高等数学(上)第三章练习题

高等数学（上）第三章练习题

一.填空题 1．()ln(21)-f x x x =+的增区间是

2．

1()sin sin 33f x a x x =+在3

x π

=处取极值，则a =

3．曲线

2

2

x y e

-

= 在区间 是凸的

4．点(1,2)是32y ax bx =+的拐点，则a = ，b =

5．曲线

ln(1)

2

x y x -=

-的水平渐近线是 ，垂直渐近线是

6．曲线2

3

33x t y t t

⎧=⎪⎨=-⎪⎩在对应于1t =的点处的曲率K =

二.单项选择题 7．函数

()(1)(2)(3)f x x x x =---，则方程有()0f x '=有【 】

A ．一个实根 B. 二个实根 C. 三个实根 D. 无实根 8. 极限2

cos5lim

cos3x x

x

π

→

=【 】

A ．

53 B. 1 C. 1- D. 53

- 9. 当0x →时，2(1)x

e ax bx -++是比2x 高阶无穷小，则【 】

A ．1

2a

=

，1b = B. 1a =，1b = C. 1

2

a =-，1

b = D. 1a =-，2b =-

10．若2

()()

lim

1()x a

f x f a x a →-=--，， 则x a =处【 】

A ．()f x 导数存在且()0f a '≠ B. ()f x 取极大值 C ．()f x 取极小值 D. ()f a '不存在

11.

()f x 在x a =某邻域内有三阶连续导数，且()()0f a f a '''==，()0f a '''≠，则【 】

A ．x

a =是()f x 的极小值点 B. x

a =是()f x 的极大值点

C. (())a f a 是曲线()y f x =的拐点

D. x a =不是()f x 的极值点，(())a f a 不是曲线()y f x =的拐点

12.

()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，

则曲线

()y f x =在[,]a b 上【 】

A ．上升且为凸的 B. 上升且为凹的 C. 下降且为凸的 D. 下降且为凹的

三.求下列极限

13．302lim x x x e e x

x

-→-- 14. 2ln(1)lim ln x x x →+∞+ 15．2

1lim 1sin x x

x x →∞

⎛

⎫- ⎪⎝

⎭

16. 11lim 1ln x x x x →⎛⎫- ⎪-⎝

⎭ 17．()

1

21cos 0lim 1x x

x x e -→+ 18.

1

ln lim tan 2x

x arc x π→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭

四．解答下列各题 19．设

()f x 在[0,]π上连续，在(0,)π内可导，证明在(0,)π内至少存在一点ξ，

使()()cot f f ξξξ'=-

20.设

()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数， 且()()0f a f b ==，()0f c >

(a c b <<)，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈ 使()0f ξ''<

21．证明：当1x ≥时，2

2arctan arcsin 1x

x x

π+=+ 22．已知a b e >>，证明 ：b

a a

b <

23.

()f x 在[0,)+∞上连续 且(0)0f =， ()f x '在(0,)+∞内单调增加，

求证：

()

f x x

在(0,)+∞内单调增加 24．已知函数

32()26187f x x x x =-+++

（1）求函数()f x 的单调区间与极值

（2）曲线

()y f x =图形凹凸区间与拐点

25.（1）0x

>时，证明：ln(1)x x +<

（2）01q <<，2ln(1)ln(1)ln(1)n n x q q q =++++

++，证明：lim n n x →∞

存在

26．设

2()n n f x x x x =++

+ (2,3,)n =

（1）证明：方程

()1n f x =在(0,)+∞内有惟一的实根n x

（2） 证明：lim n n x →∞

存在，并求lim n n x →∞

27. 在抛物线

21y x =- (01x <≤)找一点M ，过点M 作该抛物线的切线， 使切线

与两坐标轴围成的三角形的面积最小 28．设3

333x

xy y -+=确定y 是x 的隐函数，求()y y x =的驻点并判别是否为极值点

参考答案与提示

一. 1. 11

(]22

-

, 2. 2a = 3. [1,1]- 4. 1,3a b =-= 5. 0,1y x == 6. 1

6

二. 7. B 8. D 9. A 10. B 11. C 12. B 三. 13.

13 14. 2 15. 16 16. 12

17. 2e 18. 1e - 四. 19. 提示：设()()sin F x f x x = 应用Rollee 定理

20. 提示：()f x 分别在[,]a c [,]c b 上应用Lagrange 中值定理，得12a c b ξξ<<<<

()f x '在12[,]ξξ用Lagrange 中值定理

21. 提示：令2

2()arctan arcsin 1x

f x x x =++，证明在(1,)+∞内()0f x '=

22．提示：令

ln ()x

f x x =

，判别()f x 在[,)e +∞上单调性 23. 提示：令()()f x F x x =， 求导得2

()()

()x f x f x F x x

'-'= 由Lagrange 中值定理得，

()(0)()(0)f x f f x ξ'-=- 0x ξ<<

即

()()f x x f ξ'= 代入()F x '表达式， 再由()f x '单调性 得证

24．(1) 函数()f x 在(,1]-∞- 和[3,)+∞单调减少 ， 在[1,3]-上单调增加

(1)3f -=- 是()f x 极小值， (3)61f = 是()f x 的极大值

(2)曲线()y f x =的凹区间是(,1]-∞，凸区间是[1,)+∞ ，拐点(1,29)

25. (1) 利用单调性证明 (2)利用(1)和极限存在准则Ⅱ 26. (1)令()

()1n n F x f x =-利用单调性和零点定理

(2) 由(1)得 01n x <<

由

11()()n n n f x f x x ++=+得 1

1()0n n n n F x x ++=> 根据零点定理