=……………6分 不妨设2BD =，∵π2BAD ∠=，O 为BD 的中点，∴1OA OB OD ===， ∵△BCD 为等边三角形，∴OC 在△OAC 中，由正弦定理sin sin AO OC OCA OAC =∠∠,得1sin 2OCA ∠=，∴π6OCA ∠=，∴π2AOC ∠=，即OA OC ⊥， 由(1)知，OD OC ⊥，且OD OA ⊥，…………………………………………………………7分 以O 为坐标原点，OC ，OD ，OA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得(0,0,0)O ，C ，(0,1,0)B −，12(0,,)33E ，则有BC = ，42(0,,)33BE = ，………………………………………………………8分易知(0,0,1)n =为平面BCD 的一个法向量，………………………………………………9分 设(,,)m x y z =为平面BCE 的一个法向量，则00BC m BE m ⋅= ⋅=，，即042033y y z += += ，，∴2y z y = =− ，， 则平面BCE的一个法向量为(1,m =，…10分cos ,||||n m n m n m ⋅<>==…………11分 由图可知，二面角E BC D −−为锐角， ∴二面角E BC D −−，∴二面角E BC D −−的大小为π6. ……………12分（解法二）过E 作EF BD ⊥，垂足为F ，过F 作FG BC ⊥，垂足为G ，连接GE ， 由(1)不难知道，在平面AOC 内，若过C 作直线AO 的垂线CQ 交AO 于点Q ，则该垂线亦为平面ABD 的垂线，故直线AC 在平面ABD 内的射影为直线AQ ， ∴QAC ∠为直线AC 与平面ABD 所成的角，即π3QAC ∠=，π3OAC ∴∠=……………6分 不放设2BD =，∵π2BAD ∠=，O 为BD 的中点，∴1OA OB OD ===， ∵△BCD为等边三角形，∴OC在△OAC 中，由正弦定理得1sin 2OCA ∠=，∴π6OCA ∠=， ∴π2AOC ∠=，即OA OC ⊥. 结合(1)可知，二面角A BD C −−为直二面角， …………………………………………7分 ∴EF ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，∴EF BC ⊥,又EF FG F = ，,EF FG ⊂平面EFG ，∴BC ⊥平面EFG ，又EG ⊂平面EFG ， ∴BC EG ⊥，∴EGF ∠为二面角E BC D −−的平面角. ………………………………8分∵2DE EA =，EF AO ∥，∴2233EF OA ==，23DF =，43BF =， ……………………9分取BC 的中点H ，连接AD ，则DH FG ∥，23FG DH==，∴43EG ，…………………………………………………………………10分∴cos FG EGF EG ∠= …………………………………………………………………11分∴二面角E BC D −−，∴二面角E BC D −−的大小为π6. ……………12分20．（12分）解：(1) 记“甲队获得冠军”为事件A ，“决赛进行三场比赛”为事件B ，由题可知121121()(+)=232355P AB =×××， …………………………………………………2分121121111()(+)+=232352330P A =××××， ……………………………………………………4分∴当甲队获得冠军时，决赛需进行三场比赛的概率为()6()()11P AB P B A P A ==. …………6分 (2) 设主办方在决赛前两场中共投资x （千万元）， 其中01x <≤， 若需进行第三场比赛，则还可投资1x −（千万元），记随机变量ξ为决赛的总盈利，则ξ可以取2x ，2x+， …………………………7分∴11121()+=223232x P ξ==××，12111(+223232xP ξ==××=， ………………9分 ∴随机变量ξ的分布列为∴ξ的数学期望1()22x E ξ=⋅ ………………………10分令1)t t =≤<，则221115()()2228t t E t ξ−++==−−+，…………………………11分∴当12t =，即34x =时，()E ξ取得最大值，∴主办方在决赛的前两场的投资额应为0.75千万元，即750万元. ……………………12分 21．（12分）解：(1) ()e 2(e 2)x xf x x ax x a ′=+=+，……………………………………………………1分若0a ≥，由20x e a +>，则(0,)x ∈+∞时，()0f x ′>，()f x 单调递增；(,0)x ∈−∞时，()0f x ′<，()f x 单调递减；…………………………………………………………………2分0a <时，令()0f x ′=，得0x =或ln(2)x a =−， 若12a <−，则(,0)x ∈−∞或(ln(2),)x a ∈−+∞时，()0f x ′>，()f x 单调递增；(0,ln(2))x a ∈−时，()0f x ′<，()f x 单调递减；……………………………………………3分若12a =−，则()0f x ′≥在R 上恒成立，()f x 在R 上单调递增；……………………4分 若102a −<<，则(,ln(2))x a ∈−∞−或(0,)x ∈+∞时，()0f x ′>，()f x 单调递增；(ln(2),0)x a ∈−时，()0f x ′<，()f x 单调递减．……………………………………………5分综上，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)−∞上单调递减；当12a <−时，()f x 在(,0)−∞，(ln(2),)a −+∞上单调递增，在(0,ln(2))a −上单调递减； 当12a =−时，()f x 在R 上单调递增；当102a −<<时，()f x 在(,ln(2))a −∞−，(0,)+∞上单调递增，在(ln(2),0)a −上单调递减.