高等数学课后习题答案第三章
第三章习题 3-1
1、对函数x y sin ln =在区间]6
5,6[
π
π上验证罗尔定理
解答：（1、区间]6
5,6[
π
π上连续 ；
（2）函数x y sin ln =在区间)6
5,6(π
π上可导；
（3）、2ln 6sin
ln )6(-==π
πf ，2ln 6
5sin ln )65(
-==π
πf
所以满足Rolle 定理的条件。且由0sin cos ==
'x x y 解得)6
5,6(4π
ππξ∈= 2、证明：函数02=++=r qx px y 在任意区间上应用lagrange 中值定理求得的点ξ总是该区间的中点
证明：（1）02=++=r qx px y 在任意],[b a 上连续 ；02=++=r qx px y 在),(b a 上可导；所以满足lagrange 定理的条件。且由02=+='q px y 解得),(2
b a b
a ∈+=ξ 所以求得的点ξ总是该区间的中点
3、证明：方程033
=+-c x x 在区间]1,0[内不可能有两个不同的实数根
证明：用反证法，设方程033
=+-c x x 在区间]1,0[内有两个不同的实数根21,x x （1）、函数c x x x f +-=3)(3在],[2x x x 连续 ；（2）、函数c x x x f +-=3)(3
在),(2x x x 可导；（3）、0)()(21==x f x f ，
所以满足Rolle 定理的条件，于是存在]1,0[),(21?=∈x x ξ。使0)(='ξf 但是由033)(2
=-='x x f 解得根为),(121x x x ?±=。矛盾 所以方程033
=+-c x x 在区间]1,0[内不可能有两个不同的实数根
4、若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中
b x x x a <<<<21，证明：在),(31x x 内至少存在一点ξ，使得0)(=''ξf
:证明：由于函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中
b x x x a <<<<21，所以函数)(x f 分别在区间],[21x x 与],[32x x 上满足Rolle 定理的条
件，于是存在),(21x x ∈λ。使0)(='λf ，也存在),(32x x ∈?。使0)(='?f
于是函数)(x f '在区间],[?λ上满足Rolle 定理，于是存在),(),(31x x ?∈?λξ。使
0)(=''ξf
5、已知函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，不求导数，讨论方程0)(='x f 的实数根，并指出它的范围
解答：)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 是初等函数，所以连续可导，且、
0)4()3()2()1(====f f f f ，于是分别在区间]2,1[、]3,2[、]4,3[上满足Rolle 定理，
于是存在)2,1(1∈x 使0)(1='x f ，)3,2(2∈x 使0)(2='x f ，)4,3(3∈x 使0)(3='x f 6、证明：在]1,1[-上恒成立2
arccos arcsin π
=
+x x
:证明：设辅助函数x x x f arccos arcsin )(+=，由于)(x f 是初等函数，
01111)(2
2
=--
-=
'x
x
x f ，所以由lagrange 中值定理的推论可知
C x x x f =+=arccos arcsin )(
取0=x 有C f =+=0arccos 0arcsin )0(，得2
π
=
C
2
arccos arcsin π
=
+x x
7、下列函数在指定区间上是否满足Rolle 定理的?条件若满足，则在该区间内求ξ，使
0)(='ξf
（1）、31)(x x f -=，]1,1[- （2）、2
)2(1
)(+=
x x f ，]1,3[- （3）、x x f c
o s )(=，]4
5,43[
π
π （4）、3
)1()(-=x x f ，]2,0[
（5）、?????
