高等数学第三章之中值定理与导数应用部分测试题(附答案)
高数阶段练习第三章参考答案
第三章 微分中值定理及导数的应用一、选择题1. 若30sin(6)()lim 0x x xf x x →+= ，则206()lim x f x x→+为（ ） A. 0 B. 6 C. 36 D. ∞2. 设在][1,0上，0)(>''x f ，则下列不等式成立的是（ ）A . )0()0()1()1(f f f f '>->' B. )0()1()0()1(f f f f ->'>'C . )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->'3. 设2()()lim 1()x a f x f a x a →-=--，则在x a =处（ ） A. ()f x 的导数存在 B. ()f x 取得极大值C . ()f x 取得极小值 D. ()f x 的导数不存在4． 设k 为任意实数，则方程33x x k -+在[1,1]-上( )A. 一定没有实根B. 最多只有一个实根C. 最多有两个互异实根D. 最多有三个互异实根5. 设(),()f x g x 在0x 的某个去心邻域内可导，()0g x '≠，且适合0lim ()0x x f x →=，0lim ()0x x g x →=,则0()lim ()x x f x g x λ→=是0'()lim '()x x f x g x λ→=的： A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件。
6. 设()f x 在区间(a,b)内二阶可导，0(,)x a b ∈，且00()0,()=0f x f x '''≠，则()f x （ ）A. 在0x x =处不取极值， 但00(,())x f x 是其图形的拐点B. 在0x x =处不取极值，但00(,())x f x 可能是其图形的拐点C. 在0x x =处可能取极值， 00(,())x f x 也可能是其图形的拐点D. 在0x x =处不取极值00(,())x f x 也不是其图形的拐点。
高等数学(同济大学版)第三章练习(含答案)
第三章 微分中值定理与导数的应用一、要求：1、罗尔定理，拉格朗日定理应用；2、洛必达法则；3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘；4、简单不等式证明；5、最值在实际问题中的应用。
二、练习1. 在区间 [ 1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 ().A.1 B.f ( x ) | x | C. f ( x) 1 x 2D. f ( x ) x22 x 1.f ( x)x 22. 函数 f ( x) arctan x 在 [ 0 ,1] 上满足拉格郎日中值定理的值是 ().A.4B.41C. 1D. 4.11 3.4设函数 f ( x ) ( x 1)( x2)( x 3)，则方程 f ( x )0 有个零点，这些零点所在的范围是；.3. 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3)，则方程 f ( x )0 有个零点，这些零点所在的范围是.4. 函数 f ( x ) ln xx2在(0,) 内的零点的个数为.e5. 曲线6. 函数yxe x 的拐点 ，凹区间，凸区间.yln x1x 2的单调区间.7. 曲线 f ( x) e x的渐近线为.x 18. 计算：5 x 4x11(12（2） lim (cos x )（1） limx 1xx) （3） limtan 2 xx1xe 1x 0arctan x x(1 x 2 )1 / 31 ；1（ 4） lim ；（5） lim（6） lim (cscx ) ；x 0x ln(1 2 x 2 )xcosx1x 0x（ 7） lim x 3 (sin 11 sin2 ) ；（ ） lim (tanx )2 x；（ 9） limx；exx2x8x ln xx29. 证明 2 arctanxarcsin2 xx1 .21 x10. 证明方程x5x10 在区间( 1, 0)内有且只有一个实根.11. 证明多项式f x3 3 x a 在0,1上不可能有两个零点 .x12. 证明：当0x时， x sin x 22x13.证明：当x0时，1x2arctan x xx14. 设 f x32bx在 x 1 处有极值-2，试确定系数 a , b ，并求x axy f x 的所有极值点与拐点.15. 