…………………………………………………6分(2) 由(1)知，1a <−时，()f x 在(,0)−∞，(ln(2),)a −+∞上单调递增；在(0,ln(2))a −上单调递减，则()f x 的极小值点为0ln(2)x a =−，…………………………………………………7分 由极大值(0)10f =−<，(1)0f a =<且当x →+∞时，()f x →+∞，()f x 存在唯一的零点11x >，满足12111()(1)e 0x f x x ax =−+=，…………………………8分化简得，12112(1)e 2xx ax −=−， ∴111ln(22)ln(2)2ln x x a x −+=−+，即111ln(2)ln(22)2ln a x x x −=−+−， ∴10111ln(2)2ln ln(22)x x x a x x −=−−=−−，………………………………………………9分 设()2ln ln(22)g x x x =−−，1x >，212(()11)g x x x x x x −=−=−′−，…………………………………………………………………10分当(2,)x ∈+∞时，()0g x ′>，()g x 单调递增，(1,2)x ∈时，()0g x ′<，()g x 单调递减， …………………………………………………11分从而当2x =时，()g x 有最小值(2)ln 2g =，综上所述，()f x 存在唯一的零点1x ，且10ln 2x x −≥．…………………………………12分22．（12分）解：(1) 由题意得1(||||||)32AB MA MB r r ++⋅=， ………………………………………1分 易知||||4||MA MB AB +=>， ………………………………………………………………2分 由椭圆定义可知，动点M 在以A ，B 为焦点，且长轴长为4的椭圆上，又M 不能在直线AB 上，∴C 的方程为：22143y x +=(0)x ≠． …………………………3分(2) (i) （法一）设11(,)E x y ，22(,)F x y ，00(,)G x y ，易知直线EF 的方程为11y k x =+， 联立2211143y x y k x++== ，得2211(34)690k x k x ++−=， ∴11221634k x x k −+=+，………………4分 ∴1122013342x x x k k +==−+，002114143y k k x ==++，即1221134343)4(,G k k k −++， …………5分 同理可得，2222234343)4(,H k k k −++， …………………………………………………………6分 ∴122212916(34)(34)O O k k G H k k +⋅++=，……………………………………………………………7分欲使OG OH ⊥，则0OG OH ⋅= ，即129169160k k λ+=+=，∴169λ=−，∴存在唯一常数169λ=−，使得当12169k k =−时，OG OH ⊥． …………………………8分 （法二）设11(,)E x y ，22(,)F x y ，00(,)G x y ，易知EF 的斜率1k 不为零，否则G 与A 重合， 欲使OG OH ⊥，则H 将在x 轴上，又H 为PQ 的中点，则PQ x ⊥轴，这与PQ 过A 矛盾， 故10k ≠，同理有20k ≠， …………………………………………………………………4分则22112222143143y x y x += =+，可得1212121243y y y y x x x x −+⋅=−−+， …………………………………………5分 易知120=2x x x +，120=2y y y +，且121212120022OGy k y y y y x x x x x ==+=+++，21121y y k x x −=−，∴143OG k k =−⋅，即143OG k k =−，……………………………………………………………6分同理可得，243OH k k =−， …………………………………………………………………7分 欲使OG OH ⊥，则1OG OH k k ⋅=−， ∴1244()()133k k −×−=−，∴12169k k =−，∴存在唯一常数169λ=−，使得当12169k k =−时，OG OH ⊥． …………………………8分(ii) 由(i)易知11221634k x x k −+=+，且1221934x x k −=+，∴124||434EF k =−+，即124||434EF k =−+，同理可得，224||434PQ k =−+， …………………………………9分∵1243k k =，∴212222224434||||||=||=||34344334EF PQ k k k k −−−++++，记220k t =>， ∴347771||||||||124334(43)(34)1222571225t EF PQ t t t t t t−=−==≤=++++×+++，当且仅当1t =，即21k =±时取等， ………………………………………………………10分 由椭圆的对称性，不妨设此时21k =，143k =，且直线EF 和PQ 的夹角为θ， 则4113tan 47113θ−==+×，不难求得sin θ=， …………………………………………11分 此时，易知22424||4347PQ k =−=+，且12425||4347EF k =−=+， ∴四边形EPFQ的面积为112425||||sin 2277PQ EF θ=××． ……………12分。
