高考理科数学数学导数专题复习

高考理科数学数学导数专

题复习

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高考数学导数专题复习

考试内容

导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数.

利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.证明不等式恒成立

考试要求:

(1)了解导数概念的某些实际背景.

(2)理解导数的几何意义.

(3)掌握常用函数导数公式,会求多项式函数的导数.(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值.(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.

(6)会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题

知识要点

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x

注:

①x ?是增量,我们也称为“改变量”,因为x ?可正,可负,但不为零.

②以知函数)(x f y =定义域为A ,)('x f y =的定义域为B ,则A 与B 关系为B A ?.

2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系:

⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件.

可以证明,如果)(x f y =在点0x 处可导,那么)(x f y =点0x 处连续.

事实上,令x x x ?+=0,则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000

00

x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→

).

()(0)()(lim lim )

()(lim )]()()([

lim 000'0000000000

x f x f x f x f x

x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续,那么)(x f y =在点0x 处可导,是不成立的.

例:||)(x x f =在点00=x 处连续,但在点00=x 处不可导,因为

x

x x y ??=

??|

|,当x ?>0时,1=??x y ;当x ?<0时,1-=??x

y ,故x y

x ??→?0lim

不存在. 注:

①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

3. 导数的几何意义和物理意义:

(1)几何意义:函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率,也就是说,曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ,切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-

(2)物理意义:位移的导数是速度,速度的导数是加速度。

4. 求导数的四则运算法则:

''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=(c 为常数)

注:

①v u ,必须是可导函数.

②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、 积、商不一定不可导.

例如:设x

x x f 2sin 2)(+=,x

x x g 2cos )(-=,则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导,但它们和

=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导.

5. 复合函数的求导法则:)()())(('''x u f x f x ??=或x u x u y y '''?=

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

6. 函数单调性:

⑴函数单调性的判定方法:设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果)('x f >0,则)(x f y =为增函数;如果)('x f <0,则)(x f y =为减函数.

⑵常数的判定方法;

如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0,则)(x f y =为常数.

注:

①0)( x f 是f (x )递增的充分条件,但不是必要条件,如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有

0)( x f ,有一个点例外即x =0时f (x ) = 0,同样0)( x f 是f (x )递减的充分非必要条

件.

②一般地,如果f (x )在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么f (x )在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.

7. 极值的判别方法:(极值是在0x 附近所有的点,都有)(x f <)(0x f ,则)(0x f 是函数)(x f 的极大值,极小值同理)

当函数)(x f 在点0x 处连续时:

①如果在0x 附近的左侧)('x f >0,右侧)('x f <0,那么)(0x f 是极大值;

②如果在0x 附近的左侧)('x f <0,右侧)('x f >0,那么)(0x f 是极小值.

也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号,而不是)('x f =0①. 此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同).

①: 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点,则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数,其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零.

例如:函数3)(x x f y ==,0=x 使)('x f =0,但0=x 不是极值点.

②例如:函数||)(x x f y ==,在点0=x 处不可导,但点0=x 是函数的极小值点.

8. 极值与最值的区别:

极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较.

注:函数的极值点一定有意义.

9. 几种常见的函数导数:

I.0'=C (C 为常数) x x cos )(sin '

= 2

'11)(arcsin x

x -=

1')(-=n n nx x (R n ∈) x x sin )(cos '-= 2

'11)(arccos x

x --

=

II. x x 1)(ln '= e x

x a a log 1

)(log '= 1

1)(arctan 2

'+=

x x

III. 求导的常见方法:

①常用结论:x

x 1|)|(ln '=.

②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或)

)...()(()

)...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数,可转化求代

数和形式.

③无理函数或形如x x y =这类函数,如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =,对两边

求导可得x x x x x y y x y y x

x x y y +=?+=??+=ln ln 1

ln '''.

