高等数学第3版(张卓奎王金金)第三章习题解答

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高等数学第三册教材答案

高等数学第三册教材答案第一章：函数与极限1. 函数的概念与性质2. 极限的概念与性质3. 数列极限4. 函数极限第二章：导数与微分1. 导数的概念与性质2. 基本导数公式3. 高阶导数4. 微分的概念与性质第三章：一元函数微分学1. 可导函数与连续函数的关系2. 导数的运算法则3. 高阶导数的应用4. 幂指函数的微分第四章：函数的积分学1. 定积分的意义与性质2. 不定积分3. 积分的运算法则4. 牛顿-莱布尼茨公式第五章：定积分的应用1. 几何应用2. 物理应用3. 统计应用4. 应用题解析技巧第六章：多元函数微分学1. 多元函数的极限与连续2. 偏导数与全微分3. 隐函数与参数方程的微分4. 多元函数的极值与条件极值第七章：多元函数积分学1. 二重积分的概念与性质2. 三重积分的概念与性质3. 曲线与曲面的积分4. 应用题解析技巧第八章：无穷级数1. 数项级数2. 幂级数3. 函数项级数4. 序列与函数项级数的收敛性第九章：常微分方程1. 方程与解的概念2. 一阶常微分方程3. 二阶常微分方程4. 齐次与非齐次常微分方程第十章：高级数学的应用1. 现实生活中的数学模型2. 数学在科学与工程中的应用3. 数学在经济学中的应用4. 数学在物理学中的应用以上是《高等数学第三册教材》的答案概述，涵盖了每个章节的主要内容和重点。

这些答案有助于学生巩固对每个主题的理解，并通过实际的应用题目来提高解题能力。

希望这份答案可以帮助你更好地掌握高等数学知识。

高等数学第3版(张卓奎王金金)第七章习题解答

习题7-11. 已知函数22(,)tanxf x y x y xy y=+-，试求(,)f tx ty ．解 ()()()()222222(,)tan(tan )(,)tx xf tx ty tx ty tx ty t x y xy t f x y ty y=+-=+-=． 2. 已知函数()(,)(),(2,3),-=++x y f x y x y f f x y y 求，．解 ()1(2,3)=,=(2)5x f f x y y x y ++，．3. 已知()22(,),+=-yf x y x y f x y x求，．解令 , y x y u v x +==⇒ , 11u uvx y v v==++，则 ()2221(,)111u v u uv f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，故 ()2(1) , (1)1x y f x y y y-=≠-+，． 4. 求下列各函数的定义域，并画出定义域的图形：（1）ln()=z xy ；（2）23z =（3）ln()z y x =- （4）=z ；（5）u =R >r >0）;解（1）{}(,)0,00,0>><<x y x y x y 或；（2）{}222(,)24,x y x y x y≤+≤>；（3）0y x ->，0x ≥且2210x y -->，故函数的定义域为，{}22(,)0,1D x y y x x y =>≥+<．（4）2222(,)1⎧⎫⎪⎪+≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭x y x y a b ．（5）22220R x y z ---≥且22220x y z r ++->，故函数的定义域为{}22222(,,)D x y z r x y z R =<++≤．5. 求下列各极限：（1）22011limx y xyx y →→-+；（2）00x y →→；（3）220sin()lim →→x y xy x y ；（4）222222001cos()lim ()x y x y x y x y e →→-++；解（1）2211lim=1x y xyx y→→-+；（2）0000014x x x y y y →→→→→→-；（3）22200sin()1sin()1limlim 2x x y y xy xy x y x xy →→→→⎡⎤=⋅=⎢⎥⎣⎦ （4）22222224222200001cos()11cos limlimlim 1lim 02()x y xyx x t t y y x y t t tt x y ee →→→→→→-+-=⋅=⋅=+ 6. 从012lim (,0)0,lim (,)25→→==x x f x f x x ，能否断定00lim (,)→→x y f x y 不存在？答因为函数(,)f x y 沿不同路径的极限不相等，所以极限0lim (,)→→x y f x y 不存在．7. 函数2222y xz y x+=-在何处是间断的？解为了使函数的表达式有意义，需要220y x -≠，所以曲线220y x -=上的点均是函数2222y xz y x+=-的间断点．8. 证明：极限00limx y x yx y →→+-不存在。