=≠=0
01s
i n )(x x x
x x f ，]2
,2[π
π-
8、应用lagrange 中值定理证明不等式
（1）、y x y x -≤-r c t a n r c t a n
证明：设辅助函数t t arctan )(=?，对该函数在以y x ,为端点的闭区间应用lagrange 中值定理有 )(11
a r c t a n a r c t a n 2
y x y x -+=
-ξ
于是 y x y x y x -≤-+=
-2
11
arctan arctan ξ
，其中ξ介y x ,于之间。 （2）、)0(1≠+>x x e x
证明：设辅助函数t e t =)(?，对该函数在以x ,0为端点的闭区间应用lagrange 中值定理有
)0(0-=-x e e e x ξ，从而)0(1≠>-x x e x ，就是)0(1≠+>x x e x ，其中ξ介x ,0于之
间。
（3）、)()(11y x nx y x y x ny n n n n -<-<--- )0,1(>>>y x n 证明：设辅助函数
n t t =)(?，对该函数在],[x y 应用l a g r a n g 中
值定理有 1-=--n n
n n y
x y x ξ，
，其中ξ介x y ,于之间。 注意到0,1>>>y x n ，所以11
1---< 所以11 --<-- n n nx y x y x ny ，故)()(11y x nx y x y x ny n n n n -<-<--- （4）、 )0()1l n (1><+<+x x x x x 证明：先证明)0()1ln( ><+x x x ，再证明)1ln(1x x x +<+ 设辅助函数t t t -+=)1l n ()(?，对该函数在],0[x 应用l a g r a n g 中 值定理有 x x x <-+= +-+)0(11 )01ln()1ln(ξ ，其中ξ介x ,0于之间。 即)0()1ln( ><+x x x 成立；……（1） 再设辅助函数)1ln()1()(t t t ++=?，对该函数在],0[x 应用l a g r a n g e 中值定理有 )0](1)1[ln()01ln()10()1ln()1(-++=++-++x x x ξ，其中ξ介x ,0于之间。 于是x x x ]1)1[ln()1ln( )1(++=++ξ，而0>x 所以 11)1ln()1ln()1(>++=++ξx x x ，从而x x x +>+1)1ln( (2) 综合有 )0()1l n (1><+<+x x x x x 注意：该不等式很有用，当取n x 1=就是 n n n 1 )11ln(11<+<+ 9、下列函数在指定的区间上是否满足cauchy 中值定理？若满足，则写出结论并求出ξ （1）、2)(x x f =，3)(x x g =， ]1,1[- （2）、x x f s i n )(=，x x g cos )(=， ]2 ,0[π （3）、2)(x x f =，x x g = )(， ]4,1[ 解答：（1）、由于23)(x x g ='，当0=x 0)0(='g ，不满足cauchy 中值定理 （2）、满足，存在)2 , 0(π ξ∈使 ξ ξ π πsin cos 0 cos 2 cos sin 2sin -=--即 1sin cos =ξξ解得4πξ= （3）、满足，存在)4,1(∈ξ使ξ ξ2121 2116= --即41523 =ξ解得32 )415 (=ξ 10、求下列未定式的极限 （1）、x x x ln )cos 1ln(lim 0-+→1c o s 1s i n l i m 0x x x x ?-=+→22 l i m 2 2 0==+→x x x （2）、x x e e x x x s i n lim sin 0--→x xe e x x x cos 1cos lim sin 0--=→x xe xe e x x x x sin cos sin lim sin 2sin 0-+=→ x xe xe x xe x xe e x x x x x x cos cos sin cos 2cos sin cos lim sin 3sin sin sin 0-+++=→ 11 1 011=-++= （3）、2 1 c o s 21l i m 2 π π - -+→ x x x 10 121 2c o s 212s i n 2l i m 2 -=+? -=+-=→ x x x π （4）、2 )1l n (lim x e x x ++∞→x e e x x x 211lim ?+=+∞→x x x x xe e e ++=+∞→1lim 210111l i m 21=++=+∞→x e x x （5）、1 216)(arcsin lim 2 2 2 2 1-- → x x x π2 2 114a r c s i n 2l i m x x x x -=→ 4 21 12 1442lim 2 1π π = -? ? =→ x （6）、30 s i n lim x x x x -→203c o s 1lim x x x -=→61 6s i n lim 0==→x x x （7）、)1l n (c o s c o s l i m 20x x e x +-→βα2012s i n s i n l i m x x x x x ++-=→ββαα2 22220)1(22)1(2c o s c o s lim x x x x x x x +?-++-=→ββαα 2 2 2αβ-= （8）、)1(1 lim 0---→x x x e x x e x x x x xe e e +--=→11lim 0x x x x xe e e +=→2lim 02 121l i m 0=+=→x x （9）、)(l i m 2x x x x +-+∞ →x x x x x ++-=+∞ →2lim 2 11111l i m - =+ +-=+∞ →x x （10）、)ln 11( lim 1 x x x x --→x x x x x x l n )1(1l n l i m 1-+-=→x x x x x 1ln 11ln lim 1-+-+=→21 111 l i m 2 1=+=→x x x x （11）、)t a n (s e c l i m 2 x x x -→ π x x x c o s s i n 1lim 2 -=→ π 0s i n c o s lim 2 =--=→x x x π （12）、 2t a n )1(l i m 1x x x π-→=?