经典例题剖析

考点一:求导公式。

例1. ()f x '是31

()213

f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是 。

解析:()2'2+=x x f ,所以()3211'=+=-f

答案:3

考点二:导数的几何意义。

例2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1

22

y x =

+,则(1)(1)f f '+= 。

解析:因为21=

k ,所以()2

1

1'=f ,由切线过点(1(1))M f ,,可得点M 的纵坐标为25,所以()2

5

1=f ,所以()()31'1=+f f 答案:3

例3.曲线32242y x x x =--+在点(13)-,

处的切线方程是 。 解析:443'2--=x x y ,∴点(13)-,

处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-,

带入切线方程可得2=b ,所以,过曲线上点(13)-,处的切线方程为:025=-+y x

答案:025=-+y x

点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。

考点三:导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C :x x x y 2323+-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点

()00,y x 00

≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。

解析: 直线过原点,则()000

≠=

x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上,则02

030023x x x y +-=,∴

2302

00

0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ,∴ 在

()00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'0200+-==x x x f k ,∴

2632302

0020+-=+-x x x x ,整理得:03200=-x x ,解得:2

3

0=

x 或00=x (舍),此时,830-=y ,41-=k 。所以,直线l 的方程为x y 41

-=,切点坐标是

??

?

??-83,23。 答案:直线l 的方程为x y 41-=,切点坐标是??

?

??-83,23

点评:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。

考点四:函数的单调性。

例5.已知()1323+-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。

解析:函数()x f 的导数为()163'2-+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0'

函数。由()R x x ax ∈<-+01632

可得?

??<+=?<012360

a a ,解得3-

-

9. 当3-=a 时,()983131333

23+??? ?

?

--=+-+-=x x x x x f 。

由函数3x y =在R 上的单调性,可知当3-=a 是,函数()x f 对R x ∈为减函数。 10. 当3->a 时,函数()x f 在R 上存在增区间。所以,当3->a 时,函数()x f 在R 上不是单调递减函数。

综合(1)(2)(3)可知3-≤a 。

答案:3-≤a

点评:本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题,要有求导意识。

考点五:函数的极值。

例6. 设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。

(1)求a 、b 的值;

(2)若对于任意的[03]x ∈,

,都有2()f x c <成立,求c 的取值范围。

解析:(1)2()663f x x ax b '=++,因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值,则有

(1)0f '=,(2)0f '=.即6630241230a b a b ++=??

++=?

.,解得3a =-,4b =。 (2)由(Ⅰ)可知,32()29128f x x x x c =-++,2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--。

当(01)x ∈,时,()0f x '>;当(12)x ∈,时,()0f x '<;当(23)x ∈,时,()0f x '>。所以,当

1x =时,()f x 取得极大值(1)58f c =+,又(0)8f c =,(3)98f c =+。则当[]03x ∈,时,

()f x 的最大值为(3)98f c =+。因为对于任意的[]03x ∈,,有2()f x c <恒成立,

所以 298c c +<,解得 1c <-或9c >,因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞,,。

答案:(1)3a =-,4b =;(2)(1)(9)-∞-+∞,,。

点评:本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤:①求导数

()x f ';

②求()0'=x f 的根;③将()0'=x f 的根在数轴上标出,得出单调区间,由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。

考点六:函数的最值。

例7. 已知a 为实数,()()()a x x x f --=42。求导数()x f ';(2)若()01'=-f ,求()x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析:(1)()a x ax x x f 4423+--=,∴ ()423'2--=ax x x f 。

(2)()04231'=-+=-a f ,2

1

=

∴a 。()()()14343'2+-=--=∴x x x x x f

令()0'=x f ,即()()0143=+-x x ,解得1-=x 或3

4

=x , 则()x f 和()x f '在区间[]2,2-上随x 的变化情况如下表:

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()2

91=

-f ,275034-=???

??f 。所以,()x f 在区间[]2,2-上的最大值为

275034-=??

?

??f ,最小值

为()2

9

1=

-f 。 答案:(1)()423'2--=ax x x f ;(2)最大值为275034-=??

?

