8.3 完全平方公式 展开
8.3.1 完全平方公式
后算和(差)的平方； a2±b2是先算a2与b2，后算a2，
b2的和(差)．
知3－讲
例3 (1)若(x－5)2＝x2＋kx＋25，则k的取值是多少？ (2)先化简，再求值：
(1＋a)(1－a)＋(a－2)2，其中a＝－3；
(3)已知x2－4x＋1＝0， 求代数式(2x－3)2－(x＋y)(x－y)－y2的值． 导引： 对于(1)把左边的式子展开后对比各项，可得解；
知1－导
知识点
1 完全平方公式的特征
问 题 1
由多项式乘法可得乘法公式
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
①
②
上面两个公式，今后可以直接应用于运算，称为 完全平方公式(formula for the square of the sum).
知1－导
问 题 2
完全平方公式，除直接由乘法得到，你还可通过图形
第 8章
整式乘法与因式分解
8.3
完全平方公式与平方差公式
第 1 课时
完全平方公式
1
课堂讲解
完全平方公式的特征 完全平方公式
2
课时流程
逐点 导讲练
完全平方公式的应用
课堂 小结
作业 提升
靠垫是舒适实用的家庭小点缀，一些心灵手巧的人 喜欢自己动手制作靠垫.图中右下角的靠垫面子用5块布
料拼合而成，应用了哪些数学知识？
知2－练
3
(中考· 遵义)下列运算正确的是( A．4a－a＝3 B．2(2a－b)＝4a－b
)
C．(a＋b)2＝a2＋b2
D．(a＋2)(a－2)＝a2－4
知3－讲
知识点
1.拓展：
3 完全平方公式的应用
初中数学沪科版七年级下册第8章整式乘法与因式分解8.3完全平方公式与平方差公式
重点：平方差公式的应用
难点：公式的结构特征及对公式中字母所表示广泛含义
教
学
过
程
教
学
过
程
一、导入新课、揭示目标（1-2分钟）
1、掌握平方差公式
2、通过对平方差公式学习和理解。培养学生对公式的结构特征及对公式中字母所表示广泛含义。
二、学生自学，质疑问难（10分钟左右）
自学提纲：
1.阅读课本第65---66
(2)(x+2y)(x-2y)=x2-(2y)2=x2-4y2
(3) （-m+n）(-m-n)=(-m )2-n2=m2-n2
例2计算
(1) 1999-2023；
（2）(x+3)(x-3)(x2+9)
解；原式=（2000-1）（2000+1）=20002-12
=4000000-1 =3999999
（2） （x+3）(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=x4-81
固镇三中集体备课专用稿纸（一）
主备人：陈忠明陈亚
课题
平方差公式（2）
课时
1课时
（总第课时）
科 任
教 师
教学
目标
知识与能力：掌握平方差公式。
过程与方法：通过对平方差公式学习和理解。培养学生对公式的结构特征及对公式中字母所表示广泛含义。
情感态度价值观：培养学生观察。交流。归纳每一个公式的公式结构特征。
讨论补充记录
讨论补充记录
板书
设计
一、出示学习目标： 四、当堂训练
二、出示自学提纲 五、课堂小结：
三、合作探究 六、课堂作业
教学反思:
四．巩固新知。当堂训练（ 15分钟）
公式法之完全平方公式
公式法之完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的重要工具，它的形式可以表示为：\[a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\]其中，\(a\)和\(b\)都是实数。
完全平方公式的应用很广泛，特别是在解二次方程和因式分解中起着重要的作用。
下面我们将详细介绍完全平方公式的推导和应用。
一、完全平方公式的推导：假设我们要解方程\(x^2+6x+9=0\)。
这个方程左边的三个项\(x^2\)、\(6x\)和\(9\)构成了一个完全平方，可以写成\[(x+3)^2=0\]。
通过观察可以发现，\(x+3\)是一个完全平方的形式。
现在我们来验证一下。
将\((x+3)\)展开进行乘法运算，得到的结果为\[x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9\]。
可以看出，它们的确是相等的。
由此我们可以得到，当一个二次方程 \(x^2 + bx + c = 0\) 可以写成 \((x + \frac{b}{2})^2 = 0\) 的形式时，就可以应用完全平方公式来求解它。
进一步来推导完全平方公式的一般形式。
我们假设一个一元二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)，其中 \(a\neq 0\)。
首先，我们将方程两边同时除以 \(a\)，得到：\[x^2 +\frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\]。
然后，我们观察到 \(\frac{b}{a}x\) 这一项和 \(\frac{c}{a}\) 是关于 \(x\) 的一个完全平方，即：\[(x + \frac{b}{2a})^2 -\frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0\]。
整理一下，得到：\[(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 -4ac}{4a^2}\]。