-=→2s i n 2c o s 1lim 1x x x x ππ2c o s 1l i m 1x x x π-=→πππ2 2 s i n 21lim 1-=?-=→x x （13）、x x x ln tan lim 0+→x x x x c o s ln sin lim 0+→=x x x c s c ln lim 0+→=x x x x c o t s c 1 lim 0-=+→ =-=+→x x x x cos sin lim 200sin lim 0=-+→x x （14）、x x x x +∞→1ln lim x x x x 1ln )1ln(lim -+=∞→2 1111lim x x x x -- +=∞→x x x x +=∞→22lim 1122l i m =+=∞→x x x （15）、x x x t a n 2) 1( lim -→ π π ) 1l n (t a n lim 2 2 lim -→ → =x x x x e ππ π 而 )1ln( tan lim 2 -→ x x x π π x x x x cos ln )ln(lim 2 --=→ ππ ]1 1[sin 1lim 2 x x x x ---?-=→ ππ π π4]22[11=--?-= x 所以x x x tan 2)1( lim -→ π π ππ π π4 ) 1ln(tan lim 2 2 lim e e x x x x ==-→ → （16）、x x x ln 1) 1(lim _-- → ) 1ln(ln lim ln 1 1 _)1(lim x x x x x e x -→→- =- )1ln(ln lim _1x x x --→x x x ln 1)1ln(lim _1-=-→x x x x 21 ln 111lim _---=-→x x x -=-→1ln lim 21_0ln 2lim _1=-?=-→x x x 所以1)1(lim 0) 1ln(ln lim ln 11 _===--→→- e e x x x x x x （17）、2 )1(c o s lim x x x ∞ → x x x x x e x 1 cos ln lim 22 )1(cos lim ∞→=∞→ 而)1 ln(cos lim 2 x x x ∞ →211 cos ln lim x x x ∞→==-=∞→x x x x x 1cos 21sin 1lim 32 2 121lim 3 3-=- ∞→x x x 所以e e x x x x x x 1)1(cos lim 1 cos ln lim 22= =∞→∞→ （18）、x x x x e 1 )(lim ++∞ →)l n (1 lim lim x x e x x x e ++∞ →+∞→= 而)ln(1lim x e x x x ++∞→x x x e x e +=+∞→lim x x x e e +=+∞→1lim 1lim ==+∞→x x x e e 所以x x x x e 1 )(lim ++∞ →e e x x e x x x ==++∞ →+∞ →)ln(1 lim lim (B) 证明lagrange 中值定理证明和cauchy 中值定理 1、设)(x f 满足： （1）、在],[b a 上连续 （2）、在),(b a 上可导 则存在),(b a ∈ξ，使a b a f b f f --=') ()()(ξ 证明：构造辅助函数 )() ()()()()(a x a b a f b f a f x f x ---- -=? 由题设有)(x ?（1）、在],[b a 上连续，（2）、在),(b a 上可导，并且 0)() ()()()()(=---- -=a a a b a f b f a f a f a ? 0)() ()()()()(=-----=a b a b a f b f a f b f b ?，所以)(x ?满足Rolle 中值定理 存在),(b a ∈ξ，使0)(='ξ?，注意到a b a f b f x f x ---'=') ()()()(?，所以0)(='ξ?就是 存在),(b a ∈ξ，使a b a f b f f --=') ()()(ξ 2、设)(x f 、)(x g 满足： （1）、在],[b a 上连续 （2）、在),(b a 上可导，且0)(≠'x g 则存在),(b a ∈ξ，使) () ()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=-- 证明：构造辅助函数 )]()([) ()() ()()()()(a g x g a g b g a f b f a f x f x F ---- -= 由题设有)(x F （1）、在],[b a 上连续，（2）、在),(b a 上可导，并且 0)]()([) ()() ()()()()(=---- -=a g a g a g b g a f b f a f a f a F 0)]()([) ()() ()()()()(=---- -=a g b g a g b g a f b f a f b f b F ，所以)(x F 满足Rolle 中值定理 存在),(b a ∈ξ，使0)(='ξF ，注意到)() ()() ()()()(x g a g b g a f b f x f x F '---'='， 所以0)(=ξF 就是 存在),(b a ∈ξ，使) () ()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=-- 习题3-2 (A) 1-2在书上 3、求下列函数的单调区间和极值 （1）、x x x f ln 2)(2-= 解：014)(=-='x x x f 解得21=x ，当2 1 >x 0)(>'x f 列表如下： （2）、353 151)(x x x f -= 解：0)1()(2 2 =-='x x x f 解得1,0,1221==-=x x x ， 当1- （3）、?????