邻接矩阵的深度优先遍历算法
数据结构复习试题
题目选至第7章一、填空题（2分/题，共10题）1．数据是指所有能够输入到计算机中被计算机加工、处理的符号的集合。
2．可以把计算机处理的数据，笼统地分成数值型和非数值型两大类。
3．数据的逻辑结构就是指数据间的邻接关系。
10．从整体上看，数据在存储器有两种存放的方式：一是集中存放在一个连续的存存储区中；一是利用存储器中的零星区域，分散地存放在存的各个地方。
12．“基本操作”是指算法中那种所需时间与操作数的具体取值无关的操作。
5．不带表头结点的链表，是指该链表的表头指针直接指向该链表的起始结点。
6．在一个双链表中，已经由指针ptr指向需要删除的存储结点，则删除该结点所要执行的两条操作是①ptr->Prior->Next = ptr->Next; ②ptr->Next->Prior = ptr->Prior; 。
7．设tail是指向非空、带表头结点的循环单链表的表尾指针。
那么，该链表起始结点的存储位置应该表示成 tail->Next->Next 。
9．顺序表Sq = (a1，a2，a3，…，an)（n≥1）中，每个数据元素需要占用w个存储单元。
若m为元素a1的起始地址，那么元素an的存储地址是 m+(n-1)*w 。
1．限定插入和删除操作只能在一端进行的线性表，被称为是栈。
2．如果在顺序栈满时仍打算进行进栈操作，就称为发生了“上溢”出错。
3．如果在顺序栈空时仍打算进行出栈操作，就称为发生了“下溢”出错。
4．在具有n个数据结点的循环队列中，队满时共有 n-1 个数据元素。
5．如果操作顺序是先让字母A、B、C进栈，做两次出栈；再让字母D、E、F进栈，做一次出栈；最后让字母G进栈，做三次出栈。
最终这个堆栈从栈顶到栈底的余留元素应该是 DA 。
6．中缀表达式(a+b)-(c/(d+e))对应的后缀表达式是 ab+cde+/- 。
7．函数的递归调用有两种形式：如果一个函数是直接调用自己，就称其为直接递归调用；如果一个函数是通过另一个函数来调用自己，就称其为间接递归调用。
邻接矩阵法
邻接矩阵法邻接矩阵法邻接矩阵法是图论中常用的一种表示图的方法，它利用一个二维数组来表示图中各个节点之间的关系，其中数组的行和列分别代表着图中的节点，而数组中的元素则表示着两个节点之间是否存在边。
邻接矩阵法的优点邻接矩阵法具有以下几个优点：1. 方便查找由于邻接矩阵法使用了二维数组来表示图中各个节点之间的关系，因此我们可以很方便地查找某两个节点之间是否存在边。
2. 易于实现相比其他表示图的方法，邻接矩阵法非常容易实现。
只需要使用一个二维数组即可。
3. 空间效率高如果一个图是稠密图（即节点之间存在大量边），那么使用邻接矩阵法可以节省空间。
因为在这种情况下，邻接矩阵法所需的空间比其他方法更小。
邻接矩阵法的缺点虽然邻接矩阵法有很多优点，但它也有以下几个缺点：1. 浪费空间如果一个图是稀疏图（即节点之间存在少量边），使用邻接矩阵法会浪费很多空间，因为在这种情况下，大部分数组元素都是0。
2. 不利于动态操作如果我们需要对一个图进行动态操作（如添加或删除节点或边），那么使用邻接矩阵法就不太方便。
3. 时间效率低在某些情况下，使用邻接矩阵法可能会导致时间效率较低。
比如，在查找某两个节点之间是否存在路径时，我们需要遍历整个二维数组。
邻接矩阵法的实现下面我们来看一下如何用代码实现邻接矩阵法。
1. 定义二维数组首先，我们需要定义一个二维数组来表示图中各个节点之间的关系。
假设有n个节点，则我们可以定义一个n*n的二维数组：int graph[n][n];2. 初始化数组为了方便起见，我们可以将所有元素都初始化为0：for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {graph[i][j] = 0;}}3. 添加边如果要向图中添加一条从节点i到节点j的有向边，则只需要将graph[i][j]设置为1即可：graph[i][j] = 1;如果要向图中添加一条无向边，则需要将graph[i][j]和graph[j][i]都设置为1：graph[i][j] = 1;graph[j][i] = 1;4. 删除边如果要从图中删除一条从节点i到节点j的有向边，则只需要将graph[i][j]设置为0即可：graph[i][j] = 0;如果要从图中删除一条无向边，则需要将graph[i][j]和graph[j][i]都设置为0：graph[i][j] = 0;graph[j][i] = 0;5. 判断是否存在边如果要判断从节点i到节点j是否存在有向边，则只需要查看graph[i][j]的值即可。