求内接于椭圆x2y2221 而面积最大的矩形的各边之长.a b16.由直线 y0,x8及抛物线 y x2围成一个曲边三角形 ,在曲边 y x2上求一点 , 使曲线在该点处的切线与直线y0 及 x 8 所围成的三角形面积最大.17.描绘 (1)y 3 x2，(2) y21的图形 .2( x1) ( x 1) 2( x 1)18.要做一个容积为 2 的密闭圆柱形罐头筒，问半径和筒高如何确定才能使所用材料最省？19．要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为500 立方米，底面为正方形。
高等数学数学分析中值定理习题有答案
第三章 中值定理与导数的应用1. 设)(x f 在]1,0[上连续，在(0,1)内可导，0)1()0(==f f ,1)21(=f 求证：存在)1,0(∈ξ使1)(='ξf .2. 求证：若)(x f 在],[b a 上可导，)()(b f a f -+'≠'，则对介于)(a f +'与)(b f -'之间的任意值c ，有),(b a ∈ξ，使c f =')(ξ.（导函数的介值定理）3. 设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，)(x f 在],[b a 上不恒为常数.求证：),(,21b a ∈∃ξξ，使0)(1>'ξf ，0)(2<'ξf .4. 设012>>x x ，证明：),(21x x ∈∃ξ，使)()1(212112x x e e x e x x x --=-ξξ.5. 讨论方程212x x+=的实根个数.6. 设)(x f 在]1,0[上二阶可导，0)1()0(==f f ，2)(max 10=≤≤x f x .求证：)1,0(∈∃ξ，使16)(-≤''ξf .7. 求)1(cot lim 22x x x -→8. 求xx x ln 0)1(lim -+→9. 求21)tan (lim 0x xxx →10. 求30)1(sin lim x x x x e x x +-→11. 求2220sin )(cos 121lim 2xe x x x x x -+-+→12. 讨论方程x x x x cos sin 2+=的实根个数。
13. 求证：bb aa ba b a +++≤+++11114. 比较eπ和πe 的大小.15. 设 ,3,2,1,==n n x n n ，求该数列中的最大项.16. 设⎩⎨⎧>-≤≤=1,)2(10,)(3x x x x x f ，求)(x f 的极值与拐点.17. 设10,1≤≤>x p ，求证：1)1(211≤-+≤-p p p x x .18. 求椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上的点，使得椭圆在该点的切线与坐标轴所围成的三角形面积最小.第三章 中值定理与导数的应用 答案1. 设)(x f 在]1,0[上连续，在(0,1)内可导，0)1()0(==f f ,1)21(=f 求证：存在)1,0(∈ξ使1)(='ξf . 证明：令x x f x F -=)()(，则)(x F 在]1,0[上连续，在(0,1)内可导，0)0(=F ，1)1(-=F ，21)21(=F .由连续函数的介值定理，)1,21(0∈∃x ，0)(0=x F ，又根据罗尔定理，),0(0x ∈∃ξ，0)(='ξF ，即1)(='ξf .2. 求证：若)(x f 在],[b a 上可导，)()(b f a f -+'≠'，则对介于)(a f +'与)(b f -'之间的任意值c ，有),(b a ∈ξ，使c f =')(ξ.（导函数的介值定理）证明：无妨设)()(b f c a f -+'<<'，令cx x f x F -=)()(，则0)(<'+a F ，0)(>'-b F .)(x F 在],[b a 上可导，必连续，因此有最小值)(ξF ，a ≠ξ，否则0)()(lim )(≥--='+→+ax a F x F a F ax 矛盾！；b ≠ξ，否则0)()(lim )(≤--='-→+bx b F x F b F bx 矛盾！因此),(b a ∈ξ.由Fermat 定理，0)(='ξF ，即c f =')(ξ.3. 设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，)(x f 在],[b a 上不恒为常数.求证：),(,21b a ∈∃ξξ，使0)(1>'ξf ，0)(2<'ξf .