>≤-=0ln 01 )(x x x x e x f x 解：??? ??>-<='0 ln 1 ln 0)(2x x x x e x f x )0(f '不存在 令0)(='x f 解得e x =， 当0< x 或e x > 时0)(>'x f ，单调增加，当e x <<0时0)(<'x f ，单调减少 列表如下： 4、求下列函数的最大值和最小值 （1）、3623 2)(23 +--= x x x x f ]4,4[- 解：0)1)(3(2642)(2 =+-=--='x x x x x f ，解得3,121=-=x x 计算3247 )4(-=-f ， 316)1(=-f ，3 1 10)4(-=f ，15)3(-=f 所以316)1()(max =-=f x f 3 2 47)4()(min -=-=f x f （2）、23)(2 +-=x x x f ]10,10[- 解：解方程0232 =+-x x 得2,1==x x 于是得到函数的定义式 ????? ?? ??>+-=<<-+-=<+-=22 320212310123)(222x x x x x x x x x x x x f 只须求当21< 032)(=+-='x x f ，解得2 3 1=x ，在其他两段函数都是单调增加的 计算132)10(=-f ， 0)2()1(==f f ，41 4)23(=f ，72)10(=f 所以132)10()(max =-=f x f 0)2()1()(m i n ===f f x f （3）、32 )3()(-=x x x f ]4,2[- 解：32 323 131)3(31)3(32)(---+-='x x x x x f 32)3(3)3(2-+-=x x x x 0) 3(3)2(232=--=x x x 解得2=x 计算320)2(-=-f ， 34)2(-=f ，316)4(=f ， 所以316)4()(max ==f x f 320)2()(min -=-=f x f 5、证明方程1+=x e x 只有0=x 一个实数根 证明：设1)(--=x e x f x ，显然有0)0(=f ，如果还有一个实数根a ，则0)(=a f 于是1)(--=x e x f x 在区间],0[a 或]0,[a 上满足Rolle 定理的条件，于是存在ξ介于a ,0之间，使0)(='ξf 。但是当0≠x 时01)(≠-='x e x f ，矛盾 所以方程1+=x e x 只有0=x 一个实数根 6、要做一个带盖的长方形的盒子，其容积为3 72m ，其底边成,2:1问盒子各边长为多少时，盒子所用的材料最省？（就是表面积最小） 解：设盒子各边长为h y x ,,，则有72=xyh ，236,2x h x y == 盒子的表面积为)54(4)72362(2)(2)(22 x x x x x yh xh xy x s +=++ =++= 054 2)(2 =- ='x x x f ，解得3=x ， 由于所求的稳定点唯一，所以就是所求的最小值点 当4,6,3===h y x 时，盒子所用的材料最省。 7、求一个内接于半圆矩形的边长，使该矩形的周长为最大。（圆的半径为R ） 解：设矩形的长为x 2，则宽为22x R - 周长为2224)(x R x x p -+= 02424)(2 2 222 2 =---= --+ ='x R x x R x R x x p ，解得长5 42R x = ，宽为 R 5 1 由于所求的稳定点唯一，所以就是所求的最大值点 当矩形的边长为R y R x 5 1,5 4= =时，周长最大。 8、一艘停泊在海中的军舰，离海岸（垂直距离）为km 9离海岸线上的兵营km 343，今想从军舰上送信到兵营，已知送信人的步行速度为h km /5，划船速度是h km /4，问送信人应该在哪上岸，才能使送信人在最短时间到达兵营？ 解：设在距离兵营x 公里处上岸，且可求得兵营距离军舰到海岸垂直距离点为km 15 则所用的总时间为 4)15(815)(2x x x T -++=，0)15(814) 15(51)(2=-+--='x x x T ])15(81[16)15(2522x x -+=-解得3,1215==-x x 所以，应该在在距离兵营3公里处上岸，能使送信时间最少。 9、求点)1,0(A 到曲线12 2 =-y x 的距离 解：设)1,0(A 到曲线122 =-y x 的距离为d 则2 2 2 )1(-+=y x d 而12 2 =-y x 得2 2 1y x += 于是222)1(1-++=y y d 012][2 =-='y d 得21= y ，2 5=x 唯一的稳定点就是最小距离的点 4641452=+= d 2 6=d (B) 1、试问a 为何值时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+ =在3π =x 处取得极值？ 解；03cos cos )(=+='x x a x f ，当3 π=x 时应该有0121 )3(=-='a f π，解得2=a 并且x x a x f 3sin 3sin )(--='032 3 2)3 (<-=? -=''π f 所以2=a 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+ =在3 π =x 处取得极大值。 2、试证明。如果d cx x ax y +++=23满足条件032 <-ac b ，那么这个函数没有级值 证明：由0232 =++='c bx ax y 解得a ac b b x 612422-±-=，由于032 <-ac b 所以方程0232=++='c bx ax y 没有实数根，而函数是连续的可导的，如果有极值，方程 0232=++='c bx ax y 必有实数根， 矛盾。 3、证明下列不等式 （1）、当0>x ，1≠x 时1ln ->x x x 证明：设辅助函数=)(x ?1ln +-x x x ，则0)1(=? =')(x ?x x ln 11ln =-+ 当1>x 有0)(>'x ?，函数单调增加 所以>)(x ?)1(?