数学文卷·2014届山东省德州市高三上学期期中考试 (2013.11)

21．（本小题满分
13
分）已知椭圆
C：
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
>
0)
的长轴长为
4，离心率 e
=
2 2
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆 C 的左顶点为 A，右顶点为 B，点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点， 直线 AS，BS 与直线 l ： x = 3 分别交于 M，N 两点，求线段 MN 的长度的最小值．
A．7 B．12 C．32 D．64
2．已知 0 < a < 2 ，复数 z 的实部为 a ，虚部为 1，则| z | 的取值范围是
A．(1，5)
B．(1，3)
C． (1, 5)
D． (1, 3)
3．若命题“ p 或 q ”与命题“非 p ”都是真命题，则 A．命题 p 不一定是假命题 B．命题 q 一定是真命题 C．命题 q 不一定是真命题 D．命题 p 与命题 q 同真同假
图
1
20．(本小题满分
12
分)已知常数
p
>
0且
p
=/ 1，数列{an}的前
n
项和
Sn
=
p 1− p
(1 −
an )
，数列 {bn} 满足
bn+1 − bn = log p a2n−1 且 b1 = 1 ．
(1)求证：数列 {an } 是等比数列；
(2)若对于在区间[0，1]上的任意实数 λ ，总存在不小于 2 的自然数 k ，当 n ≥ k 时，bn ≥ (1 − λ)(3n − 2) 恒成立，求 k 的最小值．
加、乘运算．现已知 12=4，23=6，且有一个非零实数 m ，使得对任意实数 x ，都有 x * m = x ，则 m =
A．2 B．3 C．4 D．5
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填写在答题纸的相应位置．
13．若非零向量 a,b 满足| a |=| b | ， (2a + b) ⋅ b = 0 ，则 a 与 b 的夹角为______．
k = 4 ，因为 4=4，不满足题意，所以循环结束．输出 p 的值为 3，选 C．
7．A【解析】因为 f (x) = x cos(2π − x) = x cos x ， f (−x) = (−x) cos(−x) = −x cos x = − f (x) ，所以函数
f (x) = x cos x 为奇函数，排除 B，C；又因为当 0 < x < π 时， f (x) = x cos x > 0 ，故选择 A． 2
1000 × 0.6 = 600 ． 15． 7 【解析】依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组 (a,b) 有(1,1)， (1,2)， 12
(1,3)，…，(6,6)，共 36 种，其中满足直线 ax + by = 0 与圆 (x − 2)2 + y2 = 2 有公共点，即 2a ≤ 2 ， a2 + b2
的体积，体积为V = (2.4 + 0.6) × 2 × (1+ 1) = 12 ．
6．C【解析】由题知，第一次进入循环，满足 1<4，循环后 p = 1，s = 1 ，t = 1，k = 2 ；第二次进入循环，
满足 2<4，循环后 p = 2 ， s = 1， t = 2 ， k = 3 ；第三次进入循环，满足 3<4，循环后 p = 3 ， s = 2 ， t = 3 ，
，解得
a b
= =
−6c 2c +
2
，又对任意实数
x
，都有
x
*
m
=
x
，
即
x*m
=
−6cx
+
(2c
+
2)m
+
cxm
=
(cm
−
6c)x
+
(2c
+
2)m
=
x
恒成立，则
cm − 6c = 1 (2c + 2)m =
0
，解得
c = −1 m = 5
或
c
=
−
1 6
（舍）．
m = 0
二 、 13 ． 120°
【解析】由题意得
sin A =/ 0 ， 所 以 sin B = 1 ， 由 △ABC 为 锐 角 三 角 形 得 B = π ． 根 据 余 弦 定 理 得
2
6
b2 = a2 + c2 − 2ac cos B = 27 + 25 − 45 = 7 ．所以 b = 7 ．
11．B【解析】
根据题意设
A( x1 ,
y1 )
a ≤ b 的数组 (a,b) 有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1 ,4)，……，(6,6)，共1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 种，因此所求
的概率等于 21 = 7 ． 36 12
16． π 【解析】因为 e = 4
2
，所以 e2
=
(1)求函数 f (x) 的最小正周期； (2)求函数 f (x) 在区间[π , 3π ] 上的最小值与最大值．
84
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18．(本小题满分 12 分)某企业新研制一种 LED 节能灯管，为了测试其使用寿命，从中随机抽取 50 支灯管 作为测试样本，分别在使用了 12 个月、24 个月、36 个月时进行 3 次测试，得到未损坏的灯管支数如下表：
22．（本小题满分 13 分）
已知函数 f (x) = ex ，若函数 g(x) 满足 f (x) ≥ g(x) 恒成立，则称 g(x) 为函数 f (x) 的下界函数． (1)若函数 g(x) = kx 是 f (x) 的下界函数，求实数 k 的取值范围； (2)证明：对任意的 m ≤ 2 ，函数 h(x) = m + ln x 都是 f (x) 的下界函数．
高三数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的．
1．集合 P={3，4，5}，Q={6，7}，定义 P * Q = {(a, b) | a ∈ P, b ∈ Q} ，则 P * Q 的子集个数为
a a a
11
12
13
4．已知数阵
a21
a22
a23
中，每行的
3
个数依次成等差数列，每列的
3
个数也依次成等差数列，若
a22
= 8，
a a a 31
32
33
则这 9 个数的和为
A．16 B．32 C．36 D．72
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A．6
B．8 C．10 D．12
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数学（文科）参考答案
一、1．D【解析】集合 P * Q 中的元素为(3，6)，(3，7)，(4，6)，(4，7)，(5，6)，(5，7)共 6 个，故 P * Q
的子集个数为 26 = 64 ．
2．C【解析】由于复数 z 的实部为 a ，虚部为 1，且 0 < a < 2 ，故由| z |= 1 + a2 得1 <| z |< 5 ． 3．B【解析】由题可知“非 p ”是真命题，所以 p 是假命题，又因为“ p 或 q ”是真命题，所以 q 是真命
题．故选 B． 4．D 【解析】依题意得
a11 + a12 + a13 + a21 + a22 + a23 + a31 + a32 + a33 = 3a12 + 3a22 + 3a32 = 9a22 = 72 ．
5．D【解析】该几何体是一个长方体在左边挖去一个三棱柱再拼接到右边而得到的，它的体积就是长方体
，
B(x2
,
y2
)
．由
AF
=
λ
FB
得
(
p 2
−
x1,−
y1 )
=
λ(x2
−
p 2
,
y2
)
，
故
− y1 = λy2 ， 即 λ =
− y1 y2
．设直线
AB
的方 程为 y = 4 (x − p) ，联 立直线 与抛 物线方程 ，消元得 32
y 2 − 3 py − p 2 = 0 2
．故
y1
+
y2
=
3 2
A．7 B． 7 C． 97
D． 7 或 97
11．过抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点 F，斜率为 4 的直线交抛物线于 A，B 两点，若 AF = λ FB(λ > 1) ， 3
则 λ 的值为
A．5 B．4
C． 4 3
D． 5 2
12．对任意实数 x, y ，定义运算 x * y = ax + by + cxy ，其中 a,b,c 为常数，等号右边的运算是通常意义的
14．某学校对 1 000 名高三毕业学生的体育水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示， 现规定不低于 70 分为合格，则合格人数是______．
15．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a、b ，则直线 ax + by = 0 与
圆 (x − 2)2 + y 2 = 2 有公共点的概率为_______．