dfs通用步骤-概述说明以及解释
dfs通用步骤-概述说明以及解释1.引言1.1 概述DFS（深度优先搜索）是一种常用的图遍历算法，它通过深度优先的策略来遍历图中的所有节点。
在DFS中，从起始节点开始，一直向下访问直到无法继续为止，然后返回到上一个未完成的节点，继续访问它的下一个未被访问的邻居节点。
这个过程不断重复，直到图中所有的节点都被访问为止。
DFS算法的核心思想是沿着一条路径尽可能深入地搜索，直到无法继续为止。
在搜索过程中，DFS会使用一个栈来保存待访问的节点，以及记录已经访问过的节点。
当访问一个节点时，将其标记为已访问，并将其所有未访问的邻居节点加入到栈中。
然后从栈中取出下一个节点进行访问，重复这个过程直到栈为空。
优点是DFS算法实现起来比较简单，而且在解决一些问题时具有较好的效果。
同时，DFS算法可以用来解决一些经典的问题，比如寻找图中的连通分量、判断图中是否存在环、图的拓扑排序等。
然而，DFS算法也存在一些缺点。
首先，DFS算法不保证找到最优解，有可能陷入局部最优解而无法找到全局最优解。
另外，如果图非常庞大且存在大量的无效节点，DFS可能会陷入无限循环或者无法找到解。
综上所述，DFS是一种常用的图遍历算法，可以用来解决一些问题，但需要注意其局限性和缺点。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点来选择合适的搜索策略。
在下一部分中，我们将详细介绍DFS算法的通用步骤和要点，以便读者更好地理解和应用该算法。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下所示：文章结构：在本文中，将按照以下顺序介绍DFS（深度优先搜索）通用步骤。
首先，引言部分将概述DFS的基本概念和应用场景。
其次，正文部分将详细解释DFS通用步骤的两个要点。
最后，结论部分将总结本文的主要内容并展望未来DFS的发展趋势。
通过这样的结构安排，读者可以清晰地了解到DFS算法的基本原理和它在实际问题中的应用。
接下来，让我们开始正文的介绍。
1.3 目的目的部分的内容可以包括对DFS（Depth First Search，深度优先搜索）的应用和重要性进行介绍。
数据结构第七章：图
例
a c G1
b d
vexdata firstarc adjvex next 1 4 ^ a 2 3 4 b c d 1 1 3 ^ ^ ^
19
7.3 图的遍历
深度优先遍历(DFS) 深度优先遍历
方法：从图的某一顶点 出发，访问此顶点； 方法：从图的某一顶点V0出发，访问此顶点；然后依 次从V 的未被访问的邻接点出发，深度优先遍历图， 次从 0的未被访问的邻接点出发，深度优先遍历图， 直至图中所有和V 相通的顶点都被访问到； 直至图中所有和 0相通的顶点都被访问到；若此时图 中尚有顶点未被访问， 中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未被访问的顶 点作起点，重复上述过程， 点作起点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访 问为止。 问为止。
ω ij , 若(v i , v j )或 < v i , v j >∈ E(G) A[i, j ] = 0，其它
11
例
1 3
5
2
8 4 7 5 1 6 3 4 2
0 5 7 0 3
5 0 0 4 8
7 0 0 2 1
0 4 2 0 6
3 8 1 6 0
12
关联矩阵——表示顶点与边的关联关系的矩阵 表示顶点与边的关联关系的矩阵 关联矩阵
1
7.1 图的定义和术语
是由两个集合V(G)和E(G)组成的 组成的, 图(Graph)——图G是由两个集合 图 是由两个集合 和 组成的 记为G=(V,E) 记为
其中： 其中：V(G)是顶点的非空有限集 是顶点的非空有限集 E(G)是边的有限集合，边是顶点的无序对或有序对 是边的有限集合， 是边的有限集合
有向图——有向图 是由两个集合 有向图G是由两个集合 有向图 有向图 是由两个集合V(G)和E(G)组成的 和 组成的
图练习与答案
一、应用题1．首先将如下图所示的无向图给出其存储结构的邻接链表表示，然后写出对其分别进行深度，广度优先遍历的结果。