就是=)(x ?01ln >+-x x x 即1ln ->x x x 当10< 01ln <+-x x x 即1ln - （2）、当10< e x +->-112 证明：设辅助函数=)(x ?x x x 211ln ++-，则0)0(=? =')(x ?=+--2122x 0]11 1[22 <--x 所以函数单调减少，当10< <++-x x x ，推出x e x x 211-<+-即x x e x +->-112 4、求函数23 2 )6()2()(-+=x x x f 在]3.3[-上的最大值最小值 解：+-+='-2 31 )6()2(3 2)(x x x f )6()2(232 -+x x 0)2(3)6(83 1 =+-=x x x 解的稳定点为6,021==x x 还有不可导的连续点2-=x 计算：323 2436)60()20()0(=-+=f ， 0)2(=-f ，81)3(=-f 3259)3(=f ， 0)6(=f 所以81)3()(max =-=f x f 0)6()2()(m i n ==-=f f x f 5、证明：当1>x 时，x e e x > 1 证明：设辅助函数=)(x ?11 ln -+ x x ，则0)1(=? = ')(x ?01 1122>-=-x x x x 所以函数单调增加，当1 e e x >1 习题三点三 1-2在书上作 3、确定下列曲线的凸性与拐点 （1）、x e x y -=2 解：)2()(x xe x f x -='- 0)24()(2=+-=''-x x e x f x 解得22,2221+=-=x x 列表如下： （2）、2 22 3a x x y += 解： a x a a x a a x y 3313332222222+-=+-+= =+?--='2222)3(23)(a x x a x f 2 22 2) 3(6a x x a + ='')(x f 3222222)3()2(26)3(6a x x x a a x a +??-+0) 3(] [183 22222=+-=a x x a a 解得a x a x =-=21, （3）、35 2 )1(9 5-+=x x y 解：32 )1(3 5 910)(-+='x x x f 0)1(9 10 910)(31=-+=''-x x f 解得0=x 当1>x 0)(>''x f 函数图形凹 当 10< 当 0 列表如下： 4、已知函数的图形上有一个拐点)4,2(，在拐点处切线的斜率为3-，又有a x y +=''6 求此函数 解：06=+=''a x y 解得6 a x -=。由题设12-=a 得并且 b x x y +-='1232 由题设有 32412-=+-b 得 9=b ，于是91232+-='x x y 可设c x x x y ++-=9623，由于拐点是)4,2( 所以418248=++-c 解得2=c 所以所求的函数为29623++-=x x x y 5、在什么条件下，曲线d cx bx ax x y ++++=234没有拐点 解答：c bx ax x y +++=23423 b ax x y 26122++=''……（1） 根的判别式为)83(12963622b a b a -=-=? 当0832 <-b a 时方程（1）没有实数根，曲线没有拐点。 另外当0832 =-b a 时2 )4 (2a x y +=''符号不发生变化 所以4 a x - =不是拐点的横坐标 综合有b a 832 ≤时曲线d cx bx ax x y ++++=2 34没有拐点 6、求下列函数的渐近线 （1）、5 41 2 +-= x x y 解：由于1 )1(1 2+-= x y 及 0)(lim =∞→x f x 所以曲线仅有水平渐近线0=y （2）、3 ) 2(1+= x y 解：由于 0)(lim =∞ →x f x 及∞=-→)(lim 2 x f x 所以曲线有水平渐近线0=y 与垂直渐近线2-=x （3）、x e y 1 = 解：由于 1)(lim =+∞ →x f x ，及∞=+ →)(lim 0 x f x ，与0lim 1=+∞→x e x x ， 所以曲线有水平渐近线1=y 与垂直渐近线0=x ，没有斜渐近线 （4）、1)1(2++ +-=x x y 解：由于 =+∞ →)(lim x f x 1]111[ lim 2 -=-+++∞ →x x x 及=+∞→x x f x )(lim =--++∞→x x x x 1 1lim 2 0]11 [ lim 2=-++∞→x x x 所以曲线有水平渐近线1-=y 没有垂直渐近线0=x ，没有斜渐近线 7、做下了函数的图形 （1）、2 11 x y += 解：求水平渐近线：0=y 求单调区间及极值：0) 1(2)(2 2=+-= 'x x x f 解得00=x 当0 1)0(=f ； 求凸性及凸凹区间： 3222)1(1)2)(2)(2()1(12)(x x x x x f +--++?-=''0)1() 1(33 22=+-x x 解得1,121=-=x x 当1- 1,1(),21,1(- 列表如下： （2）、232+=x y 解：无渐近线 求单调区间及极值：3 1 3 2)(-='x x f 在00=x 不可导 当0 2)0(=f ； 求凸性及凸凹区间： 09 2)(34 <-=''- x x f 是凸函数，无有等于0的点，在0=x 二阶导数也不存在 列表如下： （3）、x x y -=3 解：去定义域为]3,(-∞，求渐近线无； 求单调区间及极值：0326323)(=--= --- -= 'x x x x x x f 解得6=x ，不在 定义域之内，0],3,(>'-∞∈y x ，函数是单调增加的。 求凸性及凸凹区间： x x x x x x f --?