证明：)(x f 在],[b a 上连续，因此有最大值M x f =)(1，最小值m x f =)(2.由题意m M >，因为)()(b f a f =，所以)()(b f a f M =>，或m b f a f >=)()(.无妨设)()(b f a f M =>，由Lagrange 中值定理可知，),(11x a ∈∃ξ， 0)()()()(1111>--=--='a x a f M a x a f x f f ξ；),(12b x ∈∃ξ，0)()()()(1112<--=--='x b Mb f x b x f b f f ξ.4. 设012>>x x ，证明：),(21x x ∈∃ξ，使)()1(212112x x e e x ex x x --=-ξξ.证明：令x e x f x =)(，xx g 1)(=，)(),(x g x f 在],[21x x 上连续，在),(21x x 内可导且0)(≠'x g .由Cauchy 中值定理，),(21x x ∈∃ξ，使)()()()()()(1212x g x g x f x f g f --=''ξξ，即212112x x e x e x e e x x --=-ξξξ.5. 讨论方程212x x +=的实根个数.解：令212)(x x f x--=，)(x f 在),(+∞-∞连续，0)0(=f ，0)1(=f ，0)2(<f ，0)5(>f ，故)(x f 至少有三个实根，若)(x f 有多于三个的实根，则由罗尔定理，)(x f '''有实零点，而0)2(ln 2)(3>='''xx f ，因此)(x f 恰有三个实根.6. 设)(x f 在]1,0[上二阶可导，0)1()0(==f f ，2)(max 10=≤≤x f x .求证：)1,0(∈∃ξ，使16)(-≤''ξf .证明：设2)()(max 010==≤≤x f x f x ，则)1,0(0∈x ，0)(0='x f .根据Taylor 公式，),0(01x ∈∃ξ，)1,(02x ∈ξ，使2010002)())(()()0(0x f x x f x f f ξ''+-'+==； 202000)1(2)()1)(()()1(0x f x x f x f f -''+-'+==ξ，即4)(21-=''x f ξ，4)1)((202-=-''x f ξ.2100≤<x 时，16)(1-≤''ξf ；1210<≤x 时，16)(2-≤''ξf .7. 求)1(cot lim 22x x x -→ 解：)1(cot lim 220x x x -→x x x x x x 222220sin sin cos lim -=→300sin cos limsin cos lim x xx x x x x x x x -+=→→ 323cos sin cos lim220-=--=→xx x x x x8. 求xx x ln 0)1(lim -+→解： xx x ln 0)1(lim -+→)1ln(ln 0lim x x x e -→+==-+→)1ln(ln lim 0x x x =-+→x x x ln )(lim 0=-+→x xx 1ln lim 0=--+→2011lim xx x 0lim 0=+→x x 1)1(lim ln 0=-+→x x x9. 求21)tan (lim 0x xxx →解：21)tan (lim 0x xx x →xx x x e tan ln 102lim →=x x x x tan ln 1lim 20→)tan 1ln(1lim 20x x x x x -+=→30tan lim x xx x -=→3131sec lim 220=-=→x x x 31021)tan (lim e xx x x =→10. 求30)1(sin lim xx x x e x x +-→ 解：30)1(sin lim x x x x e xx +-→3333320)1()](!3)][(!321[lim x x x x o x x x o x x x x +-+-++++=→ 31)(3lim 3330=+=→xx o x x11. 求222sin )(cos 121lim 2xe x x x x x -+-+→解：0→x 时，2cos x e x -)](1[)(212222x o x x o x ++-+-=)(2322x o x +-=～232x -； 2220sin )(cos 121lim 2x e x xx x x -+-+→12123)](8121[21lim 2244220-=-+-+-+=→x x x o x x x x12. 讨论方程x x x x cos sin 2+=的实根个数。
