北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》正、余弦定理的综合运用(一)
北师大版高中数学必修五第二章解三角形之余弦定理教案(1)
第二课时 §2.1.2余弦定理一、教学目标1、知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2、过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题3、情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
二、教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程Ⅰ.课题导入 C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B(图1．1-4)Ⅱ.探析新课[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()222 2 2c c c a b a ba ab b a b a b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)同理可证 2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ （由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc ；222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
北师大版高中数学必修五正余弦定理的应用教案
正弦定理、余弦定理的应用（二）
教学目标：进一步巩固正弦定理余弦定理的应用，并渗透数学文化教育，培养学生基本数学
素质。
教学重点：正弦定理与余弦定理的综合应用
教学难点：
教学过程：
一．复习回顾：
1．正弦定理：R C
c B b A a 2sin sin sin === 2．余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bc
a c
b A 2cos 2
22-+= ,cos 22
22B ca a c b -+=⇔ca b a c B 2cos 2
22-+= C ab b a c cos 22
22-+=，⇔ab c b a C 2cos 2
22-+= 二．数学应用
例1在任一△ABC 中求证：
0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a
例2 在△ABC 中，已知3=
a ，2=
b ，B=45 o 求A C 、及c
例3 在△ABC 2sin b A =，求B ∠
例4在锐角△ABC 中，边长1,2,a b ==求边长c 的取值范围。
例5在△ABC 中，若面积222
S =，求C ∠
例6在△ABC 中， BC=a, AC=b, a, b 是方程02322
=+-x x 的两个根，且 2cos(A+B)=1
求（1）角C 的度数 （2）AB 的长度 （3）△ABC 的面积
三．小结
通过本节学习，要求大家在了解正弦余弦定理知识有关数学史，提高爱国热情与数学兴趣。
四．教后感。
高中数学 第二章 解三角形 2.3 解三角形的实际应用举
全方位聚焦正余弦定理的应用正、余弦定理是研究三角形的边和角之间的关系，是解决三角形问题的有力工具和重要手段，下面将对正余弦定理的应用进行全方位扫描.一、合理选用定理解三角形：求解三角形是典型问题，问题涉及三角形的若干几何量，解题时要注意边与角的互化.一般地，已知三角形的三个独立条件（不含已知三个角的情况），应用两定理，可以解三角形，具体可以解决的类型如下：例1．在三角形ABC 中，已知︒===45,2,3B b a ，解此三角形.分析：本题是一类已知两边一对角的解三角形问题，可用正弦定理，也可用余弦定理. 解法一：利用正弦定理，得︒=45sin 2sin 3A ，则23sin =A . 由于b a >，根据大边对大角，得︒=60A 或︒120.当︒=60A 时，得︒=75C ，22645sin 75sin 2sin sin +=︒︒==B C b c ； 当︒=120A 时，得︒=15C ，22645sin 15sin 2sin sin -=︒︒==B C b c . 解法二：利用余弦定理，得◊⋅⋅-+=45cos 32)3()2(222c c ，整理得0162=+-c c ，得226±=c . 当226+=c 时，212cos 222=-+=bc a c b A ，所以︒=60A ，则︒=75C ； 当226-=c 时，212cos 222-=-+=bc a c b A ，所以︒=120A ，则︒=15C . 点评：已知三角形的两边一对角这一类型，是同学们在学习过程中感到最困难的一种类型，这种类型的题，正弦和余弦定理都可以解决.（1）用正弦定理解，往往通过大边对大角这个性质，来判断解的个数；（2）用余弦定理解，一般转化为关于某条边的一元二次方程，利用∆或根的正负性来判断解的个数.二 判断三角形的形状解此类问题时，往往利用正弦或余弦定理转化到边或角，再通过边来判断或角来判断此三角形的形状.例2在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.分析：利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.解1：由扩充的正弦定理：代入已知式2RsinAcosB=2RsinBcosA ，sinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0， 则A-B=0，∴A=B，即△ABC 为等腰三角形。
高中数学第二章解三角形2.1正弦定理与余弦定理2.1.2正弦定理与余弦定理的综合应用课件北师大版必修5
·
4������ 4
题型一
题型二
题型三
题型四
解法二:(利用正弦定理“边化角”) ������ ������ ������ 由 = = = 2������ , 已知条件可化为 sin������ sin������ sin������ 4R2sin2Csin2B+4R2sin2Csin2B=8R2sin Bsin Ccos Bcos C. ∵sin Bsin C≠0,∴sin Bsin C=cos Bcos C, 即cos(B+C)=0. ∵0°<B+C<180°,∴B+C=90°,∴A=90°. 故△ABC是直角三角形. 反思判断三角形的形状时,一般有两种思路:一是转化为三角形 的边与边的关系;二是转化为三角形的角与角的关系.当然有时可 将边与角巧妙结合同时考虑,正弦、余弦定理都可以实现这种边角 关系的转化.注意两种解法的比较.