+ -+ --= ''3)3(212321321)(03)3(4=--=x x x 解得0=x 当0 列表如下： （4、) 1(4)3(2 --=x x y 解：求渐近线：1=x x x f a x )(lim ∞→=4 1 )1(4)3(lim 2=--=∞→x x x x ])([lim ax x f b x -=∞→=---=∞→]4 1 )1(4)3([lim 2x x x x 45)1(459lim -=--=∞→x x x 斜渐近线：4 5 41-= a y 求单调区间及极值：将函数化简为1 1)5(41-+-= x x y 2 22) 1(44 )1()1(141)(---=--='x x x x f 解得3,110=-=x x 当1- 极大值2)1(-=-f ，极小值；0)3(=f 求凸性及凸凹区间： 3 ) 1(1 )(-= ''x x f 在1=x 不存在 当1 列表如下： 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f 第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质 知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++?? 最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1) 法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0< 而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以 第三章习题 3-1 1、对函数x y sin ln =在区间]6 5,6[ π π上验证罗尔定理 解答：（1、区间]6 5,6[ π π上连续 ； （2）函数x y sin ln =在区间)6 5,6(π π上可导； （3）、2ln 6sin ln )6(-==π πf ，2ln 6 5sin ln )65( -==π πf 所以满足Rolle 定理的条件。且由0sin cos == 'x x y 解得)6 5,6(4π ππξ∈= 2、证明：函数02=++=r qx px y 在任意区间上应用lagrange 中值定理求得的点ξ总是该区间的中点 证明：（1）02=++=r qx px y 在任意],[b a 上连续 ；02=++=r qx px y 在),(b a 上可导；所以满足lagrange 定理的条件。且由02=+='q px y 解得),(2 b a b a ∈+=ξ 所以求得的点ξ总是该区间的中点 3、证明：方程033 =+-c x x 在区间]1,0[内不可能有两个不同的实数根 证明：用反证法，设方程033 =+-c x x 在区间]1,0[内有两个不同的实数根21,x x （1）、函数c x x x f +-=3)(3在],[2x x x 连续 ；（2）、函数c x x x f +-=3)(3 在),(2x x x 可导；（3）、0)()(21==x f x f ， 所以满足Rolle 定理的条件，于是存在]1,0[),(21?=∈x x ξ。使0)(='ξf 但是由033)(2 =-='x x f 解得根为),(121x x x ?±=。矛盾 所以方程033 =+-c x x 在区间]1,0[内不可能有两个不同的实数根 4、若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中 b x x x a <<<<21，证明：在),(31x x 内至少存在一点ξ，使得0)(=''ξf :证明：由于函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中 b x x x a <<<<21，所以函数)(x f 分别在区间],[21x x 与],[32x x 上满足Rolle 定理的条 件，于是存在),(21x x ∈λ。使0)(='λf ，也存在),(32x x ∈?。使0)(='?f 习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】 （1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ； （2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ； （3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??== （三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为 高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中 第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设 解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定 高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 1 / 10 第三章 中值定理与导数的应用 1. 验证拉格朗日中值定理对函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上的正确性。 解：函数()ln f x x =在区间[1,]e 上连续，在区间(1,)e 内可导，故()f x 在[1,]e 上满足 拉格朗日中值定理的条件。又x x f 1 )(= '，解方程,111,1)1()()(-=--= 'e e f e f f ξξ即得),1(1e e ∈-=ξ。因此，拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[1,]e 上是正确的。 2．不求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)(' =x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。 解：函数上连续，分别在区间[3,4][2,3],2],,1[)(x f 上在区间(3,4)(2,3),2),,1(可导， 且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====。由罗尔定理知，至少存在),2,1(1∈ξ),3,2(2∈ξ ),4,3(3∈ξ使),3,2,1( 0)(=='i f i ξ即方程'()0f x =有至少三个实根。