2025届广东东莞中学、广州二中惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学六校高三十二月联考数学试卷
2025届高三·十二月·六校联考数学科试题（满分150分.考试时间120分钟.）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用2B 铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效. 2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2R 20A x xx =∈−−<，{}2,x By y x A==∈，则A B = （ ）A. ()1,4−B. ()0,2C. 1,12D. 1,222. 命题：“20,0x x x ∃>+>”的否定是（ ） A 20,0x x x ∀>+> B. 20,0x x x ∀>+≤ C. 20,0x x x ∃≤+>D. 20,0x x x ∃≤+≤3. 已知等边ABC 的边长为1，点,D E 分别为,AB BC 的中点，若3DF EF = ，则AF =（ ）A. 1526AB AC +B. 1324AB AC +C. 12AB AC +D. 1322AB AC +4. 将函数()πsin 26f x x=−的图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则在下列区间中，函数()g x 单调递减的是（ ）.A π0,8B. ππ,84C. π3π,48D. 3ππ,825. 已知0,0x y >>，且121y x+=，则12x y +的最小值为（ ）A. 4B. 1−C. 6D. 86. 将曲线2e x y =（e 为自然对数的底数） 绕坐标原点顺时针旋转θ后第一次与x 轴相切，则tan θ=（ ） A. eB. 2eC. 2eD. 22e7. 如图，在已知正方体.1111ABCD A B C D −中，N 是棱AB 上点，且1.3AN AB =平面1NCD 将此正方体分为两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（ ）A.1341 B.1354 C.35127D. 351628. 已知函数()()cos3cos 2,0,πf x x x x =−∈，若()f x 有两个零点()1212,x x x x <，则12cos cos x x 的值为（ ） A.14B. 14−C.12D. 12−二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别为1a 、2a，则下列说法不正确的是（ ） A. 1212z z a a ⋅=⋅B. 1212z z a a =−−.的C. 若1212z z z z −=+，则120z z ⋅=D. 若12=z z ，则2212z z =10. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若252324S S S <<，则下列说法正确的是（ ）A. 当24n =，n S 最大B. 使得0nS <成立的最小自然数48n =C. 23242526a a a a +>+D. n n S a中最小项为2525S a11. 如图，在直三棱柱 ABC A B C −₁₁₁中，2AC BC CC AC BC ===⊥₁，，Q 是线段AB 的中点，P 是线段BC ₁上的动点 （含端点），则下列命题正确的是 （ ）A. 三棱锥1P A QC −的体积为定值B. 直线PQ 与AC 所成角正切值的最小值是22C. 在直三棱柱 ABC A B C −₁₁₁内部能够放入一个表面积为1.44π的球D. 1A P PQ +的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量()(),1,,1am b m ==−，若2a b −与b 垂直，则a 等于________.13. 已知数列{}n a 的前n 项和为()*22N n n S a n =−∈，()()()*N 11nn n n a b n a S =∈−+，则数列{}n b 的前n 项和n T =_____________.的14. 若存在[],,π,2πa b c ∈（,,a b c 互不相等），满足()sin sin sin 30a b c ωωωω++=>，则ω的取值范围为____________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 在ABC 中，角,,A B C 对应的三边分别是,,a b c ，且.B = （1）求角C 的值;（2）若5,2tan 3tan c A B ==，求ABC 的面积. 16. 已知椭圆C 中心在坐标原点，两个焦点分别为()11,0F −，()21,0F ，点A 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程和离心率；（2）已知直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，且OM ON ⊥，求OMN 面积的取值范围.17. 如图所示，已知四棱锥P ABCD −中，2BC CD PA PB PC PD ======，90ABC ADC ∠=∠=°.（1）求证: BD ⊥平面PAC ；（2）当四棱锥P ABCD −的体积最大时，求二面角P BC A −−的正弦值. 18. 已知函数()()()2ln 1f x x a x a xR =+−+∈. （1）若1a =−，求函数()y f x =的极值； （2）讨论()f x 的单调性；（3）若1212,()x x x x <是()f x 的两个极值点，证明：()()21f x f x −<19. 