化工系统工程课件 第四章：线性规划方法

其中：u——决策向量
b——要求向量
u=[ u1， u2，…un] T
b=[ b1， b2，…bm] T
c=[ c1， c2，…cn]
c——价值系数
n ——问题的维数，或阶数 m ——问题的约束方程个数
三、将非标准形化为标准形
的方法：

对于各种不同形式的模型，可以采用以下方法进 行转化： 1 将求极大化为求极小 如果目标函数J是求极大值．则可按下式转换成 求极小值 max(J)＝min(-J)
检验所需费用： 人员工资 + 错验损失 一级检验员： 8×4× u1 + 8 × 25 ×(1-0.98) ×2 u1 二级检验员： 8×3× u2 + 8 × 15 ×(1-0.95) ×2 u2
整理得目标函数： f(u)=8[(4 + 25 ×(1-0.98) ×2)u1 +(3 + 15 ×(1-0.95) ×2)] u2 = 40 u1 +36u2
4 线性规划的典范形式： 如果在标准形式的m个约束方程中有这样m个特 殊变量，它的每一个在某一个约束方程组中的系 数为1，而在其它的方程中的系数为零，则称这 样的约束方程组为典范形式。例如：以前m个变 量为特殊变量的典范形式是：
u1 + a1,m+1um+1 +…….+a1nun=b1
u2+
…
A
3 线性规划的基本定理 ①、线性规划若存在可行点，则必存在可行域的 顶点 ②、若存在最优点，则至少有一个顶点是最优 点 定理的意义： ①、保证了顶点的存在性 ②、把一般要从无限个可行点中寻找最优点的问 题，简化为仅在有限个顶点中确定一个最优点的 问题。 由上述基本定理与重要性质即得知： 结论：只需在基本可行解中找最优解。
a11u1+a12u2 +…….+a1nun=b1
a21u1+a22u2 +…….+a2nun=b2
a31u1+a32u2 +…….+a3nun=b3
…
am1u1+am2u2 +…….+amnun=bm
2 基本可行解：

定义:满足非负条件ui ≥ 0的基本解称为基本可行解。

举例说明：
Min Z=-200u1-500u2 s.t•1.5u1+5u2 <=40 .
T
T
1 -1 1 -1 0 -1
-3 1 2 -2 0 0
四、几个基本概念


在标准形中，有m个约束方程，n个变量，且n>m 因为当n≤m时,问题或有唯一解或无解,无最优化可言。 对n>m及系数矩阵的秩为m的问题进行讨论。 Min c1u1+c2u2 +…….+cnun s.t. a11u1+a12u2 +…….+a1nun=b1
u5 ≥ 0， u6 ≥ 0， u7 ≥ 0
1 1
A=
u≥0 OR Min Z=cTu s.t•A 1u1+ A 2u2+…+Anun=b . b ≥0 u≥0
1 -1 1 0
u [ u 1, u 2, u 4, u 5, u 6, u 7 ] ; c [1, - 2 , 3 , 3 , 0 , 0 ] b [ 7 , 2 ,5 ]

2 将不等式约束化为等式约束
对于小于等于型不等式； ai1 u1十ai2 u2十· ．．十ain un≤bi
引入新变量yi＞0，将不等式化为：
ai1 u1十ai2 u2十· ．．十ain un+ yi =bi 其中yi称为“松弛变量”
对于大于等于型不等式；
ai1 u1十ai2 u2十· ．．十ain un≥bi
综上所述，该问题的最优化模型为：
Min f(u)= 40 u1 +36u2
s.t. u1<=8 u2 < =10 5u1+3u2> =45 u1 > =0 u2 > =0
u1=8 u2=5/3 f=392
u2 5u1+3u2> =480
一、建立线性规划问题数学模型的实例


例：确定职工编制问题（管理方面的问题） 某厂，每日八小时的产量不低于1800件，为了进行质量控制， 计划聘请两种不同水平的检验员，一级检验员的标准速度25 件/时，正确率98％，计时工资4元/时；二级检验员的标准速 度15件/时，正确率95％，计时工资3元/时。检验员出错一次， 工厂损失两元。现有可供厂方聘请的检验员人数为一级8人和 二级10人，为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检 验员各多少名？ 分析：设所需的一级和二级检验员人数分别为u1和u2，
a2, m+1um+1+…….+a2nun=b2
ur+ ar,2 m+1um+1 +…….+a3nun=b3 um+ am m+1um+1 +…….+amnun=bm
…