当 a=6 时 ,由正弦定理 ,得 sin A=
������ sin ������ ������
=
6sin30 ° 3
= 1,
∴ ������ = 90° , 这时C=180°-(A+B)=60°. 当 a=3 时 ,△ABC 为等腰三角形 ,这时 A=B=30°, C=180°-2B=120°. 综上可知 ,C=60°,A=90° ,a=6 或 C=120° ,A=30°,a=3.
b2+c 2-b2 =2b������
2
������ 2 +������ 2 -������ 2
2
2������������ 2 2 2 ������ +������ -������ ������ 2 +������ 2 -������ 2
高中数学第二章解三角形2.1.1正弦定理课件北师大版必修5
中,
sin
=
sin
=
.
sin
【做一做1】
在△ABC 中,若 3a=2bsin A,则角 B 等于
.
解析:根据已知条件及正弦定理可知 3sin A=2sin Bsin A⇔
3
π
2π
3=2sin B⇔sin B= 2 ,所以角 B 为3 或 3 .
π
2π
答案:3 或 3
知识拓展1.正弦定理的证明
Bcos A,又 sin B≠0,则 sin A= 3cos A,即 tan A= 3,又△ABC 为锐角三
π
角形,所以 A= .
3
答案:(1)7∶5∶3 (2)A
探究一
探究二
探究三
探究二
探究四
思维辨析
利用正弦定理解三角形
【例2】 在△ABC中,
(1)若A=45°,B=30°,a=2,求b,c与C.
(2)若B=30°,b=5, c=5 3 ,求A,C与a.
分析:先根据三角形中解的个数的判断方法得出解的情况,再求
出各元素的值.
解:(1)由三角形内角和定理得,
C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°.
sin
由正弦定理得,b=
sin
1
=
sin 105°=sin(60°+45°)=
(5)在△ABC中,若 cos = 1 + cos2 ,则△ABC为等腰三角形或直
角三角形. (
)
答案:(1)
(2)
(3)× (4)× (5)
探究一
探究二
探究一
探究三
探究四
思维辨析
高中数学：正余弦定理在解决三角形问题中的应用北师大版必修5
正余弦定理在解决三角形问题中的应用知识点归纳：1．正弦定理：txjy形式一：；形式二：；；；（角到边的转换）形式三：，，；（边到角的转换）形式四：；（求三角形的面积）解决以下两类问题：1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。
若给出那么解的个数为：无解（）；一解（）；两解（）；txjy2．余弦定理：txjy形式一：，，形式二：，，，（角到边的转换）解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）txjy3、角平分线定理：；其中BD为角B的角平分线。
txjy典型例题分析：一、判定三角形的形状例1 根据下列条件判断三角形ABC的形状：(1)若a2tanB=b2tanA；解：由已知及正弦定理得(2RsinA)2= (2RsinB)22sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B2cos(A + B)sin(A – B)=0∴ A + B=90o 或 A – B=0所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.(2)b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC;解: 由正弦定理得sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC∵ sinBsinC≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC,即cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o, A=90o,故△ABC是直角三角形.(3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1.解：(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1 [2sincos+ sin(A + B)] – [2coscos+ 2cos2- 1]=0[2sincos+ sin(A + B)] – 2cos cos- 2sin2=0(sin- cos)(cos- sin)=0sin(-)sinsin=0△ABC是Rt△。
北师大版高中数学必修五课件第二章《解三角形》应用举例(一)
C处测得A处的俯 角 50 1'. 已知铁
0
塔BC 部分的高为 27.3m, 求出山高C D (精确到1m).
6
例5、如图, 一艘海轮从A出发, 沿北偏东75 的方向 航行67.5nmile后到达海岛B, 然后从B出发, 沿北偏 东32 的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次 航行直接从A出发到达C , 此船应该沿怎样的方向 航行, 需要航行多少距离(角度精确到0.1 , 距离精 确到0.01nmile ).0 00 Nhomakorabea7
课时小结：解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画 出示意图 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已 知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建 立一个解斜三角形的数学模型 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地 解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际 意义，从而得出实际问题的解
8
0 0
3
例2、如图, A, B两点都在河的对岸(不可到 达), 设计一种测量A, B两点间距离的方法.
4
例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物, A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑 物高度AB的方法.
5
例4、如图, 在山顶 铁塔上B处测得地 面上一点A的俯角
54 40' , 在塔底
0
北师大版高中数学必修5 第二章《解三角形》
1
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用 :
(1)测量距离; (2)测量高度; (3)测量角度.
包含不可达到的点
2
例1 、如图, 设A, B两点在河的两岸, 要测量 两点之间的距离.测量者在A的同侧, 在所 在的河岸边选定一点C , 测出AC的距离是 55m, BAC 51 , ACB 75 , 求A, B两点 间的距离(精确到0.1m).