1题图答．深度优先遍历序列：125967384宽度优先遍历序列：123456789注：（1）邻接表不唯一，这里顶点的邻接点按升序排列（2）在邻接表确定后，深度优先和宽度优先遍历序列唯一（3）这里的遍历，均从顶点1开始2．给出图G：（1）．画出G的邻接表表示图；（2）．根据你画出的邻接表，以顶点①为根，画出G的深度优先生成树和广度优先生成树。
（3）宽度优先生成树3.在什么情况下，Prim算法与Kruskual算法生成不同的MST？答．在有相同权值边时生成不同的MST，在这种情况下，用Prim或Kruskal也会生成不同的MST4．已知一个无向图如下图所示，要求分别用Prim 和Kruskal 算法生成最小树（假设以①为起点，试画出构造过程）。
答．Prim 算法构造最小生成树的步骤如24题所示，为节省篇幅，这里仅用Kruskal 算法，构造最小生成树过程如下：（下图也可选(2,4)代替(3,4),(5,6)代替(1,5)）5．G=(V,E)是一个带有权的连通图,则：（1）．请回答什么是G 的最小生成树； （2）．G 为下图所示,请找出G 的所有最小生成树。
28题图答．（1）最小生成树的定义见上面26题 （2）最小生成树有两棵。
（限于篇幅，下面的生成树只给出顶点集合和边集合，边以三元组（Vi,Vj,W ）形式），其中W 代表权值。
V （G ）={1，2，3，4，5} E1(G)={(4，5，2)，（2，5，4），（2，3，5），（1，2，7）}；E2(G)={(4，5，2），（2，4，4），（2，3，5），（1，2，7）}6．请看下边的无向加权图。
（1）．写出它的邻接矩阵。
（2）．按Prim 算法求其最小生成树，并给出构造最小生成树过程中辅助数组的各分量值。
辅助数组各分量值：7．已知世界六大城市为:(Pe)、纽约(N)、巴黎(Pa)、伦敦(L) 、东京(T) 、墨西哥(M),下表给定了这六大城市之间的交通里程:世界六大城市交通里程表(单位:百公里)（1）．画出这六大城市的交通网络图;（2）．画出该图的邻接表表示法;（3）．画出该图按权值递增的顺序来构造的最小(代价)生成树.8．已知顶点1-6和输入边与权值的序列（如右图所示）：每行三个数表示一条边的两个端点和其权值，共11行。
信息学奥赛——深度优先搜索和广度优先搜索
全国青少年信息学奥林匹克联赛搜索基础算法一、深度搜索（DFS）从一个简单题目开始。
例1．输出n个元素的无重复的全排列。
（1<=n<=9）在这里我们可以对每一个元素编号，形成1,2,…,8,9个数字的全排列。
我们用一个一维数组来处理，相当于有9个位置，每个位置可以放1到9，再进行重复性判断，即在每个位置放一个数字时判断它前面是否已经使用该数字。
通过数组中元素值的变化，产生全排列。
下面给出非递归例程，其中，变量k是表示位置指针，数组x用来装每个位置的值。
const n=5;varx:array[1..10] of integer;k:integer; {位置指针}function try:boolean; {判重函数}var i:integer;beginfor i:=1 to k-1 doif x[i]=x[k] thenbegin try:=false;exit;end;try:=true;end;procedure out; {输出过程}var i:integer;beginfor i:=1 to n dowrite(x[i]);writeln;end;begink:=1;x[1]:=0;while k>0 dobegininc(x[k]); {当前第k个位置中增加1}if x[k]>n then {判断当前第k个位置中是否超界，超界指针后移一位} dec(k)elseif try then {判重}begininc(k);x[k]:=0; {前进1位}if k>n then {判断指针是否超界，决定一个排列是否完成,完成指针后移一位}begin out;dec(k);end;end;end;end.