又因方程 '()0f x =为三次方程，故它至多有三个实根。因此，方程'()0f x =有且只有三个实根， 分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。 3．若方程 011 10=+++--x a x a x a n n n Λ有一个正根,0x 证明: 方程0)1(1211 0=++-+---n n n a x n a nx a Λ必有一个小于0x 的正根。 解：取函数()1 011n n n f x a x a x a x --=+++L 。0()[0,]f x x 在上连续，在0(0,)x 内可导， 且0(0)()0,f f x ==由罗尔定理知至少存在一点()00,x ξ∈使'()0,f ξ=即方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=L 必有一个小于0x 的正根。 4．设,11<<<-b a 求证不等式： .arcsin arcsin b a b a -≥- 高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 习题3－1 1．填空题 （1）函数x y 2 sin =在区间]2 ,2[π π- 上满足罗尔定理的=ξ ． （2）曲线x e y -=在点=x 处的切线与连接两点)1,0(与)1,1(e 的弦平行． 解 （1）显然函数x y 2 sin =在区间]2 ,2[π π- 上满足罗尔定理的三个条件，所以存在22 ππξ∈（-，），使得()0'=y ξ，即sin 20,0ξξ==． （2） 由于函数x e y -=在区间[01],上连续，(01),内可导， 所以满足拉格朗日定理的条件．故存在01x ∈ （，），使得(1)(0)()10-'=-y y y x ，即1 1e e ξ--=-，解得11ln(e )ξ=--． 2．证明下列恒等式 （1）arctan arccot 2 x x π += ，),(+∞-∞∈x ． （2）3 11 3arccos arccos(34)()22 π--=- ≤≤x x x x ． 证 （1） 令()arctan arccot =+f x x x ，则(,),()0x f x '?∈-∞+∞=，所以()≡f x C （常数）．又(0),2 f π = 故()arctan arccot ,(,)2 f x x x x π =+= ∈-∞+∞． （２） 令3 ()3arccos arccos(34)=--f x x x x ，则11 (),22 ?∈- < 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、要求： 1、罗尔定理，拉格朗日定理应用； 2、洛必达法则； 3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘； 4、简单不等式证明； 5、最值在实际问题中的应用。 二、练习 1. 在区间 [ 1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 ( ). A. 1 B. f ( x ) | x | C. f ( x) 1 x 2 D. f ( x ) x 2 2 x 1 . f ( x) x 2 2. 函数 f ( x) arctan x 在 [ 0 ,1] 上满足拉格郎日中值定理的 值是 ( ). A. 4 B. 4 1 C. 1 D. 4 . 1 1 3. 4 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) ，则方程 f ( x ) 0 有 个零点，这些零点 所在的范围是 ；. 3. 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) ，则方程 f ( x ) 0 有 个零点，这些零点所在 的范围是 . 4. 函数 f ( x ) ln x x 2在(0, ) 内的零点的个数为 . e 5. 曲线 6. 函数 y xe x 的拐点 ，凹区间 ，凸区间 . y ln x 1 x 2 的单调 区间 . 7. 曲线 f ( x) e x 的渐近线为 . x 1 8. 计算： 5 x 4 x 1 1 (1 2 （2） lim ( cos x ) （1） lim x 1 x x ) （3） lim tan 2 x x 1 x e 1 x 0 arctan x x (1 x 2 )1 / 3 1 ； 1 （ 4） lim ； （5） lim （6） lim (csc x ) ； x 0 x ln(1 2 x 2 ) x cos x 1 x 0 x （ 7） lim x 3 (sin 1 1 sin 2 ) ；（ ） lim (tan x ) 2 x ；（ 9） lim x ； e x x 2 x 8 x ln x x 2 9. 证明 2 arctan x arcsin 2 x x 1 . 2 1 x 高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数 第三章 中值定理与导数的应用 1. 验证拉格朗日中值定理对函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上的正确性。 解：函数()ln f x x =在区间[1,]e 上连续，在区间(1,)e 内可导，故()f x 在[1,]e 上满足 拉格朗日中值定理的条件。又x x f 1 )(= '，解方程,111,1)1()()(-=--= 'e e f e f f ξξ即得),1(1e e ∈-=ξ。因此，拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[1,]e 上是正确的。 2．不求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)(' =x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。 