再将等式两边同时开方，我们可以得到：\[x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]。
完全平方公式是什么详解完全平方公式的推导过程
完全平方公式是什么详解完全平方公式的推导过程数学是一门非常有趣的科目，不过有些朋友对于数学这门课程不太感兴趣，想要学习好数学?其实也是比较简单的，只要记住好一些计算公式口诀就可以了，今天就让来给大家分享一下关于完全平方公式基本知识。
完全平方公式完全平方公式也是一个常用的简便计算公式。
(a+b)=a+2ab+b;(a-b)=a-2ab+b;我们来证明一下完全平方公式，便于理解记忆。
先用代数方法证明，a+2ab+b=axa+axb+axb+bxb=ax(a+b)+bx(a+b)(乘法分配律)=(a+b)x(a+b)=(a+b)。
同理，a-2ab+b=axa-axb-axb+bxb=ax(a-b)-bx(a-b)(乘法分配律)=(a-b)x(a-b)=(a-b)。
完全平方公式的几何证明方法与平方差公式证明十分类似，一起来看看完全平方式的几何证明吧。
两个正方形组合在一起，小正方形边长为a，大正方形边长比小正方形多b，求大正方形面积。
显然，大正方形的面积为(a+b)。
它也等于①②③④四部分的面积和。
分别计算四部分的面积：那么，大正方形的面积=a+ab+ab+b(a+b)=a+2ab+b，同样，我们再来证明(a-b)=a-2ab+b。
大正方形边长为a，两个正方形组合在一起，大正方形边长比小正方形边长多b，求小正方形①面积。
小正方①的面积为(a-b)。
①的面积也可以由大正方形面积减去②③④得到。
一起分别计算下②③④的面积吧。
大正方形的面积为a，小正方形①的面积=a-(a-b)xb-b-(a-b)xb 即，(a-b)=a-(a-b)xb-b-(a-b)xb展开后，得(a-b)=a-2ab+b完全平方式又常常写成：(a±b)=a±2ab+b。
完全平方公式口诀首平方，尾平方，首尾相乘放中间。
或首平方，尾平方，两数二倍在中央。
也可以是:首平方，尾平方，积的二倍放中央。
完全平方公式是什么?以上就是给大家解答的相关的疑问，大家平时不妨现在熟悉一下这个完全平方公式的口诀，只要记熟了完全平方公式口诀就可以轻松的计算出完全平方算式。
完全平方公式
完全平方公式完全平方公式是学习数学中的一个重要定理，它能够帮助我们快速求解二次方程的根。
在本文档中，我们将解释完全平方公式的原理，并给出一些例子。
定义在代数学中，完全平方是指一个数可以写成另一个数的平方。
完全平方公式是通过将二次方程转化为一个完全平方的形式，以便更轻松地求解该方程的根。
公式对于二次方程ax2+bx+c=0，其中a,b,c是实数且a eq0，完全平方公式可表示为：$$ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$公式中的$\\pm$ 表示可以取正号或负号，因此，二次方程的解可以有两个根，分别对应取正号和负号。
推导过程为了推导完全平方公式，我们先从一个完全平方的观点入手。
假设有一个完全平方(x+p)2，则展开得到：(x+p)2=x2+2px+p2如果我们将二次方程的通项表示成完全平方的形式，即ax2+bx，那么我们需要寻找一个p，使得2px=bx，然后再等式两边加上常数p2，这样就能得到完全平方公式的形式。
为了寻找p的值，我们可以观察下面的等式：$$ 2px = bx \\Rightarrow 2p = b \\Rightarrow p = \\frac{b}{2} $$将这个解代入(x+p)2，得到：$$ (x + \\frac{b}{2})^2 = x^2 + bx + \\frac{b^2}{4} $$现在我们已经得到了完全平方公式，最后一步是将常数项c纳入考虑。
为此，我们将等式右边的 $\\frac{b^2}{4}$ 替换为c，得到完全平方公式的最终形式：$$ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$示例让我们通过几个例子来演示完全平方公式的应用。
例子1：求解x2+6x+9=0根据完全平方公式，我们可以找到a=1，b=6，c=9。
将这些值代入公式：$$ x = \\frac{-6 \\pm \\sqrt{6^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 9}}{2 \\cdot 1} $$简化后得到：$$ x = \\frac{-6 \\pm \\sqrt{36 - 36}}{2} = \\frac{-6}{2} = -3 $$因此，该二次方程的解为x=−3，它是一个重根。
8_3完全平方公式
指导思想与理论依据
新课程标准中指出：数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，而有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，积极思考、动手实践、自主探索是学生学习数学的重要方式.教师应面向全体学生，激发学生的学习积极性，给学生充足的时间经历观察、实验、计算等活动过程，引导他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验.