下面是递归例程：const n=5;varx:array[1..10] of integer;function try(v1,k:integer):boolean; {判重函数,v1表示位置，k表示所放的值}var i:integer;beginfor i:=1 to v1-1 doif x[i]=k thenbegin try:=false;exit;end;try:=true;end;procedure out; {输出过程}beginfor i:=1 to n dowrite(x[i]);writeln;end;procedure search(v:integer); {v表示第v个位置}var i:integer;beginif v>n then begin out;exit;end; {若v超界，一个排列完成}for i:=1 to n do {在第v个位置上分别放1到n}if try(v,i) then {如果不重复，处理第v+1个位置}begin x[v]:=i;search(v+1);end;end;beginsearch(1);end.说明：使用非递归的好处是节约内存，当一些题目对内存消耗较大时，建议使用非递归方式；但使用递归方式在程序运行时间上要好一些，因为在每个节点扩展时，递归方式少一个范围超界判断。
深度遍历和广度遍历例题
深度遍历和广度遍历例题深度遍历（Depth-First Search，DFS）和广度遍历（Breadth-First Search，BFS）是图遍历算法中常用的两种方法。
下面我将为你提供一个例题，并从多个角度进行全面的回答。
例题，给定一个无向图，使用深度遍历和广度遍历两种方法遍历该图，并输出遍历的结果。
首先，我们需要明确一下图的表示方式。
常用的图表示方法有邻接矩阵和邻接表，这里我们选择使用邻接表表示图。
假设我们有如下无向图：A./ \。
B---C.\ /。
D.邻接表表示如下：A: B, C.B: A, C, D.C: A, B, D.D: B, C.接下来，我们来进行深度遍历。
深度遍历的基本思想是从起始节点开始，尽可能深地访问每个节点，直到无法继续深入为止，然后回溯到上一个节点，继续访问其他未访问的节点。
从节点A开始进行深度遍历，访问顺序为A-B-C-D。
具体步骤如下：1. 将节点A标记为已访问。
2. 访问与节点A相邻的未被访问的节点，即节点B和节点C。
3. 选择其中一个节点（这里选择节点B），将其标记为已访问，并继续深度遍历该节点。
4. 对节点B进行相同的操作，访问与节点B相邻的未被访问的节点，即节点A、节点C和节点D。
5. 选择其中一个节点（这里选择节点C），将其标记为已访问，并继续深度遍历该节点。
6. 对节点C进行相同的操作，访问与节点C相邻的未被访问的节点，即节点A、节点B和节点D。
7. 选择其中一个节点（这里选择节点D），将其标记为已访问，并继续深度遍历该节点。
8. 由于节点D没有未被访问的相邻节点，回溯到节点C。
9. 由于节点C也没有未被访问的相邻节点，回溯到节点B。
10. 由于节点B还有一个未被访问的相邻节点（节点A），将其标记为已访问，并继续深度遍历该节点。
11. 由于节点A没有未被访问的相邻节点，回溯到节点B。
12. 由于节点B没有未被访问的相邻节点，回溯到节点A。
13. 完成深度遍历。
【算法】广度优先算法和深度优先算法
【算法】⼴度优先算法和深度优先算法⼴度（BFS）和深度（DFS）优先算法这俩个算法是图论⾥⾯⾮常重要的两个遍历的⽅法。
下⾯⼀个例⼦迷宫计算，如下图解释：所谓⼴度，就是⼀层⼀层的，向下遍历，层层堵截，看下⾯这幅图，我们如果要是⼴度优先遍历的话，我们的结果是V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8。
⼴度优先搜索的思想： ①访问顶点vi ； ②访问vi 的所有未被访问的邻接点w1 ,w2 , …wk ； ③依次从这些邻接点（在步骤②中访问的顶点）出发，访问它们的所有未被访问的邻接点; 依此类推，直到图中所有访问过的顶点的邻接点都被访问； 说明： 为实现③，需要保存在步骤②中访问的顶点，⽽且访问这些顶点的邻接点的顺序为：先保存的顶点，其邻接点先被访问。
这⾥我们就想到了⽤标准模板库中的queue队列来实现这种先进现出的服务。