解：函数上连续，分别在区间[3,4][2,3],2],,1[)(x f 上在区间(3,4)(2,3),2),,1(可导， 且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====。由罗尔定理知，至少存在),2,1(1∈ξ),3,2(2∈ξ ),4,3(3∈ξ使),3,2,1( 0)(=='i f i ξ即方程'()0f x =有至少三个实根。又因方程 '()0f x =为三次方程，故它至多有三个实根。因此，方程'()0f x =有且只有三个实根， 分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。 3．若方程 011 10=+++--x a x a x a n n n 有一个正根,0x 证明: 方程0)1(1211 0=++-+---n n n a x n a nx a 必有一个小于0x 的正根。 解：取函数()1 011n n n f x a x a x a x --=++ +。0()[0,]f x x 在上连续，在0(0,)x 内可导， 且0(0)()0,f f x ==由罗尔定理知至少存在一点()00,x ξ∈使'()0,f ξ=即方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=必有一个小于0x 的正根。 4．设,11<<<-b a 求证不等式： .arcsin arcsin b a b a -≥- 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 第三章 微分中值定理习题课 一、判断题（每题3分） 1.函数)(x f 在0x 点处可导，且在0x 点处取得极值，那么0)(0='x f .（√） 2.函数)(x f 在0x 点处可导，且0)(0='x f ，那么)(x f 在0x 点处取得极值.（× ） 3.若0x 是()f x 的极值点，则0x 是()f x 的驻点. ( ×) 4.函数()x f 在区间()b a ,内的极大值一定大于极小值 . (×) 5.若()0,(,)f x x a b ''>∈,则()f x '在(,)a b 内单调增加 . （ √ ） 6.0()0f x '=且0()0f x ''<是函数()y f x =在0x 处取得极大值的充要条件.( ×) 7.函数()arctan f x x x = 的图形没有拐点. （ √ ） 8.因为函数y = 0x =点不可导，所以()0,0点不是曲线y = .（ × ） 二、选择题（每题3分） 1.下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（ D ）. A ．x e B ．ln x C ．x D ．21x - 2．对于函数()2 11f x x =+，满足罗尔定理全部条件的区间是（D ）. （A ）[]2,0-； （B ）[]0,1； （C ）；[]1,2- （D ）[]2,2- 3. 设函数()()()12sin f x x x x =--，则方程()0f x '=在 (0,)π内根的个数（ D ） (A) 0个 ; (B)至多1个; (C) 2个; (D)至少3个. 4．已知函数3 ()2f x x x =+在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，使得该定理成立的ξ=（ D ）. （A ）1 3 （B 1（C ） 12 （D 1 5.若函数)(),(x g x f 在区间),(b a 上的导函数相等，则该两函数在),(b a 上（ C ）. A.不相等 B .相等 C.至多相差一个常数 D.均为常数 6.arcsin y x x =- 在定义域内( B ). 大学数学A （1）课后复习题 第一章 一、选择题 1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B .0 )(,1)(x x g x f == C .1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f == 2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .| |)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1 sin )1()(2--= x x x x f 3.极限??? ? ?+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 4.极限x x x x sin lim +∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 5.当0→x 时，下列各项中与 2 3 x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ） A ．)1(3-x e x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=x x f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要 8.设函数?? ? ??<≤--<≤≤≤-=01,110, 21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ） 2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自 动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22 +- ++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过 于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。 【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有：高等数学求极限的常用方法附例题和详解
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