考研高等数学教材答案

考研高等数学教材答案
教材：《高等数学》（第三版）
答案版本：参考答案
引言：
在考研备考过程中，高等数学是一门重要的学科。

为了更好地帮助
广大考生对高等数学知识点进行复习和巩固，本文提供了《高等数学》（第三版）教材的答案。

考生可以参考本文答案，结合教材进行自我
检测，以达到更好的备考效果。

第一章微分学
1. 函数、极限与连续
答案：略
2. 导数与微分
答案：略
3. 高阶导数与隐函数、参数方程的微分
答案：略
......
第二章积分学
1. 不定积分
2. 定积分及其应用
答案：略
3. 定积分的计算
答案：略
4. 微积分基本定理与换元积分法答案：略
......
第三章级数
1. 数项级数
答案：略
2. 幂级数
答案：略
3. 函数项级数
答案：略
......
第四章常微分方程
1. 微分方程基本概念与初等解法
2. 可降阶的高阶线性微分方程答案：略
3. 高阶线性微分方程的解法答案：略
......
第五章多元函数微分学
1. 二元函数微分学
答案：略
2. 多元函数微分学
答案：略
3. 隐函数与参数方程
答案：略
......
第六章无穷级数与函数展开1. 广义积分
答案：略
2. 无穷级数
......
结语：
本文提供了《高等数学》（第三版）教材答案的相应章节，以帮助考生在备考过程中进行自我检测，巩固知识点。

