高考理科数学数学导数专题复习

高考理科数学数学导数专
题复习

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高考数学导数专题复习
考试内容
导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．
利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．证明不等式恒成立
考试要求：
（1）了解导数概念的某些实际背景．
（2）理解导数的几何意义．
（3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大
值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的
最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．

（6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题
知识要点

1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x是函数)(xfy定义域的一点，如果自变量x在
0
x

处有增量x，则函数值y也引起相应的增量)()(00xfxxfy；比值

xxfxxfxy

)()(
00
称为函数)(xfy在点0x到xx0之间的平均变化率；如果极限

xxfxxfxyxx

)()(limlim0000
存在，则称函数)(xfy在点0x处可导，并把这个极限叫做

)(xfy
在0x处的导数，记作)(0'xf或0|'xxy，即)(0'xf=xxfxxfxyxx)()(limlim0000.

导
数
注：
①x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零.
②以知函数)(xfy定义域为A，)('xfy的定义域为B，则A与B关系为BA.
2. 函数)(xfy在点0x处连续与点0x处可导的关系：
⑴函数)(xfy在点0x处连续是)(xfy在点0x处可导的必要不充分条件.
可以证明，如果)(xfy在点0x处可导，那么)(xfy点0x处连续.
事实上，令xxx0，则0xx相当于0x.
于是)]()()([lim)(lim)(lim0000000xfxfxxfxxfxfxxxx
).()(0)()(limlim)()(lim)]()()([lim000'0000000000xfxfxfxfxxfxxfxfxxxfxxfxxxx


⑵如果)(xfy点0x处连续，那么)(xfy在点0x处可导，是不成立的.

例：||)(xxf在点00x处连续，但在点00x处不可导，因为xxxy||，当x＞0时，
1xy；当x＜0时，1xy，故xyx0lim
不存在.

注：
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3. 导数的几何意义和物理意义：
（1）几何意义：函数)(xfy在点0x处的导数的几何意义就是曲线)(xfy在点))(,(0xfx处
的切线的斜率，也就是说，曲线)(xfy在点P))(,(0xfx处的切线的斜率是)(0'xf，切线方
程为
).)((0'0xxxfyy

（2）物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。
4. 求导数的四则运算法则：
'''''''
)()(cvcvvccvuvvuuv
（c为常数）

注：
①vu,必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、
差、 积、商不一定不可导.

例如：设xxxf2sin2)(，xxxg2cos)(，则)(),(xgxf在0x处均不可导，但它们和
)()(xgxf
xxcossin

在0x处均可导.

5. 复合函数的求导法则：)()())(('''xufxfx或xuxuyy'''
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
6. 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数)(xfy在某个区间内可导，如果)('xf＞0，则
)(xfy

为增函数；如果)('xf＜0，则)(xfy为减函数.
⑵常数的判定方法；
如果函数)(xfy在区间I内恒有)('xf=0，则)(xfy为常数.
注：
①0)(xf是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如32xy在),(上并不是都有
0)(xf，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样0)(xf
是f（x）递减的充分非必要条
件.

②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么
f
（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.

7. 极值的判别方法：（极值是在0x附近所有的点，都有)(xf＜)(0xf，则)(0xf是函数
)(xf

的极大值，极小值同理）

当函数)(xf在点0x处连续时：
①如果在0x附近的左侧)('xf＞0，右侧)('xf＜0，那么)(0xf是极大值；
②如果在0x附近的左侧)('xf＜0，右侧)('xf＞0，那么)(0xf是极小值.
也就是说0x是极值点的充分条件是0x点两侧导数异号，而不是)('xf=0①. 此外，函数不
可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不
确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注
①： 若点0x是可导函数)(xf的极值点，则)('xf=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函
数，其一点0x是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.

例如：函数3)(xxfy，0x使)('xf=0，但0x不是极值点.
②例如：函数||)(xxfy，在点0x处不可导，但点0x是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别：
极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.
注：函数的极值点一定有意义.
9. 几种常见的函数导数：
I.0'C（C为常数） xxcos)(sin' 2'11)(arcsinxx
1')(nn
nxx
（Rn） xxsin)(cos' 2'11)(arccosxx

II. xx1)(ln' exxaalog1)(log' 11)(arctan2'xx
III. 求导的常见方法：
①常用结论：xx1|)|(ln'.
②形如))...()((21naxaxaxy或))...()(())...()((2121nnbxbxbxaxaxaxy两边同取自然对数，可转化求代
数和形式.
③无理函数或形如xxy这类函数，如xxy取自然对数之后可变形为xxylnln，对两边
求导可得xxxxxyyxyyxxxyylnln1ln'''.

经典例题剖析
考点一：求导公式。
例1. ()fx是31()213fxxx的导函数，则(1)f的值是 。
解析：2'2xxf，所以3211'f
答案：3
考点二：导数的几何意义。
例2. 已知函数()yfx的图象在点(1(1))Mf，处的切线方程是122yx，则
(1)(1)ff
。

解析：因为21k，所以211'f，由切线过点(1(1))Mf，，可得点M的纵坐标为
2
5
，所以251f，所以31'1ff

答案：3
例3.曲线32242yxxx在点(13)，处的切线方程是 。
解析：443'2xxy，点(13)，处切线的斜率为5443k，所以设切线方
程为bxy5，将点(13)，带入切线方程可得2b，所以，过曲线上点(13)，处的
切线方程为：025yx
答案：025yx
点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
考点三：导数的几何意义的应用。
例4.已知曲线C：xxxy2323，直线kxyl:，且直线l与曲线C相切于点

00
,yx00x
，求直线l的方程及切点坐标。

解析：直线过原点，则0000xxyk。由点00,yx在曲线C上，则
020300
23xxxy
， 2302000xxxy。又263'2xxy， 在

00
,yx处曲线C的切线斜率为263'0200xxxfk，


26323020020xxxx
，整理得：03200xx，解得：230x或
00x
（舍），此时，830y，41k。所以，直线l的方程为xy41，切点坐标是





83,

2

3
。

答案：直线l的方程为xy41，切点坐标是83,23
点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又
在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，
而不是必要条件。

考点四：函数的单调性。
例5.已知1323xxaxxf在R上是减函数，求a的取值范围。