步骤： 1.将V1加⼊队列，取出V1，并标记为true(即已经访问)，将其邻接点加进⼊队列，则 <—[V2 V3] 2.取出V2，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进⼊队列，则 <—[V3 V4 V5]3.取出V3，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进⼊队列，则 <—[V4 V5 V6 V7]4.取出V4，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进⼊队列，则 <—[V5 V6 V7 V8]5.取出V5，并标记为true(即已经访问)，因为其邻接点已经加⼊队列，则 <—[V6 V7 V8]6.取出V6，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进⼊队列，则 <—[V7 V8]7.取出V7，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进⼊队列，则 <—[V8]8.取出V8，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进⼊队列，则 <—[]区别：深度优先遍历：对每⼀个可能的分⽀路径深⼊到不能再深⼊为⽌，⽽且每个结点只能访问⼀次。
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邻接矩阵的深度优先遍历算法
简介
邻接矩阵是一种常见的图存储结构，它使用二维数组来表示图中各个顶点之间的关系。
而深度优先遍历算法是一种常用的图遍历算法，用于遍历和搜索图的各个顶点。
本文将介绍邻接矩阵的深度优先遍历算法，包括其基本思想、实现步骤以及应用场景等内容。
基本思想
深度优先遍历算法（Depth-First Search，DFS）是一种针对图和树的遍历算法，
它通过从起始顶点开始，逐个探索图中的顶点，并沿着某一条路径一直深入，直到无法继续为止，然后回溯到前一顶点继续探索其它路径，直到所有顶点都被访问过为止。
邻接矩阵是一种常见的图表示方法，它通过一个二维数组来表示图中各个顶点之间的关系。
邻接矩阵中的每个元素表示两个顶点之间是否存在一条边，具体而言，如果顶点i和顶点j之间存在一条边，则邻接矩阵中下标为(i, j)和(j, i)的元素值为1；否则，它们的元素值为0。
邻接矩阵的深度优先遍历算法是通过对邻接矩阵进行遍历，找出与起始顶点相连接的顶点，并依次对这些顶点进行深度优先遍历。
实现步骤
邻接矩阵的深度优先遍历算法可以使用递归或迭代的方式来实现。
下面分别介绍这两种实现方法的具体步骤。
递归实现
1.创建一个数组visited，用来记录每个顶点是否已被访问过，初始时所有元
素都设为0。
2.选择一个起始顶点v，并将visited[v]设置为1，表示该顶点已被访问过。
3.遍历邻接矩阵中与v相连的所有顶点w，如果visited[w]为0，则递归调用
深度优先遍历函数，将w作为新的起始顶点。
4.重复步骤3，直到所有顶点都被访问过为止。
迭代实现
1.创建一个数组visited，用来记录每个顶点是否已被访问过，初始时所有元
素都设为0。
2.创建一个栈，用来存储待访问的顶点。
3.选择一个起始顶点v，并将visited[v]设置为1，表示该顶点已被访问过。
4.将v入栈。
5.当栈不为空时，执行以下操作：
–出栈一个顶点u，访问它。
–遍历邻接矩阵中与u相连的所有顶点w，如果visited[w]为0，则将w入栈，并将visited[w]设置为1。
6.重复步骤5，直到栈为空。
应用场景
深度优先遍历算法在实际应用中有着广泛的应用。
下面介绍两个经典的应用场景。
图的连通性判断
在一个无向图中，判断两个顶点之间是否存在路径可以使用深度优先遍历算法。
具体而言，选择其中一个顶点作为起始顶点，然后使用深度优先遍历算法遍历图中的所有顶点，记录访问到的顶点。
如果目标顶点在访问的顶点集合中，则说明两个顶点之间存在路径；否则，不存在路径。
图的拓扑排序
拓扑排序是对有向无环图（DAG）的顶点进行排序的一种算法。
在拓扑排序中，每个顶点都与它的后继顶点相连，且没有环存在。
深度优先遍历算法可以用于拓扑排序，具体步骤如下：
1.选择一个起始顶点，并将visited[v]设置为1，表示该顶点已被访问过。
2.遍历邻接矩阵中与v相连的所有顶点w，如果visited[w]为0，则递归调用
深度优先遍历函数，将w作为新的起始顶点。
3.将起始顶点入栈。
4.重复步骤2和步骤3，直到所有顶点都被访问过为止。
5.从栈顶依次弹出顶点，即可得到拓扑排序的结果。
总结
邻接矩阵的深度优先遍历算法是一种重要的图遍历算法，利用递归或迭代的方式可以对图中的顶点进行深度优先遍历。
通过对邻接矩阵的遍历，我们可以得到与起始顶点相连的所有顶点，并能够进一步应用于连通性判断、拓扑排序等应用场景。
深度优先遍历算法是学习图算法的基础，对于理解图的结构和特性具有重要意义。