考生可以结合教材进行学习和复习，加深对数学知识的理解和掌握。

祝愿广大考生在考研中取得优异成绩！。

高数上册第三章微分中值定理和导数的应用习题答案

《高等数学教程》第三章习题答案习题3-1 (A)1. 34=ξ 2. 14-=πξ习题3-2 (A)1. (1)31 (2) 81- 1)12()11()10(1)9(31)8(21)7()6(21)5(1)4(3)3(31e e --∞习题3-2 (B)1. n a a a e e 21)8(1)7(0)6(2)5(21)4(32)3(1281)2(41)1(--2. 连续4. )(a f ''5. )0()1(g a '=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+''≠--+'='0]1)0([210]c o s )([]s i n)([)()2(2x g x x x x g x x g x x f(3) 处处连续.习题3-31. 432)4()4(11)4(37)4(2156)(-+-+-+-+-=x x x x x f2. 193045309)(23456+-+-+-=x x x x x x x f3. )40(,)(cos 3]2)()[sin sin(31tan 4523<<+++=θθθθx x x x x x x4.)10()]4(4[16!4)4(15)4(5121)4(641)4(412432<<-+---+---+=θθx x x x x x5. )10()(!)1(2132<<+-++++=θn nxx O n x x x x xe6. 645.1≈e7. 430533103.1;3090.018sin )2(1088.1;10724.330)1(--⨯<≈⨯<≈R R8. 121)3(21)2(23)1(-习题3-4 (A)1. 单调减少2. 单调增加3. .),23()23,()1(内单调下降在内单调上升；在+∞-∞.),2[]2,0()2(内单调增加在内单调减少；在+∞ .),()3(内单调增加在+∞-∞.),21()21,()4(内单调增加在内单调减少；在+∞-∞ .),[]0[)5(内单调下降在上单调上升；，在+∞n n7. (1) 凸 (2) 凹（3）内凸内凹，在在),0[]0,(+∞-∞ （4）凹 8. ），（内凹，拐点内凸，在）在（82),2[]2,(1-+∞-∞ ），（内凹，拐点内凸，在）在（222),2[]2,(2e+∞-∞ 内凹，无拐点）在（),(3+∞-∞），（），（：内凹，拐点，内凸，在），，）在（2ln 1;2ln 1]11[1[]1,(4--∞+--∞ ），（内凸，拐点内凹，在）在（3arctan 21),21[]21,(5e +∞-∞ ），（凹，拐点），、凸，在、）在（001[]0,1[]1,0[]1,(6∞+---∞ 9. 29,32=-=b a10. a = 3, b = -9, c = 811. a = 1, b = -3, c = 24, d = 16习题3-4 (B)1. .)1,21(),1()21,0()0,()1(内单调增加在内单调减少；、、在∞+-∞.]22,32[]32,2[)2(内单调下降在内单调上升；在πππππππ+++k k k k .],32[),[]32,()3(内单调下降在内单调上升；、在a a a a ∞+-∞ 2. .1)3(10)2(1)1(是有一个实根时有两个实根时无实根ea e a e a =<<>3. .)2,0(内只有一个实根在π8. .9320时及当=≤k k 9. 在）（凹，拐点凹，在2,),[],(a b b b +∞-∞ 12. 82±=k 习题3-5 (A)1. .1)2(,5)0()1(==y y 极小值极大值.0)0(,4)2()2(2==-y e y 极小值极大值.25)16(,1)4()3(==y y 极小值极大值.205101)512()4(=y 极大值.45)43()5(=y 极大值.0)0()6(=y 极小值 (7) 没有极值. .)()8(1e e e y =极大值.3)1()9(=y 极大值.0)5()1(,18881)21()10(3==-=y y y 极小值极大值2. .14)2(,11)3()1(-==y y 最小值最大值.22)2ln 21(,2)1()2(1=-+=-y e e y 最小值最大值.2ln )41(,0)1()3(-==y y 最小值最大值3. 提示：可导函数的极值点必为驻点，.在题设条件下无驻点所以可证明y '4. .29)1(-=y 最大值5. .27)3(=-y 最小值6. .3)32(,2为极大值==f a7. .21,2-=-=b a8. 长为100m ，宽为5m.9. .1:1:;22,233===h d v h v r ππ 10. .44ππππ++aa ，正方形周长为圆的周长为11. .3843a a h π时，最小体积为锥体的高为=12. .22.1.776小时时间为公里处应在公路右方13. .6000)2(1000)1(==x x14. .45060075.3元件，每天最大利润为元，进货量为定价为 15. .167080,101利润=p习题3-5 (B)1. 1,0,43,41==-==d c b a 2. x = 1为极小点，y (1) = 1为极小值3. 当c = 1时，a = 0，b = -3，当c = -1时，a = 4，b = 5.4. 296)(23++-=x x x x P5. (1) f (x ) 在x = 0处连续；(2) 当ex 1=时，f (x ) 取极小值；当 x = 0时f (x ) 取极大值. 6. 310=x 当时，三角形面积最小7. 323)2()(11)1(032=--=-l x x x x y 8. .1222-≥<b b b b 时为，当时为当 9. 400 10.bc a 2 11. c a e bd L ae bd q -+-=+-=)(4)(,)(2)1(2最大利润eqedd -=η)2( ed q 21)3(==得当η 12. 2)2()4(25)1(=-=t t x 13. 156250元14. (1) 263.01吨 (2) 19.66批/年（3）一周期为18.31天（4）22408.74元15. 2)2()111(1)()1(-+-+=e n n n n M n16. 提示：.)1()1(ln )1()(22是极小值，证明令f x x x x f ---=习题3-6 (A)1. (1) x = 0, y = 1; (2) x = -1, y = 0; (3) x = -1, x = 1, y = 0 ; (4) x = 1, x = 2, x = -3.2. 略习题3-6 (B)1. ex y e x 1,1)1(+=-=（2）x= -1,x=1,y= -2 （3）y=x, x=0 （4）y= -2, x=0 4121,21)5(-=-=x y x2. 略习题3-7 (A)1. k=22. x x k sec ,cos ==ρ3. 02sin 32t a k =4. a a k t 4,41,===ρπ 5. 233)22ln ,22(处曲率半径有最小值- 习题3-7 (B)1. 略2. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)2(),2(,332323132323131x a y y a x axyR 曲率圆心3. 8)2()3(22=++-ηξ4. 约1246 (N) [提示：作匀速圆周运动的物体所受的向心力为Rmv F 2=]5. 16125)49()410(22=-+--ηπξ 习题3-81.19.018.0<<ξ 2. 19.020.0-<<-ξ 3. 33.032.0<<ξ 4. 51.250.2<<ξ总复习题三一. (1)B (2)B (3)B (4)D (5)C (6)B (7)C (8)B (9)C (10)C] 二. 25)8(/82)7()0,1()6(3)5(63)4()22,22()3(2ln 1)2(2)1(3s cm π+--x x x xeyx y 4)1(,)1(4)10()9(2222+++=三. 9)3(0)2(3)1(,7541,6,50,40,31,221,123---e⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-''≠++-'='-0)1)0((210)1()()()()1(,82x g x x e x x g x g x x f x上连续在),()()2(+∞-∞'x f 9, 略四、证明题和应用题 6．)027.0,025.0()2(450449)1(7．)2,2(b a P8．12ln 31,2ln 3121-+ 9．%82.0%13)3(173)2(20)1(总收益增加，时，若价格上涨当=-p pp10．略。