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第三章 中值定理与导数的应用(A)1．在下列四个函数中 ,在 1,1 上满足罗尔定理条件的函数是 ()A ． y8 x 1 B ． y 4x 2 1 C ． y1D ． y sin x1 x 22．函数 f x满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( )x A ． 2,2B ．2,0C ． 1,2D ． 0,13．方程 x 5 5x 1 0 在1,1 内根的个数是 ()A ．没有实根B ．有且仅有一个实根C ．有两个相异的实根D ．有五个实根4．若对任意 x a, b ，有 f x g x ，则 ( )A ．对任意 x a,b ，有 f x g xB ．存在 x 0 a,b ，使 f x 0 g x 0C ．对任意 x a,b ，有 f x g x C 0 ( C 0 是某个常数 )D ．对任意 x a,b ，有 f xg xC (C 是任意常数 )5．函数 f x3x 5 5x 3 在 R 上有 ()A ．四个极值点；B ．三个极值点C ．二个极值点D ． 一个极值点6．函数 f x 2x 3 6x 2 18x 7 的极大值是 ()A ．17B ．11C ．10D ． 97．设 f x 在闭区间1,1 上连续，在开区间1,1 上可导，且 f xM ，f 0 0 ，则必有 ()A ． f xM． f xMC ． f x MD ． f x MB8．若函数 f x 在 a, b 上连续，在 a,b 可导，则 ()A ．存在 0,1 ，有 f b f a f b a b aB ．存在0,1 ，有 f af bf ab a b aC ．存在 a, b ，有 f a f b f a bD ．存在a, b ，有 fbf afa b9．若 a 2 3b 0 ，则方程 f x x 3 ax 2 bx c0 ( )A ．无实根B ．有唯一的实根C ．有三个实根D ．有重实根 ．求极限 x 2 sin 1()limx时，下列各种解法正确的是10 sin xx 0A ．用洛必塔法则后，求得极限为 0B ．因为 lim 1不存在，所以上述极限不存在x 0 xx xsin 1C ．原式 lim 0x 0sin x xD ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在11．设函数 y1 2x2 ，在 ()xA ． ,单调增加B ．,单调减少C ． 1,1 单调增加，其余区间单调减少D ．1,1 单调减少，其余区间单调增加e x ()12．曲线 y1 xA ．有一个拐点B ．有二个拐点C ．有三个拐点D ． 无拐点 13．指出曲线 yx的渐近线 ()3 x 2 A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线B ． x3 为其垂直渐近线，但无水平渐近线C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线D ． 只有水平渐近线2x 2 114．函数 f xx 3 1 3 在区间 0,2 上最小值为 ()A ． 729B ． 0C ．1D ．无最小值4x ln 1 x 15．求 limx 2x 01 116．求 limxx 0ln 1 x17．求 lim1 2 sin xxcos3x6118．求 lim 1 x 2 xx 01ln x19．求 limarctgxx220．求函数 y x 3 3x 29x 14 的单调区间。
高数第三章自测题A答案
B： lim ln(x +1)
x→0
x
D： lim 1 2 x→+∞ x
3.下列结论不正确的是（A ）
4.至少存在一个ξ ∈(a,b) 使得 sin b − sin a = (b − a) cosξ 成立.
（ √）
A：函数的最大值一定大于最小值
( ) ( ) 5.至少存在一个ξ ∈(a,b) 使得 b3 − a3 eξ = 3 eb − ea ξ 2 成立.
2.
函数
f
(
x)
=
⎧⎪ ⎨
x2
sin
1 x
,
x
≠
0
在区间
[−1,1]
上满足拉格朗日中值定理的所有条
⎪⎩0,
x=0
件.
（ √）
3.若 lim f ′(x) 不存在，则 lim f (x) 也不存在.