典范形式有一个很大的优点： 当其令前m个变量为基本变量，而另n －m个变量=0时，立即可得出一个基本可 行解。
u1 =b1, u2=b2 ,ur=br ……. um=bm
a21u1+a22u2 +…….+a2nun=b2
a31u1+a32u2 +…….+a3nun=b3
… am1u1+am2u2 +…….+amnun=bm
u1 ≥ 0, u2 ≥ 0, ……. un ≥ 0
b1 ≥ 0, b2 ≥ 0, ……. bm ≥ 0
1 基本解：
令标准形中的某（n－m）个变量等于零（非基本变量）， 剩余的m个变量（基本变量）构成的m个线性方程组有唯 一解（即m个方程线性无关）n个变量中，m个有唯一解， 先令n－m个变量为0 ,这样得到的解即为基本解:
人数 一级 二级 8 10 速度 25 15 工资 4 3 正确率 98 95 错验损失 2 2
分析：设所需的一级和 二级检验员人数分别为u1 和u2
人数
速度
工资
正确率
错验损失
u1<= 8 由于人数所限 u2 <=10
由于产量所限 整理后变形为
一级 二级
8 10
25 15
4 3
98 95
2 2
8×（25u1+15u2）> =1800 5u1+3u2> =45
u1 ≥ 0， u2 ≥ 0
Min Z=u1-2u2+ 3 u4-3u5
Min Z=cTu
s.t•u1+u2 + u4-u5 +u6= 7 .
u1-u2 + u4-u5 -u7= 2
s.t• . Au=b
b≥0
• 1+u2+2 u4-2u5 =5 -3u
u1 ≥ 0， u2 ≥ 0 ，u4 ≥ 0，
minJ= -x1-2x2 -x1+2x2<=4 3x1+2x2<=12 x1>=0 x2 > =0 图解可知：
x1=2，x2=3为可行 解，此时minJ=-8
x2
3x1+2x2<=12
-x1-2x2=-8
-x1-2x2=-4
x1=2 x2=3
-x1+2x2<=4
-x1-2x2=0
x1
4．4 化工过程中的线性规划问题



线性规划是处理线性目标函数和线性约束的最优化 方法。 线性规划是运筹学的一个重要分支。 虽然在化工实际问题中大量的是非线性问题，但是， 作为一种最优化方法，线性规划理论完整、 这些非线性问题中往往嵌着线性问题，而有些问题 方法成熟、应用比较广泛。 本身也是线性的，有些求解线性问题的方法是求解 非线性问题的基础。所以，讨论线性规划方法仍是 很有意义的。 4.4.1 线性规划问题的数学模型 一、建立线性规划问题数学模型的实例
0 -4000 -5000 -1600/3 -4000 -4500
是 是 否 否 是 是
A B E F C D
由例可以明确地区分出
基本解与基本可行解。
同时可以看出这样一个
E B
重要性质： 可行域的每个顶点与 一个基本可行解相对应。 这是线性规划理论中的一 个重要性质。

Min Z=-200u1- 500u2 s.t•1.5u1+5u2 +u3 . =40 2u1+4u2 +u4 =40 D C F
解：1 引入u4、u5替换u3 例题
且u3= u4-u5
2引入u6使<=7换为=7 3引入u7使≥ 2换为=2
Min Z=u1-2u2+ 3u3
s.t•u1+u2 +u3 <=7 .
u1-u2 +u3 ≥ 2
• 3u1-u2-2 u3 =-5
原问题变为： Min Z=u1-2u2+ 3 u4-3u5 s.t•u1+u2 + u4-u5 +u6= 7 . u1-u2 + u4-u5 -u7= 2 • 1+u2+2 u4-2u5 =5 -3u u1 ≥ 0， u2 ≥ 0 ，u4 ≥ 0， u5 ≥ 0， u6 ≥ 0， u7 ≥ 0
u1>=0, u2>=0, ……. un>=0
b1>=0, b2>=0, ……. bm>=0

在这个标准形中，要求: ①约束条件都为等式约束条件， ②u向量为非负向量， ③b向量也为非负向量。这个标准形即可写为矩阵 表达式 Min Z=cTu s.t• . Au=b