高数(上)第三章复习题(含参考答案)

高数上第三章复习题1. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cotξ=0.由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈.因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.2. 证明: 若函数.f (x )在(-∞, +∞)内满足关系式f '(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x .证明令x ex f x )()(=ϕ, 则在(-∞, +∞)内有0)()()()()(2222≡-=-'='xx x x e e x f e x f e e x f e x f x ϕ, 所以在(-∞, +∞)内ϕ(x )为常数. 因此ϕ(x )=ϕ(0)=1, 从而f (x )=e x . 3. 用洛必达法则求下列极限:(1)xe e xx x sin lim0-→-;解2cos lim sin lim 00=+=--→-→xe e x e e x x x x x x . (2)22)2(sin ln lim x x x -→ππ;解 812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ.(3)xx x x cos sec )1ln(lim20-+→;解 x x xx x x x x x x x 22022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim -=-+=-+→→→(注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2)1sin lim )sin (cos 22lim 00==--=→→xxx x x x x . 4. 证明不等式：当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++;解设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的.因为0)1ln(1)11(11)1ln()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x xx xx xx x x x x f ,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01)1ln(122>+-+++x x x x ,也就是221)1ln(1x x x x +>+++.5. 判定曲线y =x arctan x 的凹凸性: 解21arctan xx x y ++=',22)1(2x y +=''.因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =x arctg x 在(-∞, +∞)内是凹的.6. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1) y =xe -x ;解 y '=e -x -x e -x , y ''=-e -x -e -x +x e -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2. 因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2). (2) y =ln(x 2+1); 解122+='x x y ,22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1.列表得可见曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1,ln2).7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.证明设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0. 8. 求数列}{n n 的最大项. 解令xx x x x f 1)(==(x >0), 则x x x f ln 1)(ln =,)ln 1(1ln 11)()(1222x xx x x x f x f -=-='⋅,)ln 1()(21x x x fx -='-.令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为当0<x<e时, f'(x)>0; 当x>e时, f'(x)<0, 所以唯一驻点x=e 为最大值点.因此所求最大项为333max{=.,2}3。