x→∞ g′(x)
x→∞ g(x)
（ ×）
2. 能直接使用洛必达法则求极限的是（ B）
A： lim tan n . n n→+∞
= lim (1− cos x)′ = lim
sin x
= 0 = 0 ....2 分
x→0 (sin x + x cos x)′ x→0 cos x + cos x − x sin x 1+1− 0
解法二： lim( 1 − 1 ) = lim x − sin x ， x→0 sin x x x→0 x sin x
x→0 sin x x x→0 x sin x x→0 (x sin x)′ x→0 sin x + x cos x
lim
第三章中值定理与导数的应用自测题C参考答案
2.2.已知函数f X 在1.0,11连续，在 0,1内可导，且f 0 =0,f 1 =1。
证明: (1) 存在二 0,1，使得 f =1 ―；(2) 存在两个不同的点 ，-三[0,1，使得 f f =1。
证明：(1 )令 g X =f X ，x -1,则 g X 在〔0,11 连续，且 g 0 = T ：：：0,g 1 =10,所 以存在匚三(0,1 ,使得g = f 「厂-1=0,即f •=1 ―。
自测题C 参考答案 一. 选择题： 1. D 2. B 3. B4. C5. C6. B7. C8. C1.5. 1. 填空题:3.1e 34.1 1 X , y =2计算题与证明题: .161,讨论曲线y = 4ln X k 与y=4xTn 4X 的交点个数。
解：设'X = In 4 x -41 n x • 4x - k,则有门 \ X = 4 ln 3x- 1 X ,不难看出，X=1是X 当0 ：：：x <1时，丁 X ：0,即' X 单调减少；当X 1时，"X 0,即' X 单调增加, qr 故」1 =4 - k 为函数」X 的最小值。
当k :：: 4,即4-k 0时，「X =0无实根，即两条曲线无交点。
当k =4,即4-k =0时，「x ]=0有唯一实根，即两条曲线只有一个交点。
当 k 4,即 4-k ::: 0 时， 由 于 lim : X = lim In x In 3x -4 4x -k =::—Q +—D +L -x _4 4x _k 二：： 0,1与1「：：即两条曲线有两个交点。
，故'X =0有两个实根，分别位于2.(2)根据拉格朗日中值定理，存在’一三(0/ / ,1 ,使得f f =1 O3•设函数f x 在区间la,b 1上具有二阶导数，且 f a = f ba 「b . 0,证明存在匚三i ：a,b 和厂三i ：a,b ，使f ：卢］=0及f 厂j ： 0。
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>第三章 微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ）是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''=3、的凸区间是 x e y x -=（ ）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞，4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，&8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ．(A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（ ） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000、二、填空题 1、__________________e y82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ． 5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝ ． 6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ． 7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． …8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。
第三章中值定理与导数的应用自测题A参考答案
自测题A 参考答案一. 选择题：1．B 2．C 3．D 4．D 5．C 6．A 7．C 8．C 二. 填空题：1．(1,1)- 2．0,2x x == 3．无关 4． 2π5．6 ，-1 6． 1 ，52- 7．,>< 8.＝ ，不一定 三. 计算题：1. 计算arctan lim x x x e x xe x→∞-+ 解：1arctan arctan lim lim 121xxx x x x e xe x x x e x e x π→-∞→-∞--==++ 1arctan arctan lim lim 11xx x x x xxx e x x e x e x e→+∞→+∞--==++，故极限不存在。