给定正整数2n ≥，设数列12,,,n a a a 是1,2,,n 的一个排列，对{}1,2,,,i i n x ∈ 表示以i a 为首项的递增子列的最大长度（数列中项的个数叫．．．．．．．．做数列的长度．．．．．），i y 表示以i a 为首项的递减子列的最大长度. 我们规定：当i a 后面的项没有比i a 大时，0i x =，当i a 后面的项没有比i a 小时，0i y =，例如数列：的1233,2,1,3n a a a ====，则1122332,2,2,0,0,0x y x y x y ======. （1）若12344,1,4,2,3n a a a a =====，求12,x y 和41i ii x -y=∑；（2）求证: {}()()22111,2,,1,0i i i i i n x y x y ++∀∈−−+−≠ ； （3）求1ni ii x -y=∑的最值.。
广东省深圳实验、珠海一中等六校2019届高三数学第二次联考试题文(含解析)
广东省深圳实验、珠海一中等六校2019届高三数学第二次联考试题文（含解析）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，∴．选D．2.已知复数满足，（为的共轭复数）.下列选项（选项中的为虚数单位）中（）.A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】设，则，，所以，得，所以或.本题选择C选项.3.已知，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：本题选择A选项.4.等差数列中，，则其前项和取最大值时的值为（）A. 503B. 504C. 503或504D. 505【答案】C【解析】【分析】题目所给数列为等差数列，故将所给的两个条件都转化为的形式，解方程组解出，然后利用通项大于或等于零，求得最大时的值.【详解】由于数列为等差数列，故，解得，故，当时，解得，故当或时，取得最大值.故选C.【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式以及前项和公式.在求解等差数列通项的过程中，首先明确题目给定的数列是等差数列还是等比数列，若是等差数列，则将已知条件转化为和的形式，若是等比数列，则将已知条件转化为和的形式，然后通过解方程组求得对应的首项和公差或者首项和公比，由此求得数列的通项公式.5.下列命题中，为真命题的是（）A. ，使得B.C. D. ，是的充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】对于A,C两个选项，利用指数函数和幂函数的性质进行排除，对于B选项，利用基本不等式的知识进行排除.对于D选项，利用不等式的性质和充要条件的知识来说明.【详解】对于A选项，由于对任意的实数都成立，故A选项错误.对于B选项，当时，不等式不成立.当时，，故C选项错误.根据不等式的性质，当时，，反过来不一定，故D选项正确.故选D.【点睛】本小题主要考查指数函数和幂函数的图像与性质，考查基本不等式使用的条件：一正二定三相等，考查全称命题与特称命题，考查充要条件的判断以及不等式的性质等知识，属于中档题.6.四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出图像，将两条异面直线平移到一起，然后利用三角形的知识求得两条异面直线所成的角. 【详解】画出图像如下图所示，将平移到的位置，连接，则角即是两条异面直线所成的角.由于三角形为等边三角形，故两条异面直线所成的角为.故选C.【点睛】本小题主要考查空间两条异面直线所成的角.要求空间两条异面直线所成的角，需要通过平移，将两条异面直线平移到有一个公共顶点的三角形内，然后通过解三角形求得异面直线所成的角.将异面直线平移的主要方法是通过平行四边形平移，或者通过中位线平移，或者通过面面平行来平移.7.已知满足，则的最大值为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】画出可行域，通过平移到边界位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，通过平移到点的位置，此时截距取得最大值，也即目标函数取得最大值为.故选A.【点睛】本小题主要考查线性规划知识，目标函数是线性型的.画出可行域后，平移目标函数到边界位置来取得最值.属于基础题.8.已知菱形的边长为2，，点满足，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将两个向量，用表示，再根据向量数量积的运算，列方程，解方程求得的值. 【详解】依题意,.故选A.【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积运算，考查平面向量的加法和减法的运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于中档题.9.已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A. 函数的周期为B. 函数为偶函数C. 函数在上单调递增D. 函数的图象关于点对称【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的最低点求得，再结合图像过和这两个点，可求得的解析式，然后对选项逐一进行判断和排除，从而得出正确选项.【详解】由于三角函数图像最小值为，故.，将点代入，解得，，再将代入，解得，故.函数的周期为，所以A选项错误. 为奇函数，故B选项错误.，故D选项错误.所以选C.