2.3.2解三角形的综合应用 课件(北师大版必修5)
=5 ������.
导.学. 固. 思
【解析】 (1)f(x)=cos - ������sin =2( cos - sin )=2cos( + ),
������ ������ ������ ������ ������
������
������
������
������
������
������
2.3.2解三角形的
综合应用
导.学. 固. 思
1.结合三角函数性质,深入理解正、余弦定理.
2.初步解决正、余弦定理与平面向量、三角恒等变换相
结合的综合性问题.
导.学. 固. 思
我们学完了正弦定理、余弦定理之后,又对正、余弦 定理的应用举例做了了解,如仰角、俯角、方位角这些涉 及角度的问题, 我们还会利用正、余弦定理处理与距离、 高度有关的问题,其实这些问题都离不开解三角形,这节 课我们就一起来研究正、余弦定理在解三角形中的综合 应用吧!
=
������������
,
������
������������² ������������������∠������������������ ������������������������������������������° ������������× ������ ∴AB= = = ������ ������������������∠������ ������������������������������°
������
∴cos A= ,sin A= .
������ ������
������
������
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
导.学. 固. 思
高中数学第二章解三角形2.1.2余弦定理课件北师大版必修5
1
2
3
4
5
1.在△ABC 中,已知 a=5,b=4,C=120°,则 c 的长为(
A. 41
C. 41或 61
)
B. 61
D. 21
1
解析: 因为 c2=a2+b2-2abcos C,所以 c2=52+42-2×5×4× - 2 =61,即
c= 61.
答案:B
1
2
3
4
5
2.在△ABC中,若bcos A=acos B,则△ABC是(
角A,B,C的对边,且b2,c2是关于x的一元二次方程x2-(a2+bc)x+m=0的
两根.
(1)求角A的大小;
(2)若 a= 3 ,设B=θ,△ABC的周长为y,求y=f(θ)的最大值.
分析:(1)利用余弦定理求出角A;(2)先利用正弦定理将△ABC的周
长y表示成关于θ的函数,再结合三角函数的性质进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)在△ABC中,依题意有b2+c2=a2+bc,即b2+c2-a2=bc,
所以 cos
2
+2 -2
A=
2
1
2
= ,
π
3
又因为 A∈(0,π),所以 A= .
π
3
(2)由 a= 3,A= ,及正弦定理得
sin
=
所以 b=2sin B=2sin θ,c=2sin C=2sin
1 .2
余弦定理
学 习 目 标
1.掌握余弦定理及其证明.
2.会用余弦定理解决两类解三角形问题.
3.能综合应用正弦定理与余弦定理解决三角形
高中数学北师大版必修五《余弦定理1》课件
计算题:
1.在△ABC中，若CB=7，AC=8， AB=9，求AB边的中线长。
2.在△ABC中,已知b=4,c= 15 , C=60°,
求边a.
已知两边及一边的对角时，我们知
道可用正弦定理来解三角形，想一想 能不能用余弦定理来解这个三角形？
如：已知b=4,c= ,C=60°求边a.
北师大版 高中数学
例1：在ABC中， 已知a＝7，b＝5，c＝3， (1)求B.
(2)求SABC
(3)判断ABC为锐角三角形，直角三角 形，还是钝角三角形？
例 ２：在ABC中，
已知a＝ 2 3 ，c＝ 6 2 ，B＝ 45，求b和A.
练习1: ΔABC三个顶点坐标为 A(6,5)，B(－2,8), C(4,1)，求A.
练习2:在ABC中,已知a，b，c成等差数列.
求证：
0B
3
练习3:在△ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，
求AB边的中线长。
例3:在△ABC中,已知b=4,c= 15, C=60°, 求边a.
作业：
1、在△ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求 AB边的中线长。
2、在△ABC中， 求证:c=acosB+bcosA
北师大版 高中数学
余弦定理
1. 说出正弦定理的内容,它的作用是什么?
正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦值 的比相等. 即:
a b c 2R sin A sin B sin C
(1)已知两角和任一边,求其它两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而可求出其他的边和角.Fra bibliotek谢谢大家
定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边平方
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b a c 2 ac cos B
2 2 2
变形
c a b 2 ab cos C
2 2 2
2 ca a b c
2 2 2
在 ABC 中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时， 经常用到，要记熟并灵活地加以运用：
2 ab
A B C ; sin( A B ) sin C , cos( A B ) cos C
sin A a 2R , sin B b 2R , sin C c 2R
3
sin A : sin B : sin C a : b : c
余弦定理：
a b c 2 bc cos A
2 2 2
cos A cos B cos C
b c a
2 2
2
2 bc c a b
北师大版高中数学必修5第 二章《解三角形》
1
知识目标：1、三角形形状的判断依据； 2、 利用正弦、余弦定理进行边角互换。 能力目标：1、 进一步熟悉正、余弦定理； 2、 边角互化；3、判断三角形的形状； 4、证明
三角形中的三角恒等式。
教学重点：利用正弦、余弦定理进行边角互 换。 教学难点：1、利用正弦、余弦定理进行 边 角互换时的转化方向；2、三角恒等式证 明中结论与条件之间的内在联系。
2 2
8
问题3： 在三角形中,已知(a+b)(a- b)=c(b+c),求角A.