1、整式是初中代数研究范围内的一块重要内容，整式的运算又是整式中的一大主干，乘法公式则是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后来实行学习的；一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，乘法公式的推导是初中代数中使用推理方法实行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。
以课程标准为指导思想,紧密结合学生的实际,充分调动学生的积极性，使其主动参与完全平方公式的探究过程，逐步实现知识的内化，增强学生的创新意识.
教学内容分析
教材的地位与作用：本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。它是在学生学习了代数式的概念、整式的加减法、幂的运算和多项式的乘法以及平方差公式后实行学习的，其地位和作用主要表达在以下几个方面：
5.师生小结：
1.掌握完全平方公式。
2.理解完全平方公式的几何意义，体会数形结合思想，及一般到特殊的思想方法
3.应用公式时确定公式中的a和b。
4.理解a,b的广泛意义。
整理思想和方法：
体验从一般到特殊，数形结合思想.
6.课后作业
1、用几何图形表示两数差的完全平方公式的几何意义
2、课本P71习题8.31、7
8.3完全平方公式与平方差公式(2)
8．3完全平方公式与平方差公式(1)完全平方公式1．能根据多项式的乘法推导出完全平方公式；(重点)2．理解并掌握完全平方公式，并能进行计算．(重点、难点)一、情境导入计算：(1)(x＋1)2; (2)(x－1)2；(3)(a＋b)2; (4)(a－b)2.由上述计算，你发现了什么结论？二、合作探究探究点：完全平方公式完全平方公式的结构特征：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2左边是形式，右边有三项，其中两项是形式，另一项是注意：公式中字母的含义广泛，可以是，只要题目符合公式的结构特征，就可以运用这一公式，可用符号表示为：(□±△)=□2±2□△+△2探究点:完全平方公式的集合意义.师生共同探究【类型一】直接运用完全平方公式进行计算利用完全平方公式计算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a ＋b )2.解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．解：(1)(5－a )2＝25－10a ＋a 2；(2)(－3m －4n )2＝9m 2＋24mn ＋16n 2；(3)(－3a ＋b )2＝9a 2－6ab ＋b 2.方法总结：完全平方公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．自我检测:利用乘法公式计算(1) (3x+1)2 (2) (a-3b)2 (3) (-2x+2y )2 (4) (-3m-4n)2 变式训练【类型二】 构造完全平方式如果36x 2＋(m ＋1)xy ＋25y 2是一个完全平方式，求m 的值．解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m 的值． 解：∵36x 2＋(m ＋1)xy ＋25y 2＝(6x )2＋(m ＋1)xy ＋(5y )2，∴(m ＋1)xy ＝±2·6x ·5y ，∴m ＋1＝±60，∴m ＝59或－61.方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．变式训练：【类型三】 运用完全平方公式进行简便计算利用完全平方公式计算：(1)992; (2)1022.解析：(1)把99写成(100－1)的形式，然后利用完全平方公式展开计算．(2)可把102分成100＋2，然后根据完全平方公式计算．解：(1)992＝(100－1)2＝1002－2×100＋12＝10000－200＋1＝9801；(2)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋4＝10404.方法总结：利用完全平方公式计算一个数的平方时，先把这个数写成整十或整百的数与另一个数的和或差，然后根据完全平方公式展开计算．三、课堂小结通过这节课的学习你有哪些收获?四、作业课本69页练习板书设计1．完全平方公式两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.2．完全平方公式的运用本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意不要出现如下错误：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2.为帮助学生记忆完全平方公式，可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央．教学中，教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆.。