??f ,最小值为

()2

9

1=

-f 。 点评:本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值,要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值,然后与()a f 和()b f 进行比较,从而得出函数的最大最小值。

考点七:导数的综合性问题。

例8. 设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线

670x y --=垂直,导函数'()f x 的最小值为12-。(1)求a ,b ,c 的值;

(2)求函数()f x 的单调递增区间,并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

解析: (1)∵()f x 为奇函数,∴()()f x f x -=-,即33ax bx c ax bx c --+=---

∴0c =,∵2'()3f x ax b =+的最小值为12-,∴12b =-,又直线670x y --=的斜

率为1

6

,因此,'(1)36f a b =+=-,∴2a =,12b =-,0c =.

(2)3()212f x x x =-。 2'()6126(f x x x x =-=,列表如下:

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所以函数()f x 的单调增区间是(,-∞和)+∞,∵(1)10f -=,

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f =-(3)18f =,∴()f x 在[1,3]-上的最大值是(3)18f =,最小值是

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f =-

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答案:(1)2a =,12b =-,0c =;(2)最大值是(3)18f =,最小值是f =-

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点评:本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识,以及推理能力和运算能力。

导数强化训练

1. 选择题

1. 已知曲线24x y =的一条切线的斜率为1

2

,则切点的横坐标为( )

A .1

B .2

C .3

D .4

2. 曲线1323+-=x x y 在点(1,-1)处的切线方程为 ( )

A .43-=x y

B .23+-=x y

C .34+-=x y

D .54-=x y

3. 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于 ( D )

A .1

B .2

C .3

D .4

4. 已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为 ( )

A .)1(3)1()(2-+-=x x x f

B .)1(2)(-=x x f

C .2)1(2)(-=x x f

D .1)(-=x x f

5. 函数93)(23-++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则a =( )

(A )2 (B )3 (C )4

(D )5

6. 函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( )

(A)(2,)+∞(B)(,2)-∞(C)(,0)-∞(D)(0,2)

7. 若函数()c bx x x f ++=2的图象的顶点在第四象限,则函数()x f '的图象是( )

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6]上的最大值是(

A .

323

B .

163

C .12

D .9

9. 函数x x y 33-=的极大值为m ,极小值为n ,则n m +为 ( )

A .0

B .1

C .2

D .4

10. 三次函数()x ax x f +=3在()+∞∞-∈,x 内是增函数,则 ( )

A . 0>a

B .0

C .1=a

D .3

1=

a 11. 在函数x x y 83-=的图象上,其切线的倾斜角小于4

π

的点中,坐标为整数的点的个数是

( )

A .3

B .2

C .1

D .0

12. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,

示,则函导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所( ) 数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点

A .1个

B .2个

C .3个

D . 4个

2.

填空题

13. 曲线3x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为__________。

14. 已知曲线314

33

y x =+,则过点(2,4)P “改为在点(2,4)P ”的切线方程是

______________

15. 已知()()n f x 是对函数()f x 连续进行n 次求导,若65()f x x x =+,对于任意x R ∈,都有()()n f x =0,则n 的最少值为 。

16. 某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x = 吨.

3. 解答题

17. 已知函数()c bx ax x x f +++=23,当1-=x 时,取得极大值7;当3=x 时,取得极小

值.求这个极小值及c b a ,,的值.

18. 已知函数.93)(23a x x x x f +++-=

(1)求)(x f 的单调减区间;

(2)若)(x f 在区间[-2,2].上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.

19. 设0≠t ,点P (t ,0)是函数c bx x g ax x x f +=+=23)()(与的图象的一个公共点,两函数的图象在点P 处有相同的切线。

(1)用t 表示c b a ,,;

(2)若函数)()(x g x f y -=在(-1,3)上单调递减,求t 的取值范围。 20. 设函数()32()f x x bx cx x R =++∈,已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。

(1)求b 、c 的值。

(2)求()g x 的单调区间与极值。

21. 用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大最大体积是多少

22. 已知函数3211

()32f x x ax bx =++在区间[11)

-,,(13],内各有一个极值点. (1)求24a b -的最大值;

(1) 当248a b -=时,设函数()y f x =在点(1(1))A f ,处的切线为l ,若l 在点A 处穿过函

数()y f x =的图象(即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动,经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求函数()f x 的表达式.