2. 计算2lim11x x x e x →+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：本题是∞∞型极限，直接用洛必达法则求不出该极限，注意到21111xxxx e e x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎛⎫⎛⎫++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭，则211ln 1limlim lim 1111xx x x x x x x x x e e e x x ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦→+∞→+∞→+∞⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎛⎫⎛⎫++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭，由于 ()()2000ln 1111ln 1111lim 1ln 1lim lim lim 22x y y y y y y y y x x x y y y +++→+∞→→→+---+⎡⎤+⎛⎫-+==== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦。
故原式=12e 。
3. 计算222lim arctan 2x x x x π→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭解：2222222arctan 2lim arctan lim arctan lim 22x x x x x x x x x xπππ-→+∞→+∞→+∞-⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭443421lim lim 121x x xx x x x -→+∞→+∞+==-=-+。
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高等数学第三章之中值定理与导数应用部分测试题（附答案）一、单选题 （每小题4分，共计20分）1、设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,21(内曲线)(x f （ ）（Ａ）单调增凹的； （Ｂ）单调减凹的； （Ｃ）单调增凸的； （Ｄ）单调减凸的。
2、已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续，且0)0(=f ，2cos 1)(lim0=-→x x f x ，则在点0=x 处)(x f （ ）（Ａ）不可导； （Ｂ）可导，且0)0('≠f ； （C ）取得极大值； （Ｄ）取得极小值。
3、设)(x f 有二阶连续导数，且0)0('=f ，1||)("lim=→x x f x ，则（ ） （Ａ）)0(f 是)(x f 的极大值； （Ｂ）)0(f 是)(x f 的极小值； （Ｃ）))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点； （Ｄ）)0(f 不是)(x f 的极值点。
4、设)(x f 、)(x g 在[]b a ,连续可导，0)()(≠x g x f ，且)()()()(x g x f x g x f '<'，则当b x a <<时，则有（ ）（Ａ）)()()()(a g a f x g x f <； （Ｂ）)()()()(b g b f x g x f <； （Ｃ）)()()()(a g a f x g x f <； （Ｄ）)()()()(a f a g x f x g >。
5、)(x f 在),(b a 内连续，0)()(),,(000=''='∈x f x f b a x ，则)(x f 在0x x = 处（Ｄ ） （Ａ）取得极大值； （Ｂ）取得极小值；（Ｃ）一定有拐点))(,(00x f x ； （Ｄ）可能取得极值，也可能有拐点。
二、填空题（每小题4分，共计20分）1、=→x x x ln lim 0_______。
2、曲线x xe y 3-=的拐点坐标是_________。
3、若()x f 在含0x 的()b a ,（其中b a <）内恒有二阶负的导数，且_______,则()0x f 是()x f 在()b a ,上的最大值。
4、曲线2x ey -=的上凸区间是___________。
5、123++=x x y 在()+∞∞-,内有__________个零点。
三、计算题（每小题7分，共计28分）1、计算下列极限)1ln(lim 2sin 0x x e e xx x +-→ 2、)tan(ln )tan(ln lim 0bx ax x +→3、试确定常数a 与n 的一组数，使得当0→x 时，n ax 与33)1ln(x x +-为等价无穷小。
4、已知x x y sin 3=，利用泰勒公式求)0()6(y 。
四、（8分）证明不等式当20π<<x 时，有不等式x x x 3sin 2tan >+。
五、（8分）作半径为r 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积V 最小，并求出该体积最小值。
六、（8分）设e a b >>，证明a b b a >。
七、（8分）若)(x f 在]1,0[上有三阶导数，且0)1()0(==f f ，设)()(3x f x x F =，试证：在)1,0( 内至少存在一个ξ，使0)('"=ξF 。
高等数学第三章之中值定理与导数应用部分测试题（答案）一、单选题 （每小题4分，共计20分）1、设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,21(内曲线)(x f （ Ｂ ）（Ａ）单调增凹的； （Ｂ）单调减凹的； （Ｃ）单调增凸的； （Ｄ）单调减凸的。
解析：当)1,21(∈x 时，0)(<'x f ，又0)41(414)(>-=-=''x x x f )1,21(∈x)(x f ∴在)1,21(上单调减且为凹的。
2、已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续，且0)0(=f ，2cos 1)(lim0=-→x x f x ，则在点0=x 处)(x f （Ｄ ）（Ａ）不可导； （Ｂ）可导，且0)0('≠f ； （C ）取得极大值； （Ｄ）取得极小值。