A c
解：条件整理变形得
b
b c a bc
2 2 2
B
a
C
即
b c a 2 bc
2
2
2
1 2
cos A
1 2
A=120 0
动手实践：在ABC中，已 知 2 2 2
a b c
2 ac ,求角B.
c sin C
2R
得
b
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， 2 将此式 代入 b =a • c 得
2
B
a
C
（2RsinB）=（2RsinA）（2RsinC）
即 sin B=sinA • sinC
2
7
变式2： 在ABC中，已知
sin B sin C sin A （ 2 sin B sin A ） 求角C.
2 2 2 2
a b 或 c a b 0 a b或 c a b ABC 为等腰三角形或直角三 角形。
2 2 2 2 2 2 2
2
法二：由 a cos A b cos B 得
2 R sin A cos A 2 R sin B cos B sin 2 A sin 2 B
sin A B 2 cos C 2 , cos A B 2 sin C 2
4
二、例题分析
问题1：
在 ABC 中， 1 .已知 b 8， c 3， A 60 , 求 a ; 2 .已知 a 20 , b 29 , c 21 , 求 B ; 3 .已知 a 3 3 , c 2 , B 150 , 求 b . 4 .已知 ABC 的面积为 b 2, 求 C 3，且 a 2 3,
A B
11
（2） a cos A b cos B 解 ： ） a cos A b cos B （2
a ( b c a
2 2 2
) b (
2 2
a c b
2 2
2
)
a c a b c b 0
2 2 4 4
2 bc
2
2 ac
( a b )( c a b ) 0
13
当△ABC为钝角三角形时（c>b>a）
a b c 0
2 2 2
当△ABC为锐角三角形时（c>b>a）
a b c 0
2 2 2
当△ABC为锐角三角形时
a 2 b 2 c 2 0 2 2 2 b c a 0 2 2 2 c a b 0
2
一.复习回顾：
1、正弦定理：
a sin A
b sin B
c sin C
2R
（其中：R为△ABC的外接圆半径） 2、三角形面积公式： 1 1 1 S ABC bc sin A ca sin B ab sin C 2 2 2 3、正弦定理的变形：
a 2 R sin A , b 2 R sin B , c 2 R sin C
2 2 2
2 ca
c a b 2a
B
2
A
c b D a
2a
2
2a
a 左边
C
10
2a
变式 2：根据所给的条件，判
断 ABC 的形状。
（1 a cos B b cos A ）
（2） a cos A b cos B
解 ： ） a cos B b2 cos A 2 （1 2 2 2 2 a c b b c a a ( ) b ( ) 2 ac 2 bc
2 A 2B或 2 A 2B
即 A B或 A B
2
12
三、已知三角形形状， 讨论边的取值范围。
1、 ABC 的三边为 a b c a , b , c , b c a c a b
2 2 2
2 、当△ABC直角三角形时 c a b （c>a>b）
得
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， 将此式 代入 2b=a+c 得 2•2RsinB=2RsinA+2RsinC 即 2sinB=sinA+sinC
6
在ABC中，已知b2 =a • c， 变式1：
证明：sin2B=sinA • sinC.
证明：由
A c
a sin A
b sin B
9
变式1：在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的 对边，试证明：a=bcosC+ccosB
a b c
2 2 2
证明：由余弦定理知： C cos
2 ab
右边= b
2
， B cos
2
c a b
2 2
2
2 ca
2
a b c
2 2
2
c
2
c a b
2
2 ab
a b c
2a 2b a c b b c a a b ABC 为等腰三角形。
2 2 2 2 2 2
2
2
法二：由 a cos B b cos A 得
2 R sin A cos B 2 R sin B cos A sin A cos B sin B cos A 0 即 sin（ A B ） 0
14
思考题：a ,a+1,a+2 构成钝角三角形， 求a 的取值范围。
教学反思：
15
练习题答案: 1. 7; 150°
2. 90°;
3. 7;
4.30°或
5
问题2： 在ABC中，已知2b=a+c，证明：
A c b
2sinB=sinA+sinC
引：能找到三角形各边与对角正弦的关系吗？ 导：如何利用正弦定理证明以上关系？
B
a
C
证明：由
a sin A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b sin B
c sin C
2R