【点睛】本小题主要考查利用三角函数的图像，求三角函数的解析式，并利用解析式求三角函数的最小正周期、单调区间等问题，综合性较强，属于中档题.10.已知双曲线的离心率为2，左右焦点分别为，点在双曲线上，若的周长为，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据离心率可得，根据双曲线的定义和三角形的周长，列方程组求得三角形的三条边长，然后利用勾股定理算出高，再用三角形面积公式计算出面积.【详解】根据离心率得，即，根据双曲线的定义，有，根据三角形的周长有，故，故三角形的高为，故面积为.故选B.【点睛】本小题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率和焦点三角形的面积.离心率在本题中的作用是将转化为的形式.在解答过程中，主要是方程的数学思想方法，利用双曲线的定义，得到一个方程，再利用题目所给的周长这个条件，又列出另一个方程，根据这两个方程可以求解出三角形的边长.11.在正方体中，点是侧面内的一动点，若点到直线与到直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】【分析】由于到直线的距离，也即是的长度.由此将问题转化为到直线的距离和到点的距离相等，符合抛物线的定义.由此得出选项.【详解】画出图像如下图所示，由于到直线的距离，也即是的长度.由此将问题转化为到直线的距离和到点的距离相等，这恰好是抛物线的定义，故选D.【点睛】本小题主要考查空间点到直线的距离，考查圆锥曲线的定义，主要是抛物线的定义，属于基础题.12.设函数，直线是曲线的切线，则的最小值是（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】分析：设切点是，求出切线方程，可得，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出的最小值即可的结果.详解：设切点是，由是切线斜率，切线方程为，整理得，，记，当，递减；当，递增；故，即的最小值是故选C.点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。
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广东省深圳实验、珠海一中等六校2020届高三第二次联考 数学（文）试题 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1.设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意得， ∴．选D． 2.已知复数满足，（为的共轭复数）.下列选项（选项中的为虚数单位）中（ ）. A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】
设，则，，
所以，得， 所以或. 本题选择C选项.
3.已知，则( ) A. B. C. D. 【答案】A
【解析】 由题意可得： 本题选择A选项. 4.等差数列中，，则其前项和取最大值时的值为（ ） A. 503 B. 504 C. 503或504 D. 505 【答案】C 【解析】 【分析】
题目所给数列为等差数列，故将所给的两个条件都转化为的形式，解方程组解出，然后利用通项大于或等于零，求得最大时的值.
【详解】由于数列为等差数列，故，解得，故，当时，解得，故当或时，取得最大值.故选C. 【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式以及前项和公式.在求解等差数列通项的过程中，首先明确题目给定的数列是等差数列还是等比数列，若是等差数列，则将已知条件转化为和的形式，若是等比数列，则将已知条件转化为和的形式，然后通过解方程组求得对应的首项和公差或者首项和公比，由此求得数列的通项公式. 5.下列命题中，为真命题的是（ ）
A. ，使得 B. C. D. ，是的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 对于A,C两个选项，利用指数函数和幂函数的性质进行排除，对于B选项，利用基本不等式的知识进行排除.对于D选项，利用不等式的性质和充要条件的知识来说明.
【详解】对于A选项，由于对任意的实数都成立，故A选项错误.对于B选项，当时，不等式不成立.当时，，故C选项错误.根据不等式的性质，当时，，反过来不一定，故D选项正确.故选D. 【点睛】本小题主要考查指数函数和幂函数的图像与性质，考查基本不等式使用的条件：一正二定三相等，考查全称命题与特称命题，考查充要条件的判断以及不等式的性质等知识，属于中档题. 6.四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】 【分析】 画出图像，将两条异面直线平移到一起，然后利用三角形的知识求得两条异面直线所成的角. 【详解】画出图像如下图所示，将平移到的位置，连接，则角即是两条异面直线所成的角.由
于三角形为等边三角形，故两条异面直线所成的角为.故选C.
【点睛】本小题主要考查空间两条异面直线所成的角.要求空间两条异面直线所成的角，需要通过平移，将两条异面直线平移到有一个公共顶点的三角形内，然后通过解三角形求得异面直线所成的角.将异面直线平移的主要方法是通过平行四边形平移，或者通过中位线平移，或者通过面面平行来平移. 7.已知满足，则的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 画出可行域，通过平移到边界位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，通过平移到点的位置，此时截距取得最大值，也即目标函数取得最大值为.故选A.