解析：利用极限的保号性可以判定)(x f 的正负号：0cos 1)(02cos 1)(lim0>-⇒>=-→xx f x x f x （在0=x 的某空心邻域）；由0cos 1>-x ，有)0(0)(f x f =>，即)(x f 在0=x 取极小值。
3、设)(x f 有二阶连续导数，且0)0('=f ，1||)("lim=→x x f x ，则（ Ｂ ） （Ａ）)0(f 是)(x f 的极大值； （Ｂ）)0(f 是)(x f 的极小值； （Ｃ）))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点； （Ｄ）)0(f 不是)(x f 的极值点。
解析：由极限的保号性：0||)("01||)("lim>⇒>=→x x f x x f x （在0=x 的某空心邻域）；由此0)(">x f （在0=x 的某空心邻域），)('x f 单调增，又由0)0('=f ，)('x f 在0=x 由负变正，由极值第一充分条件，0=x 是)(x f 的极小点 。
4、设)(x f 、)(x g 在[]b a ,连续可导，0)()(≠x g x f ，且)()()()(x g x f x g x f '<'，则当b x a <<时，则有（ Ｃ ）（Ａ）)()()()(a g a f x g x f <； （Ｂ）)()()()(b g b f x g x f <； （Ｃ）)()()()(a g a f x g x f <； （Ｄ）)()()()(a f a g x f x g >。
解析：由0)()()()()()()()(<'-'⇒'<'x g x f x g x f x g x f x g x f)()(0])()([x g x f x g x f ⇒<'⇒单调减少，),(b a x ∈ )()()()(b f a f x g x f <∴.5、)(x f 在),(b a 内连续，0)()(),,(000=''='∈x f x f b a x ，则)(x f 在0x x = 处（Ｄ ） （Ａ）取得极大值； （Ｂ）取得极小值；（Ｃ）一定有拐点))(,(00x f x ； （Ｄ）可能取得极值，也可能有拐点。
解析：3)(x x f =，则0)0(")0('==f f ，0=x 是3)(x x f =的拐点；设4)(x x f =，则0)0(")0('==f f ，而0=x 是4)(x x f =的极值点。
二、填空题（每小题4分，共计20分）1、=→x x x ln lim 0___0 ____。
解析：0)(lim 11lim 1ln lim ln lim 02000=-=-==→→→→x xx x xx x x x x x2、曲线x xe y 3-=的拐点坐标是___)32,32(2-e ______。
解析：)31(3333x e xe e y x x x -=-='--- ，)32(9)69(3)31(33333-=-=---=''----x e x e e x e y x x x x令320=⇒=''x y ，当32<x 时，0<''y ；当32>x 时0>''y而当32=x 时，232-=e y ∴拐点为)32,32(2-e3、若()x f 在含0x 的()b a ,（其中b a <）内恒有二阶负的导数，且__0)(0='x f _____,则()0x f 是()x f 在()b a ,上的最大值。
解析：0)(lim )()(lim)("000000<-'=-'-'=→→x x x f x x x f x f x f x x x x 0)(0<-'⇒x x x f 当0x x <时，)(,0)(0x f x f >'单调增加；当0x x >时，)(,0)(x f x f <'单调减少4、曲线2x ey -=的上凸区间是____)22,22(-_______。
解析：22])2(2[",2'2x x e x y xe y -----=-=令220"±=⇒=x y ，当)22,22(-∈x 时，0"<y ，上凸，其它区间0">y ，上凹，故应填入)22,22(-。
5、123++=x x y 在()+∞∞-,内有____1______个零点。
解析：0232>+='x y ，y ∴在),(+∞-∞上单调增加又-∞=-∞→y x lim +∞=+∞→y x lim .∴在),(+∞-∞内有1个零点。
三、计算题（每小题7分，共计28分）1、计算下列极限)1ln(lim 2sin 0x x e e xx x +-→ 解： 613cos 1lim sin lim )1(lim )1ln(lim 20303sin sin 02sin 0=-=-=-=+-→→-→→x x x x x x e e x x e e x x x x x x x x x 2、)tan(ln )tan(ln lim 0bx ax x +→解： b bx ax a ax bx bbx bx aax ax bx ax x x x ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+++→→→)(sec )tan()(sec )tan(lim )(sec )tan(1)(sec )tan(1lim )tan(ln )tan(ln lim 2202200 1)(sec )(sec lim 220=⋅⋅⋅⋅=+→b bx ax aax bx x3、试确定常数a 与n 的一组数，使得当0→x 时，n ax 与33)1ln(x x +-为等价无穷小。
解： 1)]1(3[lim 313lim )1ln(lim 36023210330=--=+--=+--→-→→x x an x x x anx x x ax n x n x n x 6=∴n ，2113-=⇒=-a an 4、已知x x y sin 3=，利用泰勒公式求)0()6(y 。