数学分析2试题B及答案(

xn 3n
cos(n
x2 )(x [0, 2])
，求 lim x1
f
(x)
一、一、1、解：
1
x
dx 2e 2 2
0 ex
0
2、解： f (x) ln x ln(1 x 1) (1)n (x 1)n1 , x (0, 2]
n0
n 1
3、解： lim lim f (x, y) lim lim f (x, y) 0, lim f (x, y) 0
(1)n 3n
n0
3 4
fn (x)
x
f (x) ，
fn (x) f (x) n2 (
x2
1
1 n2
x)
1 ，所以 limsup(
n
n
fn (x)
f (x) ) 0 ，即
函数列 fn (x)
x2
1 n2
,
n 1, 2,L 在 R 上一致收敛。
三、1、证明： t R, b ( f (x) tg(x))2dx b f 2 (x)dx 2t b f (x)g(x)dx t2 b g 2 (x)dx 0 ，所以，
5、求极限： lim 0
x0
x
6、求 y sin x, 0 x 所围平面区域绕 x 轴旋转所得立体的体积。
二、判断级数、反常积分、函数列的收敛性（包括绝对收敛、条件收敛、一致收敛）（5 分×4=20 分）
1、 (1)n1 n2 ；
n1 2n2 1
2、
n 1
n 2n1
；
3、 sgn(sin x) dx （考虑绝对收敛还是条件收敛）； 1 1 x2
n1
n1
n 1
四、（10 分）求心形线 r a(1 cos )(a 0) 所围图形的面积
五、（10
分）求幂级数
n0
nxn
的收敛域、和函数及数项级数
n0
n 2n
的和。
六、（10 分）将周期为 2 的函数 f (x) sgn(cos x) 展成傅立叶级数。
七、（10
分）设
f
(x)
n0
2
二、1、解:
lim
n
n2 2n2 1
1 2
0
，所以该级数发散。
2、解： lim n n
n 2n1
1 2
1 ，所以该级数收敛。
3、解： x [0, ),
sgn(sin x) 1 x2
1
1 x
2
1 x2
，因为
1 dx 收敛，所以 1 x2
sgn(sin x) dx 绝对收敛。 1 1 x2
4、解： x R, lim n
n1
n1
n1
n1
级数 bn (bn an an ) (bn an ) an 收敛。
n1
n1
n1
n1
四、解： A 2 1 a2 (1 cos )2 d 3 a2
20
2
五、解：
R
1，收敛域为 (1,1)
，和函数
f
(x)
n1
nxn
xຫໍສະໝຸດ Baidu
n1
nxn1
x
n1
xn
x
1
x
cos nx
n1 n
七、解： x [0, 2],
xn 3n
cos(n x2 )
2
n
3
,
n1
2
n
3
收敛，所以
n0
xn 3n
cos(n x2 )在[0, 2] 上一致收敛，所以
f
(x)在[0, 2] 上连续，
故 lim x1
f (x)
n0
lim(
x1
xn 3n
cos(n x2 ))
一、 计算下列各题：（4 分×6=24 分）
1、求无穷积分 1 dx 的值； 0 ex
2、将函数 f (x) ln x 展成 x 1的幂级数；
3、求函数
f
(x,
y)
(x
y) sin
x2
1
y2
在点 (0, 0) 的重极限和累次极限。
4、利用定积分定义求定积分： 1exdx 0
x 1 t2 dt
x
x (1 x)2
，
n1
n 2n
f (1) 2 2
六、解： f (x) 是偶函数，所以 bn 0,
n 1, 2,L
,
a0
2
(
2 dx
0
2
dx)
0
， an
2
(
2 cos nxdx
0
2
cos
nxdx)
4 n
sin
n 2
，
所以，对 x R, f (x) 4
sin n 2
x0 y0
y0 x0
( x, y)(0,0)
1
4、解：
1 e x dx
0
lim
n
nk
en
k 1
1 n
lim
n
1 n
en (1 e)
1
1 en
e 1
x 1 t2 dt
5、解： lim 0
lim 1 x2 1
x0
x
x0
6、解：Vx
sin2 xdx
0
2
2
(1 cos 2x)dx
0
a
a
a
a
4( b f (x)g(x)dx)2 4 b f 2 (x)dx b g 2 (x)dx 0 ( b f (x)g(x)dx)2 b f 2(x)dx b g 2(x)dx
a
a
a
a
a
a
2、证明： 0 bn an cn an ，因为正项级数 (cn an ) cn an 收敛，所以正项级数 (bn an ) 收敛，故
4、函数列 fn (x)
x2
1 n2
,
n 1, 2,L 在 R 上是否一致收敛？
三、证明题：（8 分×2=16 分）
1、证明施瓦兹（Schwarz）不等式： ( b f (x)g(x)dx)2 b f 2 (x)dxg b g 2 (x)dx
a
a
a
2、若级数 an , cn 都收敛，且 an bn cn (n 1, 2,L ) 证明：级数 bn 也收敛