《8.3完全平方公式与平方差公式》作业设计方案-初中数学沪科版12七年级下册
《完全平方公式与平方差公式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课时作业设计的目标是帮助学生熟练掌握完全平方公式与平方差公式的应用。
通过作业练习，学生能够理解公式的推导过程，能够准确运用公式进行计算，并能够解决简单的实际问题。
二、作业内容1. 公式理解与记忆（1）要求学生熟记完全平方公式与平方差公式的形式，并能够正确表述公式的含义。
（2）通过简单的填空题、选择题等形式，检测学生对公式的理解程度。
2. 公式应用练习（1）基本计算题：设计一系列关于完全平方和平方差的计算题，让学生通过练习巩固公式的应用。
（2）实际运用题：设计一些实际生活中的应用题，如面积计算、物理问题等，让学生运用完全平方和平方差公式解决问题。
3. 解题方法与技巧（1）通过例题讲解，教授学生运用公式解题的步骤和方法，让学生形成正确的解题思路。
（2）设置一些变式题，让学生通过对比、分析，掌握解题的技巧。
三、作业要求1. 独立完成：要求学生独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 认真审题：要求学生认真审题，理解题目的要求和条件。
3. 规范书写：要求学生书写规范，步骤清晰，结果正确。
4. 时间安排：要求学生合理安排时间，保证在规定时间内完成作业。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生完成作业的准确度、速度、解题思路及书写规范程度进行评价。
2. 评价方式：采用教师批改、同学互评、自我评价等多种方式进行评价。
五、作业反馈1. 教师反馈：教师根据学生完成作业的情况，进行针对性的反馈和指导，帮助学生找出错误原因并改正。
2. 学生自评与互评：鼓励学生进行自评和互评，让学生对自己的学习情况有更清晰的认识，同时也能借鉴同学的优点，改正自己的不足。
3. 课堂讲解与答疑：在下一课时的课堂上，针对学生在作业中出现的共性问题进行讲解和答疑，帮助学生彻底掌握相关知识。
六、附加建议为帮助学生更好地掌握完全平方公式与平方差公式的应用，建议家长在家中适当辅导孩子，并鼓励孩子多做一些相关练习题。
初中完全平方公式大全
初中完全平方公式大全完全平方公式是指一个二次多项式的形式为 a^2 + 2ab + b^2 或a^2 - 2ab + b^2，其中 a 和 b 是任意实数。
这个公式在代数中经常用到，它的应用非常广泛。
完全平方公式可以用来解决一些关于二次方程的问题。
二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a，b，c 分别是二次项、一次项和常数项的系数。
当我们想要将二次方程转化为一个完全平方时，可以使用完全平方公式。
我们将二次方程的左边整理成一个完全平方的形式，即可方便地解得方程的解。
在应用完全平方公式时，有一些常见的问题类型。
其中一种类型是给定二次方程的解，求解二次方程的系数。
假设有一个二次方程 x^2 + bx + c = 0，已知该方程有两个解 x1 和 x2，我们可以利用完全平方公式来解出 b 和 c。
首先，根据完全平方公式，我们知道 (x - x1)(x - x2) = 0。
展开这个式子，可以得到x^2 - (x1 + x2)x + x1x2 = 0。
由此可以看出，b = -(x1 + x2)，c = x1x2。
另一种常见的问题类型是利用完全平方公式将一个二次方程转化为一个完全平方。
例如，给定一个二次方程 ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过使用完全平方公式将其转化为 (sqrt(a)x + sqrt(a)b/2sqrt(a))^2 + c - b^2/4a = 0。
从这个新形式中，我们可以直接读出方程的解。
另外，这种形式也有助于我们分析方程的性质。
完全平方公式在几何问题中也有广泛的应用。
例如，对于一个正方形，我们知道其对角线的长度是边长的√2 倍。
这个结论可以通过完全平方公式得出。
假设正方形边长为 a，则对角线的长度为√(a^2 + a^2) = √(2a^2) = a√2。
在解决数列和等差数列问题时，完全平方公式也是非常有用的。
例如，对于一个等差数列的前 n 项和 Sn，我们可以通过将 Sn表达为 n 个完全平方的和来简化计算。
完全平方公式8种变形
完全平方公式8种变形完全平方公式是高中数学中的重要内容，它为我们解决二次方程、求解平方根提供了便利。
根据完全平方公式，我们可以将任意一元二次方程化为二次项的平方形式，从而更加方便地求解。
以下是完全平方公式的8种变形和其应用。