张卓奎、王金金-高等数学第3版(上)第三章本章提要

x x
x
渐近线
若 lim x x0
f
(x)
，则直线
x
x0 是曲线
y
f
(x) 的垂直渐近线；
若 lim f (x) A ，则直线 y A 是曲线 y f (x) 的水平渐近线； x
若 lim f (x) k, lim[ f (x) kx] b ，则直线 y kx b 是曲线 y f (x) 的斜渐近线。
0 型满足条件（1），（2）（3），且其中 B=0，则 lim f (x) lim f (x) A（或）
0
xa F (x) xa F (x)
型满足条件（1），（2）（3），且其中 B= ，则 lim f (x) lim f (x) A（或）
xa F (x) xa F (x)
其它 0 , , 1 , 00, 0 可化为 0 型或型，将 x a 改为 x 时结论 0
第三章微分中值定理与导数的应用
本章分三部分
微分中值定理
洛必达法则
函数的性态
微分中值定理
三个条件（1）在[a, b] 上连续，（2）在 (a, b) 内可导，（3） f (a) f (b) 。
罗尔中值定理函数 f (x) 满足（1），（2），（3），则在 (a,b) 内至少存在一点，
微分中值定理
泰勒公式 f (x) 具有 n 1阶导数，则
麦克劳林公式
n
f (x)
k 0
f
(k ) (x0 k!
)
(
x
x0
)k
f (n1) ( ) (n 1)!
(
x
x0
)n1
,

在 x 与 x0 之间。

高等数学第3版（张卓奎王金金）第六章习题解答

⾼等数学第3版（张卓奎王⾦⾦）第六章习题解答习题 6－11．设2=-+u a b c ， 3=-+-va b c ．试⽤a 、b 、c 表⽰23-u v ．解 23-u v =5a －11b ＋7c ．2．试⽤向量证明：三⾓形两边中点的连线平⾏且等于底边的⼀半．解设三⾓形ABC 中，E 是BC 的中点， F 是AC 的中点（图6－1），则11,,22AE AB AF AC == ⼜ ,,EF AF AE BC AC AB =-=- 所以 11()22EF AC AB BC =-=，图6－1 即EF 平⾏且等于底边BC 的⼀半。

3．求平⾏于向量43=-a i k 的单位向量．解所求单位向量为{}14,0,35±，即43{,0,}55-和43{,0,}55-． 4．求点M (-3, 4 ,5)到各坐标轴的距离．解过M 点做与x 轴垂直相交的直线，其交点坐标为 (-3,0,0)，所以，点M 到x 轴=M 到y=Z 轴5=．5．在yOz ⾯上，求与三点A (3,1,2)、B (4,-2,-2)和C (0,5,1)等距离的点．解设点(0,,)P y z 与A B C 、、三点等距离，则 222 PA PB PC ==, 即 222222222223(1)(2)4(2)(2)(5)(1)4(2)(2)y z y z y z y z ?+-+-=+--+--??-+-=+--+--??，解⽅程组得，1,2y z ==-，故所求点为(0,1,2)-．6．求证以1M (4,3,1)、2M (7,1,2)、3M (5,2,3)三点为顶点的三⾓形是⼀个等腰三⾓形．解因为{}{}{}1213233,2,1,1,1,2,2,1,1M M M M M M =-=-=-，则13M M 236M M ==故三⾓形123M M M 是⼀个等腰三⾓形．A B FC E7．已知两点1M ,1)和2M (3,0,2)．计算向量12M M 的模、⽅向余弦和⽅向⾓．解因为{}121,M M =-，所以模 122M M =；⽅向余弦分别为 1cos ,2α=-cos ,2β=-1cos 2γ=；⽅向⾓分别为23π，34π，3π． 8．已知向量447=-+a i j k 的终点在点B (2,-1,7)，求这向量起点A 的坐标．解设A 点坐标为(,,)x y z ，则AB ={}{}2,1,74,4,,7x y z ----=-，解得2,3,0x y z =-==，故A (－2，3，0)．9．设358247=++=--m i j k,n i j k 和54=+-p i j k ．求向量43=+-a m n p 在y 轴上的分向量．解由于4(358)3(247)(54)=+++---+-a i j k i j k i j k 13715=+i j +k 故a 在y 轴上的分向量为7j ．10．设a ＝(1，4，5)，b ＝(1，1，2)，求λ使λ+ab 垂直于λ-a b ．解由于两个向量垂直，所以 2222()()4260λλλλ+?-=-=-=a b a b a b ，解得7λ=±．11．设质量为200kg 的物体从点1M (2，5，6)沿直线移动到点2M (1，2，3)，计算重⼒所作的功（长度单位为m ，重⼒⽅向为z 轴负⽅向）．解由于位移{}121,3,3M M =---s =，重⼒{}0,0,200g =-F （298/g m s =），所以, 重⼒所作的功{}{}0,0,2001,3,36005880W g g J =?-?---==F s =．习题 6－21．设32,2=--=+-ai j k b i j k ，求 (1) ?a b 及?a b ； (2) a 与b 的夹⾓的余弦．。