【点睛】本小题主要考查线性规划知识，目标函数是线性型的.画出可行域后，平移目标函数到边界位置来取得最值.属于基础题. 8.已知菱形的边长为2，，点满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A
【解析】 【分析】
将两个向量，用表示，再根据向量数量积的运算，列方程，解方程求得的值. 【详解】依题意
,.故选A. 【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积运算，考查平面向量的加法和减法的运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于中档题. 9.已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的周期为 B. 函数为偶函数
C. 函数在上单调递增 D. 函数的图象关于点对称 【答案】C
【解析】 【分析】
根据三角函数的最低点求得，再结合图像过和这两个点，可求得的解析式，然后对选项逐一进行判断和排除，从而得出正确选项.
【详解】由于三角函数图像最小值为，故.，将点代入，解得，
，再将代入，解得，故.函数的周期为，所以A选项错误. 为奇函数，故B选项错误.，故D选项错误.所以选C. 【点睛】本小题主要考查利用三角函数的图像，求三角函数的解析式，并利用解析式求三角函数的最小正周期、单调区间等问题，综合性较强，属于中档题.
10.已知双曲线的离心率为2，左右焦点分别为，点在双曲线上，若的周长为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】
根据离心率可得，根据双曲线的定义和三角形的周长，列方程组求得三角形的三条边长，然后利用勾股定理算出高，再用三角形面积公式计算出面积.
【详解】根据离心率得，即，根据双曲线的定义，有，根据三角形的周长有，故，故三角形的高为，故面积为
.故选B. 【点睛】本小题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率和焦点三角形的面积.离心率在本题中的作用是将
转化为的形式.在解答过程中，主要是方程的数学思想方法，利用双曲线的定义，得到一个方程，再利用题目所给的周长这个条件，又列出另一个方程，根据这两个方程可以求解出三角形的边长.
11.在正方体中，点是侧面内的一动点，若点到直线与到直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】D 【解析】 【分析】
由于到直线的距离，也即是的长度.由此将问题转化为到直线的距离和到点的距离相等，符合抛物线的定义.由此得出选项. 【详解】画出图像如下图所示，由于到直线的距离，也即是的长度.由此将问题转化为到直线的距离和到点的距离相等，这恰好是抛物线的定义，故选D. 【点睛】本小题主要考查空间点到直线的距离，考查圆锥曲线的定义，主要是抛物线的定义，属于基础题. 12.设函数，直线是曲线的切线，则的最小值是（ ）
A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】
分析：设切点是，求出切线方程，可得，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出的最小值即可的结果. 详解：设切点是，
由是切线斜率， 切线方程为， 整理得，
， 记， 当，递减； 当，递增；
故， 即的最小值是故选C. 点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题.求曲线切
线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程. 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知是定义在上的周期为2的奇函数，当时，则________。 【答案】 【解析】 【分析】 由函数的周期为，结合函数为奇函数，即可得解
【详解】由于函数的周期为，故，由于函数为奇函数，所以
. 【点睛】本小题主要考查函数的周期性，考查函数的奇偶性以及函数值的求解策略.将大的数，通过周期变为小的数来求解.属于基础题.
14.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为_____________。 【答案】 【解析】 【分析】 由三视图可知，该几何体为四棱锥，将四棱锥补形为正方体，利用正方体的对角线即为外接球的直径，来求得球的半径，进而求得球的体积.
【详解】由三视图可知，该几何体为四棱锥，画图图像如下图.将四棱锥补形为正方体，利用正方
体的对角线即为外接球的直径，即，所以球的体积为.
【点睛】本小题主要考查三视图还原直观图，考查利用补形的方法求几何体外接球的体积，属于中档题. 15.以下四个命题，其中正确的序号是____________________。 ①从匀速传递的产品生产流水线上，每20分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是分层抽样。 ②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1。
③在线性回归方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位。 ④分类变量与，它们的随机变量的观测值为，当越小，“与有关系”的把握程度越大。 【答案】②③ 【解析】 ①是系统抽样；对于④，随机变量K2(χ2)的观测值k越小，说明两个变量有关系的把握程度越小．
16.在中内角所对的边为，，，，则边上的高为_________________。
【答案】 【解析】 【分析】
利用向量转化为，根据的值求出的值，再结合求得边长度.利用余弦定理求得边的长，最后利用三角形面积公式列方程，求得边上的高. 【详解】设变上的高为.根据向量的数量积，有，由于，所以
，故，结合解得，由余弦定理得.由三角形的面积公式得，解得.