首先，回顾一下完全平方公式的表达式：对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$，其中 $a \neq 0$。
其完全平方公式为$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.1. $ax^2=0$ 的解是 $x=0$。
这是因为在这种情况下，方程就是$ax^2=0$。
2. $ax^2=b$ 的解是 $x=\pm \sqrt{\dfrac{b}{a}}$. 当方程为$ax^2=b$ 时，我们可以通过完全平方公式得到这个解。
首先将方程化简为 $ax^2-b=0$，然后代入公式，就可以求解出 $x$ 的值。
3. $(x-h)^2=k$ 的解是 $x=h \pm \sqrt{k}$. 这是因为对于方程$(x-h)^2=k$，我们可以将其展开为 $x^2-2hx+h^2-k=0$，然后应用完全平方公式。
4. $ax^2+bx=0$ 的解是 $x=0$ 和 $x=-\dfrac{b}{a}$. 此时，我们可以将方程化为 $ax^2 +bx = x(ax+b) = 0$，然后应用完全平方公式。
5. $ax^2+bx+c=d$ 的解是 $x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4a(c-d)}}{2a}$. 在这种情况下，我们可以将方程化为 $ax^2+bx+c-d=0$，然后应用完全平方公式进行求解。
6. $ax^2+bx+c = 0$ 的解是 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. 这是完全平方公式的基本形式，也是我们最常见到的形式。
7. $ax^2 + c = 0$ 的解是 $x = \pm \sqrt{-\dfrac{c}{a}}i$. 当方程为 $ax^2 + c = 0$ 时，我们可以将其变形为 $ax^2 = -c$，然后应用完全平方公式进行求解。
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甲商店与乙商店的销售额的差为:
a(1 x%) a(1 x%)
2
2
小结:
完全平方公式
两数和或差的平方,等于它们 的平方和,加上(或减去)它们积 的两倍
(a b) a 2ab b
2 2 2
(a b) a 2ab b
2 2
2
练习
(1)(6x 5)
2
2
2
(6x) 2(6x)5 5
思考1 计算下列各题,并观 察乘式与结果的特征:
(1)(a b)
2 2
a ab ab b a 2ab b
2 2 2
2 2 2
2
2
(2)(2a 3b) 4a 6ab 6ab 9b 4a 12ab 9b (3)(x y )
2 2
x xy xy y x 2 xy y
2 2
x 2 xy y
2
2
(4)(2 x 3 y ) 4 x 2 12 xy 9 y 2
通过计算,你能找到规律吗?
两数和或差的平方,等于它们的平方和, 加上(或减去)它们积的两倍
(a b) a 2ab b
2 2
2
(a b) a 2ab b
2 2
2 2
2 2
提示:由题意得:
例题3 甲,乙两家商店在9月份的销售额均为a万 元,在10月和11月这两个月中,甲商店的销售额 平均每月增长 x%,乙商店的销售额平均每月减 少x%,问11月份甲商店比乙商店的销售额多多 少万元?
2
11月份甲商店的销售额为: a(1 x%) (万元）
2
11月份乙商店的销售额为: a(1 x%) (万元）
2 2 2
2
(4)(2 x 3 y ) 4 x 2 6 xy 6 xy 9 y 2
4 x 2 12 xy 9 y 2
观察乘式与结b b
2
2
2
2
(2)(2a 3b) 4a 12ab 9b
2
2
(3)(x y )
2
完全平方公式
你能根据如图图形来说明完全平方公式吗?
a b a 2ab b
2
2
2
a b
2
a 2ab b
2
2
a a
b
b
a
b
a
2
ab a+b a b
b
2
a
a b
2
ab
a
ab
a+b
ab
b
2b
例题1 计算
(1)(2 x 3 y)
2
2
2
2
(2 x) 2(2 x)(3 y) (3 y)
4 x 12 xy 9 y
2
(2)(3a 2b)
2
2
2
(3a) 2(3a)(2b) (2b)
9a 12ab 4b
2
2
(3)(a b c)
2
2
(a b) c 2 2 (a b) 2(a b)c c
a 2ab b 2ac 2bc c
36x 60x 25
2
(2)(2a b)
2
2
2
(2a) 2(2a)b b
4a 4ab b
2
2
(3)(2a b 3c) 2 2 2 (2a) b 3c 22a b 22a 3c 2b 3c
2 2 2 2 2 2
a b c 2ac 2bc 2ab
(4)(x y 2)(x y 2)
x ( y 2)
2
x ( y 2)x ( y 2)
2
平方差公式 完全平方公式
x ( y 4 y 4) x y 4 y 4
2
4a b 9c 4ab 12ac 6bc
2 2 2