高考理科数学数学导数专题复习

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高考理科数学数学导数专

题复习

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高考数学导数专题复习

考试内容

导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数.

利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.证明不等式恒成立

考试要求:

(1)了解导数概念的某些实际背景.

(2)理解导数的几何意义.

(3)掌握常用函数导数公式,会求多项式函数的导数.(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值.(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.

(6)会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题

知识要点

x

注:

①x ∆是增量,我们也称为“改变量”,因为x ∆可正,可负,但不为零.

②以知函数)(x f y =定义域为A ,)('x f y =的定义域为B ,则A 与B 关系为B A ⊇.

2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系:

⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件.

可以证明,如果)(x f y =在点0x 处可导,那么)(x f y =点0x 处连续.

事实上,令x x x ∆+=0,则0x x →相当于0→∆x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000

00

x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→

).

()(0)()(lim lim )

()(lim )]()()([

lim 000'0000000000

x f x f x f x f x

x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续,那么)(x f y =在点0x 处可导,是不成立的.

例:||)(x x f =在点00=x 处连续,但在点00=x 处不可导,因为

x

x x y ∆∆=

∆∆|

|,当x ∆>0时,1=∆∆x y ;当x ∆<0时,1-=∆∆x

y ,故x y

x ∆∆→∆0lim

不存在. 注:

①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

3. 导数的几何意义和物理意义:

(1)几何意义:函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率,也就是说,曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ,切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-

(2)物理意义:位移的导数是速度,速度的导数是加速度。

4. 求导数的四则运算法则:

''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=(c 为常数)

注:

①v u ,必须是可导函数.

②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、 积、商不一定不可导.

例如:设x

x x f 2sin 2)(+=,x

x x g 2cos )(-=,则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导,但它们和

=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导.

5. 复合函数的求导法则:)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅=

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

6. 函数单调性:

⑴函数单调性的判定方法:设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果)('x f >0,则)(x f y =为增函数;如果)('x f <0,则)(x f y =为减函数.

⑵常数的判定方法;

如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0,则)(x f y =为常数.

注:

①0)( x f 是f (x )递增的充分条件,但不是必要条件,如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有

0)( x f ,有一个点例外即x =0时f (x ) = 0,同样0)( x f 是f (x )递减的充分非必要条

件.

②一般地,如果f (x )在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么f (x )在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.

7. 极值的判别方法:(极值是在0x 附近所有的点,都有)(x f <)(0x f ,则)(0x f 是函数)(x f 的极大值,极小值同理)

当函数)(x f 在点0x 处连续时:

①如果在0x 附近的左侧)('x f >0,右侧)('x f <0,那么)(0x f 是极大值;

②如果在0x 附近的左侧)('x f <0,右侧)('x f >0,那么)(0x f 是极小值.

也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号,而不是)('x f =0①. 此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同).

①: 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点,则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数,其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零.

例如:函数3)(x x f y ==,0=x 使)('x f =0,但0=x 不是极值点.

②例如:函数||)(x x f y ==,在点0=x 处不可导,但点0=x 是函数的极小值点.

8. 极值与最值的区别:

极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较.

注:函数的极值点一定有意义.

9. 几种常见的函数导数:

I.0'=C (C 为常数) x x cos )(sin '

= 2

'11)(arcsin x

x -=

1')(-=n n nx x (R n ∈) x x sin )(cos '-= 2

'11)(arccos x

x --

=

II. x x 1)(ln '= e x

x a a log 1

)(log '= 1

1)(arctan 2

'+=

x x

III. 求导的常见方法:

①常用结论:x

x 1|)|(ln '=.

②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或)

)...()(()

)...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数,可转化求代

数和形式.

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