高考理科数学数学导数专题复习
高考理科数学数学导数专
题复习
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高考数学导数专题复习
考试内容
导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．
利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．证明不等式恒成立
考试要求：
（1）了解导数概念的某些实际背景．
（2）理解导数的几何意义．
（3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．
（6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题
知识要点
在
x
注：
①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零.
②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?.
2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：
⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件.
可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续.
事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000
00
x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→
).
()(0)()(lim lim )
()(lim )]()()([
lim 000'0000000000
x f x f x f x f x
x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的.
例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为
x
x x y ??=
??|
|，当x ?＞0时，1=??x y ；当x ?＜0时，1-=??x
y ，故x y
x ??→?0lim
不存在. 注：
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3. 导数的几何意义和物理意义：
（1）几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-
（2）物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。
4. 求导数的四则运算法则：
''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数）
注：
①v u ,必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、 积、商不一定不可导.
例如：设x
x x f 2sin 2)(+=，x
x x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和
=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导.
5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ??=或x u x u y y '''?=
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
6. 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数.
⑵常数的判定方法；
如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.
注：
①0)( x f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有
0)( x f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)( x f 是f （x ）递减的充分非必要条
件.
②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）
当函数)(x f 在点0x 处连续时：
①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；
②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.
也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.
注
①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.
②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别：
极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.
注：函数的极值点一定有意义.
9. 几种常见的函数导数：
I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '
= 2
'11)(arcsin x
x -=
1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= 2
'11)(arccos x
x --
=
II. x x 1)(ln '= e x
x a a log 1
)(log '= 1
1)(arctan 2
'+=
x x
III. 求导的常见方法：
①常用结论：x
x 1|)|(ln '=.
②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或)
)...()(()
)...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代
数和形式.
③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边
求导可得x x x x x y y x y y x
x x y y +=?+=??+=ln ln 1
ln '''.
经典例题剖析
考点一：求导公式。
例1. ()f x '是31
()213
f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 。
解析：()2'2+=x x f ，所以()3211'=+=-f
答案：3
考点二：导数的几何意义。
例2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1
22
y x =
+，则(1)(1)f f '+= 。
解析：因为21=
k ，所以()2
1
1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2
5
1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3
例3.曲线32242y x x x =--+在点(13)-，
处的切线方程是 。 解析：443'2--=x x y ，∴点(13)-，
处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，
带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x
答案：025=-+y x
点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
考点三：导数的几何意义的应用。
例4.已知曲线C ：x x x y 2323+-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点
()00,y x 00
≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。
解析： 直线过原点，则()000
≠=
x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02
030023x x x y +-=，∴
2302
00
0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在
()00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'0200+-==x x x f k ，∴
2632302
0020+-=+-x x x x ，整理得：03200=-x x ，解得：2
3
0=
x 或00=x （舍），此时，830-=y ，41-=k 。所以，直线l 的方程为x y 41
-=，切点坐标是
??
?
??-83,23。 答案：直线l 的方程为x y 41-=，切点坐标是??
?
??-83,23
点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。
考点四：函数的单调性。
例5.已知()1323+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。
解析：函数()x f 的导数为()163'2-+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0' 函数。由()R x x ax ∈<-+01632 可得? ??<+=?<012360