强化训练答案:

4. 填空题

13. 3

8

14. 044=+-x y 15. 7 16. 20

5. 解答题

17. 解:()b ax x x f ++=23'2。

据题意,-1,3是方程0232=++b ax x 的两个根,由韦达定理得

∴9,3-=-=b a

∴()c x x x x f +--=9323 ∵()71=-f ,∴2=c

极小值()25239333323-=+?-?-=f

∴极小值为-25,9,3-=-=b a ,2=c 。

18. 解:(1).963)(2++-='x x x f 令0)(<'x f ,解得,31>-

所以函数)(x f 的单调递减区间为).,3(),1,(+∞--∞

(2)因为,218128)2(a a f +=+-+=- ,2218128)2(a a f +=+++-=

所以).2()2(->f f 因为在(-1,3)上0)(>'x f ,所以)(x f 在[-1,2]上单调递增,又由于)(x f 在[-2,-1]上单调递减,因此)2(f 和)1(-f 分别是)(x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值.于是有2022=+a ,解得.2-=a

故.293)(23-++-=x x x x f 因此,72931)1(-=--+=-f 即函数)(x f 在区间[]2,2-上的最小值为-7.

19. 解:(1)因为函数)(x f ,)(x g 的图象都过点(t ,0),所以0)(=t f ,

即03=+at t .因为,0≠t 所以2t a -=. .,0,0)(2ab c c bt t g ==+=所以即

又因为)(x f ,)(x g 在点(t ,0)处有相同的切线,所以).()(t g t f '='

而.23,2)(,3)(22bt a t bx x g a x x f =+='+='所以

将2t a -=代入上式得.t b = 因此.3t ab c -==故2t a -=,t b =,.3t c -=

(2)))(3(23,)()(223223t x t x t tx x y t tx x t x x g x f y -+=--='+--=-=.

当0))(3(<-+='t x t x y 时,函数)()(x g x f y -=单调递减.

由0<'y ,若t x t t <<-

>3,0则;若.3

,0t x t t -<<<则 由题意,函数)()(x g x f y -=在(-1,3)上单调递减,则

).3,()3,1(),3()3,1(t t t t -?--?-或所以.39.33

3≥-≤≥-≥t t t

t 或即或

又当39<<-t 时,函数)()(x g x f y -=在(-1,3)上单调递减.

所以t 的取值范围为).,3[]9,(+∞?--∞

20. 解:(1)∵()32f x x bx cx =++,∴()232f x x bx c '=++。从而

322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++=32(3)(2)x b x c b x c +-+--是一个奇函

数,所以(0)0g =得0c =,由奇函数定义得3b =;

(2)由(Ⅰ)知3()6g x x x =-,从而2()36g x x '=-,由此可知,

(,-∞和)+∞是函数()g x 是单调递增区间;

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(是函数()g x 是单调递减区间;

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()g x 在x =,()g x 在x =

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为-。

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21. 解:设长方体的宽为x (m ),则长为x 2 (m),高为

??? ?

?

-=-=

230(m)35.44

1218<<x x x

h .

故长方体的体积为

从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--='

令()0'=x V ,解得0=x (舍去)或1=x ,因此1=x . 当10<x V ;当2

3

1<

从而最大体积()()3321619'm x V V ?-?==,此时长方体的长为2 m ,高为 m.

答:当长方体的长为2 m 时,宽为1 m ,高为 m 时,体积最大,最大体积为33m 。

22. 解:(1)因为函数3211

()32f x x ax bx =++在区间[11)

-,,(13],内分别有一个极值点,所以2()f x x ax b '=++0=在[11)

-,,(13],内分别有一个实根,

设两实根为12x x ,(12x x <),则21x x -=2104x x <-≤.于是

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04<,20416a b <-≤,且当11x =-,

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23x =,即2a =-,3b =-时等号成立.故24a b -的最大值是16.

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