高等数学第3版(张卓奎王金金)第十一章习题解答

第十一章微分方程习题11－11．说出下列各微分方程的阶数：（1）20dy dy x y dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；（2）220d Q dQ Q L Rdt dt C -+=；（3）220xy y x y '''''++= ；（4）()d (76)0x y y x y dx ++-=；（5）2sin y y y x '''++= ；（6）2d sin .d ρρθθ+= 解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶．2．指出下列各函数是否为所给微分方程的解：（1）22 , 5;xy y y x '==（2）0 , 3sin 4cos ;y y y x x ''+==-（3）221, ;y x y y x''=+=（4）21221 , sin cos .2x x d y y e y C x C x e dx +==++解：（1）∵ 10 y x '=，代入方程得 21025x x x ⋅=⋅∴25y x =是方程的解．（2）∵ 3cos 4sin ,3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+，代入方程，得()()3sin 4cos 3sin 4cos 0y y x x x x ''+=-++-= ∴ 3sin 4cos y x x =-是方程的解．（3）∵ 2312,y y x x '''=-=，代入方程，得 23221x x x≠+ ∴1y x=是方程的解．（4）∵ 21212211cos sin ,sin cos 22x x dy d y C x C x e C x C x e dx dx =-+=--+，代入方程，得 121sin cos 2x C x C x e ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭121sin cos 2x x C x C x e e ⎛⎫++= ⎪⎝⎭∴121sin cos 2x y C x C x e =++是方程的解．3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：（1）()2222 , ;x y y x y x xy y C '-=--+= （2）()220 , ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-==解：（1）在二元方程22 x xy y C -+=的两边同时对x 求导，得220x y xy yy ''--+=移项后即得 ()22 x y y x y '-=-故二元方程22x xy y C -+=所确定的函数是所给微分方程的解．（2）在 ln()y xy =两边对x 求导，得11 ()y y y xy xy x y '''=+=+，即 yy xy x'=- ()()()()()232223122 y xy x y y xy xy y yxy xy xyy xy x xy x xy x ''--+-'--+-+-''===---，代入微分方程，得()()3223222()20xy xy xyy y yxy x x y xy x xy xxy x xy x -+--⋅+⋅+⋅-⋅=---- 故 ln()y xy =所确定的函数是所给微分方程的解．4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件：（1）2220 , |1;x x xy y C y =-+==（2）()1200 , |0 , |1;x x x y C C x e y y =='=+== （3）1200cos sin , | 1 , |.t t x C t C t x x ωωω=='=+== 解：（1）∵ 0 |1x y ==∴222 =0011C -+=即 221x xy y -+=（2）()122 x y C C x C e '=++，由00 |0 , |1x x y y =='==，得 11201C C C =⎧⎨+=⎩。

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习题3－1
1．填空题
（1）函数x y 2
sin =在区间]2
,2[π
π-
上满足罗尔定理的=ξ ．（2）曲线x
e y -=在点=x 处的切线与连接两点)1,0(与)1,1(e
的弦平行．
解（1）显然函数x y 2
sin =在区间]2
,2[π
π-
上满足罗尔定理的三个条件，所以存在22
ππξ∈（-，），使得()0'=y ξ，即sin 20,0ξξ==．
（2）由于函数x
e
y -=在区间[01],上连续，(01),内可导，
所以满足拉格朗日定理的条件．故存在01x ∈
（，），使得(1)(0)()10-'=-y y y x ，即1
1e e
ξ--=-，解得11ln(e )ξ=--．
2．证明下列恒等式（1）arctan arccot 2
x x π
+=
，),(+∞-∞∈x ．
（2）3
11
3arccos arccos(34)()22
π--=-
≤≤x x x x ．证（1）令()arctan arccot =+f x x x ，则(,),()0x f x '∀∈-∞+∞=，所以()≡f x C （常数）．又(0),2
f π
=
故()arctan arccot ,(,)2
f x x x x π
=+=
∈-∞+∞．
（２）令3
()3arccos arccos(34)=--f x x x x ，则11
(),22
∀∈-
<<x x 22
()0f x '=+
==，
所以()≡f x C （常数）．又1
(0)(),2
=±=f f π 所以
311
()3arccos arccos(34)()22
=--=-≤≤f x x x x x π．
3．证明：方程015
=-+x x 只有一个正实数根．
证存在性：令5
()1=+-f x x x ．则()f x 在区间[01],上连续，且(0)10,=-<f (1)10=>f ，根据零点定理知，至少存在(01)ξ∈,，使得()0=f ξ，即ξ是方程的一个正实数根；
唯一性：假设方程有两个正根1212(0)()∈+∞<设,,ξξξξ，则()f x 在12[],ξξ上满足罗尔定理
的条件，所以至少存在一点412[],()=5+1=0'∈使,f ηξξηη，这与4
()510'=+>f x x 矛盾．说明
方程015
=-+x x 只有一个正实数根．
4．设函数)(x f 在[0,]π上连续，在(0,)π内可导，证明：在(0,)π内至少存在一点ξ，使得
()sin ()cos 0'+=f f ξξξξ．
证令()()sin =F x f x x ．则()F x 在[0,]π上连续，在(0,)π内可导，并且(0)()0==F F π，故()F x 在[0,]π上满足罗尔定理的条件．因此，至少存在一点(0,)∈ξπ，使得()0ξ'=F ，亦即
()sin ()cos 0'+=f f ξξξξ．
5．设函数)(x f 在],[b a 上二阶可导，且0)()(==b f a f ，令)()()(x f a x x F -=，证明：在
),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(=''ξF ．
证
()()0==F a F b ，则()F x 在区间[,]a b 上满足罗尔定理的条件，(,)∴∃∈a b η使得
()0'=F η．又()()()(),''=+-F x f x x a f x 可见()0'=F a ，故()'F x 在区间[,]a η上也满足罗尔
定理的条件，所以，(,)(,)∴∃∈∈a a b ξη，使得()0''=F η．
6．证明下列不等式
（1）当1>x 时，x
e e x >；（2）当0b a >>时，
ln b a b b a
b a a
--<<
．证（1）令()=x f x e ，则()f x 在区间[1,]x 上满足拉格朗日中值定理的条件，从而有
()(1)()(1)(1)'-=-<<f x f f x x ξξ，(1)(1)-=->-x e e e x e x ξ即，>x e ex 从而．
（２）令()ln =f x x ，则()f x 在区间[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，从而有
ln ln 1-=-b a b a ξ，又由于111
<<b a ξ，所以1ln ln 1-<<-b a b b a a
，亦
ln b a b b a b a a --<<． 7．设0a b <<，函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，证明：在),(b a 内至少存在一点ξ，使得()()()ln
b
f b f a f a
ξξ'-=．证令()ln g x x =，则()()f x g x 、在区间[,]a b 上满足柯西中值定理的条件．从而
(,)∃∈a b ξ使
()()()()()()f b f a f g b g a g ξξ'-='-，即 ()()()
1ln ln f b f a f b a
ξξ
'-=
-，即()()()ln b f b f a f a ξξ'-=． 8．设0a b <<．证明：在),(b a 内至少存在一点ξ，使(1)()-=--b a ae be e b a ξξ．
证令函数1
(),()x e f x g x x x
==，则()()f x g x 、在区间[,]a b 上满足柯西中值定理的条件．从。